人教A版高一數學暑假預習：基本不等式（講）-（人教A版必修第一冊）原卷版+解析

2.2基本不等式

【題型解讀】

【知識儲備】

1.兩個不等式

重要不等式：當。、。是任意實數時，有〃+爐》2",當且僅當。=b時，等號成立.

基本不等式：當。>0,歷>0時有麗W甘，當且僅當時，等號成立.

號叫做正數〃，〃的算術平均數，叫做正數。，b的幾何平均數.

基本不等式表明：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.

溫馨提示：”當且僅當a=b時，等號成立“是指若aWA,則〃+小工2〃兒的工"々，即只能有『十〃>2時，

■\lab<——.

2.基本不等式與最值

已知■)，都是正數，

(1)如果積xy等于定值P,那么當x=y時，和x+y有最小值2幫：

(2)如果和x+y等于定值S,那么當x=y時，積.yy有最大值;S?.

溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(l)x、)>0,(2)和(積)為定值，(3)存在取等

號的條件.

【題型精講】

【題型一對基本不等式的理解】

方法技巧對基本不等式的理解

(1)不等式成立的條件：a,。都是正教.

(2)“當且僅當”的含義：

①當。="時.應攔2^^的等號成立.即

②僅當〃=/?時，好'e/S的等號成立，即"

例I（2022?黑龍江?哈爾濱三中高一月考）下列說法中錯誤的是（）

A.不等式恒成立

ba

B.若a,bER+,則—+工N2

ab

21

C.若〃，旄R+,滿足a+2人=1,則一+一二8

ab

D.存在代R,使得。+：工2成立

例2（多選）（2022?衡水市第十三中學高一月考）已知正數。，b,則下列不等式中恒成立的是（）

1])

A.a+b>14abB.(a+b)-+->4

b)

C.(a+b)2>2(a2+b2}D.^->4^b

''a+b

【題型精練】

1.(2022?寧夏?銀川一中期中)下列不等式恒成立的是()

A.x+—>2B.a+b>2\[cib

x

c(4++Z?~C2?2C,

C.---->-----D.a~+b->2ab

I2)2

2.（多選題）（2022?海南高一期末）下列說法中正確的有（）

A.不等式a+b>恒成立

B.存在。，使得不等式a2成立

bQ

C.若a,he（0,+8）,則一+一二2

ab

21

D.若正實數x,y滿足x+2），=l,則一+一之8

1“y

【題型二直接法求最值】

例3（2022?甘肅酒泉?高一期中）若實數小〃滿足。+〃=1,則時的最大值為（）

A.2B.1C.!D.-

24

例4（2022?河北?高一期末）己如a>0,Z?>0?ab=1,且“=〃+,,〃=〃+!，則"2+〃的最小

ab

值是（）

A.3B.4C.5D.6

【題型精練】

1.（2022?湖北十堰期末）設x>0,y>0,則x+4y+事的最小值為.

2.（多選）（2022?河北石家莊期中）設正實數〃?，〃滿足〃z+〃=2,則下列說法正確的是（）

A.工+_!_上的最小值為2B.〃?〃的最大值為1

mn

C.J記的最大值為4D.的最小值為:

4

【題型三湊配法求最值】

必備技巧通過配湊法利用基本不等式求最值的策略

拼湊法的實質在于代數式的靈活變形，拼系數、湊常數是關鍵，利用拼湊法求解最值應注意以下幾個方面的

問題：

⑴拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數的變化以及等式中常數的調整，做到等價變形；

⑵代數式的變形以配湊出和或積的定值為目標：

（3）拆項、添項應注意檢臉利用基本不等式的前提.

例5（2022?山西?懷仁市第一中學校月考）設實數x滿足*>-1,則函數的最小值為（）

x+1

A.3B.4C.5D.6

例6（2022?上海虹口?高一期末）已知0vx<4,則x（4-x）的最大值為.

【題型精練】

1.（2022?北京大興?高一期末）當0vxv2時，M2-x）的最大值為（)

A.0B.IC.2D.4

4,

2.（2022?全國?高一專題練習）（1）求函數y=x+—1）的最小值及此時工的值;

X—1

（2）已知函數），='+5x+10,求此函數的最小值及此時x的值.

x+2

【題型四“1”的代換法求最值】

必備技巧“1”的代換法求最值

⑴根據已知條件或其變形確定定值（常數）；

⑵把確定的定值（常數）變形為1；

（3）把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積的形式；

⑷利用基本不等式求解最值.

例7（2022?河南?夏邑第一高級中學高一期末）已知x>0,y>0,x+y=l,則L的最小值是（）

xy

A.2B.2及c.4D.2x/3

例8（2022?安徽?南陵中學高一月考）若實數。，b滿足2。+力8>1],則三十3的最小值

I272?-1b-\

為（）

A.6B.4C.3D.2

【題型精練】

12

1.（2022?安徽?高三階段練習）已知x>0,y>0,2x+y=2,則一十一的最小值是（）

xy

A.1B.2C.4D.6

I?

2.（2022?全國高一課時練習）已知。>（）,/?>（）,-+-=2,則。+〃的最小值為______________；

ab

【題型五二次商式求最值】

例9（2022?全國?高一課時練習）求下列函數的最小值

/4、r+X+l/八、

(1)y=----------(x>0)；

x

cx2+2x+6...

(2)y=---------(x>1).

x-1

例10（2022?江西?寧岡中學高一月考）工工〉1）的最大值為_______.

d-4x4-7

【題型精練】

1.（2022?全國?高一課時練習）函數y="-+3x+3*<—］）的最大值為（）

x+\

A.3B.2C.1D.-1

2.（2022?全國?高一課時練習）若T<x<l,則），=x、2x+2有（）

”2,r-2

A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D,最小值1

【題型六基本不等式求參】

例11（2022?全國?高一課時練習）若兩個正實數X,）‘滿足44+丁=制，且存在這樣的文，使不等式

X+：〈〃?2+3M有解，則實數〃，的取值范圍是（）

4

A.（-1,4）B.（-41）

C.（HO,-4）U（1,+CC）D.（7）,-3）5。,長0）

例12（2022?南開區校級月考）設x>0,y>0,且不等式（ox+y）（工+工）29恒成立，則正實數。的取

%y

值范圍是（）

A.0<a^4B.0VaW2C.D.

【題型精練】

1.（2022?全國?高一課時練習）已知。>0,>0,若不等式±+?2二恒成立，則m的最大值為（）

aba+b

A.10B.12C.16D.9

2

2.（2022?全國高一課時練習）已知關于x的不等式2x+——27在%€（氏+00）上恒成立，則實數〃的

x-a

最小值為（）

53

A.1B.—C.2D.一

22

【題型七基本不等式的實際應用】

例13（2022?全國?高一課時練習）將一根鐵絲切割成三段，做一個面積為2〃，，形狀為直角三角形的框

架，在下列4種長度的鐵絲中，選用最合理共用且浪費最少的是（）

A.6.5mB.6.8mC.7mD.7.2m

【題型精練】

1.（2022?北京市十一學校高一期末）某公司要建造一個長方體狀的無蓋箱子，其容積為48m3,高為3m,

如果箱底每Im2的造價為15元，箱壁每1m?造價為12元，則箱子的最低總造價為（）

A.72元B.300元C.512元D.816元

2.2基本不等式

【題型解讀】

【知識儲備】

1.兩個不等式

重要不等式：當〃、〃是任意實數時，有當且僅當。=〃時，等號成立.

基本不等式：當。＞0，Z?0時有，益當且僅當。=/）時，等號成立.

等叫做正數小人的算術平均數，標叫做正數小。的幾何平均數.

基本不等式表明：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.

溫馨提示：”當且僅當時，等號成立”是指若瓦則標+/#2,心，的工審，即

只能有/+戶＞2〃〃，y[al）＜~y~.

2.基本不等式與最值

已知x,y都是正數，

（1）如果積個等于定值/\那么當x=），時，和x+.y有最小值2爐；

⑵如果和x+），等于定值S,那么當x=y時，積X），有最大值養

溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：（l）x、）＞0,（2）和（積）為定

值，（3）存在取等號的條件.

【題型精講】

【題型一對基本不等式的理解】

方法技巧對基本不等式的理解

（1）不等式成立的條件：“，都是正數.

（2）“當且僅當”的含義：

①當4=〃時，的等號成立，即4=石；

②僅當時，"的等號成立，即區芋=，元na=A.

例1(2022.黑龍江.哈爾濱三中高一月考)下列說法中錯誤的是()

A.不等式，^恒成立

ba

B.若a,/?GR+,則—+->2

ab

21

C.若小/走R+,滿足a+26=l,則一+一A8

ab

D.存在aWR,使得42成立

【答案】A

【解析】解：對于A,當aVO,bVO時，不等式。+622、7而不成立，故選項A錯誤；

對于3,因為a,/?GR+,則2+：工2~?~=2,當且僅當。=〃時取等號，故選項8正

abyjab

確；

對于C，因為a>0，b>0且a+2b=1,所以白+2=(-+-)(a+2b)=—4--+4>

ababab

2-.^+4=8,當且僅當。=28時取等號，故選項C正確；

7ab

對于。，當a=l時，”+：工2成立，故選項。正確.

故選：A.

例2(多選)(2022?衡水市第十三中學高一月考)已知正數。，b,則下列不等式中恒成

立的是()

A.a-vb>2\[abB.(a+Z?)(，+:>4

b)

C.{a+b)1>l(cr+lr\D.^^->4ab

''a+b

【答案】AB

【解析】對A,\6/>(),/?>(),:.a+bN2面,當且僅當。=/?時等號成立，故AE

確；

對B,(tz+Z?)f-+-l=-+-+2>2J---+2=4,當且僅當a=6時

\ab)ahab

等號成立，故B正確;

對C,（6z+/?）2-2（?2+Zj2）=-?2+2r//?-/?2=-（f/-Z?）2<0,即

（。+32<2（/+/），故c錯誤：

2ab

對D,6?>0,/?>0,「.a+/?N2&ib，.?.（〃+b）Jab22ab，即-----VJab，當且

a-vb

僅當。二b時等號成立，故1）錯誤.故選：AB.

【題型精練】

1.（2022?寧夏?銀川一中期中）下列不等式恒成立的是（）

A.x+—>2B.a+b>2\[ab

x

C.---->-----D.a~+b>lab

I2）2

【答案】D

【解析】對于A選項，當x<0時，不等式顯然不成立，故錯誤：

對于B選項,〃+此2而成立的條件為。之0,力“,故錯誤;

對于C選項，當。。/0時，不等式顯然不成故錯誤；

對于D選項，由于。2+〃2—2出?=（。一〃）220,+b2>2ab，正確.

故選：D

2.（多選題）（2022?海南高一期末）下列說法中正確的有（）

A.不等式Q+b>2VSF恒成立

B.存在小使得不等式a+5M2成立

ba

C.若a,be（0,+oo）,則一+一二2

ab

21

D.若正實數x,y滿足戶2y=1,則一+一二8

xy

【答案】BCD

【解析】解：不等式a+bN2底恒成立的條件是b20,故A不正確；

當。為負數時，不等式a+：W2成立.故8正確；

由基本不等式可知C正確；

―21214yx后~x

對于一+-=（-+—）（%+2y）=44--+—>4+2/—?—=8,

xyxyxyxy

4vXi1

當且僅當二二一，即％=2，y=<時取等號，故。正確.

xy乙、

故選：BCD.

【題型二直接法求最值】

例3（2022.甘肅酒泉.高一期中）若實數〃，〃滿足。+6=1,則面的最大值為（）

A.2B.1C.gD.-

24

【答案】D

【解析】a+h=]t

???〃/?,即當且僅當〃=b=]時等號成立，

（ab]=—.

\/max4

故選：D.

例4（2022?河北?高一期末）已知。〉0，/?>0，ab=\，且"2=。+，,72=6Z4--,

ab

則m+〃的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】由=1知，m=b+—=2b,n=a+—=2a,

ab

fn+n=2^a+b）>4\fcib=4,

當且僅當。=〃=1時取等號.故m+〃的最小值為4故選：B

【題型精練】

1.（2022?湖北十堰期末）設x>0,），>0,則x+4）葉上的最小值為

v-\y

【答案】4

［解析］解：x+4y^2y/x-4y=4y/xy（當且僅當x=4.y時，等號成立）,

4y/xy+-^=>2V4=4（當且僅當4/6=焉時，等號成立）,

故x+4y+-y=>4（當且僅當4y/xy=^^且x=4y,即x=1,y=,時，等號成立）,

故x+4y+上的最小值為4,

故答案為：4.

2.（多選）（2022?河北石家莊期中）設正實數〃?，〃滿足〃什〃=2,則下列說法正確的是

（）

A.2?+?5?上的最小值為2B.”〃?的最大值為1

mn

C.J石+JI的最大值為4D."+/的最小值為:

【答案】AB

【解析】Vm>0,n>0,m+n=2,

111,/11、1以〃.[“6'c

—+—=—(〃?+〃)一+—=—2+——I——>—2+2./-------=2,

mn2'nJ2\mn)21Vtnn,

當且僅當己=%,即m=也=1時等號成立，故A正確；

mn

?1-m+n=2>2\[nui?/.ifi/i<1,當且僅當J=〃=l時,等號成立,故B正確;

.,(而+6)(2[(詬)+(6)]=4,4m+4n<yj2(/n+n)=2,當且僅當〃z=〃=l時等

號成立，最大值為2,故C錯誤；

62+〃2之3土立=2,當且僅當機=〃=1時等號成立，故D錯誤.

2

故選：AB

【題型三湊配法求最值】

必備技巧通過配湊法利用基本不等式求最值的策略

拼湊法的實質在于代數式的靈活變形，拼系數、湊常數是關鍵，利用拼湊法求解最值應注意

以下幾個方面的問題：

（1）拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數的變化以及等式中常數的調整，做到等價變

形；

⑵代數式的變形以配湊出和或積的定值為目標：

⑶拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提.

4

例5（2022?山西?懷仁市第一中學校月考）設實數x滿足1>-1,貝IJ函數產x+—；的最小

x+1

值為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】.x>T，

函數二+'7=（X+1）+，7-122\，7D^7-1=4-1=3,當且僅當彳+1=<，BPx=l

X+lX4-IVX+lx+1

時取等號.

4

因此函數>'=x+—-的最小值為3.

x+l

故選：A.

例6（2022?上海虹口?高一期末）已知0<x<4,則工（4-力的最大值為.

【答案】4

【解析】因。〈…，則4->。，于是得出7閆*今:4,當且僅當……即

x=2時取

所以工（4-工）的最大值為4.

故答案為：4

【題型精練】

I.（2022?北京大興?高一期末）當0<x<2時，］（2-幻的最大值為（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】B

【解析】V0<A<2,/.2-X>0,又X+（2-X）=2

...X（2T）JX+Q7）L=［,當且僅當工=2-工，即x=l時等號成立，

所以M2-x）的最大值為1

故選：B

4

2.（2022?全國?高一專題練習）（1）求函數的最小值及此時x的值;

（2）已知函數）,="5”,XG（-2,-HX）,求此函數的最小值及此時x的值.

x+2

【答案】（1）函數）'的最小值為5,此時x=3；（2）函數V的最小值為5,此時x=0.

【解析】（1）Vx>l,

44f'A-

/.y=x+------=x-\+---+1>2J（x-l）----+1=4+1=5,

x-lx-lV）A-1

4

當且僅當x-l=——即x=3時，等號成立.

X-1

故函數y的最小值為5,此時x=3；

（2）令］=x+2（，>0）,

將x=f-2代入得：

廣（一2『+5（-2）+1。=,+*,

tt

vr>0.

4

當且僅當，=7,

4

即x+2=

x+2

即x=0時，等號成立.

故函數y的最小值為5,此時x=o.

【題型四“1”的代換法求最值】

必備技巧“1”的代換法求最值

。）根據已知條件或其變形確定定值（常數）；

⑵把確定的定值（常數）變形為1；

（3）把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積的形式；

⑷利用基本不等式求解最值.

例7（2022?河南?夏邑第一高級中學高一期末）已知1＞0,），＞0,%+），=1,則'+'的最

xy

小值是（）

A.2B.2X/2C.4D.2A/3

【答案】C

【解析】-+l=（l+l]（x+y）=2+^4--＞2+2|5^=4（當且僅當）=2，即

xyy）xy\xyxy

ii

工二丁時取等號）?'?一+-的最小值為4故選：C

xy

例8（2022?安徽?南陵中學高一月考）若實數。，人滿足2a+b=3（a＞；力＞1],則

+上7的最小值為（）

2a\b\

A.6B.4C.3D.2

【答案】A

【解析】2。+匕=3=（2。-1）+僅-1）=1

因為。>1,b>\,所以2々一1>0,Z>-1>0

2

p2ah2。-1+1b-\+\?11

又-----+----=--------+------=2+-----+---

2a-\h-\2ab-\2ab-\

I1/11\

所以—+—=—+—r（2a-i）+（/?-i）i

2a-\b-\{2a-\b-i）^，，'」

2a-\b-\2tz-1b-\

=2+----+----->2+2.x-=--2-+2=4

b-\2a-\b-\2d-l

2。+〃=3

當且僅當《2a—1b-\即。=:，〃=彳時，取等號

----=-----42

b-\2a-\

b=2+七+〃1_]

所以---------4--------->6

2ab-\

故選:A

【題型精練】

12

1.(2022?安徽?高三階段練習)已知x>0,y>0,2.r+y=2,則一+一的最小值是()

xy

A.1B.2C.4D.6

【答案】C

[解析]解：因為x>0,y>0,2x+y=2,所以

-+-=1f-+-\2A-+y)=lf2+2+-+—]>^4+2/^1=4,當且僅當上二"，即

x1yy)21xy)\\xy)xy

x=1，y=i時取等號；

2

故選：C

2.（2022?全國高一課時練習）已知。>0/>0,-+-=2,則。+〃的最小值為

ab

【答案］3+2近

2

【解析】采用常數1的替換,

即〃二1±交功=2及時等號成立，所以答案為3+2/5.

222

【題型五二次商式求最值】

例9（2022?全國,高一課時練習）求下列函數的最小值

x~+x+\人、

（1）y=-------（x>0）：

x

【答案】（1）3；（2）10.

【解析】⑴…

XX

vA->0?-.X+^>2^TJ=2（當且僅當X=：,即x=l時取等號）

X2+x+\

.)'=--------------（x>0）的最小值為3；

X

(2)令，=x-1(/>0),則”f+1,

x2+2x+6(/+l)2+2(/+l)+6Z2+4r+99.?廠…八

1.y=-----1-=-——-~——-——=--------=/+-+4>2J/--+4=10

9

當且僅當/=N即/=3時取等號

t

「?y的最小值為10

Y一1

例10（2022?江西?寧岡中學高一月考）y：4x+7（"l）的最大值為

【答案】g

【解析】令工一1=/,則x=/+l,r>（）,

x-l11

-4

所以“2-4X+7(r+D2-4(f+l)+7/-21+44~2,當且僅當，=7,

/+廠

即/=2時，等號成立.所以（：1+7（41）的最大值為苗

故答案為：，

【題型精練】

1.（2022?全國?高一課時練習）函數），=f+3彳+3*<—］）的最大值為

()

x+1

A.3B.2C.1D.-1

【答案】D

+3x+3(x+1)~+(x+1)+I

【解析】???），=

x+lX+1

=-[-(x+l)+—!—]+1

-(x+1)

<X+1)1(一)+!=-1,

x+\

當且僅當"二即1等號成立.

故選：D.

2.（2022.全國?高一課時練習）若-X,則>J-2K+2有（

1<<1)

lx-2

A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1

【答案】A

【解析】因Tvx<l,則0<1-工<2,

于是得廣二.。7廠+1=_」（17）+-!-小一!2?1-1）一!一=-1,當且僅當1-X=J-

2\-x2\-x2V\-x1-x

即x=（）時取“=”，

所以當x=0時，y=Y-2x+2有最大值_]

2A-2

故選：A

【題型六基本不等式求參】

例11（2022?全國?高一課時練習）若兩個正實數孫）'漏足?+），=外且存在這樣的x,），

使不等式上+：<〃/+3/〃有解，則實數，"的取值范圍是（）

4

A.（-1,4）B.（T1）

C.（f-4）U（l,+oo）D.（YO,-3）5。.”）

【答案】C

【解析.】由4x+），=與，=1+±=1知，Cr+^-\-+-）=l+—+-^-+1>2+2/---^-=4,

xyI4八），y4xyy4x

當且僅當x=2,），=8時，等號成立，則使不等式x+5</+3/〃有解，只需滿足m2+3〃?>4

4

即可，

解得〃2?3,-4）U（l,+OO）故選：c

例12（2022?南開區校級月考）設x>0,>>>0,月不等式（at+v）（-+-）29恒成立，

xy

則正實數。的取值范圍是（）

A.0<aW4B.0<aW2C.心4D.心2

【答案】C

【解析】解：》0,y>0,a>0,

:.（以+y）（工+工）="1+丫+竺切+1+2徑?竺=（VH+1）2（當且僅當2=/時取”=

xyxy\JXyxy

“），

又「（ov+y）（工+工）29恒成立，，（Va+1）解得：故選：C.

xy

【題型精練】

1.（2022?全國?高一課時練習）已知。>0,b>0,若不等式3+：之一j恒成立，則機的