2025-2026學年人教A版高中數學選擇性必修第二冊課時練習：數列的遞推公式及前n項和

4.1.2數列的遞推公式及前n項和

一.選擇題

1.已知數列他〃｝的前〃項和為S〃="-2〃，則如+”+不等于()

A.12B.15

C.18D.21

2.已知數列｛Z｝的前〃項和為*="，則Z等于()

A.nB.n2

C.2/?+1D.2n~\

3.已知數列｛“〃｝對任意機，滿足且43=8,則0=()

4.在數列｛〃〃｝中，41=1,42=2,旦。”+2=4”+1—4〃(〃￡N),則。2024=()

A.2B.1

C.-1D.-2

5.(多選)符合遞推關系式念=/“1(〃22)的數列可以是()

A.1,2,3,4,…

B.1,V2,2,2V2,…

C.V2,2,2V5,4,

D.0,V2,2,2夜，…

6.(傳統文化)如圖所示，九連環是中國的傳統民間益智玩具.把玩九連環時

按照一定的程序反復操作，可以將九個環全部從框架上解下或者全部套上.解下

或套上一個環算一步，且九連環的解下和套上是一對逆過程，解開九連環共需要

256步.現將第〃個圓環解下最少需要的步數記為z(〃W9,〃6N"),已知山=1,

。2=1,按規則有m=4,—i+3a〃_2+2(〃23),則解下第5個圓環最少需要的步數為

()

A.15B.21

C.27D.31

7.己知數歹的前〃項和為S〃=〃2—5幾若它的第k項滿足3<6/A-<7,則k=

()

A.4或5B.5或6

C.6或7D.7或8

8.在數列｛〃〃｝中，41=1,1=4〃+"+7“；+]),則圓=()

A341n170

A.—B.—

63

C.—D,—

63

9.已知數列｛〃”｝滿足2小+22。2+23。3+…+2"。〃=力.2",則｛49的通項公式為

()

1,n=l,

A.Cln=

,n+1?n>2

nn+l

B.“尸亡

C?(in=n

r(1,n=l,

D.Cln='

-1,ri22

二、填空題

10.已知斐波那契數列｛〃〃｝滿足f/l=L42=1,。〃+2=。“+1+〃〃.若42+〃3+。5

+Q7+49H----F457+059=〃4左0N*),則k=

11.下列給出的圖形中，星星的個數構成一個數列：1,3,6,10,…，則該

數列的一個遞推公式是.

++++++:++…

①②③④

〃￡N*),

12.若數列｛〃〃｝的前n項和為Sn=〃2a(整》2,且m=L則an=

三.解答題

L

13.已知數列｛〃〃｝的首項41=1,以后的各項由公式“I+1=%；(〃￡N*)給出,

Qn+2

試寫出這個數列的前5項.

14.在數列｛“〃｝中，。”=言？

⑴求數列｛〃“｝的第7項；

(2)求證：此數列的各項都在區間(0,1)內；

(3)區間(；，|)內有沒有數列｛加｝中的項？若有，有幾項？

15.數列｛?”｝滿足=1,Cln+14~2,ClnCln+1—Cln=0.

⑴寫出此數列的前5項；

(2)由(1)寫出數列｛而｝的一個通項公式；

(3)實數表是否為這個數列中的一項？若是，應為第幾項?

4.1.2數列的遞推公式及前n項和

一.選擇題

1.已知數列｛〃〃｝的前〃項和為S“=〃2—2〃，則如十久+4等于()

A.12B.15

C.18D.21

B解析：因為數列｛〃”｝的前n項和為Sn=rr—2/2,所以43+44+45=65—S2

=52-2X5-(22-2X2)=15.故選B.

2.己知數列｛〃〃｝的前〃項和為的=序，則〃〃等于()

A.nB.n2

C.2/1+1D.2n~\

D解析：因為S〃=/,所以當〃22時，a〃=S〃-S〃_i=〃2—(九一1)2=2〃-1.

當〃=1時，Si=ai=1也適合上式，所以m=2〃-1.故選D.

3.已知數列｛m｝對任意加，〃右N",滿足Clm+n=Clrn'Cln?且。3=8,則41=()

A.2B.1

C.±2D.-

2

A解析：令m=〃=1,則。2=Qiai=談.

令〃?=1,n=2,則〃3=ars=a；=8,解得〃i=2.故選A.

4.在數列｛“?｝中，ai=l,及=2,且a〃+2=4“+i—4”(〃￡N"),則42024=()

A.2B.1

C.-1D.-2

A解析：由41=1,42=2,且。〃+2=a〃+1—01,可得43=42—41=1,6,4=?3

-ai=-1,45=44-43=-2,46=05-44=-1,47=46-45=1,48=47-46=2,…，

所以｛。〃｝為周期數列，且周期為6,故42024=46x337+2=42=2.

故選A.

5.(多選)符合遞推關系式4〃=或。〃—1(〃22)的數列可以是()

A.1,2,3,4,

B.1,V2,2,2應，…

C.V2,2,2A/2,4,…

D.0,V2,2,242,…

BC解析：對于A,從第2項起，每一項與前一項的差為1,通項公式為

=〃；對于B,C,從第2項起，每一項是前一項的加倍，符合遞推公式。〃=加斯_1；

對于D,不符合遞推公式.故選BC.

6.(傳統文化)如圖所示，九連環是中國的傳統民間益智玩具.把玩九連環時

按照一定的程序反復操作，可以將九個環全部從框架上解下或者全部套上.解下

或套上一個環算一步，且九連環的解下和套上是一對逆過程，解開九連環共需要

256步.現將第〃個圓環解下最少需要的步數記為已知M=1,

。2=1,按規則有小一I+3〃〃_2+2(/?23),則解下第5個圓環最少需要的步數為

()

A.15B.21

C.27D.31

D解析：由題意可知43=42+3。1+2=6,。4=。3+3。2+2=11,45=。4+3。3

+2=31.故選D.

7.已知數列｛〃〃｝的前n項和為S〃=〃2—5兒若它的第k項滿足3<^<7,則k=

()

A.4或5B.5或6

C.6或7D.7或8

B解析：當〃=1時，Si——4,即0=-4;

當〃22時，an=Sn—S"一i=(〃2—5〃)一[(〃-1)2—5(〃-1)]=2〃-6.

當〃=1時，01=2X1—6=—4,上式依然成立，故〃“=2〃一6(〃WN*).

令3<2&—6<7,解得黑攵<上

22

又左UN",所以々-5或攵一6.故選B.

8.在數列｛〃“｝中，0=1,。〃+1=。〃+層+/、,則46=()

n(n+l)

A..3—41Bc.—170

63

「343172

lx?-----L)?--

63

A解析：由題意得—Cln=TT~\~--,

nn+1

22

即〃2_。1=12+]_\a3-a2=2,a6-a5=54-i

ZZo□o

將上面5個式子兩端分別相加得6Z6-6/1=(12+22H------F52)+-0+

->)=55+1—-=—,且41=1,所以“6=

6/66

故選A.

9.已知數列｛〃〃｝滿足20+22。2+23〃3+…+2%“=〃?2〃，則｛〃”｝的通項公式為

1,n=1,

,n+1,B2

1,n=l,

kn—1,幾22

B解析：當〃=1時，有20=1X2]，所以。i=l,

當〃22時，2〃I+2%2+2%3H-----23=眇2”,2m+2%2+2%3H------

=(/?-1)-2N-1,

兩式相減得2%=〃?2〃一(〃-1)2*=(〃+1)2",

此時，。〃=等，a\=\也滿足該式，

所以｛圓)的通項公式為。〃=等.

故選B.

二、填空題

10.已知斐波那契數列｛〃〃｝滿足41=1,42=1,4〃+2=。1+|+4〃.若。2+〃3+。5

+。7+49H-----F457+459=Clk(k￡N*),則左=

60解析：由〃“+，=小+1+〃”，得a>+aa+af+〃7+〃Q+…+公7+〃59=小+小

+。7+。9+…+457+。59=46+。7+49+…+。57+。59=…=。58+。59=。60,因此k=

11.下列給出的圖形中，星星的個數構成一個數列：1,3,6,10,…，則該

數列的一個遞推公式是

+?+++++++

①②③④

an=an-\+n(n^2)解析：結合題圖易知，a=\,。2=3=。1+2,。3=6=。2

+3,44=10=〃3+4,所以+〃(〃22).

12.若數列｛防｝的前n項和為S“=〃2s(心2,L￡N*),且m=l,則an

看解析：已知S尸后〃(心2,，代N*),

2

當〃23時，Sw—S?-1=r^an—(n—1)an-1,即島in—(〃-l)%“_]=斯,進而得(層

-1)2加1.因為〃23,所以(〃+1)。〃=(屋一l)Qn_i]=-^-=R(〃23),

。八一]?1+1

LA.0-n_a3a4a5

ZLq?公=：x|x：x...x*(〃23),因為Sn=

U2。2。3。4

當〃=2時，m+s=442,又。i=l,解得〃2==,所以孕=

於4“〃22,〃WN"),3—

,6(〃》.所以Cln品(〃23).又山=|=*，Q2I=點滿足上式，所

n(n+l)v/

以^,=—^2―.

n(n+l)

三.解答題

13.已知數列｛〃“｝的首項0=1,以后的各項由公式以7=2%(〃￡N*)給出,

即+2

試寫出這個數列的前5項.

解:因為0=1,*=小心)

2

所以C12=2al_2x1

。1+21+23

2x?

—、—1■

22

%=2