高中數學基礎練習題-空間中的平行于垂直綜合（解析版）

專題8：空間中的平行于垂直綜合

題型一：空間中的平行及證明....................................2

題型一：空間中的垂直及證明....................................23

專題8：空間中的平行于垂直綜合

題型一：空間中的平行及證明

1.若〃?，〃是空間兩條不同的直線，夕是空間兩個不同的平面，那么下列命題成立的是（）

A.若/7〃/〃，那么。//尸B.若〃?//a,〃ua,那么〃?〃“

C.若〃?//〃，〃//a,那么〃?//aD.若a///,niua,那么加//〃

【答案】D

【分析】根據面面平行的性質，線面平行的性質和判定定理逐一判斷即可.

【詳解】當4〃初時，夕可以相交，故選項A不正確；

當"〃/a,〃ua時，機,〃可以是異面直線，因此選項B不正確；

當,〃//〃，〃//a時，存在這一情況，所以選項C不正確；

根據面面平行的性質可知選項D正確，

故選：D

2.（多選）下列說法中正確的是（）

A.一個平面內有兩條直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行

B.一個平面內有無數條直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行

C.一個平面內任何直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行

D.一個平面內有兩條相交直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行

【答案】CD

【分析】舉出相交平面的實例說明判斷AB；利用兩個平面平行的定義和判定定理判斷CD作答.

【詳解】一個平面內有兩條直線都與另外一個平面平行，如果這兩條直線是平行的，則這兩個平面可能相

交，

因為兩個相交平面，一個平面內與交線平行的所有直線都平行于另一個平面，A錯誤；

一個平面內有無數條直線都與另外一個平面平行，如果這無數條直線是平行的，則這兩個平面可能相交，

因為兩個相交平面，一個平面內與交線平行的所有直線都平行于另一個平面，B錯誤；

一個平面內任何直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行，由兩個平面平行的定義知，C正確；

一個平面內有兩條相交直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行，由兩個平面平行的判定定理知，

D正確.

故選：CD

3.（多選）如圖，空間四邊形力68中，區”分別是邊16,6c的中點，G”分別在線段。上，且

滿足。G=/tOC,DH—DA,九〃e(O,l),則卜列說法止確的是()

2

B.當4=〃時，四邊形EFG”是梯形

C.當2H〃時，四邊形EFG”是空間四邊形

D.當義工〃時，直線￡〃,尸。80相交于一點

【答案】BC

【分析】利用三角形的中位線和相似比結合平行四邊形和梯形的判定判斷AB,利用異面直線的概念判斷

C,假設直線相交于一點，利用線面平行的性質定理判斷D.

【詳解】選項A：在“8c中，因為民尸分別是邊48,8C的中點，所以且E尸=；4C,

當/="=；時，”,G分別為04,0。中點，所以在AD4c中可得HG〃力。且HG=g4C,

所以EF〃HG且EF=HG,

所以四邊形EFG"是平行四邊形，

又心〃分別為48,4。中點，所以EH//BD,又EFHAC,

當4Q_L4C時有E〃_L￡7L平行四邊形￡7PH為矩形，

所以四邊形E~GH不一定是矩形，A錯誤；

選項B：當4=〃==時，粵=粵=之，所以HG=：AC,且HG〃/1C,

則由A可知Eb〃〃G且斯工“G,所以四邊形是梯形，B正確；

選項C：當見工〃時，E廠不平行于又因為“Gu平面力。C,七廠吠平面4OC,

所以〃G,M是異面直線，四邊形MG”是空間四邊形，C正確；

選項D：不妨設直線E〃，bG,8。相交于一點。，

因為E/〃4C,/ICu平面4OC,Ma平面力。C,所以E尸”平面4。。，

又因為直線E","G相交于點O,所以EFu平面EHG/，

因為平面EZ/GbPl平面4OC="G,所以EF〃HG〃AC,

所以可得4=〃，矛盾，D錯誤；

故選：BC

4.已知正方體48CO-44GA的棱長為3,點加滿足西=3瓦7.若在正方形48cA內有一動點P滿

足3尸//平面力則動點。的軌跡長為（）

A.3B.癡C.V13D.3亞

【答案】C

【分析】在棱4。,上分別取點E1,使得4E=；4R,4尸力，連接EF,BC?BF，3E,DF、BM,

JJ

證明平面8目41/"平面小皿即可得點P的軌跡為線段GE,再計算長度即可.

【詳解】解：如圖，在棱4。，/4上分別取點E]，使得4E=：4A，4尸=!//,連接

EF,BC[,BF,C\E,D\F,BM,

因為4E=,A}F=^A}A,

所以，EF//ADi,

因為所（Z平面4Mq,平面/fMg,

所以“7/平面4%A，

因為4"=』44，CC^=3CA7,

3

所以，AF=C]M=2tCW=4/=1,

因為AB=J%NBAF=NMCRAR=BC,/BCM=/FAR,

所以，AABFACRM,ABCMmAD&F,

所以8/=RM，2F=8W

所以，四邊形即?A"是平行四邊形，

所以8b//烏"，

因為8尸（Z平面AMR,D、Mu平面AMD1,

所以，〃平面4HA，

因為BFcEF=F,BF,EFu平面BFRM,

所以平面BFD、M//平面AMD、,

因為平面BFD.Mfl平面44CQ=C,E,

所以，在正方形44GA內有一動點Q滿足8P//平面時，點尸的軌跡為線段GE,

因為＜士=J22+3?=JI5

所以，動點P的軌跡長為行

故選：C

5.如圖所示，在長方體力8CO-48cA中，點E是棱CG上的一個動點，若平面8E”與棱44交于點尸,

給出下列命題:

①四棱錐4-BEZ）廠的體積恒為定值;

②四邊形8KA/是平行四邊形;

③當截面四邊形BED7的周氏取得最小值時，滿足條件的點E至少有兩個;

④直線。灑與直線OC交于點尸，直線。尸與直線D4交于點。，則P、B、。三點共線.

其中真命題是（）

A.??@D.②③④C.???D.???

【答案】C

【分析】利用割補法判斷四棱錐4-8磯）尸的體積是否為定值；利用面面平行性質定理證明四邊形8EA產

是平行四邊形；利用側面展開圖求得截面四邊形BEO7的周長取得最小值時，滿足條件的點￡個數；利

用兩平面有且僅有1條通過其公共點的直線證明P、8、。三點共線.

【詳解】①四棱錐4-8%）廠的體積等于三棱錐E-84A的體積

與三棱錐"的體積之和，

又長方體49CQ-44GA中，CCJ/AA6平面BBR,

則點E,F到平面BBQ,的距離為定值，

則四棱錐4-8切尸的體積恒為定值.判斷正確；

②由平面BED,與棱AAX交于點F,

可得平面BED/c平面=BF,平面BED.Fn平面CCRD=DiE,

又平面力4B\B〃平面CC；2。，則BFHD\E；

又平面BED、Fc平面BCC}B、=BE,平面BED.Fc平面ADD.Ay=D{Ft

又平面BCC}4〃平面ADD.A,,則BEHDf,

又BFHD\E,四邊形8瓦）廠是平行四邊形.判斷正確；

③由②可得，截面四邊形8砌廠是平行四邊形.

當BE+3的值最小時，四邊形BERF的周長取得最小值.

將測面朋5CC與側面CG。。展開在同一平面，

當且僅當E為直線BD、與CG交點時BE+ED,的值最小，

則當截面四邊形4EO產的周長取得最小值時，滿足條件的點E僅有1個.判斷錯誤；

④直線與直線。C交于點直線。尸與直線。力交于點

則〃、I）、2三點均為平面4。尸與平面X5CO的公共點，

由平面與平面有且僅有一條交線可得2、B、。三點共線.判斷正確.

故選：C

6.（多選）如圖，在棱長為2的正方體力中，點P在線段8G上運動，則下列判斷中正確的

A.42//平面力C，

B.三棱錐4PA的體積不變

C.以。為球心，石為半徑的球面與側面的交線長為兀

D.異面直線4P與＜2所成的角的范圍是

JJ

【答案】ABD

【分析】通過證明平面44G〃平面力C",即可得出A項；

4

根據4?//平面4CR,可推出求出心」a=］即可得出B項；

由己知可得交線即以C為頂點，1為半徑的圓與側面8片。。的交線，取8。、CG中點為E、F,求出扇

形的弧長即可得出結果，判斷C項;

由BC.HAD,,可知異面直線4P與力。所成的角即等于直線吊尸與8G所成的角N4PB或其補角卬4.

根據圖象，即可得出點尸為8G中點以及線段8G端點時，角最大或最小，即可求出結果.

【詳解】

對于A項，如圖，連結4比4G?根據正方體的性質可知，且44=CG，所以四邊形力￡。力是平

行四邊形，所以AC//A,C,,乂4a0平面ACD、,ACu平面ACD,，所以力《〃平面力CR.同理可得BCJ/AD,,

8C”平面彳因為4Gu平面4/G，〃Gu平面48G，4Gc8G=G，所以平面力乃6“平面力C。.

又4Pu平面4〃G，所以4尸〃平面4c2,故A項正確；

對于B項，由A知40//平面/C2,所以點4到平面力CR的距離即等于點P到平面4c2的距離，所以

114

Vp-ACD、?由正方體的性質可得，CO_L平面所以七=5X3x44x44XC7)=《，又

44

〃-“s=^C-AAfD,二y?所以是個定值，故B項正確；

對于C項，由已知可得，點。到側面88CC的距離等于a)=2.設球被側面88CC截得圓的半徑為L球

的半徑R=X/5,則/?=JR2一8'].所以以。為頂點,“為半徑的球面與側面8片。。的交線即以C為

頂點，1為半徑的圓與側面的交線，分別取8C、CG中點為E、F,則有C￡=Cb=l=r,所以

交線即NECF所對的圓弧/的長，/ECF=g所以/==故C項不正確；

對于D項，如圖，由已知可得48=8G=4G=2后，所以N4BP《又BC'/Aj,所以異面直線40與

物所成的角即等于直線4P與8G所成的角4PB或其補角ZJ.PC,.顯然當點尸為g中點時，

“PB=NAPCi=W，此時最大；當點P在4點時，N4PG=g,當點尸在G點時，NA,PB=g此時

—一

最小.所以異面直線4尸與力D所成的角的范圍是p-|，故D項正確.

故選：ABD.

7.點P是648CZ)所在平面外一點，M是尸。中點，在。M上任取點G,過G和力尸作平面交平面40M于

GH.證明：AP//GH.

【答案】證明見解析

【解析】證明：連結/C,交4。于點0,連結。必.

因為四邊形/灰刀為平行四邊形，所以。是4c的中點.

又M是尸C中點，所以。M//AP.

因為OMu平面8。“，力平面8DW,

所以力尸〃平面

又平面G4PCI平面BDM=GH,APu平面GAP,

所以AP〃GH.

8.如圖，在四棱錐P■被力中，就是以上的點，△48。為正三角形，CB=CD,"18。.若NBCZ)=120。,

DM//平面BPC,求證：點洶為線段總的中點.

【答案】證明見解析

【解析】取"的中點M連結郵和ZW,

因為N8CQ=120。，且8C=OC,所以/C8Q=30。,

又△48。為正三角形，所以/45C=90。，

即AB1BC.

?；△4BD為正三角形,凡是"的中點，

DN1AB,

又DN,BG"共面，/.DNHCB.

■:DN(z平面BPC,C8u平面即G

：?DN//平面BPC.

?；DM"平面BPC,DN,DMu平面刎

:.平面DMN//平面BPC.

?：MNu平面。硼:?MN//￥面BPC.

?；MNu平面P4B,平面P4Bc平面BPHB,

：.MN//PB.

??,”是"的中點，??."為線段修的中點.

9.如圖，在三棱柱力■-力中，"為例的中點，求證：8&〃平面彬

【答案】證明見解析

【解析】連接4C交4c于點。，連接掰9,

???0為4G中點，“為前中點，

，掰9為的中位線，:.MOHBC1,

又???"=平面刈見，砌(Z平面也46

???明〃平面MA,C.

10.如圖，在四棱錐產T8Q?中，底面仍必為梯形，BC//AD,夕為側棱外的中點，且施T,/1ZM,求證：四

〃平面PAB.

P

BC

【答案】見解析

【解析】證明：取血的中點0,連接gOE,如圖.

因為￡為側棱勿的中點，

所以OE〃PA,咽平面P4B,HU平面448

所以OE〃平面PAR

因為802,AD=4A0=rAD^2,BPA0=BC旦BC“AD,

tzt

所以四邊形四必為平行四邊形，所以0C〃AB.

又皈平面PAB,ABU平面PAB,所以0C〃平面PAB.

囚為OCC0E=0,林：平面0CE,況U平面OCE,

所以平面吸〃平面鹿

因為函=平面0CE,

所以CE〃平面PAR

11.正三棱柱48C-44G的底面正三角形的邊長為2,。為AC的中點，/4=3.證明：48//平面4)G.

【答案】證明見解析

【解析】連接4。，設4CCMG=E,連接

???4CG4是正三棱柱的側面，

；.4CCM為矩形，

???石是4。的中點，

???DE是&C4B的中位線,

；.DE//A}Bt

又48a平面力。G，OEU平面NOG，

???力乃//平面力z)G.

12.如圖，在長方體力8CO-44GA中，底面48CZ)是邊長為2的正方形，44=4,E、/分別為48,Afi

的中點.證明：〃平面

【解析】設4Qc/lA=G,連接G/，

由于G,廠分別是4。4c的中點，所以GF"AB,GF=gAB,

由于4E,

所以GF〃AE,GF=AE,所以四邊形力MG是平行四邊形，

所以EF//AG,

由于平面44Q。，彳6(=平面/14。。，

所以石尸〃平面

13.如圖，在三棱柱43c-4瓦G中，2A分別為棱力C4G的中點.求證：平面力用2//平面8CQ.

【答案】證明見解析

【解析】證明：連接8c交4G于點E,連接OE.

由三棱柱48C-44G的性質可知

四邊形BCC他,4CCM均為平行四邊形，

??.E為8。的中點.

?.?。為4c的中點，.??QE為△480的中位線，.〃名.

又「DE匚平面BCQ,,伍＜z平面"CQ,AB}//平面占G。.

在平行四邊形4CC/中，2A分別為棱AC,4G的中點，

則四邊形4OG。為平行四邊形，，力A〃QC1.

又,/DC'u平面BQ力。＜z平面BCRg//平面BCQ.

AB】cAR=A,4B[,4D]u平面4BN,

二.平面/8Q"/平面8CQ.

14.如圖：已知三棱柱/i〃c-44G中，〃為回邊上一點，4為8c中點，且/田〃平面力OR.證明：平

面48。〃平面

4DCi

B

【答案】證明見解析

【解析】連接4c與4G交于點。，連接

?.?48〃平面力Z)G，/fu平面48C,平面48Cc平面zr>a=。。,

AA.B//OD,又。為/G中點，，。為8c中點，

?:BDgD、,且&)=CQ~

???四邊形G。田。為平行四邊形，???C.DI/BD..

又82a平面/QG，COU平面力OG，；.BDJ/平面<DG.

又44〃平面力。0,4BcB?=B,4B,BD】u平面

所以平面4瓦年/平面4DG.

15.如圖，在正方體力8C。—44G僅中，石為84中點，8g與平面4。石交于點戶.

(D求證:8G〃面皿E；

(2)求證：尸為8c的中點.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】(1)因為48與GA平行且相等，所以48GA是平行四邊形，所以力OJ/8G，

又AD、u平面ADiE,BC}(Z平面AD}E,

所以AC//平面

(2)由(1)3CJ/平面"。潛，〃Qu平面8。。百，平面4。田0平面=￡7L

所以BCJJEF,又E是中點，

所以廠是用G中點.

16.如圖，在四棱錐尸-力6。〃中，底面是菱形，MM,。分別為陽，PD,尸。的中點.

(1)求證：QV〃平面PAD：

(2)記平面與底面力版的交線為1,試判斷直線/與平面〃劭的位置關系，并證明.

【答案】(1)證明見解析：(2)1〃平面物證明見解析

【解析】(1)證明：???底面480是菱形，N,M,。分別為如，PD,R7的中點.

:.QN〃BC,BC//AD,：.QN//AD,

「循平面用。，初U平面總

:、QNH平幅PAIh

(2)直線】與平面W平行，證明如下：

???〃，"分別為依，出的中點，

:.MN//BD,

":BDC平面ABCD,渺/0平面ABCD,

???松〃平面ABCD,

??,平面6W與底面4瓦力的交線為1,

???由線面平行的性質得朋V〃l,

,:MN〃BD,：.BD//lt

???。￡/,。史面刊遼)，且切U平面電2I(Z平面PBD,

；?"/平面PBD.

17.如圖，某組合體是由正方體與正四棱錐夕組成，且4廣告前.

(1)若該組合體的表面積為36(5+五),求其體積；

(2)證明：48〃平面。/C

【答案】(1)252；(2)證明見解析

【解析】(1)連接4G、8a交于點O,連接PO,由正棱錐的性質可知尸。工平面44GA，

設46=2。，則尸4=石〃，AiO=-^A]Ci=\f2a,：.PO=y/PA^-A}O'=a,

取8￡的中點E,連接尸E,則PE_L4G，且PE=《P氏一&E?

所以，幾何體的表面積為5x4/+4x；x2。x、以a=（20+碼/=345嗎,

可得a=3,

,?4

所以，該幾何體的體積為（2〃）+3x442x4=8x27+3x33=252

(2)證明：因為5C//MA，且8c=

所以四邊形48cA是平行四邊形，

則44//QC，48a平面。/C,"Cu平面OJC,

所以48//平面OJC

18.如圖，在四棱錐P-4BCQ中，底面48CQ是菱形，N,必，。分別為P&PD,PC的中點.

(1)求證：QN〃平面為D；

(2)記平面CMN與底面W8CO的交線為/,試判斷直線/與平面尸8。的位置關系，并證明.

【答案】(1)證明見解析

(2)/〃平面尸80,證明見解析

【分析】(1)推導出QV〃/1O,由此能證明QV〃平面以O；

(2)連接BD,則」WV〃BO,從而MN〃平面力SCO,由線面平行的性質得MN〃/,從而BD〃I,由此

能證明/〃平面PBD.

【詳解】(1)證明；??,底面是菱形，N,M,2分別為P",PDtFC的中點.

:?QN〃BC,BC//AD,：.QN//ADt

?.?QNU平面以O,4)U平面"O,

???0V〃平面PADi

(2)直線/與平面080平行，證明如下：

連接40,?；M,N分別為尸氏P。的中點，

:.MN"BD,

TBOU平面/BCD,WNS平面44。，

?；WV〃平面ABCDf

;平面CMN與底面ABCD的交線為/,

???由線面平行的性質得MN//b

?:MN〃BD,：.BD//lt

*：Cel,CeBD,且8DU平面尸8。，/0平面尸80,

，/〃平面PBD.

19,如圖所求，四棱錐尸-48CQ,底面/4CO為平行四邊形，尸為尸力的中點，E為PB中點.

(1)求證：PC//平面BFD；

PM

(2)已知M點在PD上滿足EC//平面BFM,求—的值.

MD

【答案】(1)證明見解析

(2)2

【分析】(1)連結/C交40于。，連結。尸，通過證明PC〃。品可證PC〃平面4五。；

(2)如圖連結廠M交力。延長線于G,連結BG交CD于N,連結后b，FN,PG,EN.

由成;〃平面8QW,可得Z為。中點，后通過證明EV〃產O/BG,可得AFMDYGMP,繼而可得答案.

【詳解】(1)證明：連結力。交8。于。，連結。尸，

因在△P/1C中，尸為P4中點，。為力C中點，則PC〃尸0.

又PC(Z平面BFQ,R?u平面8尸Q,故PC//平面BFD；

(2)如圖連結交4)延長線于G,連結BG交CD于N,

連結E尸，FN,PG,EN.

因EF〃CN,則民EMC四點共面.

又EC//平面BFM,平面B尸Me平面EFNC=BV,

則EC〃bN,四邊形E/WC為平行四邊形，可得EF=CN=gcDnN為C。中點.

則48CN*GDN,N為BG中點.

即EN為△P8G中位線，則EN"PG,EN=-PG.

2

又EF=DN,EFHDN,則四邊形EFDN為平行四邊形，EN//FD.

從而FD//PGAFMD?AGMP=>—=—=—=2.

tFDEN

20.如圖，在四棱錐尸-/HCO中，底面48C。為平行四邊形，￡為棱尸。的中點，平面相E與棱夕。交于點

F.

P

（l）求證："http://平面BDE；

（2）求證：尸為PO的中點；

【答案】⑴詳見解析；（2）詳見解析；

【解析】（1）證明：如圖所示：

連接”交切于點G,連接曲，

因為4奧為平行四邊形，

所以G為4C的中點，又E為PC的中點,

所以GE//PA,又PAQ平面BDE,GEu平面BDE,

所以P4//平面3DE；

（2）因為底面48co為平行四邊形，

所以AB//CD,

又ABu平面ABEF,CD2平面板"

所以C。//平面又平面/3E/c平面=

所以CD//EF,

又因為￡為尸。的中點，

所以尸為。。的中點.

21.如圖：在正方體力BCD-48cA中川？=2,M為的中點.

（I）求三棱錐/-44C的體積；

（2）求證：BDJI平面AMC：

（3）若N為CC；的中點，求證：平面4WC//平面8N〃.

【答案】（1）fl（2）證明見解析；（3）證明見解析

1112

【解析】(1)顯然MD1平面ABC,于是V_=-xMDxS^=-xlx-x2x2=-.

SiABCDBCJ/rD

(2)設力cn〃o=o,連接OM,

V在正方體ABCDRCD、中，四邊形力4CQ是正方形，

.?.o是8。中點，

?.?〃是的中點，，。“〃瓦兒

,/BD、<z平面AMC.OMu平面4MC,

BD、H平面4HC；

（3）;N為CG的中點，M為的中點，

:.CN〃D\M,:.CN=D\M,

二.四邊形CND眼為平行四邊形，

又/MCu平面AMC；；DNQ平面4MC,/.D、NH平面AMC,

由（2）知BD"/平面4MC；；B'C'N=A，BD】u平面8ND1,RNu平面8ND1,

平面AMCII平面BND、.

22.如圖，在棱長為。的正方體4%）一力乃6。中，P,〃分別是被〃％44的中點.

AR

(I)若平面PQC與直線44交于火點，求:7的值;

（2）若”為棱CG上一點且CM=4CG，若8M〃平面PQC,求義的值.

【答案】（1）（2）1

34

【解析】（1）如圖所示：

因為平面ABB.AJ!平面CQQG,且平面力班?/。平面PQC=RQ,

平面CDDGfl平面PQC=PC,

所以A0/PC,根據空間等角定理可知，RARQ5DPC，

則理=超，

DPDC

又DC=a,DP=—a,AQ=-a,

22

1

則罕=2-,即<R=；a,A#=；a,所以霹=；.

a444禺3

2

（2）取網的中點E則火為熊的中點，連接豳則BE//R。,

又RQu平面尸C0,8E（z平面尸C。，則8E〃平面PC0.

又8例〃平面PC。，BM,BEu平面BME且BMcBE=B,所以平面8WE〃平面PC'0,

設。"c平面后W￡=/，連接E凡尸加，

由平面BM￡7/平面尸C。，平面6A/En平面COAG=EW,平面PC0CI平面CORG=PC,

所以FMHPC,又CMMPF,則四邊形CPEW為平行四邊形，

同理四邊形PREF也是平四邊形，

所以CM=PF=ER=：a,所以

4CC,a4

23.已知點尸為正方形48co所在平面外一點，PA=PB=PC=PD=AB=13,M、N分別為P4、BD上

（1）求證：MN”平面PBC；

（2）求線段MN的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）MN=7

【解析】（1）證明：過M作48的平行線交所于E,過N作CQ的平行線交4C于尸，連接E/L

因為PM:M4=8N:NQ=5:8,所以，ME:AB=NF:CD=5:13,

因為四邊形力AC。是正方形，貝!）力〃=。。，所以，ME=NF,

因為ME//AB,NF//CD,ABHCD,所以，MEHNF,

所以，四邊形是平行四邊形，則,

因為MV。平面尸2C,痔u平面P4C,所以，MN〃平面PBC.

（2）過E作PC的平行線交8C于G,

因為PM:MA=BN:ND=5:8,P8=8C=13,且ME//AB,NF"CD,

PFPMS

所以，,=詈=］，則0E=5,同理可得刃"=5,

CGPE5

因為〃G〃PC,所以,貝|JCG=5,

所以，BG=BC-CG=\3-5=8,貝！JFG=尸=3,

由箏嘿4且PC="可得EG=8,

因為PB=PC=BC=13,貝!)APBC為等邊三角形，貝」I/EG/7=NPC8=60°,

由余弦定理得EUnEGZ+PGZ-^G/GcosNEG/^S+3-Zxgxbx-L49,

2

所以，E尸=7,故MN=EF=1.

24.在如圖所示的多面體中，四連形48CO是平行四邊形，四邊形8。跖是矩形，FB工平面月BCD.

（1）求證：4f〃平面3/C；

（2）若力。=。E=1,4B=2,DB=4i,求三棱錐尸—4EC的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）也

3

【解析】（1）??,四邊形力BCO是平行四邊形，工力。〃〃。，

<四邊形BDEF是矩形，JDE〃BF,

8CQ平面8C尸，.4O（z平面8c產，二8C//平面8CF,同理。￡7/平面8c產,

力。￡平面力。后，平面力OE,4DcDE=D,

：.平面ADE〃平面BCF,

,?,力后會平面力0口工力七”平面^。7

（2）設力CnBO=O,則O為/1C中點，連結OE,0F,

則VF-AEC=VC-AEF=2%T卬=2'OEF，

在△44。中，AD=\t49=2,BD=0易知力外=力￡>2+4。2,:?ADJ.BD,

???尸81平面48cZ),FB||ED,J￡。_L平面4?CO,

又力。拿平面49c0,???EO14。，又BDcDE=D,BD,DE限平面BDEF,

J4D工平面BDEF,

故力。為力到平面BDEF的距離，

S八0EF~TBDEF-—XBDxDE——xlx>/3=——

2223

***VA-OEF=l^EFAD=J*y-X1=y-'

332o

???三棱錐F-AEC的體積VFAEC=2匕OFF=2x3=正.

r-/ICCA-kJt.r63

25.如圖，在正方體力8C。-44cA中，S是鳥。的中點，E,EG分別是3C,OC,SC的中點，求證:

(1)EG//平面BDD圈;

（2）平面EFG//平面

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】（1）如圖，連接SB,???E,G分別是8cse的中點，

EG//SB.

又〈SB匚平面BDDM，EG<Z平面3。。心，

?,?直線以7//平面8。。￡.

（2）連接幼，:EG分別是OC,SC的中點，

???FGf/SD.又SDq平面BDD.B.,FGa平面BDD.B,,

???一G〃平面5。。耳,由（1）知，EG"平面BDD畫,

且EGq平面E產G,尸Gq平面E6G,EGCFG二G,

，平面EFG〃平面BDDXB}.

26.如圖，在四棱柱中，點"是線段瓦。上的一個動點，E,〃分別是比；6M的中點.

（1）求證：EF〃平面BDD耳;

（2）設G為棱刃上的中點，求證：平面6￡尸〃平面％以片.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】（1）證明：在四棱柱松笫-42中，連接圾如圖,

則有EF〃BM,

又EFQ平面BDDB，BMu平面則比,

所以跖〃平面皮叫瓦?

（2）證明：取切的中點G,連接EG,FG,如圖，

而￡是勿的中點，

于是得EG〃做

而EG①平面及肛為BDu平面BDDB],

從而得比〃平面M

由（1）知EF〃平面BDD即

EK}EG=E,且跖EGu平面面R

因此，平面GEF〃平面BDD]B〃

所以當G是小的中點時，平面呼〃平面應2%

27.如圖，己知在四棱錐尸-,486中，底面45C。是平行四邊形，M為尸。的中點，在。〃上任取一點G,

過G和/P作平面PAHG交平面DMB于GH.

（1）求證：BC〃平面PAD；

（2）求證：IP〃平面BOM；

（3）求證：APHGH.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析

【解析】（1）證明：因為四邊形488為平行四邊形，則8c〃4D,

???8。。平面尸/。，力Ou平面尸40,因此，B。/平面P4D.

（2）證明：連接力C交3。于點N,連接

因為四邊形48co為平行四邊形，ACcBD=N,

則N為力C的中點，

又因為M為〃C的中點，則21//MV,

?.?4尸.平面80.",MNu平面BDM,

/.APH平面BDM.

（3）證明：?.?力尸〃平面8QM,4Pu平面力PGH,平面/!PG〃c平

面BDM=GH,

APHGH.

28.如圖，已知正方體/1比7??力'后E,/分別為/〃，/山的中點，點G在上底面INC/（含邊界）

卜運動.請補充一個恰當條件,當點。滿足—條件時\有/T〃平而研7.

【答案】G在BC中點與CD中點連線上.

【解析】取胡，BC,CD,M的中點分別為Q,M,N,P,

連接即,BD,FQ,QM,MN,NP,PE,PQ

因為屬尸分別為包四的中點，所以EF〃BD.

同理可得極V〃8Z7,

因為明〃㈤，BB=DD,所以四邊形胡。。是平行四邊形，可得BD〃即.

所以EF〃MN,所以瓦共面，同理可證明用〃四即RE,Q,〃共面.

因為胡，血的中點分別為。，P,所以〃尸。所以EFI/PQ

所以E,F,Q,尸共面，所以區F,Q,M,N,尸共面，

因為BC〃。機BCQ平面EFQMNP,0/U面EFQMNP,

所以比*“平面EFQ出R

若BC〃平面EFG,則點G在平面夕碰卬內，

又因為點G在上底面140〃（含邊界），

所以點G在面EFQMNP與面ABCD的交線上，

所以點G在線段也V上，即點G在耳C中點與中點連線上

題型二：空間中的垂直及證明

1.如圖所示，長方體44GA中，力4=44=2,力。=1,o是4。的中點，直線4c交平面力42

于點則下列結論錯誤的是（）

BA

A.A,M,。三點共線

B.的長度為1

C.直線力。與平面4CGA所成角的正切值為正

4

D.△4MO的面積為好

6

【答案】C

【分析】利用公理3證明三點共線即可判斷A,利用長方體的性質以及中位線定理，可判斷B,利用線面

角的定義，根據長方體的幾何性質，結合三角函數定義，可判斷C,利用三角形面積轉化求解，可判斷

D.

【詳解】

對于A,連結4G,4C,則4GlMc,.?.4C，ac四點共面，

二.4Cu平面力CC/i，vA/€AtC,Me平面力CG4,

又Mw平面：.M在平面ACC{At與平面AB}Dl的交線上,

同理兒。也在平面ACC.A,與平面ABR的交線上.

???.4,",。三點共線，故A正確：

對于B,設直線4c與平面8CQ的交點為N,

二,ADJ/BC、,BQu平面C[BD,/"二平面弓鳥。，NR〃平面RBO,

v3,0,||BD,BDu平面C/D,8a<z平面C/。，，4。〃平面C/。，

又/1￡>]C4Q=R,/Ru平面力BQ,BQ】u平面力BQi，

二.平面力8Q〃平面Ga）,

又平面平面4CG4=0M,平面C田。c平面4CG4=GN,

:.0M//C{Nt

???0為4c中點，.??〃為4N中點，同理可得N為CM的中點，

力也="4c=1,故B正確；

對于C,取于《中點E,連接彳及OE,???0EIIG2，平面力。24，

則NO4E即為直線力O與平面4）A4所成角，又平面力。A4〃平面8CC圈，

故ZOAE即為直線力。與平面8CC￡所成角，

5LOE=-AB=\,AE=6+//j=,

tan^OAE=—=冬叵，故C錯誤；

AE17

對于D,.??4O=：4G，4M=14。，

c—A.MxAOxsinZ.MAO...

,XoM2111

5MCC,34Gx4cxsinNC4G326

1,S,o.f=—Sjcc=—x—xA.C.xCC.=—x—xyjsx2=■>故D正確.

Maw6a4CC,62111626

故選：C

2.（多選）已知正方體力5CQ-4MG。，E,尸分別為48,4c的中點，則（）

A.ACIB^B.AiFlABlC.BDJ平面/EFD.。尸〃平面耳。小

【答案】AB

【分析】根據正方體的性質，利用線線平行判斷A,由線面垂直判斷B,根據垂線性質判斷C,由線線平

行及線面相交判斷D.

【詳解】正方體4BCD-4BCQ,如圖,

由國知，B'D'HBD,而ACJ.BD,所以4C14A，故A正確：

因為FB1平面A.ABB,,力4u平面4/BB],則用144，

又4〃_L44，A&CBF=B,4民8"u平面4BF,所以44_L平面49"

又4/匚平面49"所以4/_144，故B正確；

因為_1_面