2025-2026學年廣東省深圳市某中學高二（上）期中數學試卷（含答案）

2025?2026學年廣東省深圳市翠園中學高二（±）期中數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.(5分)已知集合。="624<9},集合4={-2,2},則CM=（

A.)-1,(),1}B.{-I,1}C.[-1,1]D.(-1,1)

2.(5分）己知點4(1,1),E(5,3),則以線段46為直徑的圓的標準方程為（）

A.(x-2)2+(廣3)2=5B.(x-2)2+(y-3)2=1

C.(x-3)2+(y-2)2=5D.(x-3)2+(y-2)2=1

3.（5分）已知空間向量之=（1,n,2），b=（-2>1,2），若2a-b與b垂直，則|aI等于（）

A.殳巨C.返

22。?等

4.(5分)已知點尸（1,1）,直線/：y=去+1（蛇R）,則點尸到直線/的距離的取值范圍是（）

A.[0,1]B.（0,1]

C[。，I）D.[0,1）U（p1]

5.（5分）暨陽分校環境優美，依山傍水，綠樹成蔭.某日，小明飯后散步至池塘邊，恰好正以在池塘中

看到太陽的倒影，即入射光線經池塘水面反射后，反射光線經過小明眼睛.建立適當坐標系后，已知入

射光線上有一點力（2,4）,經直線x+y=0反射后經過點8（4,2）,則入射光線所在直線方程為（）

A.x-2y=0B.x+2v=0C.2x+y=0D.2x-y=Q

6.（5分）若。為橢圓。：￥4=1上任意一點，Q,&為橢圓0的左右焦點，G為圓（x-5）

2+（y-2）2=5上任意一點,則|OG|-尸]|的最小值為（）

A.V5B.2-V5C.2-V6D.V5-4

7.（5分）如圖，在四棱錐尸一4BCQ中，頂點P在底面的投影。恰為正方形44CO的中心且卷地，設

點、M、N分別為線段P。、P。上的動點，已知當4V+MN取得最小值時，動點M恰為尸。的中點，則

該四棱錐的外接球的表面積為（）

第1頁（共19頁）

p

「25五

234

8.(5分)已知圓c].(x+1)6+y2=16,圓，2：(x-1)?+y2=r2(0<r<2>動圓M與圓Ci，

外，則」-4^工的

圓Q都相切，若動圓圓心”的軌跡是兩個橢圓，且這兩個橢圓的離心率分別為的,

ele2

值為（）

A.2B.4C.6D.8

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

（多選）9.（6分）下列說法正確的是（）

A.直線mx-y+1?〃?=0必過定點（1,1）

B.直線y=3x-2在y軸上的截距是?2

C.過點尸（1,2）且在x,y軸截距相等的直線方程為x+y?3=0

D.已知直線3x+4y-1=（）與直線6x+my-12=0平行，則平行線間的距離是1

（多選）10.（6分）如圖，在平行六面體Z8C。■小81Gol中，以頂點4為端點的三條棱長都是1,且N

DAB=ZDAA\=ZBAA[=60^,則下列說法中正確的有（）

A.AC-LBD^

B?BD]S

C.8。_1平面力。。]

D.直線85與力。所成角的余弦值為近

第2頁（共19頁）

（多選）11.（6分）已知在△48。中，內角4B,。的對邊分別為mb,c,外接圓半徑為5,且滿足

4sinJ+3cos（B+C）+3cos（B-C）=8,則下列結論正確的是（）

A.sinA二生B.△XBC是銳角三角形

5

C.b=2>/5D.△48C的面積為10

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）已知力（1,1,0）,B（3,5,6）,C（6,“，b）三點共線，貝Ua乜=.

13.（5分）已知直線/[：ar+yH=0與直線6：（a?1）x?@+2=0垂直，則實數a的值為.

14.（5分）規定：若函數為的圖象與函數處的圖象有三個不同的公共點，則稱這兩個函數互為“兄弟函

數”，其公共點稱為“兄弟點”若函數刈=|入一利（〃怎R）與互為“兄弟函數”，三個“兄弟點”

2x

的橫坐標分別為X\,X2?X3，且X]VX2VX3,若存在X\,X2?X3使得不等式

Xlk2-（3xi+x2+x3）k+3xG0成立，則實數A,的取值范圍為-------------

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）在△48。中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且2bcosC=2aW^a

（1）求B：

（2）若c=2V2,D為/c的中點，求BD.

16,（15分）在平面直角坐標系中，己知力（（），5）,8（1,-2）,C（0,-3）,。（-3,-4）.

（1）證明：A,B,C,Q四點共圓：

（2）過點P（2,-1）作（1）中圓的切線，求切線方程；

（3）坐標原點。，點E（3,。），請問（1）中圓上是否存在點P滿足|PE|=2|尸0]?若存在，求出。的

坐標；若不存在，請說明理由.

17.（15分）某濱海城市沙灘風景秀麗，夏日美麗的海景和清涼的海水吸引了不少前來游玩的旅客.某飲

品店通過公開競標的方式獲得實現制飲品的業務.為此先根據前一年沙灘開放的16（）天的連入沙灘的人

數做前期的市場調杳，來模擬飲品店開賣之后的利潤情況.考慮沙灘承受能力有限，超過1.4萬人即停

止預約，以下表格是160天內進入沙灘的每日人數的頻數分布表.

人數(萬)[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)[0.6,0.8)[0.8,1.0)[1.0,1.2)[1.2,1.4]

頻數(天)8816242432

（1）繪制160天內進入沙灘的每日人數的頻率分布直方圖，并求。和這組數據的65%分位數;

第3頁（共19頁）

?蟀

2.00...

1.75

1.50................r■■■

1.25

1.00

0.75................

0.50____________......_________人數

0.25■————（萬）

()020.40.60.81.01.21/

（2）據統計，每10個進入沙灘的游客當中平均有1人會購買飲品，X（單位：個）為該沙灘的人數

（X為10的倍數，如有8006人，則X取8000）.每杯飲品的售價為15元，成本為5元，當日未出售

飲品當垃圾處理.若該店每日準備1000杯飲品，記丫為該店每日的利潤（單位：元），求y和X的函

數關系式.以頻率估計概率，求該店在160天的沙灘開放日中利潤不低于7000元的概率.

18.（17分）如圖，在四棱錐P-48CO中，底面48CZ）,BC=CD=2,AC=4,ZACB=ZACD=

60°.

（1）求證：平面P4C_L平面P/18：

（2）若尸為尸C的中點，RAF±PB；

（/）求證：四棱錐2-448的各個頂點都在一個球的球面上，并求該球的半徑;

（Ji）求二面角片-/F-￡）的正弦值.

19.（17分）（I）已知：如圖1,兩同心圓：./+/=3和/+爐=4,R為大圓上一動點，連結OR（O為坐

標原點）交小圓于點K,過點/?作x軸垂線RH（垂足為H），再過點K作直線的垂線K0,垂足為

Q.當點R在大圓上運動時，求證：垂足。的軌跡是橢圓，并求出橢圓。的軌跡方程.

（2）把底面為橢圓且母線與底面垂直的柱體稱為“橢圓柱”.如圖2,是以橢圓。為底面的“橢圓柱”,

片，&為下底面橢圓的左右焦點，AA'=4,P為BB'上的中點，E為線段上的動點，MN為過點

出的下底面橢圓的一條動弦（不與48重合）.

第4頁（共19頁）

求三棱錐E-PMN的體積的取值范圍.

（3）已知集合U={（X,V）|x,yER},A={（X,y）|3xcos0+2V3ysin0-6=0},求莫合8=CS

表示的面積.

第5頁（共19頁）

2025?2026學年廣東省深圳市翠園中學高二（上）期中數學試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

二.多選題（共3小題）

題號91011

答案ABDBCDAC

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.【答案】A

【解答】解：???集合U={xEZk2v9}="WZ|-3VxV3}={-2,-1,0,1,2）,

集合/={-2,2},

,64={-1，0,1}.

故選：A.

2.【答案】C

【解答】解：由題意，圓心為力8的中點（3,2）,直徑為5一1產+（3一1）2=2遙,

工半徑為函，

所以，圓的標準方程為G-3）2+（廠2）2=5,

故選：C.

3.【答案】B

【解答】解：由于空間向量；），（），

=Q,n,2b=-2,1,2

故W1=（4,2n-l,2），

若2；五與）垂直,則（2；G）?E=-8+2n-l+4=0,解得〃=回,

2

故；=（1,y,2），

乙

第6頁（共19頁）

所以白=。+成)2+22駕

故選：B.

4.【答案】C

【解答】解：直線/：y=h+l(AWR),可知直線恒過定點時(0,1),

當點P在直線/上時，則點尸到直線的距離為0,

當FMAJ時，則點P到直線的距離最大，且此時最大距離d=1,

且此時直線/_Lx軸，直線的解■率不存在，不符合條件.

所以點P到直線的距離的范圍［0,1).

故選：C.

5.【答案】D

【解答】解:己知入射光線上有一點力(2,4),經直線x+y=()反射后經過點4(4,2),

設8(4,2)關于直線x+y=。對稱的點為(a,b),

b-2一1

a.4T

a=-2,即夕(

則，解得_2,-4),

a+4J+2

=0b=-4

22

因為入射光線經過點4(2,4),所以力"所在直線的斜率為卜;尹禺

:2,

則入射光線所在直線方程為y-4=2(x-2),即2x?y=0.

故選：D.

6.【答案】D

【解答】解：如圖所示，由題意得QB|+|Q&|=4,|OG|2|Z)G|-當且僅當。，G,G三點共線,

且G在線段上時取等號，

所以|OG|-QB|=|OG|-(4-|DF2|)=|。6|+|。尸2|-4-灰冽。。1|+|￡>&|-4-?冽6巳|-4一灰，當

且僅當Ci，G,D,尸2共線，且G,。在線段G巳上時取等號，

因為&(1，0),C|(5,2),

則(|OG|一|。川)加產J(5-1)2+(2-0)2-4-V5=V5-4，

所以|A四?|MQ|的最小值為：V5-4

故選：D.

第7頁(共19頁)

\FiQyx

7.【答案】B

【解答】解：在PC上取點,使得PAT=PM,

則〃N="N,

當4W'_LPC時，AM'取得最小值，

BPAN+NM'的最小值為4W',

???〃為P力的中點，故而M'為尸。的中點，

：,PA=AC=2,/.W=7PA2-AO2=^3，

設外接球的半徑為廠，則/=（?-〃）2+1,

解得：廠=2叵.

3

???外接球的表面積為

3

故選：B.

8.【答案】B

【解答】解：如圖，當動圓M與圓G，。2均內切，

第8頁（共19頁）

IG幽=4,IG幽=|GM+|M%，|M附=|M°|,\MQ\=|AfC2|+l2C2|=\MC2\+r,

則|MC]|+|MC2l=|CiM-|M^+|A/C2|=|C]PF|-|JW2|4-|MC2|=4-(\MQ\-|MC2|)

=4-|eC2|=4-r>|CIC2|,

故圓心M的軌跡為以G(-1,0),C2(1,0)為焦點的橢圓方程，此時2田=4-r,

故a]=2-^-r,

故離心率為e1=T-,

al9-1.

因為G(-1,0),C2(h0),如圖，動圓M與圓C|內切，與圓。2外切,

此時|MV|=|町，|TG|=4,|NQ|=r,

|MC||+|MQI=|MCi|+|MM+|NC2l=IM。\+\MT\+\NC2\

=|rC1|+|JVC2|=4+r>|ClC2b

故圓心M的軌跡為以G(-I,0),C2(1，0)為焦點的橢圓方程，此時2。2=4+八

第9頁(共19頁)

故選：B.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.【答案】ABD

【解答】解：對手/,由皿--〃/=（）=/"（人-1）-Cy-1）?顯然人=1時，y=1恒成立，

即該直線恒過定點（1,1）,故彳正確；

對于從根據直線的斜截式定義可確定直線y=3x-2在），軸上的截距是-2,故8正確；

對于C,若截距均為0,則該直線為y=2x；

若截距不為0,可設該直線方程為工2=1，代入點P（1，2）可得工上=1=3,

aaaaa

即。=3,.”+），?3=0,故。錯誤；

對于。，直線3x+4y-1=0與直線12=0平行，則3〃?=4X6,/.,n=8,

此時方程6+/町，-12=0可化為3x+4y-6=0,故兩直線距離為d=1尸⑹I口,

A/32+42

故。正確.

故選：ABD.

10.【答案】BCD

【解答】解：以｛正，而，■｝為空間一組基底，

則西通+75+西二-藍+75+刖，AC=AB+AD?

所以BDi?AC=（-AB+AD+AAi）?（AB+AD）=-AB+AD?AB+AA]?AB-AB?AD+AD+AA/AD

=-l2o+lX1X^1+1XlX-1^-lX1X1）+Fo+1X1X）1=1，

乙乙乙乙

所以XC不垂直于45，故*錯誤；

因為西=-標+而+加，

所以BDi=AB+AD+AA「2AB,AD-2AAi?AB+2AD?AAi

=l2+l2+l2-2XlXlX-l-2XlXlX-i-+2XlXlX-i-=2?

乙乙乙

所以IBD；|故"正確；

第io頁（共19頁）

依題意可知，四邊形48。是菱形，所以力C_L8O,

又而=AB-AD.

所以瓦?瓦二二(五-標)?麗=K5?布一標?而

=1XIX工-lXIX工=0，所以而_!_￡]，所以8。_1_44],

22

又力。門力力1=力，AC,44]U平面力CC],

所以BD_L平面力CG，故C正確；

設直線BD｝與力。所成角為9,

因為正二疝+而，

WAC2=AB2+2AB-AD+AE2=1+2XIX1X91=3，

乙

所以I正I二y,

----IBDi?AC|iyTa

所以.cos8:cos(BDi,AC)-——(,一~一二〒---L二二-，

1|BDiH|AC|V2XV36

所以直線85與4C所成知的余弦值為逅，故。正確.

6

故選：BCD.

11.【答案】AC

【解答】解：因為/+4+C=m所以4+C=n-4,因此COS(4+C)=-cosJ,

所以由4siM+3cos(B+C)+3cos(B-C)=8可得，

4sinJ-3coS/4+3cos(B-C)=8,

即5sin(J-<p)+3cos(B-C)=8,其中cos?:三，sin^=—f

55

再由三角函數值域可知sin(J-<p)Wl,cos(B-C)Wl,

因此只有當sin(J-(p)=1,cos(5-C)=1時,

等式5sin(J-(p)+3cos(B-C)=8成立，

因此sin(J-<p)=1?即A-0="^"+2k兀，kEZ，

2

對「力，可知sinA=sin(。y-+2k兀Asin(Q=c0so=~?即力正確;

5

對于8,由分析可知cos(8-C)=1,即8=C,

又4sin4-3cos4+3cos(B-C)=8,sinA=-,所以cosA=-3,

55

第11頁(共19頁)

因此力為鈍角，即△XB。為鈍角三角形，即3錯誤：

對于C,由分析知h=c,且a=2RsinJ=8,

根據余弦定理可得COsA二二二空事二-最，

2bc2b25

解得b=2^，即C正確；

對于。，此時三角形面積S=[bcsinA=[x2\/^X2x/^X卷=2，即。錯誤.

225

故選：AC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.【答案】26.

【解答】解：由1,1，0),B(3,5,6),C(6,a,h)可得：

AB=(2,4,6)?AC=(5,a-1,b)?

因為正=入族，所以人至，

2

所以1=10,6=15,所以a+b=26.

故答案為：26.

13.【答案】2或0.

【解答】解：由于直線小4刈”1=0與直線匕：(。-1)x-砂+2=0垂直，

故a-1)-a=0,解得a=2或0.

故答案為：2或0.

14.【答案】(1,3).

【解答】解：在平面直角坐標系中作出刈=|xr川與丫2=—^的部分圖象，如圖:

第12頁(共19頁)

由乃=及，得|x~in|—-顯然xVO,

x

2mm

當x-〃?20時，x-m=_—,即x-MX+2=0,當△=nr-8>()時，解得x=~^

當x-〃?V0時，_x+m=_2,即/-mx-2=0,解得x二m±』m2+8

觀察圖象知，兩個函數的交點只能在第二象限，從血xVO,小VO,Vm2+8>|m|="in'

因此4姬坦,nH/mM!_m+Vm2-8

1222，

則」L：11Hzm2+8」(1+、匡"⑴尸),

x2+x32m2Ym'

由切2_8>O,得0<與<1,1<llgv血,于是1<一^<上空,

mVmX2+X3/

2+,

不等式乂建2-（3乂1+乂2+'3）卜+3乂1》0^(k-3k+3)x1>(x2x3)k而

k2-3k+3=

則有x1—，

x2+x3k2-3k+3

依題意，存在x],X2,有使得不等式使」一—成立，從而iC—S_,

x2+x3k2-3k+3k-3k+3

即F-44+3VO,解得1VkV3,所以％的取值范圍為（1,3).

故答案為：（1，3）.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.【答案】（1）迎

4

（2）近.

2

【解答】解：（1）因為2bcoK=2aW^c，由正弦定理得2sinBcosC=2sinA-h/2sinC，

BP2sinBcosC=2sin[兀-（B+C）]W^sinC，可得2sinBc：osC=2sinBcosC+2cosBsinCV2sinC?

化簡得2cosBsinC=W2sinC.

3兀

因為sinOO,所以cosB二-結合（0>n）,可得B=

24

第13頁（共19頁）

(2)在△48C中，由余弦定理從=42+c2-2accosB,

可得6/15)2;a2+(2&)2-2?bX(2V2)X(,解得。=1,

222

a+b-c1+13-8_3V13

所以cosC=

2X1XV13-13

在△08。中，由余弦定理得BD2=1十運-2XIX山3解得BD=^■（舍負）.

421342

16.【答案】（1）證明見解析.

（2）x=2或21x-2（）y-62=0.

（3）不存在這樣的點尸，理由見解析.

【解答】（1）證明：設經過4B,C三點的圓的方程為『+產+6+與HF=O,

r25+5E+F=0

則'D-2E+F+5=0，

,9-3E+F=0

解方程組可得。=6,E=-2,F=-15,

，圓的方程為，+y2+6x-2y-15=0（或（x+3）2+（y-1）2=25）；

又點。（?3,-4）在圓/+）2+6Q2），?15=0上，

，四點在圓/+6x?2y-15=0上，A,B,C,。四點共同；

（2）解：當斜率存在時，設直線方程為yH=A，（x-2）,

即去一廠2h1=0,

工可得」-3kJ-2k-l|=5,可得k=2L,

"20

，直線為2lx-20），-62=0；

當斜率不存在時，方程為》=2,與圓相切，成立；

???所求切線方程為x=2或2Lx-20y-62=0；

（3）解：設尸的坐標為（x,y）,依題意可得.金-3）2+/=2匕2,

平方化簡可得產的軌跡方程為（x+1）2+/=4,

兩圓圓心的距離d=V5<3=5-2,

???兩圓的位置關系為內含，.??不存在這樣的點P.

17.【答案】見試題解答內容

【解答】解：（1）由總人數為160,則。=48,

由圖表知道人數在1.0以下的是50%,在1.2以下的是80%,

第14頁（共19頁）

我們不妨假設L0至IJ1.2是均勻分布的，1.0+02X°?65-0?5=11,所以65%分位數是1.1：

0.8-0.5

畫

分

圖

圖

頻

率

布

方

如

所

I示

J|||

2G0

?

175

1?50

?2

15

?O

10

o1?75

?5

o0歲

?I

O25

?1

(2)由題意知，當X210000時，y=10X100()=100()0元:

當XV10000時，y=-^-XIQ-(1000-需)X5=L5X?5000.

'10000(X>10000)

所以Y二

,1.5X-5000(0<X<10000),

設銷售的利潤不少于7000元的事件記為力.實際上得到X28000,

此時夕(A)=(24+48+32)4-160=0.65.

18.【答案】（1）證明見解析：（2）（/）證明見解析，V7：（//）苴互.

8

【解答】解：（1）證明：由余弦定理,

有AB^/AC2+BC2-2AC*BC-cosZACB=273，

（2^3）2+22=42,AB2^BC2=AC2,

所以4C_L/4,

因為產力_1_底面如"?。，4Cu平面力8CQ,

所以I3CLPA,

因為尸404〃=力，PJcYfflPAB,/IBu'K面P43,

所以8C_L平面尸48,

因為8Cu平面PBC,

所以平面尸8C_L平面PAB.

（2）（/）證明：連接必，FD,

第15頁（共19頁）

因為8C_L平面48,P8u平面尸48,

所以8C_LP8,

因為尸為尸C的中點,

所以FB^PC，同理，有FD=^PC，

乙乙

因為夕/_1_底面力8CQ,ABCD,

所以PALAC,

因為產為PC的中點，

所以FA=^PC，因此，WFB=?D=FA=FP=FC^-PC*

所以尸為四棱錐P-ABCD的外接球的球心.

按如圖所示建立空間直角坐標系，連接。8,取力8的中點連接。M,由△力CBZA4CD,有AB=

AD,

又/DAB=2/CAB=6G,所以△48。是正三角形，

有DML1B,易知A(0，0,0),B(2V§,0,0),C(2V§,2,0),D(V§,3,0),

設尸4=。,則P(0,0,a),F(V3>1,巧)，

有屈=(V§,1,y),PB=(2V3,0,-a)，

因為"上p氏所以正?麗二o，

有百,2V3+l*0+-|->(-a)=0,得a=2^/§，

乙

即PA=2心WPC^/PA2+AC2=2^7f

故四棱錐P-ABCD的外接球的半徑為，7；

(//)F(V3，1，V§),

得標=(2爪，0,0),而=(F，1,炳),AD=(V3,3,0)，

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設平面94歹的法向量為\=（X,y,z），

則但，■，由B@=°,j2V3x=0,

mlAFlm?AF=OlV3x+y+V3z=0

則x=0,取z=Ly=-V3,

得平面84尸的一個法向量為：=（0,二巧，1）,

設平面“1方的法向量為口（X。,y0，z0