2026年高考數學一輪備考練習（新高考）兩條直線的位置關系（學生版+解析）

第八章直線和圓、圓錐曲線

§8.2兩條直線的位置關系

【考情分析?探規律】

考點考情分析(2021-2024)命題趨勢

能根據斜率判定兩條直線

2024?北京、2024?天津平行或垂直；能用解方程組的

兩條直線的位2023?北京、2023?天津方法求兩條直線的交點坐標；

置關系2023?全國新H卷、2023?全國乙卷、掌握平面上兩點間的距離公

2023?新課標I卷、2022?全國乙卷式、點到直線的距離公式，會

求兩條平行直線間的距離。

【知識梳理】

1.兩條直線的位置關系

直線八：y=拓x+m"：?=如+》,6：4ix+Biy+G=0,〃：4^+82丁+。2=0(其中

/1與，3是同一直線，，2與，4是同一直線，，3的法向量劭=(4，Bl),/4的法向量力=(4,

&)的位置關系如下表：

位置關系法向量滿足的條件/1，，2滿足的條件a/4滿足的條件

平行V\//V2-------------

—

垂直

V\-V1—一———1

相交V\與s不共線----—

2.直線的交點與方程組解的關系

(1)兩直線的交點

點P的坐標既滿足直線小的方程4成+小丁+4=0,也滿足直線/2的方程AK+&)，+C2

Aix+Sy+Ci=O,

=0,即點，的坐標是方程組V▲八的解，解這個方程組就可以得到這兩

〔4加+82)，+。2=0

條直線的—坐標.

(2)兩直線的位置關系與方程組解的關系

Aix+8iy+G=0,

一組無數組

方程組＜/M+B2y+C2=0的解—

直線6與，2的公共點的個數一個—零個

直線/|與的位置關系—重合—

3.距離公式

(1)兩點間的距離公式

平面上任意兩點P\(x\,y),2⑴，>2)間的距離公式為島尸2|=.

特別地，原點。(0,0)與任一點P(x,刃的距離|OP|=.

(2)點到直線的距離公式

平面上任意一點黨)到直線/：Ax+By+C=O的距離d=------------.

(3)兩條平行線間的距離公式

一般地，兩條平行直線/i：At+8y+G=0，/2：Ax+By+C2=0(GWC2)間的距離d=

4.對稱問題

(1)點P(即，州)關于點A(“，份的對稱點為P，

(2)設點P(x()，刃)關于直線y=k.x+b的對稱點為P\x\/),

可求出V,y'.

「f茗際百獲i\

；1.五種常用對稱關系

II

“1)點(X,y)關于原點(0,0)的對稱點為(一X,一)，).

；(2)點(x,y)關于4軸的對稱點為(x,—y),關于y軸的對稱點為(一x,y).

I(3)點(x,y)關于直線y=x的對稱點為(y,x),關于直線y=—x的對稱點為(一y,-x).

I(4)點(x,y)關于直線x=〃的對稱點為(2a—x,y),關于直線y=b的對稱點為(x,2b—y).|

!(5)點(x,y)關于點(a,㈤的對稱點為(2a—x,2b—y).

\2.應用點到直線的距離公式與兩平行直線間的距離公式中的直線的方程必須是一般式.'

II

:特別地，在兩平行線的距離公式中，兩直線方程的一般式中X,y的系數必須對應用等.|

1

1.思考辨析(在括號內打"J"或"x”)

(1)當直線八和，2的斜率都存在時,一定有鬲=k2=>"/2.()

(2)如果兩條直線6與/2垂直，則它們的斜率之積一定等于一1.()

(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯?解，則兩直線相交.()

(4)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離.()

2.若直線2x+/ny+1=()與直線3x+6y—1=0平行，則m等于()

A.4B.-4

C.lD.-1

3.兩平行直線/］：x—2y—V15=0,b：4y—2v—3\/TU=0之間的距離為()

A.—B,3

2

C.V5D.2V2

4.已知直線2K+3y+l=0和x—3y+4=0相交，則這兩條直線的交點坐標

為,過交點并且垂直于直線3x+4.v—7=()的直線方程為.

點撥】

1.三種常見的直線系

(1)與直線Ar+By+C=0平行的直線系方程為Ar+Bj+G=0(CWG);

(2)與直線AT+8)，+C=0垂直的直線系方程為Bx-Ay+G=0；

⑶過直線AurIB\yIC)=0與直線A"ID2yIC2=0交點的直線系方程為A.xIIC)

+A(AK++Ci)=0(不包括直線AM+82)，+C2=0).

2.謹防四個易誤點

(1)兩條直線平行時，不要忘記它們的斜率有可能不存在的情況.

⑵兩條直線垂直時，不要忘記一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況.

(3)求點到直線的距離時，應先化直線方程為一般式.

(4)求兩平行線之間的距離時，應先將方程化為一般式且x,y的系數對應相等.

【必練核心題型】

題型一兩條直線的平行與垂直

【典例】1.(多選)己知直線人AM+8)，+G=0和直線，2：4公+&、+。2=0,則下列

說法正確的是()

A.若A2=0,則12表示與x軸平行或重合的直線

B.直線/,可以表示任意一條直線

C.若A%—。,則毛〃為

D.若4也+8|%=0,則ZI_L/2

【典例】2.數學家歐拉在1765年發表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理：

三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.

已知△A8C的頂點分別為A(0,2),8(—1,0),C(4,0),則△ABC的歐拉線方程為

()

A.4x—3y—6=0B.3x+4y+3=0

C.4x+3y—6=0D.3x+4y—3=0

【變式訓練】

變式1.(多選)△ABC的三個頂點坐標為A(4,0),8(0,3),C(6,7),下列說法中正

確的是()

A.邊BC與直線3x-2y+1=0平行

B.邊BC上的高所在的直線方程為3x+2y-l2=0

C.過點C且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程為X+)，-13=0

D.過點人且平分△48。面積的直線與邊AC相交于點。(3.5)

變式2.已知直線l\：ax-y—1=0,h：ax—(a—2)y—1=0,若l\//則a

題型二兩直線的交點與距離問題

【典例】1.過兩條直線kx+2y-4=0,/2：2x-y-3=0的交點，且與直線x+3y

+1=()垂直的直線的方程為()

A.3.L)，-5二()B6L2)，-3二()

C.x—3)，+3=OD.3x+)，-7=0

【典例】2.當點P(—2,-1)到直線/：(l+32)x+(l+?y—2—41=0(2￡R)的距離最

大時，其最大值以及此時的直線方程分別為()

A.V13；3x+2y-5=0

B.VTT；3x+2y—5=0

C.V13；2x-3y4-l=0

D.V11；2x-3y+l=0

【變式訓練】已知兩條平行直線分別過點A(6,2)和8(—3,-1),并且各自繞點A,

B旋轉，兩平行線之間的距離的最大值為,此時兩平行直線方程分別

為.

題型三對稱問題

【典例】1.已知直線/：x+2廠2=0,試求：

(1)點P(—2,—1)關于直線/的對稱點坐標；

⑵直線小)，=八-2關于直線/對稱的直線/2的方程；

⑶直線/關于點”(1,1)對稱的直線/'的方程.

【變式訓練】已知直線/：2x-3y+l=0,點直一1,一2).求:

(1)點A關于直線/的對稱點4的坐標；

⑵直線m：3x—2,，-6=0關于直線/對稱的直線小的方程；

(3)直線/關于點A的對稱直線，的方程.

【限時訓練】（限時：60分鐘）

一、單項選擇題（每小題5分，共40分）

1.已知直線人：工+3—1》-3=0與直線A：x+2），+3=0相互垂直，則。的值為（）

C3D.-1

2.“m=一3”是“直線2x+（〃7+l）y+4=O與直線〃?x+3y-2=0平行”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.與直線2丫+3），+1=0立行且過點（0,1）的直線方程是（）

A.2x+3），-3=0B.3x+2y-2=0

C.2L3），+3=0D.3x-2y+2=0

4.已知從點（5,2）發出的一束光線，經4軸反射后，反射光線恰好過點（1,2）,則入射光

線所在的直線方程為（）

A.X—y—3=0B.x4-y-7=0

C.x—y+3=0D.x+y—3=0

5.若曲線y=/U）=2sinx+2025在點g,f（§）處的切線與直線），=or+2025垂直，則

實數。等于（）

A.1B.-1

C.2D.-2

6.已知直線/：x-\~iny—2ni—1=0,則點P（2,—1）到直線/距離的最大值為（）

A.V5B.x/10

C.5D.10

7.（2025?大同模擬）已知實數〃，b,c,d滿足3。-4/?+3=0,3c—4"—7=0,則（。一＜:尸

+（b—d）2的最小值為（）

A.1B.2

C.3D4

8.過定點A的動直線x+ty=0和過定點B的動直線kx-y-lk^r1=0交于點M,則|MA|

+|M目的最大值是（）

A.2V2B.3

C.x<10D.V15

二、多項選擇題（每小題6分，共18分）

9.已知直線/：遮A?一廠H=0,則下列結論正確的是（）

A.直線/過第一、三、四象限

B.過點（b，1）與直線/平行的直線的方程是岳一廠2=0

C.直線岳一y+2=0到直線1的距離為3

D.若直線"Z：x—V3y+l=0,則/_L〃？

10.對于直線/i：or+2y+3a=0,h：3x+（a—1n+3—。=0,則（）

A./I〃，2的充要條件是。=3或a=—2

B.當時，Z,l/2

C.直線A經過第二象限內的某定點

D.點P(1,3)到直線Zi的弗離的最大值為3V2

11.(2025?眉山模擬)己知直線/：2x—y+3=0,點R(0,2),P(l,1),Q(1團)，〃?￡

R,下列說法正確的是()

A.點P到直線/的距離為華

B.若點P與點。位于直線/的兩側，則機3

C.點P與點Q之間距離的最小值為企

D.|QR|+|QP|的最小值為2

三、填空題(每小題5分，共15分)

12.經過點P(1,0)和兩直線/1：x+2y-2=0,72：3x—2)，+2=0交點的直線方程

為.

13.若h2A+0—2=0與'x—)，+。=0平行，貝炳直線之間的距離為.

14.請運用數形結合的思想，得出函數y=的最大值

為.

【尖子拔高訓練】每小題6分，共12分

15.(多選)若直線m被兩平行直線/i：X—V3>f+V3=0與/：：%—V3y+3V3=0所截得的

線段長為巡，則直線小的傾斜角可以是()

A.30°B.75°

C.135°D.165°

16.(多選)(2025?廣東九師軼盟模擬)在平面直角坐標系Oxy中，點M(x,,y),Ng”)

間的折線距離d(M,N)=Ln—xzl+\y\—>?2|?已知A(a,b),8(1,1),記5=02+丘+2^+

4b,貝ij()

A.若d(A,5)=1,則s有最小值8

B.若d(A,8)=1,則點A的軌跡是一個正方形

C.若d(A,B)W1,則s有最大值15

D.若d(A,B)<1,則點八的軌跡所構成區域的面積為n

第八章直線和圓、圓錐曲線

§8.2兩條直線的位置關系

【考情分析?探規律】

考點考情分析（202L2024）命題趨勢

能根據斜率判定兩條直線

2024?北京、2024?天津平行或垂直；能用解方程組的

兩條直線的位2023?北京、2023?天津方法求兩條直線的交點坐標；

置關系2023?全國新11卷、2023?全國乙卷、掌握平面上兩點間的距離公

2023?新課標I卷、2022?全國乙卷式、點到直線的距離公式，會

求兩條平行直線間的距離。

【知識梳理】

1.兩條直線的位置關系

/：），=%2%+〃2，6：Aix+8i），+G=0,/：4822=0（

直線八：y=k\x+bit24工+丁+。其中

/i與，3是同一直線，，2與，4是同一直線，，3的法向量功=（4，8|）,，4的法向量。2=（4,

良）的位置關系如下表：

位置關系法向量滿足的條件/1，，2滿足的條件/3,/4滿足的條件

482—481=0且4G-

平行口〃。2&1=L且5#必

42clW0

垂直1.=-14p42+8/2=0

V\-V2及

相交功與。2不共線4&一48-0

2.直線的交點與方程組解的關系

（1）兩直線的交點

點P的坐標既滿足直線小的方程4x+3iy+G=0,也滿足直線/2的方程4%+&丁+。2

fAijr+^iy+C'i=（）,

=0,即點尸的坐標是方程組L八的解，解這個方程組就可以得到這兩

〔A2X+82）'+Q=O

條直線的交點坐標.

（2）兩直線的位置關系與方程組解的關系

4x+8iy+C]=0,

方程組LI："八的解一組無數組無解

14/+&丁+。2=0

直線/1與/2的公共點的個數一個無數個零個

直線與/2的位置關系相交重合平行

3.距離公式

(1)兩點間的距離公式

平面上任意兩點F|(X1，y),尸2(X2,⑴間的距離公式為島P21=，(也一吐)2十(用一丫1)2.

特別地，原點。(0,0)與任一點P(x,v)的距離IOPI=#+

(2)點到直線的距離公式

|AroH-/?v+C|

平面上任意一點凡(向，加到直線/：Ar+8.y+C=0的距離d=(>

\/A2+B2

⑶兩條平行線間的距離公式

一般地，兩條平行直線hAx+8)，+G=0,自Ax+B.v+C2=0(C￥C2)間的距離"=

\O-C2l

\jA2+B2'

4.對稱問題

(1)點尸(心，泗)關于點A(mb)的對稱點為2一一死).

(2)設點P(xo,刃)關于直線)，=履+力的對稱點為P'(f,)，')，

可求出My.

點撥】

1.五種常用對稱關系

(1)點(工,y)關于原點(0,0)的對稱點為(一x,—

(2)點(x,y)關于x軸的對稱點為(x,—關于y軸的對稱點為(一X,y).

(3)點(x,y)關于直線y=x的對稱點為(y,幻，關于直線y=一工的對稱點為(一y,—%).

(4)點(x,y)關于直線的對稱點為(2a—x,y),關于直線y=〃的對稱點為(x,2b—y).

(5)點(x,y)關于點3,〃)的對稱點為(2a—x,2b~y).

2.應用點到直線的距離公式與兩平行直線間的距離公式中的直線的方程必須是一般式.

特別地，在兩平行線的距離公式中，兩直線方程的一般式中羽)，的系數必須對應用等.

【隨堂訓練】

1.思考辨析(在括號內打“J”或“X”)

(1)當直線/1和，2的斜率都存在時，一定有七=依汕〃/2.()

(2)如果兩條直線八與，2垂直，則它們的斜率之積一定等于一1.()

(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交.()

(4)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離.()

【答案】(l)x(2)X⑶J(4)V

【解析】(1)兩直線Ji,a有可能重合.

(2)當/1_L/2時，若八的斜率左=0,則/2的斜率不存在，不滿足題意.

2.若直線2x+〃少+1=0與直線3x+6y—1=0平行，則m等于()

A.4B.-4

C.1D,-1

【答案】A

【解析】因為直線2、+初，+1—0與直線3x+6y-l-0平行，所以;一?/3，解得m

36—1

=4.

3.兩平行直線/1：x—2y—VT5=0,h：4y—2v—3\/TU=0之間的距離為()

A.—B.3

2

C.V5D.2V2

【答案】A

【解析】直線/):A—2y-V10=0可化為Zv-4y-2VT0=0,

直線h:4y—2.r—3-/10=0可化為

2x—4y+3g=0,

所以兩平行直線之間的距離為

|3尺(2癡)|_572

2'

4.已知直線2x+3y+l=0利彳-3)，+4=0相交，則這兩條直線的交點坐標

為，過交點并且垂直于直線3x+4y-7=0的直線方程為.

【答案】(-鼠94x—3)，+9=0

【解析】由方程組產+3y+i=。，

解得卜1J1'即交點坐標為(一3,3，

(7=§，

因為所求直線與直線3x+4y-7=0垂直，

所以所求直線的斜率為

由點斜式得所求直線方程為)，一：=31+習，

即4x—3y+9=0.

點撥】

1.三種常見的直線系

(1)與直線Ar+By+C=O平行的直線系方程為Ax+By+C,=O(C^Ci)；

(2)與直線Ar+By+C=0垂直的直線系方程為8x-Ay+G=0；

(3)過直線Aix+Biy+G=()與直線A2x+B2y+C2=0交點的直線系方程為A/+S)：+G

+，人加+82)，+。2)=0(不包括直線AM+&)，+C2=0).

2.謹防四個易誤點

(1)兩條直線平行時，不要忘記它們的斜率有可能不存在的情況.

(2)兩條直線垂直時，不要忘記一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況.

(3)求點到直線的距離時，應先化直線方程為一般式.

(4)求兩平行線之間的距離時，應先將方程化為一般式且x,y的系數對應相等.

【必練核心題型】

題型一兩條直線的平行與垂直

【典例】1.(多選)已知直線64X+BD，+G=0和直線NA2X-\-B2y+C2=O,則下列

說法正確的是()

A.若4=(),則/2表示與x軸平行或重合的直線

B.直線lx可以表示任意一條直線

C.若A1%-A2B=O,則八〃/2

D.若4A2+882=0,則，山2

【答案】ABD

【解析】當A2=0時，，2的斜率為0,與x軸平行或重合，故A正確；

當囪=0時，/1的斜率不存在，當BiWO時，八的斜率存在，能表示任意直線，故B正

確；

若4由2—45=0,且AC-AGWO或30一%。170，則l\〃h，故C錯誤；

若B/2ro,則由4A2+8歸2=0可得斜率之積為一1,故/I_L/2,若Z?I=O(B2=O),可得

A2=O(At=O)，此時滿足4小2+"歷2=0，此時兩條直線一條斜率為0，一條斜率不存在，

故,故D正確.

【典例】2.數學家歐拉在1765年發表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理：

三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.

已知△48C的頂點分別為4(0,2),〃(一1,0),C(4,0),則△ABC的歐拉線方程為

()

A.4.L3廠6=0B.3x+4)，+3=0

C.4x+3y~6=0D.3.r+4y-3=0

【答案】C

【解析】因為△ABC的頂點分別為A(0,0),C(4,0),

所以8c的重心為G(l,I),

因為k八3=2,kAC=一~,

所以以8次“=-1,所以A8_LAC,

所以△ABC的外心為8C的中點0),

因為三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上，所以△八3c的歐拉線為直線GO,

所以△A8C的歐拉線方程為甥二三1,即4工+3廠6=0.

【解題技巧】判斷兩條直線位置關系的注意點

(1)斜率不存在的特殊情況.

(2)可直接利用直線方程系數間的關系得出結論.

【變式訓練】

變式1.(多選)的三個頂點坐標為A(4,0),伏0,3),C(6,7),下列說法中正

確的是()

A.邊BC與直線3工一2)，+1=0平行

B.邊上的高所在的直線方程為3x+2y-12=0

C.過點C且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程為x+y—13=0

D.過點A且平分△A8C面積的直線與邊BC相交于點0(3,5)

【答案】BD

【解析】直線BC的斜率為女=汽=I，而直線3x—2y+1=0的斜率為:，兩直線不平

6-032

行，A錯誤；

邊BC上的高所在直線斜率為一,，直線方程為y=-；(.r-4),即3x+2廠12=(),B正

確；

過點C且在兩坐標軸上的截距相等的直線不過原點時方程為x+y—13=0,過原點時方

程為7x—6y=0,C錯誤；

過點4旦平分△48C面積的直線過邊8c的中點，中點坐標為(3,5),D正確.

變式2.已知直線ax-y-1=0,Z2：ax~(a-2)y-1=0,若則a

【答案】0

【解析】①當。=0時，！I:y=-1,A：,/i/Z/2；

②當時，若ij/12,則〃-2=1,可得〃=35與4重合，不符合題彥，故々=0.

題型二兩直線的交點與距離問題

【典例】1.過兩條直線kx+2廠4=0,/2：2L)，—3=0的交點，且與直線x+3y

+1=0垂直的直線的方程為()

A.3x—y—5=0B.6x—2y—3=0

C.x—3y+3=0D.3x+y—7=0

【答案】A

fx+2y-4=0,fx=2,

【解析】由得/B

{2x-y-3=0,ly=l,

設與直線x+3y+1=0垂直的直線的方程為3x—y+m=0,則3X2—l+〃z=0,得，〃=

一5,

所以所求直線方程為3x—y—5=0.

【典例】2.當點P(—2,一1)到直線/：(1+32口+(1+?)，-2一?=0(2￡陽的距離最

大時，其最大值以及此時的直線方程分別為()

A.V13；3x+2y-5=0

B.V11；31+2)，-5=0

C.V13；2x-3.y4-l=0

D.V11；2x-3y+l=0

【答案】A

【解析】將直線/11+3秘+(1+少-2—4/1=0(2￡用變形得x+y—2+/l(3x+)，-4)=0,

由1+y-2=0,解得『二1，因此直線/過定點,1),

(3%+y—4=0,(>=1,

當4P_L/時，點P(一2，-1)到直線/：(1+3小+(1+■一2—42=0(2￡1<)的距離最大,

最大值為|AP|=J(-2-1)2+(-1-1)2=V13,

又直線AP的斜率&”=聿=1,

則直線/的斜率為一|,

所以此時直線/的方程為y—1=—1),即3x+2y—5=0.

【解施技巧】利用距離公式應注意的點

⑴點P(Xo，州)到直線x=a的距離d=\xQ—a\,到直線產力的距離d=\y0—b\.

⑵使用兩條平行線間的距離公式前要把兩條直線方程化為一般式且x,)，的系數對應相

【變式訓練】已知兩條平行直線分別過點A(6,2)和8(—3,-1),并且各自繞點A,

B旋轉，兩平行線之間的距離的最大值為,此時兩平行直線方程分別

為.

【答案】3V103x+y-20=0和3x+y+10=0

【解析】兩條平行直線分別過點A(6,2),8(—3,-1),并且各自繞點A,B旋轉,

當與兩平行直線垂直時，兩平行線之間的距離最大，|A8|=J(6+3)2+(2+l)2=

AB

3V10,

這兩條平行直線之間的距離有最大值，最大值為3同,

???直線A8的斜率您8=累=；,

6+35

故這兩條平行直線的斜率為一3,

則兩平行直線方程分別為＞—2=—3(x—6),y+l=-3(x+3),

即31+)，-20=0和3x+y+10=0.

題型三對稱問題

【典例】1.已知直線/：x+2y-2=0,試求：

(1)點P(—2,—1)關于直線/的對稱點坐標；

(2)直線/.：)，=1一2關于直線/對稱的直線/2的方程；

(3)直線/關于點M(1,1)對稱的直線廠的方程.

【解析】

(1)設點P(—2,—1)關于直線/的對稱點為Q(x,y),

所以對稱點Q的坐標為(|,^).

⑵由-2=°，解得『=2,即直線/與人的交點為42,0),

(y=x-2,ly=O,

點￡(0,-2)是直線h上的點，設它關于直線I的對稱點為6(乃，yi),

皿=2,12

xi=T

則八.解得14

￡+2?第-2=0,yi=T

即陪。

14

^B=-rr—=7,

T-2

所以直線6的方程為y=7(x—2),

即7X一)，-14=0.

(3)方法一在直線/：A—2y-2=0上任取兩點，

如A(2,0),C(0,1),則A,C關于點M(l,1)的對稱點A<C均在直線/上，

易得A(0,2),C(2,1),

所以直線/'的方程為)，一2=為人，

2—0

即x+2y—4=0.

方法二設直線/關于點M(1,1)對稱的直線/的方程為x+2y+〃?=(),〃字一2,

由,解得〃?=-2(舍去)或〃?=-4,所以直線廠的方程為x+2v—4=0.

“：v5一2’-v5-―

【解題技巧】對稱問題的求解策略

(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數法將幾何關系轉化為代數關系求解.

(2)中心對稱問題可以利用中點坐標公式解題，兩點軸對稱問題可以利用垂直和中點兩個

條件列方程組解題.

【變式訓練】已知直線/：2x-3y+l=0,點A(—l.—2).求:

(1)點A關于直線/的對稱點/T的坐標；

(2)直線m：3x—2)，-6=0關于直線/對稱的直線小的方程；

(3)直線/關于點A的對稱直線廠的方程.

【解析】

(1)設A'(x,y),由已知條件得

x+l3

%—1y—2

2x———3x—+1=0,

；二『'所以MW，3

解得

(2)在直線m上取一點，如M(2,0),則"(2,0)關于直線/的對稱點“必在直線初上.

設對稱點M\a,b),則

2x--3x—+l=0,八30\

i「得zM得，步

---X-----1,

.a-23

設直線，〃與直線/的交點為Q,

（2x—3y+l=0,但

由,得04,3）.

.3x-2y-6=0,

又加經過點。(4,3),所以直線”的方程為近=套?，即9x—46,，+102=0.

(3)方法一在I:2r-3y+1=0上任取兩點，

如尸(1,1),2(4,3),則P,Q關于點4一1,-2)的對稱點尸，Q均在直線/上,

易得尸（-3,-5）,。'（一6,-7）,

y+5_x+3

所以廣的方程為,即2A—3y-9=0.

?7+5-6+3

方法二因為/〃廠,

所以設/'的方程為Zt—3y+C=0(CWl).

因為點4—1,-2）到兩直線/,廠的距離相等，

所以由點到直線的距離公式，

得I；2161cl=7+611|,得c=-9,

J22+（-3）2.+（-3）2

所以/'的方程為2x—3y—9=0.

【限時訓練】（限時：60分鐘）

一、單項選擇題（每小題5分，共40分）

1.已知直線八：工+3—1川一3=0與直線A：x+2y+3=0相互垂直，則〃的值為（）

A.1B.1

C.3D-；

【答案】A

【解析】V/i±/2,/.lXl-|-（a-l）.2=0=>a=i

2.“/〃=一3”是“直線2x+（〃?+l?+4=0與直線〃優+3），-2=0平行”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】由直線2丫+（機+1?+4=0與直線/班+3廠2=0平行得5=當、今且〃話0,

解得〃?=2或〃?=-3，所以“〃?=—3"是"直線2x+（?n+l）y+4=0與直線=+3y—2

二0平行”的充分不必要條件.

3.與直線2r+3y+1=0立行且過點（0,1）的直線方程是（）

A.2x+3），-3=0B.3.r+2y-2=0

C.2x-3），+3=0D.3x-2y+2=0

【答案】A

【解析】設所求直線方程為2x+3y+C=0(CW1),

又過點(0,1),則可得3+C=0,解得C=-3,

則所求直線方程為2丫+3)，-3二0.

4.已知從點(5,2)發出的一束光線，經x軸反射后，反射光線恰好過點(1,2),則入射光

線所在的直線方程為()

A..x—y—3—OB.x+y—7—0

C.L)，+3=0D.x+y-3=0

【答案】A

【解析】運用點關于直線對稱，求出(1,2)關于x軸的對稱點為(1,-2),又(1,-2)

與(5,2)在同一條直線上，

運用兩點式得到入射光線所在的直線方程為察=會，整理得x—y—3=0.

-2-21—5

則入射光線所在的直線方程為x-y-3=0.

5.若曲線y=/(x)=2sinx+2025在點停，f⑶處的切線與直線尸辦+2025垂直，則

實數。等于()

A.lB.-1

C.2D.-2

【答案】B

【解析】函數./W=2sinx+2025,求導得/(x)=2cosx,因此曲線在點信/(粉處的

切線斜率為仁信)=],而切線與直線)，=,a+2025垂直，所以〃=一9=一1.

6.已知直線/：x+加)，-2〃z—1=0,則點P(2,—1)到直線/距離的最大值為()

A.V5BV1U

C.5D.10

【答案】B

【解析】直線/：x+my—2m—1=0,

即x—12)=0,

由尸1=0,得產L

.y-2=0,{y=2,

所以直線/過定點4(1,2),

當直線/垂直于直線AP時距離最大此時最大值為用尸|=J(2-1)2+(—1一2)2=715.

7.(2025?大同模擬)已知實數小b,c,d滿足3〃一48+3=0,3。-44-7=0,則僅一4

+俗一")2的最小值為()

A.1B.2

C.3D.4

【答案】D

【解析】由題意得，點A(a，份在直線3x—4y+3=0上,點8(c,d)在直線3x—4y—7

=0上，兩直線平行，所以(a—c)2+S—d)2的最小值為兩平行線間距高的平方，即

-12

|3-7|一

8.過定點4的動直線x+0=O和過定點B的動直線kx-y-2k+1=0交于點M,則|歷4|

+|MB|的最大值是()

A.2V2B.3

C.V10D.V15

【答案】C

【解析】由題意知工+依=0過定點40,0),

動直線人一)，-2攵+1=0,即確一2)—)，+1=0過定點8(2,1),

對于直線.r+6=()和動直線心一)，-22+1=0滿足1XL+LX(—1)=O,

故兩直線垂直,

因此點M在以A8為直徑的圓上(除去點(2,())),HB|=j22+l2=V5,

貝IJ|MAF+|MBF=5,

所以(|M4|+|MB|)2=|MAF+|MB|2+2|MA||MB|W2(|MAF+|M8|2)=10,

當且僅當|M4|=|仞8|=?時，等號成立，

故|"4|+|M3|的最大值為4U.

二、多項選擇題(每小題6分，共18分)

9.已知直線/：V3x-y+l=0,則下列結論正確的是()

A.直線/過第一、三、四象限

B.過點(b，1)與直線/平行的直線的方程是任一)，一2二()

C.直線柢「)，+2=0到直線/的距離為(

D.若直線〃7：x—V5y+l=0,則/_L〃？

【答案】BC

【解析】直線/過第一、二、三象限，故A錯誤；

設過點(百，1)且與直線/平行的直線的方程為,由于點(b,1)滿足

該直線，代入得t=-2,所以所求的直線方程為百工一》一2=0，故B正確；

由于直線/：V5x-y+l=0與直線國工一丫+2=0平行故兩直線間的距離d=,恒一"

16)2+(-1)2

=1,故C正確；

直線/的斜率為k尸6，直線m的斜率為心=苧，因為kkn去一T,所以直線1和直線/〃

不垂直，故D錯誤.

10.對于直線小方+2)，+3。=0,Z2：3x+(a-l)y+3—〃=0,則()

A/〃/2的充要條件是。=3或。=-2

B.當時，h±l2

C.直線/2經過第二象限內的某定點

D.點P(l,3)到直線/1的電離的最大值為3V2

【答案】ABC

【解析】若h〃h,則。(°一1)-6=0,解得。=3或。=-2,經檢驗，符合題意，所以

4=3或a=-2,所以/1，勿2的充要條件是4=3或。=—2,故A正確；

當a三時,3?+2(a-l)=^-^=0,所以，故B正確；

由：3x+(a—l)>+3—a=0,得(y—l)a+3%—y+3=0,令■['1°’解得”

(3x-y+3=0,(y=l,

所以直線/2經過定點(一，1),位于第二象限，故C正確；

由/1：”+2y+3〃=0,得。+3)〃+2)，=0,令『十^二。，解得一3,所以直線八過定點

12y=0,ly=0,

M(-3,()),當PMI/i時，點P(1,3)到直線/)的距離最大，最大值為|PM1=

](一3—1)2+(0-3>=5,故D錯誤.

11.(2025?眉山模擬)已知直線/：2r—y+3=0,點K(0,2),P(l,1),m),me

R,下列說法正確的是()

A.點夕到直線/的距離為釁

B.若點尸與點。位于直線/的兩側，則

C.點尸與點Q之間距離的最小值為迎

D.|QR|+|QP|的最小值為2

【答案】ABD

【解析】點戶到直線/的距離公廠-1+3|=挈，A選項正確；

卜+(-1)2

將點P(1,1)代入直線方程得2—1+3=4>0,又點夕與點Q位于直線/的兩側，則將點

()(1—in,〃。代入直線方程得2—2〃L〃?+3<0,即,B選項正確；

22

\PQ\=J[l-(l-7n)]4-(l-?n)=J2m2_2m+l=」2(m—/+言/,c選項錯

誤；

???1-/〃+m=1,??.點。在直線h:x+y-\=O上,斜率k=~\,過點P作直線f±/i

于點。，如圖所示，

'x+v—1=0

則r