山東省菏澤市重點高中2025-2026學年高一年級下冊4月測評考試 數學（含解析）

2025-2026學年高一下學期4月診斷測試數學試題

一、單選題

1.已知點A（l,3）1（4.-1）,則與AB同方向的單位向量為

B.5一燈

2.若復數z=a—l+5（a+l）i為純虛數，其中awR,i為虛數單位，則產=（）

1-671

A.iB.-iC.1D.-1

3.已知向量a=（1,1）,〃=。,一1）,若（。+如）+，則（）

A.A+//=1B.4+〃=T

C.A//=1D.力=T

4.已知非零向量”，〃滿足“;卜行,1）,若a?b=l，則向量a在向量方方向上的投影向量為（）

I1A

A.—bB.—bC.—―bD.b

422

5.在VA4c中，M、N分別在邊AB、AC上，且AB=2AM，4c=4AN，。在邊3c上（不包含端點）.若

12

AD=xAM+yAN,則一+1的最小值是（）

乂）’

A.8B.4C.2D.I

6.已知V48c中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且〃sinB-asinA=（/?-c、）sinC.若VABC的面積

S,M=書叵，且。=5，則VAAC的周長為（）

A.15+5&B.15C.5+5百D.10+56

7.如圖，為了測量河對面M,N兩建筑物之間的距離，小胡同學在A處觀測，M,N分別在A處的北偏西15、

北偏東45方向.再往正東方向行駛32米至8處，觀測N在3處的正北方向，M在8處的北偏西60”方向,

則M,N兩建筑物之間的距離為：）

A.32遙米B.326米C.16G米D.166米

8.已知VA8C的內角A,B,C所對的邊分別為。,b,c,下列四個命題中錯誤的命題是（）

A.在NABC中，若sinA>sinB,則A>B

B.若B=b=2,c=VL則VA8C有唯一解

C.若gos4=/xx）sB,則VABC是等腰三角形或直角三角形

D.若（a2+c2-b2）tanB=>j3ac,則角4:*

二、多選題

9.已知i為虛數單位，則以下四個說法中正確的是（）

A.產”mB.復數-2—i的虛部為-i

C.若復數z為純虛數，則，=z2D.若z為更數，則zi為實數

10.下列結論正確的是（）

A,已知〃是非零向量，b/c，若=則“，（〃一”

B.非零向量。和6,滿足1=出|=|。一向，則―與足+b的夾角為30。

C.點尸在VA8C所在的平面內，滿足E4+P8+PC=0，則點P是VA8C的外心

D.以（1,1）,（2,3）,（5,-1）,（6,1）為頂點的四邊形是一個矩形

11.已知VABC的三個內角4,B,C的對邊分別是小〃，c,面積為名（/+/一〃），則下列說法正確的

是（）.

A.cosAcosC的取值范圍是一；（

B.若是銳角三角形，則巴的取值范圍是（1,2）

C

C.若角8的平分線與邊AC相交于點￡,且4￡=石，則。+4c的最小值為9

D.若b?=ac,且外接圓半徑為2,圓心為O,。為。。上的一動點，則的取值范圍為[-2,6]

三、填空題

12.已知向量〃=（八-1）,〃=&⑹），/〈（），且〃與方的夾角為銳角，則/的取值范圍是.

13.我國南宋著名數學家秦九韶，發現了從二角形二邊求面積的公式，他把這種方法稱為,、二貉求積“，它填

補了我國傳統數學的一個空白.如果把這個方法寫成公式，就是S=#其中〃，b,

c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設某三角形的三邊a=，5,〃=G,c=2,則該三角形的面積

S=.

14.如圖，在VA3C中，已知AB=2,4C=5,N84C=60,8cAe邊上的兩條中線相交于點”，則

/MPN的余弦值為.

四、解答題

15.已知向量〃=(1,2),6=(-3,1).

⑴求卜+3〃卜

⑵設4力的夾角為。，求COS0的值；

(3)若向量〃+心與d-序互相垂直,求X的值.

z+2

16.已知復數z=bi(hwR),7-為實數.

14-1

⑴求卜+Z?1

⑵若復數(m+z)2在復平面內對應的點在第四象限，且z為實系數方程/+(〃/-9)x+4=。的根，求實數〃?

的值.

17.記VABC的內角A,B,C的對邊分別為mb,c,且Z?cosC+J拓sinC-a-c=O.

(1)求角8的值；

(2)若。為AC的中點，且=b=2,求VAKC的面積.

18.在銳角VABC中，已知〃?=(2sin(A+C),6),〃=卜os28,2cos2g-l),且;?〃；?.

(1)求角8的大小；

(2)若AC=1,求VA3C面積的最大值.

19.已知某商場門前是一塊角形區域，如圖所示，其中乙428=120,且在該區域內點R處有一個路燈，經

測量點R到區域邊界抬、陽的距離分別為RS=4m,R7=6m,（m為長度單位）.現準備過點R修建一條長

輸MN（點M,N分別落在2、PB上,長椅的寬度及路燈的粗細忽略不計），以供購買冷飲的人休息.

⑴求點S到點了的距離;

⑵為優化商場的經營面積，當PM等于多少時，該三角形對村區域面積最小？并求出面積的最小值.

參考答案

1.A

【詳解】48=（4-1,一1-3）=（3,-4）,所以與人3同方向的單位向量為°=備=（（3,-4）=（|,一$,故選人.

2.A

【詳解】因復:數z=a-l+5(a+l)i為純虛數，

則有〃一1=0且5伍+1)。0,解得〃=1,

由巾a+i1+i(1+i)2l-2i+i22i.

所以■=匚？=而詢=不I=E=L

3.D

【詳解】因為〃=(1,1)/=(1,一1),所以4+2人=(1+4,1—4),〃+〃匕=(1+必1一〃)，

由(a+A/?)±(a+“可得，(a+〃“?(〃+〃〃)=0,

即(l+/l)(l+〃)+(l-/l)(l-〃)=O,整理得:加=7.

故選：D.

4.A

【詳解】由題意，b=J(G)+f=2，a?b=1?

abb1,I,

則向量a在向量b方向上的投影向量為WW=齊”二W〃.

5.C

【詳解】將A8=2AM，AC=4AN代入人。=xAM+yAN,

得：AD=-AB+^-AC(x>0.y>0),

24

在VA8C中，點8、C、。三點共線，

根據三點共線的向量性質得：3+5=1，即：2X+)，=4,

24

所以，+2=，x(2x+y)x(—+—=—x(4+—+—)>—x(4+2xx/14)=2,

xy4vvy)yx4

19

當且僅當2x=y,即：x=l,y=2時等號成立，此時一+二最小值為2.

xy

6.B

【詳解】已知。Sin8-asin4=S-c；sinC,由正弦定理得：b2-a2=(b-c)c,

整理可得層+°2_2=歷，所以cosA=，-/=4,

2bc2

由于OVAVTI,所以A=1：

NABC的面積'S>AAfiC=—Z?csinA=—he="",所以bc=25,

244

又〃=5,所以由余弦定理/=/?2+c2-2Z?(?cos/4,

可得25=〃2+d—丘=(〃+C)2-3加=：〃+C)2-3X25,

解得人+C=IO或TO(舍去)，

所以V/WC的周長a+〃+c=10+5=15.

故選：B

7.D

【詳解】4MAN=15：+45°=60"，NMAB=90°+15°=105°，

NAIRN=60，ZMRA=NNRA-/NRM=900-60'=30'，/AMR=45'，

/NAB=ZMAB-/MAN=105°-60=45"，

在RtZXAAN中，BN=AB=32米.

在「ABM中，由正弦定理得歷8=絲網”=166+16米.

sin45

在.BMN中,由余弦定理得：

MN'=BM'+BN?-2-BM?BNcos/NBM=(16>/3+16)2+(32)2-32(16x/3+16)=1536,

MN=\6瓜米.

故選：D.

8.D

【詳解】對于A,在VAKC中，由正弦定理知，sinA>sinB04>'

結合大邊對大角可得A>3,故命題正確，A不符合題意：

對于B,因為B=T，b=2,c=&,

J

由正弦定理=一”，得.rcsinB375.,

sinBsinCsinC=---=-=-=sinB

b242

由〃〉c知，C只有一解，所以VA8C有一個解，故命題正確，B不符合題意；

對「C,因為cicosA=bcosB,由正弦定理得：sin4cosA=sinZfcosB,則sin2A=sin2B,

因為ABe(0,兀)，可知2A=23或2A+28=TI,即A=3或A+B=g,

所以VA4C是等腰三角形或直角三角形，故命題正確，C不符合題意;

對于D,因為卜-〃2)1a=

由余弦定理得：2〃ccos8tan8=、^ac,即$祖8=正，

2

因為Bw(O,7T),所以8=方或與，故命題錯誤，D符合題意.

故選：D.

9.AD

【詳解】A：i2°25=(『產"=i,故A正確;

B：對于復數—2-i的虛部為-I,故B錯誤；

C：由復數z為純虛數，設z=〃SeR,〃=0),則忖2=從z2=gi)2=—〃，所以|Z『HZ2,故C錯誤;

D：設復數z=a+0i(a/eR),則彳=。-加，所以z-5二/一(制/二合十〃?R,故D正確.

故選：AD.

10.ABD

【詳解】對A,。是非零向量，b。c，若a,b=a?c,即［?%-〃，c=0，a(b-c)=0>

即“_!_(〃-c),故A正確：

對B,由非零向量a和5,滿足|。|=|〃曰。-〃|,如圖所示：

當向量a,〃方向如圖所示，夾角為120。時，剛好滿足題設條件，

則〃+〃為菱形的斜對角線所示方向，

。與a+匕的夾角為剛好為菱形銳角夾角的一半，故為30。，故B正確;

對C,當尸A+PB+PC=0時，P點為V48C的重心，故C錯誤；

對D,可設4LDI⑵3),C(6,1),C(5,-1),則鉆+川。=(1.2)+(4,-2)=(5,0),

AC=(5,0),則四邊形A3CO為平行四邊形，又33(1,2)(4,-2)=4-4=0,

uniLlUU

故A8-AD=0,根據有一個角為90。的平行四邊形為矩形可判斷四邊形ABC。為矩形,

故D正確.

故答案為：ABD.

11.ACD

，rc)

【詳解】由題意，S=-acsinB=a2+c--b2y整理可得a-+c-/r=^acsinB,

2

由余弦定理可知。2+。2一//=2。。（：0§8，.，.1@118=6，3￡（0,71）,.，.8=1

2n)&Acos4」i3iS空

對A,cosAcosC=cosAcos-----A

I3)2244

1I

1.,冗n，.二71n77r---

=-sin2A——A€0,—I2A--G二.sin2A--G1,.".cosAcosCe2,

26I3J66'TI6j44

故A正確;

—cosC+isinC—

siny-C因為VABC是銳角三角形…苫，

對B,asinA22_2

sinCsinCtanC2

；，21，故B錯誤;

,+8,

I，Z

對于C,由+SABCE=§△4sc，可得?exBExsin2+gaxBExsin二二：”45而二,

262623

4c。-/4<?a_

即a+c=a,可得4c=(a+4c)L斗5++—>5+2./------=9,

acac)7

當且僅當。=2c時等號成立，故C正確;

對D,由正弦定理1人=2口,則/?=26，則ac=/=12,由余弦定理可得a?+c?-/尸=2accos8=〃c，所

sinB

以/+c2=24,

又ac=12,所以a=c=2。，則三角形ABC為等邊三角形，取A8中點用，如圖所示:

C

AMrB

則PAPB=(PM+MA卜(PM+MB)=PM'+PM-(MA+)+MA.MB

=PM2-MX=PM2-3>由"=2,OM=1,可得PMw[l,3],則PAP8e[—2,6],故D正確.

故選：ACD

【詳解】因為a與力的夾角為銳角，故〃與人數量積為正，且兩向量不同向共線，

所以。6”（小。，而解得'七%一正卜

13.—.

4

,所以5=心2一幅訃亨.

【詳解】因為S=：

故答案為：叵.

4

4回

【詳解】由題可得，AM=-(AB^-AC\BN=-AC-AB,

22

AB-AC=\AB\-\AC\COS60=5,

所以40.8?/=；卜8+4砒如(7一回=一；癡+；房一；八840

=-2+—--x5=3,

44

,叫=小8+時=iylAB2+AC2+2ABAC=>/4+25+10=冬，

\BN\=^AC-AB1AC\AB'-AC-AB=^

,V/…QAMBN34x/91

山I.icos/MPN=cos(AM,BN)=----n——=—=——f==--------

所以\―卜孫網?叵*叵9i,

故答案為：巫.

91

15.⑴病;

叵

(2)-

10

(3乂=±也.

2

【詳解】⑴由。=(1,2),〃=(—3,1),得〃+勸=(1,2)+(-9,3)=(—8,5),

所以卜+3。卜#-8)2+52=789.

八ahlx(-3)+2xl6

⑵設。⑦的夾角為。，則2加麗=后去7"—而.

(3)由。=(1,2),〃二(一3,1),得G+幼二(1一3太2+攵),4一必=(1+3女,2—攵)，

由I可量a+k/與々-妨互相垂直得，(A+妹)-町=0,

所以(1—34)(1+3攵)+(2+2>(2—。=0,

化簡得1-2公=0,解得攵=±變.

2

16.(l)2x/5

(2)-3

z+22+bi(2+歷)(l-i)b+2b-2

【詳解】(1)由z=8i,三為實數，則不一='八//=丁十丁i為實數,

1+1l+i(l+i)(l-i)22

h-2

所以丁=0,b=2,即z=2i,z'T，

所以卜+司=1+2“=2石.

(2)由W+z)2=(〃?+2i『=>_4+4〃?i在復平面內對應的點在第四象限，

m2-4>0八

所以J=>in<-2

4m<0

又z=2i為實系數方程/+(〃?2-9卜+4=0的根,

貝U4+2（>-9）i-4=0.

所以〃『一9=（）,,〃=±3,

又加<-2,所以〃?=-3.

17.（l）y

⑵石

a_b_c

【詳解】(1)由正弦定理得,

sinAsin"sinC

則由Zx:osC+GbsinC-4一c=0得：sinBcosC+GsinBsinC-sinX-sinC=0,

在V/WC中，A+B+C=n,

sinA=sin(8+C)=sinBoosC+cosBsinC,則VJsinBsinC-cosBsinC-sinC=0,

,「sinCwO,/.y/3siii/3—cosA?=1,

n兀

sinD—=

6lP

兀、

n5nnn八兀

，--B—=—=>B=——；

66>663

.JBD|=￡(81+2孫.80+8(；)=/+仇、+(?2=[2,①

(2),??。為AC的中點，.?.8O=g(84+BC)j,

由余弦定理得，cos/?="f=/+。2-。。=4，②

lac

聯立①②，解得ac=4,

正=6

=-?csinB=-x4x

「2ABC222

.?..ABC的面積G

18.⑴一

o

⑵源

4

【詳解】(1)由于。〃；?，所以2sin(A+C)x(2cos2?-l=V3cos2B,

\乙)

即2sinBxcosB=>/5COS28,Kpsin2B=\/3cos2B,tan2B=\/3,

由于8是銳角，所以（兀，所以2A=1,B=g

236

b

⑵依題意‘8="=l,由正弦定理得