人教版五年級數學下冊各單元知識點總結

人教版五年級數學下冊知識點

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第一單元觀察物體

1、由幾個大小相同的小正方體擺成的立體圖形，從同一個方向觀察，看到的圖形可

能是相同的，也可能是不同的。根據一個方向看到的圖形擺立體圖形，有多種擺法。

2、從同一個方向觀察物體最多只能看到三個面。幾何視圖一般是根據三個方向觀察

到的形狀進行繪制。

3、根據兩個方向觀察到的形狀能確定所用小正方體的個數。根據三個方向觀察到的

形狀擺小正方體結果只有一種。

第二單元因數和倍數

1、在整數除法中，如果商是整數而沒有余數，我們就說被除數是除數的倍數，除數

是被除數的因數。因數和倍數是相互依存的，不能單獨存在。）

2、注意：為了方便，在研究因數和倍數時候，我們所說的數指的是自然數（一般不

包括0）

3、找因數的方法：①乘法②除法；找倍數的方法：逐次乘自然數。

4、①一個數的最小因數是1,最大因數是它本身。一個數的最小倍數是它本身，沒

有最大的倍數。

②一個數的因數的個數是有限的.一個數的倍數的個數是無限的。一個數的最大因

數和最小倍數是相等的都是它本身。

③1是所有非0自然數的因數。也是任一自然數（0除外）的最小因數。

④一個數的因數至少有1個，這個數是1。

⑤一個數的因數都小于等于他本身，一個數的倍數都大于等于他本身。

5、因數V或二它本身、倍數〉或=它本身、最大的因數二最小的倍數二它本身。

一個數的倍數一定比它的因數大這種說法是錯誤的。一個數越大它的因數個數就越

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多，一個數越小它的因數個數就越少。這種說法是錯誤的。

6、2的倍數特征：個位上是0、2、4、6、8的數都是2的倍數。自然數中，是2的

倍數的數叫做偶數（0也是偶數），不是2的倍數的數叫奇數。

7、5的倍數特征：個位上是?；?的數，都是5的倍數。

8、3的倍數的特征：一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。個

位上是3、6、9點數都是3的倍數是錯誤的說法。

9、2和5的倍數特征：個位上是0的數，既是2的倍數，也是5的倍數。（就是10

的倍數）。

10、2和3的倍數特征：個位上是0、2、4、6、8,而且各個數位上的數字的和是3

的倍數，這個數既是2的倍數，也是3的倍數。（就是6的倍數）。

11、3和5的倍數特征：個位上是0或者5,而且各個數位上的數字的和是3的倍數,

這個數既是5的倍數，也是3的倍數。（就是15的倍數）。

12、2、3、5的倍數特征：個位上是0,而且各個數位上的數字的和是3的倍數，這

個數同時是2、3、5的倍數。（就是30的倍數）能同時被2、3、

5整除的最小兩位數是30,最大兩位數是90,最小三位數是120.

同時滿足2,3,5的倍數，實際是求2X3X5=30的倍數。

4的倍數特征：一個數末尾兩位數是4的倍數，這個數就是4的倍數。

一個數各位數上的和能被9整除，這個數就是9的倍數。能被3整除的數不一

定能被9整除；能被9整除的數一定能被3整除。

如果兩個數都是同一個數的倍數，那么這兩個數的和或差也是這個數的倍數。

13、自然數按能否被2整除分成奇數和偶數。所以我們說自然數不是奇數就是偶數。

最小的偶數是0,最小的奇數是1,沒有最大的奇數和偶數，最小的自然數是0。

如果用n表示自然數，那么2n表示偶數，2n+1表示奇數。相鄰的兩個自然數

相差1;相鄰兩個奇數相差2；相鄰兩個偶數相差2。

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14、奇數+偶數=奇數奇數十奇數=偶數偶數十偶數二偶數

奇數一偶數二奇數奇數一奇數二偶數偶數一偶數二偶數

奇數X奇數二奇數偶數X偶數二偶數偶數X奇數二偶數

無論多少個偶數相加都是偶數、偶數個奇數相加是偶數、奇數個奇數相加是奇

數。任意一個整數乘以2都變成偶數。

15、一個數，如果只有1和它本身兩個因數,這樣的數叫做質數（或素數）；一個數,

如果除了1和它本身還有別的因數.這樣的數叫做合數。

1既不是質數，也不是合數。兩個質數相乘的積一定是合數。質數X質數二合數

16、最小的質數是2,最小的合數是4o2是偶數中唯一的質數稱為偶質數；也是質

數中唯一的偶數。

17、100以內找質數、合數的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍數，是的

就是合數，不是的就是質數。

18、100以內的質數：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、

53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

19、自然數按因數的個數分可分為1、質數和合數。

除2以外所有的質數都是奇數。

「按是否是2的倍數來分：分為奇數和偶數兩類；

自然數分類-V

---------------------L按因數的個數來分：分為質數、合數和1三類。

第三單元長方體和正方體

一、長方體、正方體的認識：長方體和正方體都是立體圖形。正方體也叫立方體。

1、長方體是由6個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形。

在一個長方體中，相對的面完全相同.相對的棱長體相等。

2、長方體有6個面。有12條棱，相對（也可以說是平行）的4條棱的長度相等。

長方體有8個頂點。長方體最多有8條棱的長度相等，最多有4個面完全相同。

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一個長方體最多有6個面是長方形，最少有4個面是長方形，最多有2個面是正方

形。

3、相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長^_里_高。（長、寬、高都

各有4條，分別平行并且相等）

4、長方體的棱長總和二長X4+寬X4+高X4=（長+寬+高）X4

長方體的長二棱長總和24一寬一高；長方體的寬二棱長總和+4一長一高；

長方體的高二棱長總和+4一長一寬

5、（1）正方體的6個面是完全相同的正方形。（2）正方體的12條棱長度都相等。

（3）有8個頂點。

6、正方體是由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形,所有的棱長度相等。

正方體可以看成是長、宛、高都相等的長方體.所以正方體是特殊的長方體。

小同點

相同點面棱

長方體有6個6個面都是長方形。（有可能有兩個相相對的棱平行且

面，對的面是正方形）。相對的面完全相長度都相等

12條棱，同。

正方體8個頂6個面都是正方形。面積都相等。12條棱都相等。

占

f\\\O

7、正方體的棱長總和二棱長X12正方體的棱長二棱長總和+12

（如果用長60cm鐵絲做成長方體或正方體，60cm就是長方體或正方體的棱長總和）

8、用棱長1cm的小正方體擺成稍大一些的正方體,至少需要8個小正方體。

二、長方體和正方體的表面積

1、長方體或正方體6個面的總面積，叫做它的表面積

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2、長方體的表面積：

①長方體有“上，”下”、”前工”后一”左，“右”6個面。

上、下面每個面的面積=長乂寬；

前、后面每個面的面積=長乂高；

左、右面每個面的面積=寬又高；

②長方體的表面積二（長x寬+長X高+寬X高）X2

用字母表示：S=2（ab+ah+bh）

長方體的表面積二長X寬X2+長X高X2+寬X高X2

用字母表示：S=2ab+2ah+2bh

無底（或無蓋）長方體表面積=長X寬+（長X高+寬X高）X2

S=2（ah+bh）+ab或S=2（ab+ah+bh）—ab

無底又無蓋長方體表面積二（長X高十寬X高）X2S=2（ah+bh）

③特殊長方體的表面積（有兩個面是正方形）正方形的兩個面完全相同，其余四個

面完全相同。

3、正方體的表面積

正方體的表面積二棱長X棱長X6用字母表示：S=6a2

4、生活實際

油箱、罐頭盒等都是6個面；游泳池、魚缸等都只有5個面；水管、煙囪等都只

有4個面。粉刷教室只有5個面。

5、注意1:用刀分開物體時，每分一次增加兩個面。（表面積相應增加）

兩物體拼成一個物體時，減少兩個面。（表面積相應減少）

注意2：長方體或正方體的長、寬、高同時擴大幾倍，表面積會擴大倍數的平方

倍。（如長、寬、高各擴大2倍，表面積就會擴大到原來的4倍）。

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長方體或正方體每截斷一次會增加兩個截面，這兩個截面和它相對的面的面積相等,

所以這時的兩個物體的表面積大于原來物體的表面積。

三、長方體和正方體的體積

1、體積：物體所占空間的大小叫做物體的體積。（就是看物體含有多少個體積單位）

2、常用的體積單位有：立方米（m，）、立方分米（dnC、立方厘米（cm3）

3

①棱長是1cm的正方體，體積是1cmo如手指頭的大小。

3

②棱長是1dm的正方體，體積是1dmo如黑板擦和粉筆盒的大小。

3

③棱長是1m的正方體，體積是1mo

相鄰兩個體積單位之間的進率是10001m3=1000dm31dm3=1000cm3

3、長方體的體積

長方體的體積二長X寬X高用字母表示：V=abh

4、正方體的體積

正方體的體積二棱長X棱長X棱長用字母表示：（a?a?a也可以寫作

讀作“a的立方”，表示3個a相乘）

5、底面積：長方體或正方體底面的面積叫做底面積。（也叫占地面積）。

6、長方體和正方體的體積公式：

長方體或正方體的體積=底面積X高；用字母表示：V二S底h（橫截面積相當于

底面積，長相當于高）。

7、一個長方休的長、寬、高（或正方休的棱長）分別擴大a倍，它的表面積就擴大

a2,長方體或正方體的長、寬、高同時擴大幾倍，體積就會擴大倍數的立方倍就是擴

大a3倍。（如長、寬、高各擴大2倍，體積就會擴大到原來的8倍）。（例如：長方體

長、寬、高分別擴大3倍，它的表面積就擴大3X3=9倍，體積擴大3X3X3=27倍）

:進率

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8、低級單位＜乂出玄》高級單位

x1tt牟

長度單位：千米(km),米(m),分米(dm),厘米(cm),毫米(mm)

1km=1000m1m=10dm1dm=10cm1cm=10mm1m=100cm

面積單位：平方千米(km?),公頃，平方米的2),平方分米(dm?),平方厘米(cm?)

〔kmz二100公頃=1000000m21公頃=10000m2

1m2=100dm21dm2=100cm21m2=10000cm2

體積單位：立方米（M）,立方分米（dm',立方厘米（cM）

1m3=1000dm31dmF000cm31m3=1000000cm3

容積單位：升(L),毫升(ml)

1L=1000ml1L=1dm31mL=1cm3

質量單位：噸(t),千克(kg),克(g)

1t=1000kg1kg=1000g

長度、面積、體積不可以相互比較,所以不可能相等。

9、一個長方體和一個正方體的棱長總和相等，但體積不一定相等，正方體體積大于

長方體體積。

10、箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。

11、固體一般就用體積單位，計量液體的體積，如水、油等，常用容積單位升和毫

升，也可以寫成L和ml。

13、把長方體或正方體截成若干個小長方體（或正方體）后，表面積增加了，體積

不變。用8個小正方體拼成的大正方體拿走一塊小正方體，體積減少，表面積不變。

14、容積的計算：

長方體和正方體容器容積的計算方法，跟體積的計算方法相同，但要從里面量長、

寬、高。（所以對于同一個物體體積大于它的容積）。

15、排水法：（計算不規則物體的體積）形狀不規則的物體可以用排水法求體積，形

狀規則的物體可以用公式直接求體積。排水法的公式:

「①容器的底面積X上升那部分水的高度。

被浸沒物體的體積等于

計算方法

上升那部分水的體積

I②放入物體后的體積一原來水的體積

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(1)裝滿水：排出水的體積二不規則物體的體積。

(2)放入物體后的總體積一放入物體前水的體積二不規則物體的體積。

V物體二V現在一V原來

(3)用裝水的長方體(或正方體)的長X寬X物體放入后水面上升的高度二不規則

物體的體積。V物體二S底X(h現在一h原來)

(4)因為放入物體前后底面積不會變。所以不規則物體的體積二長方體底面積X水

面上升的高度(放入物體后水面高度一放入前水的高度)。V物體二S底Xh升高。

16、物體的體積不會隨著物體的位置和形狀的變化而變化。把一個正方體鐵球熔鑄

成長方體，體積不變。

17.正方體的展開圖

正方體的平面展開圖一共有11種。

□口?,IIn5?

圖⑴圖⑵圖⑶圖⑷圖(6)

市

圖⑺圖(8)圖0)

0(11)

18、包裝盒能否裝下玻璃器皿，不僅要看體積，還要看物體的長、寬、高能否

裝下。

19、對于一個nXnXn的正方體，其涂色情況如下：

三面都涂色：8個(只有位于正方體8個頂點的地方才三面都涂色)

兩面涂色：(n—2)X12個(兩面涂色的位于正方體兩個面的交界處，但又不

在頂點處)

一面涂色：(n—2)X(n—2)X6個(一面涂色的小正方體位于正方體每個面

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的中心部位）

各面都沒有涂色二總塊數一三面涂色的塊數一兩面涂色的塊數一一面涂色的塊

數

第四單元分數的意義和性質

一、分數的意義

?在進行測顯、分物或U算時，往往不能正好得到整數的結果，這里常用金數來表示。

?一個物體、一個計量單位或是一些物體等都可以看作一個整體，一個整體可以用自然數1來表

示，我們通常把它叫做單位上。單位“「'與自然數1不同。單位的量也叫標準量，用來跟

標準量比較的量叫做比較量。

?單位“1”的找法廠是"、“占”、“相當于"、“比”字后面的量，”的”字前面的量。如果含有分數不帶單

位的那句話中一個關鍵字也沒有，可以加進去再找。

?把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數叫做分數

?3一＞分子：表示有這樣的幾份。二分數線表示平均分

T-A分母：表示把單位“1”平均分成的份數0

?寫分數時先寫分數線，再寫分母，最后寫分子。

?解決問題時，分數有帶單位時表示數量，最后帶什么單位就來分誰，分成幾份就除以幾；不帶

單位表示份數與數量無關。

?■單位“1”平均分成若干份.表示這樣一份的數叫做分數單位。（如:1三的分數單位是日，

它有16個這樣的分數單位。帶分數有幾個分數單位耍先把帶分數化成假分數，再看分了是多

少）一個分數的分母是幾，它的分數單位就是幾分之一；分子是幾，它就有幾個這樣的分數單

位。分母相同，分數單位就相同；分母不同，分數單位就不同。最大的分數單位是日，沒有最

小的分數單位，分母越小分數單位就越大。

?分數與除法的關系：（被除數相當于分數的分子；除數相當于分數的分母;除號相當于分數的分

數線）

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?被除數：除數二二分子《分母（除數不能為0,分母也不能夠為0）。a

4=（b#0）

?一個分數，不但可以從分數的意義上理解，也可以從分數與除法的關系上理解。例如：三表示

把單位“1”平均分成4份，取其中3份的數；也可以表示為把3平均分成4份，得1份的數。

?“求一個數是（占）另?個數的幾分之幾'’和"求?個數是另一個數的幾倍”都用除法計算,即一

個數+另一個數二一個數是另一個數的幾分之幾（或幾倍）。用“是”“占”前面的量除以他們后面

的量。求鵝的只數是鴨的兒分之兒用（鵝的只數）+（鴨的只數）=鵝的只數是鴨的幾分之兒。

二、真分數和假分數

?分子比分母小的分數叫做真分數。真分數小于1。

?分子比分母大或分子和分母相等的分數叫做假分數。假分數大于1或等于1。

?由整數（不包括0）和稟分數合成的數叫做帶分數。帶分數大于1。帶分數是一部分假分數（分

子不是分母的倍數）的另外一種書寫形式，所以分數只分為真分數和假分數。真分數V理假分

數。帶分數的讀法：先讀整數部分，再讀分數部分，中間加個“又”字。

?在［中（a為非0自然數），當水9時，它是真分數；當aN9時，它是假分數；當a是9的倍

數時，它能化成整數。

?把假分數化成整數或帶分數：根據分數與除法的關系，用分子除以分母。如果能整除時，那么

商就是所要化成的整數如果不能整除，那么商就是帶分數的整數部分，余

數就是帶分數的分數部分的分子，分母不變。分子除以分母商是4

作帶分數的整數部分，余數是2作分數部分的分子，分母是原來的分母3,

?帶分數化成假分數的方法：用帶分數的整數部分乘分母加分子作假分數的分子，分母不變。

?任何整數都可以看成分母是1的分數。當分子和分母相等時，分數值是1,是最小的假分數，

沒有最大的假分數。整數都比分數大是錯誤的

三、分數的基本性質

?分數的分子和分母同時乘或者除以相同的數（0除外）,分數的大小不變。這叫做分數的基本

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性質。

?利用分數的基本性質可以把分母不同的分數化成分母相同的分數；也可以把一個分數化成指定

分母的分數。

四、約分、通分

?幾個數公有的因數，叫做它們的公因數。其中最大的公因數，叫做它們的最大公因數。公因數

的個數是有限的。1是所有非。自然數的公因數。

?兩個數的公因數是最大公因數的因數；最大公因數是公因數的倍數。

?幾個數公有的倍數，叫做它們的公倍數。其中最小的一個公倍數，叫做它們的最小公倍數。公

倍數的個數是無限的。

?兩個數的公倍數是它們的最小公倍數的倍數；最小公倍數是公倍數的因數；最小公倍數的倍數

也是這兩個數的公倍數。

?任意兩個數的最大公因數和最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積,,任意兩個數的最小公倍數

一定大于這兩個數和最大公因數一定大于這兩個數是錯誤的。

?分解質因數：把一個合數分解成多個質數相乘的形式。

＞用濕除法分解質因數（合數=質數X質數X?…“X質數）。

＞比如：30分解質因數是：（30=2X3X5）

2I30

3I15

5

?互質數：公因數只有1的兩個數，叫做互質數。

＞兩個質數的互質數：5和7兩個合數的互質數：8和9

＞一質一合的互質數：7和8

派兩數互質的特殊情況：

（1）1和任何自然數互質；⑵相鄰兩個自然數互質；⑶兩個質數一定互質；

（4）2和所有奇數互質；（5）相鄰兩個奇數互質。

?最大公因數和最小公倍數的特殊求法：

當兩個數成倍數關系時，它們的最大公因數是較小數，最小公倍數是較大數；當兩個數只有公因

數1時（互質時），最大公因數是1,最小公倍數是它們的乘積。如：32是8的倍數，它們的最大

公因數是8,最小公倍數是32。（A+B=6或A=6B說明A和B成倍數關系則最大公因數是較小數

B,最小公倍數是較大數A）

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?一般關系的兩個數求最大公因數和最小公倍數的方法：

用12和16來舉例

令求法一：（列舉法）先分別找出兩個數的因數（倍數），再從中找出公因數（公倍數），最后找

出最大公因數（最小公倍數）。

令最大公因數的求法：令最小公倍數的求法：

12的因數有：1、2、3、4、6、1212的倍數有:12、24、36、48、

16的因數有：1,2,4,8.1616的倍數有:16,32,48....

公因數是1、2、4公倍數是48,96……

最大公因數是4最小公倍數是48

令求法二：（篩選法）

＞先找出兩個數中較小數的因數，再從中圈出另一個數的因數,最后看圈出的因數中哪一個最大。

如16和12的公因數:^,3,4,6,12

＞先寫出兩個數中其中一個數的倍數，再從中圈出另一個數的倍數，最后找出最小的一個。如

16和12的公倍數：16,32,48,64,80,好....

令求法三：（分解質因數法或短除法）

＞分解質因數法就是將幾個數各自分解成質因數的形式，把公有的質因數相乘得到的就是最大公

因數。除了相同的還要乘不同的數得到的就是最小公倍數。

12=2x2x3

16=2x2x2x2

最大公因數是：2x2=4（相同乘）

最小公倍數是：2x2x3x2x2=48（相同乘x不同乘）

＞短除法：用短除法求兩個數或三個數的最大公因數（除到互質為止）

用短除法求兩個數或三個數的最小公倍數（除到互質為止）

除到兩數互質時最大公因數是短除號前面的數相乘；最小公倍數除了短除號前面的還要乘以短

除號下面的數。三個數的最大公因數除到有互質的數就行，最小公倍數要除到任意兩個數都互

質為止。

?分數的分子和分母只有公因數1,像這樣的分數叫做最簡分數。

?把一個分數化成和它相等，但分子和分母都比較小的分數，叫做繼。約分通常要約成最簡分

數。約分和通分的根據是分數的基本性質。

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?約分的方法：

>逐次約分法：用分子和分母的公因數（1除外）依次去除分子和分母，除到分子和分母的公因

數只有1為止。

>一次約分法：用分子和分母的最大公因數去除分子和分母。

?分數比較大小的方法：

>分母相同的兩個分數，分子大的分數比較大。

>分子相同的兩個分數，分母小的分數反而比較大。

?把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數，叫做通分。

?通分的方法：通分時要用原分母的公倍數（最好是最小公倍數）做它們的公分母比較合適，把

每個分數化成用這個公倍數（最小公倍數）作分母的分數。

五、分數和小數的互化

?小數化成分數的方法：因為小數表示的是十分之幾，百分之幾，千分之兒……的數，所以可以

直接寫成分母是10、100.1000……的分數。原來是幾位小數，就在1后面寫兒個0作分母，

把原來的小數去掉小數點作分子，能約分的要約成最簡分數。

?分數化成小數的方法：

X（1）當分母是10,10,1000……的分數化成小數，可以直接去掉分母，看1后面有幾個0,

就從分子的右邊起向左數出幾位，點上小數點，如果位數不夠時，用“0”補足。

※（2）分母不是10,100,1000……的分數化成小數，根據分數與除法的關系，用分子除以分母,

除不盡時，要根據需要按“四舍五入”法保留幾位小數。如果沒有特殊要求，一般保留兩位小

數。

?一個最簡分數，如果分母中除了2和5以外，不含其他的質因數，就能夠化成有限小數。如果

分母中除了2和5以外，還含其他的質因數就不能夠化成有限小數。

第五單元圖形的運動（三）

?描述圖形的旋轉時，要說清楚“繞哪個點旋轉”“向什么方向旋轉”“旋轉了多少度”。也就是

要明確旋轉中心，旋轉角度和旋轉方向。

?旋轉的三要素：旋轉中心（固定點），旋轉角度和旋轉方向。旋轉方向分為順時針旋轉和逆時

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針旋轉。

?圖形旋轉的特征：旋轉中心的位置不變，過旋轉中心的所有邊旋轉的方向相同，旋轉的角度也

相同。

?圖形旋轉前后，形狀和大小都沒有發生變化，只改變了物體的位置。旋轉點o點位置不變。鐘

表上共有12小格，每一格為30°。

?在方格紙上畫簡單圖形旋轉90。的方法：

派①找出原圖形的關鍵點，根據旋轉點和旋轉方向，借助三角尺作某一條線段的垂線；

派②從旋轉點開始，在所作的垂線上量出與原來線段相等的長度，并標出對應點；

X③順次連接所畫出的對應點，就得到了旋轉后的圖形。

第六單元分數的加法和減法

一、同分母分數加、減法

＞分數加法的意義與整數加法的意義相同，都是把兩個或兩個以上的數合并成一個數的運算。

＞同分母分數相加，分母不變，只把分子相加；計算的結果，能約分的要約成最管分數。

＞分數減法的含義與整數減法的含義相同，都是已知兩個數的和與其中的一個加數，求另一個加

數的運算。

＞同分母分數減法的計算方法：分母不變，分子相減。

二、異分母分數加、減法

異分母分數相加、減，先通分，再按照同分母分數加、減法的計算方法計算。異分母分數不能直

接相加減是因為他們的分數單位不同。結果要約成最簡分數。

三、分數加減混合運算

＞分數加減混合運算的運算順序與整數加減混合運算的順序相同。沒有括號的，按照從左到右的

順序依次計算。有括號的先算括號里面的，再算括號外面的。

＞計算沒有括號的異分母分數的混合運算，可以分步通分進行計算，也可以將幾個分數一次性通

分進行計算。

＞整數加法的交換律、結合律和減法的運算性質在分數加、減法中同樣適用。利用運算定律可以

使一些分數計算變得簡單。

?運算定律：加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，它們的和不變，即a+b=b+ao

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