2025年北京某中學高二（下）期中數學試卷（含答案）

2025北京北師大附中高二(下)期中

數學

考

1.本試卷有三道大題，共6頁.考試時長120分鐘，滿分150分.

生

2.考生務必將答案填寫在答題紙上，在試卷上作答無效.

須

3.考試結束后，考生應將答題紙交回.

知

一、選擇題共10小題，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一

項.

1.在等差數列｛"J中，%%則4=()

A.4B.5C.6D.9

2.己知函數/(x)=cos2x,則/'()

A.-2B.-1C.2D.1

3.學校組織游學，學生可以從華山、衡山、恒山、嵩山四個景點中任選一處前往，3個好朋友每人

隨機選擇一個目的地，不同選法的種數是()

A.81B.64C.24D.12

4.已知函數/(x)=Sinx—；x,則在下列區間上，/(x)單調遞減的是()

A.1別B.陷

5.設等比數列｛%｝的前〃項和為S”.若q=l,S3=|,則S4二()

751

A.-B.-C.0D.--

882

6.已知函數/(x)=3(2—〃門x—小/在工=1處取得極小值，則〃?的值為()

A.-2B.1C.一2或ID.-1或2

7.等比數列｛qj中，公比為g,則“%+2>%”是“4>1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

8.已知定義在R上的函數/(K)的導函數/'(x)的圖象如圖所示，下列命題中正確的是()

A.7是/(力的極值點

B./")在區間(-8,-3)上單調遞增

C.-3是/,(X)在區間[-4』上的最小值點

D.曲線y=/(x)在點(OJ(O))處的切線斜率小于零

9.設數列｛%｝的前〃項和為5“.若％=2,S”=(〃+?凡,則4=()

A.18B.12C.6D.3

1().若數列｛%｝各項均為正數，且川則下列結論錯誤的是()

A.對任意〃22,an>\B.當q<2時，存在〃之2,使得勺>2

C.｛%｝可以是常數列D.當q>2時，對任意〃22,an<a]

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.曲線y=xlnx的一條切線斜率為0,則該切線的切點坐標為.

12.3名學生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數為.(結果用數字作

答)

13.己知函數/(力=處的導函數為了'(X),對任意xwO,/(x)>/'(x)恒成立，則。的一個取

A

值可以是________

14.數列｛%｝滿足：對任意左數列%i，-。2r是公差為4.的等差數列，且數列｛4｝

也是等差數列.若q=0,%=4,%=24,則氏=；｛%｝的前9項和等于.

15.己知函數/。)=1三一(丘+b),k,bwR,給出下列四個結論：

①當女=0時，/(工)有1個極值點；

②當時，/(x)存在極值點；

O

③當人=0時，有1個零點；

④當0<6<:時，存在實數A,使得了（x）有3個零點.

其中所有正確結論的序號為.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在等差數列｛〃”｝中，a6=-6,a7=-3.

（1）求｛%｝通項公式及其前〃項和S.的最小值；

（2）若數列也｝為等比數列，旦4=佝，&=%,求也｝的前〃項和7；.

17.已知函數/'（x）=>-3%2-9X+C（C￡R）.

（1）求/（X）的單調區間；

<2）若/（X）在區間［-2,4］上的最大值為7,求它在該區間上的最小值.

18.在數列｛。”｝中，q=2,an+｝=aH+T.

（1）求｛%｝的通項公式；

（2）若數列出“｝滿足對任意［wN"，2凰="+&2,且4=3,4=%+1，設其前〃項和為

S”.

「'冷新萬J1I的、,.〃西和+r步1T，

（1）設數列的刖〃項和為4,求證：Tn<—\

5）若對任意〃wN*，4-5W/1%恒成立，寫出實數4的最小值.（結論不要求證明）

19.已知函數/（x）=e'（V+。工+1）（。GR）.

（1）當。=0時，求曲線J，=/（x）在點（0,/（0））處的切線方程；

（2）求/（力的單調區間，

（3）若對任意xe（0,+8）,/（x）〉l恒成立，求實數〃的取值范圍.

20.已知函數/⑴Jn（l+"2（〃—R）的定義域為（一1,0）。（0，+8）.

X

⑴求加的值;

（2）求證：/（工）不存在極值點；

（3）對任意給定的。￡（0』），求證：關于x的方程/（工）=。恰有一個正根.

21.已知數列｛%｝,若存在TwN'，使得對任意〃EN*，都有氏+7=凡，則稱｛%｝為周期數列,

2bit,2bn<a,

其中滿足條件的最小的7稱為｛%｝的最小周期.設數列也｝滿足4=6,b>>+]=

2b“-a,2b,t>a.

其中a>b,a手2卜b，AwN.

（1）當Q=5,/）分別為1,2,3,4時，直接寫出數列也｝的最小周期；

（2）當。=17時，求證：對任意bwNZ也“｝的最小周期為定值；

（3）當。為大于2的質數，6=1時，設7為也｝的最小周期，S…+.求

a

證：S為整數.（參考結論：若p為大于2的質數，則2。一1一1是2的倍數）

參考答案

一、選擇題共10小題，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一

項.

1.【答案】C

【分析】利用等差數列的通項公式來求解即可.

【詳解】由設等差數列的公差為4,則二"二七一’:3,

9-54

故4=6+"=3+3=6,

故選：C.

2.【答案】A

【分析】利用復合函數求導，再求值即可.

，兀、71

【詳解】求導得/”(x)=-2sin2x,所以/'-=-2sin-=-2,

故選：A.

3.【答案】B

【分析】利用分步計數原理即可求解.

【詳解】學生可以從華山、衡山、恒山、富山四個景點中任選一處前往，

則每人有4種選法，所以3個好朋友的選法共有4'=64種，

故選：B.

4.【答案】D

【分析】求出函數的導函數，再解關于導函數的不等式，即可求出函數的單調區間，從而得解.

【詳解】因為/(x)=sinx-」x,所以/'(x)=cosx-‘，

22

令/即cosx-，<0,解得Z+2E<X<2+2E,AEZ,

233

所以函數的單調遞減區間為(：+2E,￡+2E)入Z,結合詵項可知只有D符合撅意.

故選：D

5.【答案】B

【分析】利用等比數列的求和公式即可求解.

【詳解】設等比數列｛為｝的公比為人由于S3H3q,所以9工1,

%(1-0

1-q-.23

則由公式可得$3==-9

1一夕i-q

解得q=-所以84二二——L—

2"q1+18

2

故選：B

6.【答案】A

【分析】利用極值點的導數值為0,再進行檢驗，即可得解.

【詳解】求導得/'(x)=3(2—〃1')一3機則/⑴=3(2-m')-3m=0,

解得：加=一2或〃2=1,

當〃z=—2時，/'(X)=-6+6x?,

由于XE(-1,1),/''(工)二-6+6/<(),xw(l,+8),/(X)=-6+6/>o,

所以函數在x=l時有極小值，

當〃7=1時，/''(X)=3-3x2,

由于不￡(一1,1),/z(x)=3-3x2>0,XG(1,+<X>),/'(J)=3-3x2<0,

所以函數在X=1時有極大值，故舍去〃?=1,

故選：A.

7.【答案】D

【分析】由等比數列的性質判斷％+2與的推出關系，結合充分、必要性的定義即可得答

案.

【詳解】由%+2=//>〃”，

所以《二或〈，故不一定有9>1，充分性不成立；

0<夕2<］曾2〉］

2

當4>1時，an+2=anq,當。〃<0則q*<。“，當。”>0則凡+2>。〃，必要性不成立；

所以“%+2是“4>1”的既不充分又不必要條件.

故選：D

8.【答案】C

【分析】根據導函數的正負，可確定/,(x)的單調性，即可結合極值和選項逐一求解.

【詳解】由/'(X)的圖象可知:當x<—3時，/\x)<0,當xN-3時，/'(J)NO,

故/(x)在(一。,一3)單調遞減，在(-3,+動單調遞增，

故x=-3是函數/(x)的極小值點，也是上的最小值點，故A錯誤，B錯誤，C正確,

由圖可知：/'（o）>（）,因此曲線歹=/（》）在點（OJ（O））處的切線斜率大于零，故D錯誤，

故選：C

9【答案】B

【分析】根據%=S”-Sx（〃N2）作差得到（〃-再一一求出前幾項即可.

【詳解】因為S"=（"+l"”,當〃22時Si二歲，

所以S“一S”.=5+1）/_^±±,即2%=（〃+1）。“一〃。1,

nn-I22"\〃?1

所以（〃-1）%=〃%.］，

又q=2,所以％=2%=4,

由2。3=3。2，則生=6,由3%=4%,則％=8,由4%=5%,則％=10,

由5a6=6a5,則％=12.

故選：B

■.【答案】B

【分析】先求得%M與%的遞推關系式，利用差比較法、換元法，結合二次函數的知識以及差比

較法求得正確答案.

【詳解】由匕i一〃“+1=atl，得一%+「/=°，

則△=1+4%,依題意見>0,所以A=l+4%>1〉（），

由于1-J1+4%<。所以可由—%.一4=0,解得。用=1+"：4一（負根舍去），

對于A：由于1+4%>1,所以Ql+Jl+也>匕1=］,即對任意〃22,%>1,故A正

22

確；

對于B：因為匕］-%=%&>0）,

又0<%<2,則0<。；一生<2,即1<生<2,

又4；一生二。2，即1<。；一為<2,則1<<2,

同理可得，當〃22,都有故B錯誤；

對于C〃…+①,

〃十】〃2〃22〃

若g+J*_4:0,解得a〃=2,此時｛%｝是常數列，故C正確；

對于D：因為*+「《用=%＞0），

當q＞2,則域一生＞2，即。2＞2,

同理可得，當“22,都有勺＞2,

乂/+「〃”=2。,川一匕小。川（2一。0+J＜0,即數列｛an｝為遞減數列,

即當〃之2時，2＜%＜《，故D正確.

故選：B

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.【答案】

leej

【分析】利用乘積導數，結合導數的幾何意義，即可求解.

【詳解】求導得V=l+lnx,由曲線y=Wnx的一條切線斜率為o,則

y'=1+Inx=0nx=一,

e

又當x=，時，＞?=—lni=--,

eeee

（11）

故該切線的切點坐標為一，--，

kecj

故答案為：f—-

\ee；

12.【答案】72

【分析】不相鄰問題用插空法，先將3名學生全排列，再將2位老師插空.

【詳解】先將3名學生全排列,有A；種排法，

再將2位老師插空，有A；種排法，

所以一共有A；A；=72種排法.

故答案為：72

13.【答案】1（答案不唯一，只要滿足。＞0即可）

【分析】求導，根據/（x）＞/'（x）恒成立，化簡，將問題轉化為￡＞0,即可求解。＞0.

【詳解】由/"）=辿可得/'（X）="心：一、="'（：一1）,

XXX

由/（x）＞r（x）可得竺1＞竺工二。對任意工/o恒成立,

XX

故1）=幻值_4]對注意xwO恒成立，

X二X\XXJ

故二＞（）對任意xwo恒成立，因此只需要。〉0即可，

廠

故答案為：1（答案不唯一，只要滿足。〉0即可）

14.【答案】①.12②.140

【分析】設等差數列｛4｝的公差為，/,利用，/依次表示。5,生,進而求出4%；再求出他即可求

出前9項和.

【詳解】設等差數列｛4｝的公差為d,依題意，卬,生，。3成等差數列，公差4=4二?'=2,

由小，/，牝成公差為4的等差數列，得。$=小+2出=4+2（2+d）=8+2d,

由A，6,。?成公差為4；的等差數列，得由=%+2c/j=8+2d+2（2+2c/）=12+6d.

而為=24,即12+64=24,解得c/=2,所以6=12；

則4=4+34=8,由《7,4，。9成公差為d4的等差數列，得4=。7+2〃4=40,

所以｛。〃｝的前9項和Sg=%+"+%+%:%+%+%+%

=3%+2（%+%+%）+3/=3x0+2（4+12+24）+3x40=140.

2222

故答案為：12；140

15?【答案】①④

【分析】對①：借助導數研究函數的單調性即可得極值點個數：對②：借助導函數的導函數研究導

函數可得導函數無零點，故函數不存在極值點；對③：舉出反例即可得；對④：將零點個數轉化為

直線＞="+/）與曲線y二7，的交點個數，從而可通過研究過（0力）的曲線歹二^^的切線,

1

結合零點的存在性定理得到直線y=去+/，與曲線V=的關系.

3+x2

]/12x

【詳解】對①：當女二。時，/（上.》/“（*E'

則XE（-8,0）時，當XW（0,+8）時,/\x）＜0,

故/⑺在（-8,0）上單調遞增，在（0,+8）上單調遞減，

故對任意bwR,/（X）有1個極大值點x=0,故①正確；

-2x

對②：當〃時，/'（X）,2

oI3+X

17必須有解'

若/‘(X)存在極值點，則/“(X)有變號零點，則“二

一2（3+/）+8/（3+/）_-2x24-8x2-6_6（x-l）（x+l）

則g'（x）

（3+n4-（3+1）3-（3+/7

故當工￡(-8,-1)。(1,+8)時，g'(X)>0,當XE(-1,1)時，g'(X)<0,

故g(X)在(-8,-1)、(1,+8)上單調遞增，在(T1)上單調遞減，

,、,、-2x(-1)1

又xNO時,g(x)<o,g(-I)=2=-,

(3+1)8

即g(x)〈)恒成立,

故當時,故②錯誤;

8O

對③：當b=0時，/(x)=—二一區，

JI人

當左二。時?，/(x)=—!-^>0,此時函數/(工)無零點，故③錯誤；

。I.1

對④：當0<6<?時，若存在AwR,使得/(x)有3個零點，

則直線歹二履+力與曲線>=—!~二有三個不同交點，

3+x

1(1A

由直線>=區+6過點(0,6),曲線y二:;——過點0,-,

3IX\3,

又y=■是偶函數，旦在(0,+。)上單調遞減，

故當A<0時，直線>與曲線)>二」下在第二象限必有一交點,

3+廣

同理，當〃>0時，直線)，="+6與曲線在第一象限必有一交點,

3+x

過點(0/)作曲線歹=1的切線，設切點為％,］、

3+x3+x工

_

1_2x0

則切線方程為“不T3癡（io）,

3（3+1）J

由o</?<?!■,則即（年+1）2-5卜；+1）+4>0,

3

即（x；+l-4）（*+l-l）=x；（x；-3）>0,即x；23,

故當0c時，存在與4一8,-6）U（6,+8）,

1（?A

使曲線歹=——T有過點（0力）的切線，且切點為x,--

3+廠I03+xJr

（--2xo0

當方>退時，切線斜率為0十及1°，

則當左￡--二T,0時，有〃Xo）vO，又/（0）=:-〃>0,

［。+獷J3

則存在石￡（0,玉），使/（百）=0,

此時函數歹=去+方單調遞減，而y=丁二>0恒成立，

3+廠

故存在/￡（/，+8）,使/（工2）=0，

/\

即當%>6時，存在"￡口。、一0，使得/（x）有3個零點,

〔（3+片一

同理可得，當x0<—時，存在kw0-2X（）,使得/（x）有3個零點，故④正確.

［（3+斕1

故答案為：①④.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.【答案】（1）%=3〃-24,最小值為-84

（2）北二抑7）

【分析】（1）根據題意，列出關于4，d的方程，代入計算，再由等差數列的前〃項和公式，即可

得到結果；

(2)根據題意，由等比數列的前〃項和公式，代入計算，即可得到結果;

【小問I詳解】

設等差數列｛%｝的公差為d.

a.=-6[a,=—21

因為〃6=-6,%=-3,所以《?…解得】.，

q+6d=-3[a=3

所以=q=3/?-24.

J_15?_675

所以s_(%+%)〃—(3"-45)〃_2J4?

J”===

"222

因為〃eN*，所以當〃=7或〃=8時S.取得最小值，

且最小值為SLSL'qS"7"

【小問2詳解】

由(1)可得：。=佝=3,b2=a1]=9,

b9

所以等比數列｛"｝的公比為q=j=5=3,

所以"=*/I=3〃，所以等比數列｛bn｝的前〃項和Tn==3(；；)=|(3"-1).

17.【答案】(1)單調遞減區間為(一1,3),單調遞增區間(一巴一1),(3,+8)

(2)-25

【分析】(1)求出函數的定義域與導函數，再解關于導函數的不等式，即可求出函數的單調區間;

(2)結合(I)可知函數的單調性，從而由函數的最大值求出。的值，即可求出函數的最小值.

【小問1詳解】

函數/匕)=丁-3/-9x+c(cwR)的定義域為R,

又/'(%)=3%2-6x-9=3(x-3)(x4-1)

令/'(x)<0,解得一l<x<3,令/'(x)〉0,則x<—1或x>3,

所以/(x)的單調遞減區間為(-1,3),單調遞增區間(-%-1),(3,+。).

【小問2詳解】

由(1)可知/(x)在上單調遞增，在(-1,3)上單調遞減,在[3,4]上單調遞增，

又/(_1)=_|—3+9+C=5+C,/(4)=-20+c,

則5+c=7,解得c=2,

所以/(力二/一3/一”+2,又/(—2)=0,/(3)=-25,

所以/⑴在區間［-2,4］上的最小值為-25.

n

18.【答案】(1)an=2

(2)(i)證明見解析；(ii)1

【分析】(1)利用累加法計算可得；

］2

(2)(i)依題意可得｛，｝為等差數列，求出其通項公式，卻可求出S.，由不二1

3〃—53〃一5

利用裂項相消法計算可得；(ii)參變分離可得對任意〃wN"，2之一^廣恒成立，令。

利用作差法判斷其單調性，即可求出從而求出義的取值范圍.

【小問1詳解】

因為。向=/+2",即％川-%=2"，

:

所以%-4=2、-a2=2,...?%=2"7將這〃一1個等式累加,

2—2'1\

得=2+2?+…+2〃T__^J=2"_2，

“11-2

又q=2,所以4=2”,

因為q=2也滿足為=2",所以凡=2”.

【小問2詳解】

(i)因為乃川=包+4+2,所以也｝為等差數列，

設公差為4,又h=3,4=43+1=9,所以d=：=3,

所以a=3〃，則S“二(3+3〃)〃

2

22

<3；

3

(ii)因為對任意〃EN"，"一“恒成立,

即對任意〃<N*，3〃-54〃2”恒成立,

3〃一5

所以對任意〃WN"，4之一-—恒成立，

2"

3/7-53/7-23/2-53/2-2-2(3/?-5)8-3〃

令c〃二方二，則-----十=------/-----i二行丁，

J乙乙乙乙

所以當1W〃W2時％+]—q,>0,當〃之3時%+1-c“<0,

所以qV。2<。3>。4>。5>…，

所以(C)=1,所以丸之工，則實數彳的最小值;.

\n/maxZ

19.【答案】(1)y=x+\

(2)答案見解析(3)[-L+8)

【分析】(1)求出函數的導函數，利用導數的幾何意義求出切線的斜率，即可求出切線方程；

(2)求出函數的導函數，分。<0,4=0,。>0三種情況討論，分別求出函數的單調區間；

(3)結合(2)分〃20、一[44<0、QV—1三種情況說明/(1)在(0,+8)上的單調性，再由

/(0)=1,即可求出參數的取值范圍.

【小問1詳解】

當a=0時/(x)=e'(F+]),則/(o)=i,/,(x)=ev(x2+l)+2A-ev,

所以/"(0)=1,則切點為(0,1),切線的斜率％=1,所以切線方程為y=x+l；

【小問2詳解】

函數/(x)=e'(V+ax+l)的定義域為R,又/'(x)=e'(x+〃+l)(x+l),

當〃<0時，則當一1<工<一1一Q時/'(工)<0,當x>-1一。或工<一1時/”(x)>0,

所以/(x)的單調遞減區間為(一1,一1一。)，單調遞增區間為(—1一。,+8)，(-8,—1):

當a=0時/'(X)=e、(x+l)&0(當且僅當x=—l時取等號)，

所以/,(x)的單調遞增區間為(一%+R),無單調遞減區間：

當〃>0時，則當一1-q<x<T時/'(x)<0,當x>-1或工〈一1一0時/'(x)>0,

所以/(工)的單調遞減區間為(一1一。,一1)，單調遞增區間為(-1,+。)，(-09,-1-67)；

綜上可得：

當〃<0時/(X)的單調遞減區間為(一1,一1一。)，單調遞增區間為(一1一出+8),(-8,-1)：

當。=0時/(X)的單調遞增區間為+。)，無單調遞減區間；

當Q>0時/"）的單調遞減區間為（一單調遞增區間為（-1,+功，（-8,-1一〃）.

【小問3詳解】

由（2）可知，當時/（工）在（0,+。）上單調遞增，/'（0）=1,

所以當X?（）,+8）,/（可>1恒成立，符合題意；

當。<0時，

若"，即-1<4<。時/"）在（°，+。）上單調遞增，/（°）=晨

所以當xe（0,+8）,/（x）>l恒成立，符合題意;

若一1一〃>0,即4<一1時/（x）在（0,-1一〃）上單調遞減，在（-1-Q,+8）上單調遞增，

所以當xw（O,—l—a）時/（”</（0）=1,不符合題意；

綜上，當時，對任意的工￡（0,+8）,/卜）>1恒成立，即實數。的取值范圍為[-1,+8）.

20.【答案】（1）1（2）證明見詳解

（3）證明見詳解

【分析】（1）分析出要使函數/（x）有意義，須滿足｛1；肅*>0,再分〃7>0和〃7<0解不等式組

即可求出〃，的值；

（2）先求出/'（X）,構造函數g（x）=x-（l+x）ln（l+x）,借助導數研究其單調性及最值，得到

g（x）vg（0）=0,而1=0不在函數/（x）的定義域內，即可得證：

（3）由（2）推出/（x）在（0,+紇）上單調遞減，再由洛必達法則求出x->0+和工->”時

/"）=■（+*）的極限值,即xw（O,+。）時/（x）的值域，即可得證.

X

【小問1詳解】

要使函數/（力=電。土竺）（M€R）有意義,須滿足｛1；篇,0，

JC

若〃7<0,解得X￡（-3,O）U[O,一￡J,不符合題意，舍去；

若〃7>0,解得一~-,0U（0,+8）,

因為函數/*）的定義域為（-1,0）"0,+力）,

所以---=-1,解得m=1；

m

【小問2詳解】

由(1)知，/(x)Jn(l+M,

JC

所以儀a二市―ln(l+x)xln(l+x)x-(l+x)ln(l+x),

J[x2"(l+x)x2X2-x2(l+x)

令g(x)=x-(l+x)ln(l+x),

所以g1x)=l—(l+x)'ln(l+x)-(l+x)[ln(l+x)]

=1-ln(l+x)-=-ln(l+x),

因為ln(l+》)在(TO)U(O,+8)上是單調遞增的，

所以當-l〈x<0時，ln(l+x)<0,g'(x)>0,g(x)在(一1,0)上單調遞增：

當x>0時，ln(l+x)>0,g'(x)<0,g(x)在(0,+a)上單調遞減，

所以g(x)在x=0處取得極大值,即g(x)<g(O)=0,

但是x=0不在函數/CO的定義域內，

因此/'(X)在定義域內沒有零點，即/(x)不存在極值點；

【小問3詳解】

由⑵知g(x)在(0,+。)上單調遞減，且g*)vg(O)=O,

所以/(x)V0,即/(X)在(o,+a>)上單調遞減,

1

當X.0+時，由洛