深圳市某中學2026屆高三（下）二輪二階測試數(shù)學試題

深圳中學2026屆高三二輪二階測試

數(shù)學試題

注意事項，

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題K上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，每小JB只有一個選項符合要求

1.已知集合力={x|log2x<l},8={xI3x—1>0},則1U8=

A.(-y,2]B.(y,+00)C.(0,+oo)D.R

2.命題xERt3”的否定是

A.VxeH.eVB.C.Vxd>3D.3xG/?,ex>3

3.若aVAV0,則下列不等式成立的是

b、a亭

A.a2<b2B.a-<abC.￡>萬D*>2

4.已知空間向量Z=(1,0,0),6=(0,1,0),則下列選項可以與落日構(gòu)成空間向量的一組基底的是

A.3=(0,0,0)B.c=(0,0,l)C.c=(l,l,0)D.3=(1,2,0)

5.已知數(shù)列{a,}，{aJ均為等差數(shù)列，且的+8=4,%+人9=8,則a』+h7=

A.5B.6C.7D.8

6.在平面直角坐標系x0，中，如圖所示,將一個半徑為1的圓盤固定在平面匕圓盤的圓心與原點重合，圓

盤.上纏繞著一條沒有彈性的細線，細線的端頭M(開始時與圓盤上點4(1,0)重合)系著一支鉛筆，讓細

線始終保持與圓相切的狀態(tài)展開，切點為4,細繩的粗細忽略不計，當伊=2rad時，點M與點。之間的距

離為

數(shù)學試題第1頁共4頁

7已知函數(shù)/(x)=x3+ax2-\-bx+c,且0</⑴=/(2)=/(3)函3,則c的取值范圍為

A.(-oo,-6)B.(-6,-3)C.(-6,-3]D.[-6,-3)

8.已知關(guān)于z的方程+++有四個互不相等的根，若這四個根在復平面上對應

的點共圓，則。的取值可能是

A.-4B.-6C.-7D.-9

二、多選題，本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全

部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某校高三數(shù)學考試的預估均分與實際均分存在略微差異，為評選“最難人的代表”，有同學統(tǒng)L了歷次考試

分差并得到一組數(shù)據(jù)：7.7,8J8.2,8.7,94,9.5，若去掉一個最高分和一個最低分，則

A.這組數(shù)據(jù)的極差變小B.這組數(shù)據(jù)的均值不變

C.這組數(shù)據(jù)的方差變小D.這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)不變

10.某彗星的運行軌道是以太陽為一個焦點的橢圓，測得軌道的近日點(距離太陽最近的點)與太陽中心的

距離為4,遠日點(距離太陽最遠的點)與太陽中心的距離為出，并且近日點、遠日點及太陽中心在同一

條直線上，則

軌道的離心率為等今

A.軌道的焦距為4+d2B.

當，越大時，軌道越扁

C.軌道的短軸長為2向不D.

11.己知角a,4滿足tana?tan￡=:an(a+6)，則

A.存在。在第一象限，0在第三象限B.存在a在第一象限，尸在第四象限

C.存在a在第二象限，成在第三象限D(zhuǎn).存在a在第二象限，尸在第四象限

三、填空本j■共3小題,每小題5分，共15分

12設(shè)隨機變量J服從正態(tài)分布N(2,1),若1)=P4Va)，則a=

13.若四面體ABCD中，=CD=百，〃C=D4=加，力C=,則四面體ABCD的體積是

14.已知直線y=-x+?，e&)與曲線/(x)=W+x+1,g(x)=lnx分別交于力，8兩點，則|48/=.

四、解答川本JR共5小J■，共77分，解答應寫出文字說明,證明過程或演算步充

15.如圖，在△川9c中,。是邊8c上一點,AB=AD,記NCAD=a,/.ABC=4a/G(0,要)，滿足sina+

cos2/?=0.

(1)求/加C的值：

(2)若XC=6OC,求力的值.

數(shù)學試題第2頁共4頁

16數(shù)列｛?,｝滿足對任意的正整數(shù)〃，函數(shù)/(x)=千+1nx—(%+2)x均存在兩個極值點X,,VA

(1)證明/+匕＞2;

(2)若=(〃+1)〃”,求｛%｝的前〃項和Sn.

17.如圖，四棱錐P-48c。中,以=尸。=力。=。。=2,48=1,48〃CQ且48_1,力。.

(1)若平面PAD±平面川?。。,證明:平面PBC±平面PCD：

(2)若BC_L求平面尸8c與平面PCD的夾角的余弦值.

數(shù)學試題第3頁共4頁

18設(shè)。為實數(shù)，口是以點(0,0)為頂點，以點F(0,/)為焦點的拋物線，心是以點力(0,。)為惻心、半徑為

1的圓位于y軸右側(cè)且在直線y=。下方的部分.

(1)求口與心的方程；

(2)若直線》=x+2被&所截得的線段的中點在門上，求。的值；

(3)是否存在a,滿足:A在儲的上方，且「2有兩條不同的切線被「所解得的線段長相等？若存在，求出。

的取值范圍;若不存在,請說明理由.

19.數(shù)學中的等效性與對稱性不僅體現(xiàn)在幾何和函數(shù)中，還體現(xiàn)在概率問題中.已知一個不透明的解子中有

編號分別為1,2,3,…，2〃的2〃個小球(〃>2),除編號外，小球的大小、質(zhì)地完全相同.現(xiàn)從中一次性隨

機摸出左個小球.

(1)若〃=4,A=3,求這〃個小球編號兩兩不相鄰的概率：

(2)記X,y分別為摸出的這4個小球的最大、最小編號，求以X+Y)；

(3)若a=〃，記△表示摸出小球的最大最小編號之差，A表示未摸出小球的最大最小編號之差，記26)

=P(A=A),證明8⑷>得(一吉).

參考公式:已知隨機變量的期望具有線性可加性，即對于隨機變量乙八有￡(j±〃)=￡4)±￡(〃)..

數(shù)學試題第4頁共4頁

參考答案

I.C

【解析】由已知A={x|log2x<1}={xI0VxV2},8={x|3x—1>0}={xx>-y}，所以4

>()}.

2.C

【解析】命題“二丫€心^&3”為存在量詞命題,該命題的否定為“VxWR,e'>3”.

3.D

【解析】因為aVbVO,所以一。>—b>0,所以(-4)2>(一份2,即標>〃，故力錯誤；

因為aVbV0,所以H>而，故5錯誤;

由/知〃>人兩邊同乘以正數(shù)左，則常.，故。錯誤；

因為aVbVO,所以菅+菅>2)￡,車=2(ar6,等號不成立)，故￡+號>2

,。正確.

4.B

【解析】對于月，由于基底向量不能是零向星，故月錯誤，

對于4,由于才=(0,0,1)與人日不共面，符合基底要求，故4正確，

對于C,1=(1,1,0)=)+日,故方，日,一共面,不符合要求，C錯誤，

對于。工=(1,2,0)=方+2唬故心唬^共面,不符合要求，D錯誤.

5.B

【解析】因為的+仇=4,%+自=8,所以的+1+&++=12,即的+他+仇+2=12,根據(jù)等差數(shù)列的

性質(zhì)可知。3+“5+優(yōu)+仇=2。4+2Z>7=12,所以〃4+b[=6.

6.D

1

【解析】展開過程中：BM=AB=(p-R=2,BO=1tMO=dBMYBO=75.

7.C

,-,」~八.、垢5心fa=-6

【rA解,析+t】由/⑴=〃,/c2\)=/(3)得:%(1++aa+Z"?+cc==287++4a9a++23A+"cc,解得{=U

.\/(X)=X3-6A-2+UX+C.由OV/(1)&3得:0Vl-6+U+C43,解得:C€(-6,-3].

8.C

【解析】因為z2-4z+5=(),即(z-2)2=-l=(±i)2,解得z二2±i,

設(shè)所對應的兩點分別為N、8,則4(2,1)、4(2,-1),

設(shè)Z2+QZ+9=0的解所對應的兩點分別為C、。，記為C(X1Ji).D(x2.y2),

當△V0,即標—36V0,解得一6V4V6,即一6VaV6時，

因為44關(guān)于x軸對稱,且C,。關(guān)于x軸對稱，

當A,B,C,D四點共線時，。二一4,不合題意，

除此種情況，以力、氏C、。為頂點的四邊形為矩形或等腰梯形，所以力、氏C、。四點共圓；

當A>0,即a>6或a<—6時,此時。3,0),力(4,0),且閑.*=—^-,X[X2=9,

故此圓的圓心為a(—發(fā)，0),半徑r=與對="36,

參考答案1頁共6頁

又圓心Q到A的距離='(2+號/+口=’?，解得q=一7,

綜上可得aW(-6,-4)U(-4.6)U{-7}.

9.ABC

【解析】對于4原來6個數(shù)據(jù)的極差為9.5-7.7=1.8,

去掉一個最高分和一個最低分后這組數(shù)據(jù)的極差為9.4—8.2=1.2,極差變小了，故力正確；

對于B,原來6個數(shù)據(jù)的均值為77+8.1+X.2%8.7+9.4+9'=86>

0

后來這4個數(shù)據(jù)的均值為土紀產(chǎn)±24.=8.6,所以均值不變，故4止確；

對于C,原來6個數(shù)據(jù)的方差為

y[(7.7-8,6)2+(8.1-8.6)2+(8.2-8.6)2+(8.7-8.6)2+(9.4-8.6)2+(9.5-8.6)2]?0.45,

后來這4個數(shù)據(jù)的方差為十[[8.1—8.6)2+(8.2—8.6)2+(8.7—8.6)2+(9.4—8.6)2]々0.27,

所以這組分值的方差變小，故C正確；

對于。，因為6x年=4.5,所以原來6個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為9.4,

又4x卷=3,所以后來這4個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為g24=9,05，故D錯誤.

10.BC

【解析】由題知f，解得a=華蟲，c=普心，

對于選項A,因為軌道的焦距為2c=4一4，所以選項A錯誤，

對于選項B,因為離心率為?=%。，所以選項B正確，

CI?21?)

對于選項C,因為軌道的短軸長為2后二『=2且『-(巧&)2=2畫，所以選項C正確，

1-A

對于選項。，因為華言=—3=_1+，■廠，則4越大時,離心率越小,則軌道越圓，故選項。

1+A1+A&

心d?

錯誤.

W.BCD

【解析】因為tana?lanS=tan(a+￡),tan(a+/?)=，

所以tana?tan夕=黑，令％=⑶優(yōu)，歹=tan//，則◎二三亍，整理得xy+(l-x)p+x=0,且

方程有解，

有4=(1一月2一敘?/>0,。一1)2~4/,作函數(shù)》=(》一1)2,乎=標3圖像：

則由圖像可知存在即C(0,1),有/(與)=0,所以當xVO時，△>()恒成立,

則為+乃=三LV0，必為=?V0，

X-A

因此必，刈一正一負，說明當a在第二象限時，夕在四個象限均可，

當xW(0,x(>)時，A>0成立，此時為<0,^ijv=—>0.

X-2X

因此必，為皆為負，說明當a在第一象限時，力只能在第二象限或第四象限，

綜上所述，BCD正確.

參考答案2頁共6頁

11T

【解析】因為。~"(2,1)且尸￡＞。+1)=。(。＜〃)，所以。+1+。=2'2,解得。=等.

13.2

【解析】以四面體的各棱為長方體的面對角線作出長方體，如羽所示，

設(shè)BE=x,BF=y,BU=z,貝!W+y=5,產(chǎn)+盧=10,/+/=13,

解得x=2,y=1,z=3,

KtSCD=囁力體―^D-ABEVR-CDH—Vc-ABF-^A-CD＜3

=xyz-4"x^rxyzx4=白盯z=2.

14.V2

【解析】設(shè)力，B兩點的橫坐標分別為M,必，

2

由,*1：：二1+即+1,得(X|-t-1)=ln.r2+x2=/,故X[=-+不一1.

、一x?十/一\nx2

因此\AB\=V2|X2--vj=V2\X2—Vhuy+^2+1|-

_____2V1ILX+X—--1

令〃(x)=x—Vlnx+x+1,h\x)=------1'---,

2vInx十式

令0(x)=2V\nx+x---1,顯然8(x)遞增且3(1)=0,當xV1時，”(x)VO;當x>1時，，(x)>0；

X

因此〃(X)min=W)=?，W|J^|mi?=V2.

15.(1)在AJ8C中，???48=4。，；.AADB=AABC=p.

:.sina=-cos(2/7)=-cos(n-Z.BAD)=cos/.BAD=sin(-^--NBAD),

VO<a<y,-y<y-Z5/tD<y

：.a=^-/.BAD

=a+N84Q=￡,因此N84C=半

ACDC.又AC=6DC,4ADC=R—。,??.、區(qū)左心=

(2)在^ADC中，根據(jù)正弦定理得

sinZ.ADCsincesin；n—p)

QC,sin夕=V3since,

sina

又,/sina=-cos2^,.\sin/?=-，Jcos2/7.2A/3sin2/?—sin^—\/3=0,解得sinQ=或

V爰,sin/—，:邛=^.

16.⑴函數(shù)f(x)定義域為(0.+8)?日r(x)=x+，—0,—2,因為函數(shù)“X)有兩個極值點，，尸(外在

?V

(0,+8)上有兩個變號零點。

令/'(X)=(),解得X2-(a.+2)x+1=(),有兩個不相等的正根，

'△=(%+2)2-4>0

,x“+x；=*+2>0=%>0,

xX=l>0

/.xn+x；=%+2>2.

2

(2)由(1)知\xn-xn\=V(X?+A；,)-4A-X=J曷+44=(〃+l)a“，

參考答案3頁共6頁

所以“備=2?—土)

所以工=2[(1-/)+(：-：)+(+-4)+--+(士一看)+(十一圭)]

=2(1+4-_-^rrT7)=3-^j--^y.

\2〃+1〃+2/n+I〃+2

17.⑴證明：因為平面PAD±平面ABCD,且平面PADA平面ABCD=AD,AB工4D,ABU平面ABCD,可

得力8J,平面為。，

又AP,PDU平面以D,故AB工AP,ABA.PD,又4B//CD,所以PD工CD

由以=尸。=4。=。=2,力8=1,得PB=與西而=瓜

BD=dAa+AB，=5BC=dAD*CD-AB『=?

PC=VPZ^+CD2=2V2,

如圖1,取PC中點M,連接BM,DM,有?C_LBM,PC±DM,

r

又QM=}PC=0,8A/=vP"一（aPC/=—所以BD?BM?+DM2,故BM上DM

因為5W_LDM,BM_LPC,尸CCl。必=M,PCU平面PCD,DMU平面PCD,所以RM_L平面PCD,

又8WU平面PBC,故平面PBC_L平面PCD

⑵取中點。，以O(shè)為原點，。。為y軸，過。且平行于的直線為x軸，過O且垂直于平面ABC。的

直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系

因為為=PO,O為4。的中點，所以0〃=/？萬匚彷=JJ,P在平面xOz內(nèi).

可設(shè)乙POx=。，。W(0,兀)，可得P(VJcosa0,Vising,C(2.1,0),8(1,-1,0),0(0J,0),

就=(1,2,0),而=(1-VJcos仇一1,-V3sin/?),

因為4CJLP4,所以正?閑=0,

即(1-VJcos。)x1-1乂2-6$出。乂0=0,解得85。=一空，得P(-1,0,您)，

P5=(2,-1,-V2),PC=(3J,-V2),ro=(l,1,-72),

設(shè)平面P8C與平面PCD的法句量分別為萬1=(Xi,y,zi),n2=(42,歹2,4),

參考答案4頁共6頁

1?序=0,2打一兇_JIzi=0,

由題意可得即《

^-PC=0,3^-,+^|-^221=0,

可取4=1(2V2,-V2,5),同理可得才2=(0,-A/2,-1),

設(shè)平面尸8C與平面PCD的夾角為。，故cos。=|COS/?H屈=去￡=乂萼，故平面P8C與平面

PCD的夾角的余弦值為嚶^.

18.⑴設(shè)「工/=2加，則芻=加=1，解得〃=9，故「：f=p，依題意有+。一°)2=

\(x>0,y<a).

(2)設(shè)y=x+2被「1所截得的線段為DE,中點為G,

聯(lián)立y=x+2和「1：/=?有工2一工一2=0,故，。+￥1,k=\"："=L

{XoX￡=—Z乙乙

故VG=XG+2=、,代入n：爐+(y—a)2=l(x>0,^<a)得：

}+怎_甫=1怎<力解得q=

⑶如圖，「2在h的上方時，拋物線和圓無交點，聯(lián)立好二歹和E+3-。)2=1有y+(1-24?+標一1

=0且△=(1—2af—4(〃—1：v0,解得q>等,

顯然，門切線斜率存在，設(shè)切線方程為y=云+/),由七為四分之一圓知/)Va,0Vk,

又圓心到切線的距離等于半徑：=1,故、牛/

/一"，\A

切線方程為y=kx+a-,與/=》聯(lián)立得X2—Ax-a+Jl+，=0,\

設(shè)口被口所截得的線段為“K,則"-雙|=4+4171+公,

\HK|=*J\+k2%-x?|=V14-Ar2V^2+4?—4\A+k2,J

記f=Jl+12,則/>1,|〃K|二W/2-1+4a-4/=a-4/3+(4a-1)2,目

4

記f(t)=t—4F+(4a-1)C">1,則/⑴>0,Ll+icmof(j)-?4-oo,

依題意有:對給定的*md=|HK|使得/⑺和y="2有兩個交點，

由/()=413—12尸+(84—2?=2?2/2-6/+4〃-1)知

->1使2產(chǎn)一6f+44-1<0即可，否則/⑺在(l,4-oo)上單調(diào)，不存在。工打使得/(八)=/(幻，

而八+，2=—5^=3>2,故只需△=(-6)2—4x2(4t/-1)>0,解得a<-U-,綜上所述:-?-<??<-U-.

ZoHo

19.(1)記事件力表示選出的小球編號不相鄰，從8個小球中選出3個球共有C9=56種選法，所選小球編號

不相鄰方法,等效于將5個相同的小球排成一列,從其產(chǎn)生的6個空隙選3個空插入3個小球,共以=

20種方法，因此P(力)=器=/；

(2)法一(對稱法)：

考慮對稱變換:將每個編號i映射為2〃+1—i,則編號{1,2,…,2〃}變換后仍為{1,2,…,2〃}.

設(shè)原集合的抽樣結(jié)果為5={〃],%，…，4},X=max{S},Y=min{S},對S進行對稱變換得到

S'={2〃+I—m,2〃+1—牝,…2〃+1—圖},

則X=max{S，}=2〃+1—min{S}=2〃+1—丫，尸=m\n{Sr}=2〃+1—max{S}=2〃+1-X.

由于抽樣是均勻的，s與S，有相同的概率分布，所以x與H同分布，丫與產(chǎn)同分布，所以

E(X)=E(Xf)=E(2n+1-丫)=2〃+1—七(丫)，所E(X+Y)=E(X)+石(丫)=2〃+1.

參考答案