蘇科版九年級數學上冊期末復習題 第2章 對稱圖形-圓-直線與圓的位置關系（含答案）

期末復習題一一直線與圓的位置關系

題型1:證明某直線是圓的切線

1.如圖，48是。。的直徑，射線交。。于點〃，￡'是劣弧40上一點，且=過點￡'

作EF_1.BC于點凡延長FE和BA的延長線交于點G.

(2；若4G=6,GE=60求。。的半徑.

2.如圖，。0是△A8C的外接圓，且A8=AC,點〃在崗?上運動，過點〃作0E〃BC,DE交AB

的延長線于點區連結AD、BD.

A

(1；求證：ZADE=NF；

⑵當點〃運動到什么位置時，DE是。。的切線？請說明理由.

(3；當48=5,8。=6,求。0的半徑.

3.如圖，AB是。。的直徑、4。是。。的弦，給出下列信息:

①DE_L4C于點E；②4。平分NC4B；③ED切。0于點D.

請從以上三條信息中選擇兩個作為補充條件，余下一個作為結論，組成一個真命題，并說明理

由.

你選擇的補充條件是,結論是(填序號).

題型2：切線的性質定理

4.如圖，已知。。是的內切圓，4=90°,00與BC,AC,48的切點分別為D,

E,F,若AC=8,BC=6,則。0的半徑為（）

5.如圖，四邊形0ABe是平行四邊形，以。為圓心，04尤半徑的圓交4B于0,延長4。交。。于

E,連接CO,CE,若CE是。。的切線，

⑴求證：CD是。。的切線；

（2）若8C=3,OC=4,求平行四邊形OABC的面積.

6.如圖，在矩形;4BCD中，AB=4,AD=5,40、AB、BC分別與。0相切于E、F、G三點

過點。作O。的切線交于點M,切點為N,則0M的長為（）

A.2B.2V5C.

D酒

題型3：切線的性質和判定的綜合應用

⑴若4B=6cm,則兩個同心圓組成的圓環面積為.cm2；

⑵若以A為圓心，48長為半徑畫弧，交大圓于點0,連接40,請在備用圖中補全圖形，猜想力。

與小圓的位置關系，并說明理由.

8.如圖，48是。。的弦，。為過點B的切線上一點，且={C,D,E,尸分別在AB,BC,AC

上，且40=BE,AF=BD.連接EF.

A

⑴求證：AC是00的切線；

⑵若4=50°,求4DF的度數.

9.九（1）班數學課代表小華在學習“直線與圓位置關系”時，利用手中的量角器及三角尺深

入研究了如下直線與圓位置關系的動態問題，請你也來試試看.

已知半圓。和△4CB.半圓。的直徑OE=12cm,在△4CB中，NACB=90°,ZABC=30°,

BC=12cm.半圓0的直徑DE和△4CB的邊CB在水平直線/上.

（1：如圖1,ZiACB保持不動，半圓。以2cm/s的速度從左向右運動，在運動過程中，點D、E始

終在直線［上.設運動的時間為￡（s）,當t=0時，半圓。在ZkABC的左側，OC=8cm.當￡為何

值時，△力BC某一條邊所在的直線能與半圓。所在的圓相切？

圖1

⑵如圖2,將圖1中的△4CB繞點C逆時針旋轉至的位置.△4CB保持不動，半圓。仍

然以原來方式運動，請直接寫出△4BC的邊能與半圓。所在的圓相切（切點在邊上）時的t可取

的一切值.

圖2

題型4：應用切線長定理求解

10.如圖，PA.PB切。。于力、B,P。及其延長線分別交。。于。、D,4E為。。的直徑，連

aD

接AB、AC,下列結論：①CB=OE；②=/DOE；③4C平分々4B；④44B=ZBAE-,

其中正確的有（）

A.①@③B.①②③④C.①②④D.②③④

11.如圖，已知4=90°.

A

⑴在圖中，用尺規作出的內切圓的圓心。（保留痕跡，不必寫作法）；

（2）畫出O。與邊BC,/C的切點。、E、尸，連接DE,若與=40°則

/DEF=；

（3）若4c=6,BC=S,則所作內切圓半徑=.

12.已知線段力￡、A尸與。。相切，切點分別為E、F,z71=^=90°,AF=BF.

⑴過點C作。。的切線（在線段BC的上方）與AE的延長線交于點。，切點為點G.（要求：尺

規作圖、保留作圖痕跡、不寫作法).

⑵求證：8C與O。相切.

⑶若40=3,BC=6,求0。的半徑.

題型5：應用切線長定理求證

13.如圖，48為。。的直徑，且A8=12cm,AM和BN是O。的兩條切線，0C切。0于點E,

交AM于。，交ZyN于點C,設y1。=X，DC=y.

(1)求證；/DOC=90°；

⑵求y與久的函數關系式？

⑶若“、y是方程/―13t+旭=0的兩個根，求x、y的值.

14.【課本再現】如圖1,PAfPB是。。的切線，A,B為切點，AC是O。的直徑.若/8AC=

25°,

⑴求NP的度數.

(2)【變式設問】如圖2,AC是。。的直徑，PA與。。相切于點4B為。。上一點,4C的延

長線與射線PB相交于點〃，若/。+2/8力。=90°,求證：PA=PB.

15.如圖，在RtZkABC中，ZBAC=90°,N%8c的平分線交AC于點0,以點。為圓心，OA長

為半徑的圓與4c相交于點￡

⑴求證：BC是。。的切線；

⑵若48=5,BC=13,求CE的長.

題型6：直角三角形周長、面積與內切圓半徑的關系

16.如圖，在△48。中，BC=6,AC=8,AB=10,。。是它的內切圓，用剪刀沿。。切線

OE剪一個△AOE,則△40E的周長為.

17.如圖，在RtaABC中，ZBAC=90。，力。為中線，若4B=10,AC=24,設△480與△ACO

的內切圓半徑分別為rI，r2,則匚的值為（）

r2

C三

?33

18.如圖，把RtZkOAB置于平面直角坐標系中，點4的義標為（0,4）,點8的坐標為（3,0）,

點P是RtZkOAB內切圓的圓心.將RtZkOAB沿％軸的正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與工

軸重合，第一次滾動后圓心為Pi，第二次滾動后圓心為P2,…，依此規律，第2020次滾動后，

題型7：圓外切四邊形模型

19.如圖，正方形EBF/,正方形和正方形HLGO都在正方形A8CD內，且=”D.Q0

分別與AE,EI,HL,4”相切，點M恰好落在。0上，若8F=4,則。0的直徑為.

20.如圖，O。的外切四邊形/BC。中相鄰的三條邊/B:8C:C。=3:4:5,周長為32,則

AD=.

21.如圖所示，已知。。的外切等腰梯形ABCO,力0||BC,AB=DCf梯形中位線為E尸，求證:

EF=AB.

題型8：三角形內心有關應用

22.如圖，點。是△4BC的外心，點/是△ABC的內心，連接OB,L4.若ZC4/=36°,則ZOBC

的度數為()

A.20°B.18°C.16°D.15°

23.如圖，ZM8C的內切圓與8C、C4、AB分別相切于點D、E、F,若的半徑為r,4=a,

則(4尸+BO—48)的值和4DE的大小分別為(

BDC

A.2r,900-aB.0,900-aC.2r,90°D.0,90°

24,已知，如圖，AB為O。的直徑，ZkABC內接于OO,BC>4C,點P是△ABC的內心，延

長CP交。。于點。，連接8P.

(1；求證：BD=PD；

(2；已知。0的半徑是3&，CD=8,求BC的長.

題型9：一般三角形周長、面積與內切圓半徑的關系

25.如圖所示的是周長為15cm的三角形紙片小剛想用剪刀剪出它的內切圓00,他先

沿著與相切的DE剪下了一個三角形紙片B0E.若4C=4cm,則三角形紙片BDE的周長為

26.如圖，△A8C的內切圓。0與BC,48分別相切于點D,E,F,且力8=5cm,BC=7cm,

CA=6cm.

(1)求4尸的長.

⑵已知SFBC=6Vsem2,求。。的長.

27,(1)如圖①，在中，ZBAC=90°,AD1BC,垂足為D.若AB=15,AC=8,

則4D的長為；

（2）如圖②所示，某工廠剩余一塊△4BC型板材，其中AB=100cm,BC=160cm,AC=

140cm.為了充分利用材料，工人師傅想用這塊板材裁出一個盡可能大的圓型部件,你認為可

以嗎？若可以，請在圖中確定可裁出的最大圓形部件的圓心。的位置，并求出。。的半徑，若

不可以，請說明埋由.

題型10：三角形內切圓與外接圓綜合

28.如圖，銳角△4BC.

（尺規作圖）（備用圖）

⑴分別作出△ABC的外接圓O。、ZkABC的內切圓O0’（尺規作圖，保留作圖痕跡）；

（2：已知點。是△A8C外接圓的圓心，點0,是△A8C內切圓的圓心.試探究N30C與N3。'C的

度數之間的關系；

⑶如果NB0C=100°,那么NB。’C的度數是多少？

29.如圖,已知正方形48co的邊長為2,/?￡△MNP的直角頂點飄落在線段80上，直角邊MN

經過點4直角邊MP與直線交于點E,連接/E.設點。為△/ME的內心，當點。在AABD的

內部（包括邊界）時，0M的取值范圍是.

30.如圖，。。為△力BC的外接圓，其中4=50°,點/為△4BC的內心，連接川并延長交

。。于點〃，連接/C,CD,則27CO=

A

題型11：過圓外一點作圓的切線（尺規作圖）

31.下面是“過圓外一點作圓的切線”的尺規作圖過程.

已知：0。和00外一點「.

求作：過點P的O。的切線.

作法：如圖，

①連接0P;

②分別以點。和點P為圓心，大于：0P的長為半徑作弧，兩弧相交于M,N兩點;

③作直線MN,交0P于點C；

④以點C為圓心，CO的長為半徑作圓，交。。于A,B兩點;

⑤作直線P4PB.

直線PA,PB即為所求作。。的切線.

⑴請根據上述作法完成尺規作圖；

⑵連接040B,可證4MP=N0BP=90°,理由是」

⑶直線P4,P8是。。的切線，依據是

32.已知P是O。外一點，用直尺和圓規過點P作O。的切線.以下是甲、乙兩人的作法:

C.甲的作法錯誤，乙的作法正確D.甲的作法正確，乙的作法錯誤

33.如圖，正方形中，8c是。。的直徑，點E是。。上的一動點（點E不與點8,C重合,

且在BC左側）.

⑴尺規作圖：做出點E使得=NDEC；

⑵在（1）的條件下，延長0E交于F,求證/F=BF+OB.

題型12：圓內知識綜合（圓的綜合問題）

34.在△力BC中，ZBAC=90",AB=AC,P為邊BC上一點,點B與點E關于直線4P對稱，過

點B作BC的垂線，交線段C4的延長線于點D,連接OE交直線4P于H,連接BE,CE,設NEAP=a.

（1；如圖，當0°<a<45°時.

①求的大小（用含a的式子表示）；

②清用等式表示線段EH,OE,CE之間的數量關系，并證明；

（2；當45°Va<90°時，請直接寫出線段之間的數量關系.

35.如圖，。。的直徑AB=8,弦力C=4,過。。上一點〃作切線0E,交4c的延長線于點區

若DEJLAC,則0E的長為()

A.3B.2V3C.4D.4V3

36,已知48為00的直徑，AB=8,C為。。上一點，連接C4,CB.

(。如圖①，若C為”的中點，求“CAB的大小和AC的長；

(2)如圖②，若AC=2,。。為。。的半徑，且0D1CB,垂足為E,過點。作。0的切線，與力C

的延長線相交于點F,求尸。的長.

題型13：圓與三角形的綜合（圓的綜合問題）

37.如圖，A8是。0的直徑，C是腦的中點，連結4c并延長到點〃，使AC=CD,E是OB的

中點，連結CE并延長交DB于點E

⑴求證：B0是。0的切線；

⑵若AF交。。于點區連接BH,0B=2,求8H的長.

38.如圖，△48。內接于0。〃8是00的直徑，過點C作CO_LBD于點。，且8c平分

⑴求證：CO是。。的切線；

⑵若4c=6,CO=2,求O0的半徑.

39.如圖，是。。的直徑，C,〃是。。上兩點，連接AC,BC,CO平分NNC。，CEJ.DB交

08延長線于點E.

（1；寫出圖中與NZC。相等的一個角：

⑵求證：CE是。。的切線；

題型14：圓與四邊形的綜合（圓的綜合問題）

U

40.點4,M,N在。0上，將MN沿MN折疊后，與4M交于B.

⑴若/MAN=70。，求NANB的度數.

D

⑵如圖，點8恰是翻折所MN得的中點，若MH=MN,求Z4MN的度數.

41.如圖,A,B表示足球門邊框（不考慮球門的高度）的兩個端點，點。表示射門點，連接4&8C,

則44CB就是射門角.在不考慮其它因素的情況下，一般射門角越大，射門進球的可能性就越

大.球員甲帶球線路ED與球門線48垂直，〃為垂足，點。在E。上，當NZCB最大時就是帶球

線路ED上的最佳射門角.若AB=8,BD=2,則球員甲在此次帶球中獲得最佳射門角時，DC的

長度為（）

A.4B.6C.2V5D.2V15

42.如圖1,在矩形/BCO中，AB=3cm,BC=4cm,點P以1.5cm/s的速度從點A向點B運

動，點Q以2cm/s的速度從點C向點B運動.點P、Q同時出發，運動時間為t秒（0<t<2）,QM

是APQ8的外接圓.

DCDC

（。當t=l時，OM的半徑是_cm,OM與直線⑺的位置關系是」

⑵在點P從點力向點B運動過程中，①圓心M的運動路徑長是_cm；②當OM與直線/D相切時,

求t的值.

⑶連接PD,交OM于點N,如圖2,當NRPD=N7V8Q時，求￡的值.

題型15：圓與函數的綜合（圓的綜合問題）

43.如圖，已知OP的半徑為1,圓心P在拋物線y=—^/+1上運動，當OP與％軸相切時,

圓心P的橫坐標為.

44.如圖，在平面直角坐標系中，。產的半徑為5,圓心戶坐標是（5,a）（z?>5）,函數y=x

的圖象被。/^截得的弦力夕的長為4連，則a的值是

45.在平面直角坐標系內，以原點0為圓心，1為半徑作圓，點P在直線y=g％+2追上運

動，過點P作該圓的一條切線，切點為A,則PA的最小值為（）

A.3B.2C.V3D.V2

題型16：其他問題（圓的綜合問題）

46.點P是平面直角坐標系中的一點且不在坐標軸上，過點P向％軸，y軸作垂線段，若垂線段

的長度的和為4,則點P叫做“垂距點”.例如：下圖中的P（l,3）是“垂距點”.

（1；在點4（2,2）,8（|,-1）,C（-l,5）中，是“垂距點”的點為」

（2）求函數y=2x十3的圖象上的“垂距點”的坐標；

⑶的圓心7的坐標為（1,0）,半徑為r.若0T上存在“垂距點”，則r的取值范圍是

47.如圖，在邊長為1的正方形4BC0中，將射線4C繞點力按順時針方向旋轉a度（0Va4

360°）,得到射線4E,點.機是點〃關于射線4E的對稱點，則線段CM長度的最小值為（）

A.V2B.V2-1C.V2+1D.2-V2

48.已知點〃（x（）,y0）和直線y=/ex+b,求點/5到直線y=々x+b的距離d可用公式4=

生零計算.根據以上材料解決下面問題：如圖，。。的圓心C的坐標為（1,1）,半徑為1,

vl+H

直線47的表達式為y=—2x+6,尸是直線力〃上的動點，。是。。上的動點，則收的最小值

是.

參考答案

題型1:證明某直線是圓的切線

1.(1)證明：連接。E,

.?.婕=ETE.

???zfl=^2.

OB=0E,

???=^3.

???/I=N3.

???OE||RF.

???EF1BC,

:.OE1GF,

又?，,0E是半徑.

???6尸是。。的切線.

(2)解：設0A=OE=r,

???OE1GF,

???/GEO=900.

在GOE中，

vOG2=GE2+OF2,AG=6,GE=6&,

(6+r)2=(6>/2)2+r2.

解得?r=3.

O。的半徑是3.

2.(1)證明：在△48C中，VAB=ACt

：.ZABC=NC.

?:DE〃BC,

：.^ABC=/E,

:?/E=NC.

XVZADB=NC,

：.ZADB=ZE.

(2)解：當點〃是瓠BC的中點時，0E是。。的切線.理由如下:

當點。是弧”的中點時，則有4DIRC,舊人。過圓心〃.

又,：DE〃BC,

：.AD1ED.

???0E是O0的切線.

D

(3)解：連結B。、A0,并延長40交BC于點居則4FJLBC,

A

??FB=ACf

：.BF“BC=3.

又??ZB=5,

：.AF=7AB2-BF2=4.

設00的半徑為r,

在Rtz\0B/中，OF=4-r,0B=r,BF=3,

.*.r2=32+(4—r)2,

解得r=f,

8

??.。。的半徑是勺.

8

3.(1)選擇的補充條件是①②，結論是③.

證明：連接。0,

VOA=0D,

???/040=/004,

*：AD^^ZCAB,

：.Z0AD=ZDAE.

：.ZDAE=NODA,

,：DE1ACf

???ZAED=90°,ZDAE+ZADE=90°,

，ZODA+ZADE=90°,即/ODE=90°,

???。。是圓的半徑，

???EO切。。于點。.

(2)選擇的補充條件是①@,結論是②.

證明：連接。D,

VOA=OD,

：.ZOAD=/OZM,

,：DE1ACf

ZAED=90°,ZDAE+ZADE=90°,

「ED切00于點D,

/ODE=90°,

???^ODA+^ADE=90",

AZDAE=/ODA,

：.ZOAD=ZDAE,

即AD平分4L4B.

（3）選擇的補充條件是②③，結論是①.

證明：連接。0,

\'0A=OD,

：,ZOAD=Z0DA,

???ED切。。于點D,

，/ODE=90°,

二^ODA+ZADE=90°,

??FO平分/C/B,

A^OAD=N7L4E,

AZDAE=NODA,

ZDAE4-ZADE=90°,

ZAED=90",ZDAE+ZADE=90°,

即DEJLAC于點、E.

題型2：切線的性質定理

4.B

解：連接00,OE,

NC=90°,AC=8,B(:=6,

AB=y/AC24-BC2=V824-62=10,

???00與BC,AC,AB的切點分別為AE,F,

ABC1ODtAC1OE,AE=AF,BD=BF,CD=CE,

AE+BD=AF+BF=AB=10,

CD+CE=2CD=AC+BC-(AE+BD)=8+6-10=4,

二CO=2,

vZODC=NC=NOEC=90°,OD=OE,

四邊形ODCE是正方形，

:.OD=CD=2,

.?.0。的半徑長為2,

故選：B.

5.(1)解：:CE是。0的切線，

，Z0EC=90°,

連接。。，如圖,

???四邊形0A8C是平行四邊形，

：.0C||AB,

：.ZEOC="ZCOD=ZODA,

?：0D=04,

：.^A=ZODA,

:./EOC=/DOC,

在AEOC和△00C中，

OE=OD

VZEOC=ZDOC,

oc=oc

：.LEOC三△OOC(SAS)

ZODC=NOEC=90°,

：.0D1CD,

，CD是。。的切線;

(2)解：過。作。F_LOC于凡如圖2,

???四邊形048C是平行四邊形，

0A=BC=3,

由(1)得。01CD

在RtZkCO。中，0C=4.OD=OA=3,

???CD=y/OC2-OD2=V7,

X

V-2xCDxOD=S^OCD=2-OCxDF,

.CDOD3近

oc4

???平行四邊形。4BC的面積=OCxDF=4x—=3夕.

4

6.D

解：連接。E,OF,ON,OG,如圖所示,

在矩形ABCO中,

<4=/B=90°,CD=AB=4,

??FD,AB.BC分別與O。相切于E,F,G三點,

ZAEO=ZAFO=NOFB=/BGO=90°,

???四邊形4F0E,FBG。是正方形，

'.AF=BF=AE=BG=2,

：.DE=3,

???。〃是0。的切線，

:?DN=DE=3,MN=MG,

二?CM=5-2—MN=3-MN

在RtZ\OMC中，DM2=CD2+CM2,

(3+NM)2=(3-NM)2+42,

4

：,NM=-,

3

.p..,,413

??DM=o3H—=—.

33

故選：D.

題型3：切線的性質和判定的綜合應用

7.(1)解：連接。40C,

???大圓的弦48是小圓的切線，切點為點C,

.??OC

AC=-AB=3,

2

OA2-OC2=AC2=9,

兩個同心圓組成的圓環面積為：

71X0A2--7TX0C2

=n(OA2-0c2)

=97r(cm2),

故答案為：9TT；

(2)解：補全圖如下：

理由如下：連接。A、OB、OC、0D,過。點作OE_LAD于區

???OA=0AfAD=AB,OB=OD,

???△OAD=△OAB(SSS),

:.OE=OC,

???40與小圓相切.

8.(1)證明：連接。4OB,

A

B

'：AC=BC,

「?/CAB=/CBA,

\0A=OB,

：.^OAB=NOBA,

ZCAO=NCBO,

TBC是。。的切線，

，/CBO=90°,

ZCAO=90°.

???04是0。的半徑，

二?AC是。。的切線；

(2)解：在尸與ABED中，

(AD=BE

NCAB=NCBE

(AF=BD

：,LADF三△BEO(SAS),

AZADF=/BED,

'：AC=BC,NT=50°,

???ZCAB=ZCBA=：x(180°-50°)=65°,

「ZADF+ZFDE+ZBDE=180°,/BED+ZCBA+/BDE=180°,

，/EDF=NCBA=65°.

9.(1)解：①如圖1,

A

圖1

當點E與點C重合時，AC1OF,OC=OE=6cm,4c與半圓0相切,

此時點。運動了8—6=2cm,所求運動時間為：t=2+2=l(s).

②如圖2,當點。運動到點C時，過點。作。48,垂足為F.

圖2

在Rt△尸08中，480=30°,OB=12cm,

則。F=6cm,即。尸等于半圓。的半徑，

所以nB與半圓。所在的圓相切.

此時點。運動了8cm,所求運動時間為：t=8+2=4(s).

③如圖3,當點。運動到的中點時，AC10DfOC=0D=6cm,4c與半圓0相切.

圖3

此時點。運動了8+6=14cm,所求運動時間為：t=14+2=7(s).

④如圖，當點。運動到B點的右側，且0B=12cm時，

過點。作0Q_L4B,垂足為Q.

A

在Rt/iQOB中，ZOBQ=30°,則OQ=6cm,

即。Q等于半圓。所在的圓的半徑，

所以直線與半圓。所在的圓相切.

此時點。運動了32cm,所求運動時間為：t=324-2=16(s).

綜上所述，當t=ls,4s,7s,16s時，△ABC的一邊所在直線與半圓。所在的圓相切.

(2)解：①如圖，當△ABC的邊AC與半圓0所在的圓相切(切點在邊上)時，

假設切點為凡連接OF,則0F14C,OF=6cm,

?:KB〃DE,

：.=/B=30°,

，Z2=60°"=30°,

222

：,ZCF=OC,OC=OF+FCf

=4百cm,

此時點。運動了8—4j5(cm),所求運動時間為：t=(8-4V3)4-2=4-2V3(s).

②如圖，當的邊BC與半圓。所在的圓相切(切點在邊上)時，

,：AB//DE,

???/I=ZB=30°,

'.OC=12cm,

此時點0運動了12+8=20(cm),所求運動時間為：t=204-2=10(s).

VZS=30°,

ACG=^BC=6cm,BG=^3CG=675cm,4G=翁=2岳m,

,:AB〃DE,

???邊力B上所有點到DE的距離都是6cm,等于半圓。所在的圓的半徑，

所以邊與半圓。所在的圓相切.

當半圓。與邊相切于點力時，點0運動了8—2通(cm),所求運動時間為：￡=(8—2百)+2=

4-V3(s),

當半圓。與邊相切于點8時，點。運動了8+6b(cm),所求運動時間為：C=(8+6A/5)+2=

4+3A/3(S),

故當△4BC的邊AB與半圓0所在的圓相切(切點在邊上)時，4-V3<t<4+3V3,

綜上，當4一遮<t<4+3仃或￡=4—2j5(s)或七=10(s)時，△的邊能與半圓0所在的

圓相切(切點在邊上).

題型4：應用切線長定理求解

10.A

解：連接。8,如圖,

A

^為

由切線性質知，A。124,OBA.PB,

在AP/OAPB。中，悌：器，

：,LPAO三△PBO(HL),

；.ZAOC=/COB,

。D

：.BC=AC9

VZAOC=/DOE,

OD

'：AC=DE,

aa

:,CB=DE,①正確；

由切線性質知，AB1OP,PA=PF,

???ZAOP+ZBAO=90°,ZPAB=/PB4,

又'「OA1AP,

Z./PAB+ZBAO=90°,

，ZPAB=NAOP=ZABP=NDOE,

???②正確；

\*^AOC=NCOB,OA=OB,

???OC是AB的垂直平分線，

^ACO+ZBAC=90°,

'：OA=OC,

^ACO=ZOAC,

???^OAC+ZBAC=90°,

又???NZP4C+ZOAC=90°,

：./PAC=ZBAC,

?XC平分ZPAB,③正確;

④若=則CA=OA,即△04C是等邊三角形,

根據已知條件無法得到這一結論，故④錯誤.

故選：A.

11.(1)解：如圖，點。即為△ABC的內切圓圓心，

由切線長定理得FC=EC,BD=BE,

;NT=90°,

?.ZCEF=1(180°-90°)=45°,

/ABC=40°,

/BED=1(180°-40°)=70°,

，/DEF=1800-ZFEC-/BED=180°-45°-70°=65°

故答案為：65°；

(3)解：設△ABC內切圓的半徑為八

\?在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6fBC=8,

：.AB=y/AC2+BC2=10,

:.SAARC=?BC=[x6x8=24,AB+AC+BC=24,

???Sf8c=[(4B+4C+BC)r,

?R_25"BC_2X24_?

??一AB+AC+BC-24一,

故答案為：2.

12.(1)解：如圖，連接E。并延長E。交BC于點H,以C為圓心CH為半徑作瓠交。。于點G,

連接CG,延長CG交AE的延長線于點。，連接OG、OC、OF,

E、。

HMC

：,CG=CH,

???埃段4E、4口與。。相切，切點分別為E、F,AF=BF,

，ZAEH=90°,ZAFO=90°,OE=OF,AB=2AFt

;N4=NB=90°,

???四邊形ABE”是矩形，

???/EHB=90°=/EHC,EH=AB=2AF,BH=AE,

VZ21=90°,ZAEH=90°,ZAFO=90°,

???四邊形4E0F是矩形，

又：OE=OF,

???四邊形AEO尸是正方形，

：.OE=OF=AF=AEt

：.AB=2AF=2OE,

??"B是O。的直徑，即點H在OO上,

：,0G=OH,

在AOCG和△OC”中，

OG=OH

CG=CH,

OC=OC

：,△OCG三△OCH(SSS),

/./OGC=ZOHC=90°,即CO1OG,

TOG是O。的半徑，

二?CO與。。相切于點G,

則CD即為所作;

(2)證明：由(1)知：N0HC=900即BCJL。“，且點H在。。上,

???BC與。。相切；

(3)解：設。。的半徑為r,

過點。作OM1于點M,則N7)MB=90。=/DMC,

:44=夕=90°,AD=3,BC=6,

，四邊形力BMO是矩形，

二?BM=4。=3,DM=AB=2OE=2r,

，CM=BC-BM=6—3=3,

??FD、CD、BC都是OO的切線，

：,DG=DE=3-rtCG=CH=6—r,

.**CD=CG+DG=6—r4-3—r=9—2r,

在RtzXOMC中，CD2=DM2+CM2,

：.(9-2r)2=(2r)2+32,

解得:r=2,

???0。的半徑為2.

題型5：應用切線長定理求證

13.(1)證明：???04、OE是0。的兩條切線，

ZAD0=NED0,

同理可得，NBC0=NEC0,

???42為0。的直徑，4M和BN是0O的兩條切線，

：,AM1AO,BN1OB,

:,AM〃BN、

:./ADC+/BCD=180°,

???ZODC+NOCD=90°,

/DOC=180°-90°=90°；

(2)解：過點。作OEJ.BC,垂足為F,

則四邊形48FD為矩形，

DF=AB=12,BF=AD=X,

?；。0切AM、BN、。。于4、B、E,

:.DE=AD=x,CE=CB=y,

CF=y—x,CD=x+yy

在Rt^OC5中，DC2=DF2+CF2,gP(x+y)2=(y-x)2+122,

???xy=36,

36

???)'=7-

(3)解：,.?%、y是方程尸一i3￡+m=0的兩個根，

???x+y=13,即％+m=13,

整理得，x2-13%+36=0,

解得，

=4,x2=9,

則為=

9,y2=4,

???x=4,y=9或％=9,y=4.

14.(1)???P4PB是O。的切線

??.OA1AP,PA=PB

???ZBAC=25°

/ABP=ZBAP=90°-25°=65°

???4=1800-2x65°=50°.

(2)根據題意，^PAO=90°

可潺4。=BO

ZOAB=NOBA,/DOB=2/BAC

又?：ZD^-2ZBAC=90°

???/D+/DOB=90°

???/DBO=90°

??.P8是O。的切線

PA=PB.

/BAD=90°,

：,AD1BAt

IBD平分4BC,

：.AD=DF,

??F0是G)D的半徑，DFIBC,

???BC是OO的切線；

(2)解：VZBAC=90°,

???AB與。0相切，

YBC是。。的切線，

：,AB=FB,

'：AB=5,BC=13,

：,CF=13-5=8,AC=y/BC2-AB2=V132-52=12,

在RtAOFC中，設DF=DE=r,

WJDF2+CF2=CD2,即產+82=(12—r)2,

解得：r=￥

J

,?"E=g，

：

.CE=AC-AE=12--3=—3,

???CE的長為

J

題型6：直角三角形周長、面積與內切圓半徑的關系

16.12

解：如圖，設△4BC的內切圓切三邊于點F、H、G,連凄OF、OH、OG,

由切線長定理可知4F=4G,BF=BH,CH=CG,

「DE是。。的切線，

：.MD=DF,EM=EG,

*：BC=6,AC=8,AB=10,

222

：.AB=AC+BCf

/.ZACB=90°,

則四邊形。HCG是正方形，

???0。是△ABC的內切圓，

，內切圓的半徑=[(CH+CG)=^AC+BC-AB)=2,

：.CG=2,

：.AG=AC-CG=8-2=6,

,\AF=AG=6,

AAOE的周長為：AD+DE+AE=AD+DF+EG+AE=AF+AG=66=12.

故答案為：12.

17.D

解：設△ABO的內切圓為O/,O/與48、AD.BD分別相切于點E、F、G,

???BC=yjAB2+AC2=V1024-242=26,

S△.=*?/1C=|X10X24=120,

??FO為斜邊BC上的中線，

：,AD=BD=CD=-BC=13,

2

?*^￡^ABD=S^ACD=5s—BC—60,

連接/E,IF,IG,IA.IB./D.貝!]/E=/F=/G=r「

?SMH/+SM。/+=6°，SAB±/E,AD±IF,BD±/(?,

X10q+1XyTi+|X=60,

解潺：q=R,

?J

同理可得，|xl2r24-1x^r2+|x^r2=60,

解得丁2=9，

?0一至10一在

??丁-12-7S，

「2T18

故選：D.

18.(8081,1)

解：如圖，作PO_L04交0A于D,PF^OB交0B于F,連接力P、OP、PB,

???點4的坐標為(0,4),點B的坐標為(3,0),

:.0B=3,OA=4,

AB=y/OA2+OB2=V42+32=5,

???點P是RtZkCMB內切圓的圓心，PDJL04,PF_LOB,PE_L4B,

PD=PE=PF,

設PD=PE=PF=r,

?：S^AOB=zOA-OB=-x3x4=6,SLA0B=S&APB+S&AOP+^AOPB=,PE4--OA-

PD+^OB?PF，

-2x5r+2-x4r+2-x3r=6,

解得：r=1,

.??P(1,1)，

???將Rt/i048沿％軸的正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動后圓心為

Pl,第二次滾動后圓心為P2,

???由圖可得P2的坐標為：(3+5+4—1,1),即(11,1),

設Pi的橫坐標為X,

根據切線長定理可得：%-3=3-1,

解得■:%=5,

Pi(5,l),

二「3的坐標為(3+5+4+1,1)，即(13,1),

,每滾動3次為一個循環，

2020+3=673...1,

.?.第2020次滾動后Rt△048內切圓的圓心B020的橫坐標是：673x(3+4+5)+5=8081,

即P2020的橫坐標是8081,

二「2020(8081,1),

故答案為：(8081,1).

題型7：圓外切四邊形模型

19.16-8V2

解：如圖所示，連接4C,過點。作。P_LAO于P,過點。作。Q_L于Q,

APHD

BFC

「正方形EBF7,正方形MFCG和正方形HLGD都在正方形ABCD內,

二/ACD=/MCD=ZDAC=45°,

???。0分別與AE,EI,HL,4H相切，

???四邊形4Q0P是正方形，

過點。，M,

?.?四邊形4BC0為正方形,

AAC=V2AB,0A=y[2OP,AD=BC.

vBF=HD.

.-?AH=FC.

設O。的直徑為X,則

FC=AH=x.

SF=4,

...AB=BC=x+4.MC=V2%,AM=怨x

“3x/2+l

???AC=---2---x

-AC=V2AB,

解辱：x=16—8y/2.

即。。的直徑為16—8V2.

故答案為：16—8V2.

20.8

解：如圖,

C

?二0。的外切四邊形4BC0,

：.AE=AH,BE=BF,CF=CGfDH=DG,

S.AB+CD=BC+ADf

":AB:BC:CD=3:4:5,

???設48=3x、BC=4x.CD=5x,則3x+5x=4x+AO,即=4x,

???四邊形ABC。的周長為32,

3%4-5%+4%+4x=32,解得：x=2,

：.AD=4x=8.

故答案為：8.

21..??等腰梯形ABCD是。。的外切等腰梯形,

AAD+BC=AB+CD=2AB,

??,梯形中位線為EF,

.,.AD+BC=2EF,

AEF=AB.

題型8：三角形內心有關應用

22.B

解：如圖，連接。C,

???點0是△ABC的外心，

：,0C=OB,

丁點/是△ABC的內心，ZCAI=36°,

??//平分/B4C,

???ZBA1=NCAI,

：.ZBAC=2ZCAI=72°,

ZBOC=2ZBAC=144°,

ZOCB=NOBC,且NOCB+ZOBC+NBOC=180°,

???2/OBC+144°=180°,

???/OBC=18°,

故選：B.

23.D

解：如圖，連接/F,IE.

A

?「△ABC的內切圓。/與BC,CA,AB分別相切于點〃，E,F,

:.BF=BD,AF=AEyIFLAB,IELAC,

：.AF+BD-AB=AF+BF-AB=AB-AB=^AFI=ZAEl=90°,

:?/ElF=180°-a,

AZEDF=-ZEIF=90°--a.

22

故選：D.

24.(1)證明：:/g為O。的直徑，

ZACB=90°,

?.?點P是△4BC的內心，

ZACD=/BCP=45°,/CBP=ZABP,

???/ABD=ZACD=45°,

???/DPB=/BCP+ZCBP=45°+NCBP,/DBP=ZABD+ZABP=450+48P,

??./DPB=ZDBP,

???BD=DP.

(2)解：如圖，連接40,過點8作BH1CO于H,

c

H

Vx和…/J

、、、、■I，，，，

、、11////

.y/

?.?48為。0的直徑，。。的半徑是3或，/480=45°,

AAB=6V2,ZkABO是等腰直角三角形，

.-.BD=叵AB=叵X6鼻=6,

22

v/BCD=45°,BH1CD,

???NBCH=NCBH=45°,

.-.BH=CH,

???BC=立BH,

222

vBD=DH+BHf

??.36=(8-BH/+BH2,

???BH=4±日

???BC=4V2±2,

vBC>AC,AC2+BC2=AB2=72,

:,BC>6,

???BC=4a+2.

題型9：一般三角形周長、面積與內切圓半徑的關系

25.7

解：設三角形/BC與。。相切于點M,N,F,0E與。。相切于點G.

由題意，得4M=AF,CN=CF,BM=BN,DM=DG,EG=EN.

0

???三角形紙片4BC的周長為15cm,4C=4cm,48+4C+BC=15cm,AM+CN=AF+CF=

AC=4cm,:.AB+BC=11cm,

???三角形紙片BDE的周長=DB+DE+BE=BD+DG+GE+BE=BM+BN=AB+BC—

AC=7cm.

故答案為：7.

26.(1)解：:△ABC的內切圓。。與BC,CAtAB分別相切于點〃，E,居

AF=AF：,RF=RD,CD=CE,

設A/7=AE=%,則—%,EC=DC=6—x,

根據題意得：5—x+6—x=7

解得：x=2cm

???AF=2cm,BD=5-x=3cm,EC=6—x=4cm,

則AF的長為2cm；

(2)AB=5cm,BC=7cm,CA=6cm,

，半周長s

2

又S—Bc=6V6cm2,

6V6=r-9,

?.r—,

則。。的長為Mem.

3

27.解：(1)VZBAC=90',AB=15,AC=8

：.BC=>/AB2+AC2=17

9：AD1BC

：.S^ABC=^ABAC=^BC-AD

：

.-2x15x8=-2x17AD

?120

.-AD=—；

17

(2)可以.

???三角形內最大的圓是三角形的內切圓，

??.所求圓的圓心是△4BC的內心，

作44BC和/4CB的平分線BE,CF交于點0,

則點。就是裁出的最大圓型部件的圓心。的位置，

過點。作OH_LBC于H,02，4。于「，。。_148于。，連接。4,OB,0C,過點4作,4MJL8C于

M,如圖所示：

設BM=xcm,。0的半徑為Rem,

AB-100cm,BC-160cm,AC-140cm,

???CM=(160-x)cm,

在中，由勾股定理得：AM2=AB2-BM2=1002-%2,

在Rt△力CM中，由勾股定理得：AM2=AC2-CM2=1402-(160-%)2,

1002—%2=1402—(160-%)2,

解得：x=50,

AM=V1002—x2=50V3(cm),

11

???SAABC=-BC-AM=-X160X50A/3=4000V3(cm2)

???點。為△ABC的內心，

:.OH=OP=OQ=Rem,

S&OBC+S4OCA+=S公ABC，

???-BC?OH+-AC-OP+-AB-OQ=4000\/3,

222

即(100+160+140)/?=800075,

R=20-\/3.

題型10：三角形內切圓與外接圓綜合

???△48。的外接圓。。、△48。的內切圓。。’即為所求;

(2)解：ZBOC=90"+QBOC,理由，

4

???點。是外接圓的圓心，

，/BOC=24,

???點。’是△ABC內切圓的圓心

：

.ZOBC=-2ZABC,2NOCB=、ACB,

,?^ABC+ZACB+4=180°,

：,ZOBC-VZOCB=-ZABC+-ZACB=i(180°-4)=90°--ZA.

222v72

AZBOC=1800-(/O8C+NOCB)=180。-(900=900

:./BO'C=90°+-^BOC；

4

(3)解：由(2)得，ZBO-C=900「/BOC,

4

二ZBOC=100°,

???/BOC=90°+-x100°=115°.

4

29.0<DM<2

解：當點時與點〃重合時，點〃與點。重合，此時點。為△40C的內心.

?.?四邊形為正方形，

???BO為4OC的平分線，

.?.點。在BO上.此時OM最短.

如圖，當點。落在AB上時，DM最大.

過點朗作MF_LAD于點R”6,8。于點6;MKJ.AB于點K.

■:/GBM=45°,

:./GMB=45°,

是等腰直角三角形，

???MG=GB.

???MGII4B,MK||GB,MG=GB,MG1.BC,

??.四邊形MGBK是正方形，

.??MG=MK.

vMF||A