人教版九年級數學上冊《配方法》導學案匯編（含兩個導學案）

25.2.1配方法（第1課時直接開平方法）

（導學案）

01學習目標

（I）理解直接開平方法的定義和解題依據，熟練掌握用直接開平方法解V=p（p20）和。加+〃）2=〃（〃20）

型一元二次方程的步驟；能準確判斷方程是否有實數根，規范書寫解題過程.

（2）經歷從平方根知識推導方程解法的探究過程，體會一元二次方程“降次轉化”的核心思想，提升類比遷

移、歸納總結和代數運算能力.

（3）通過新舊知識的銜接探究，感受數學知識的連貫性和邏輯性，體驗解題方法的簡潔性，增強學習代數

的信心，培養嚴謹細致的運算習慣.

重點：掌握直接開平方法解/=/.，（〃A0）和（〃3十〃）2型一元二次方程的方法及規范解題步驟.

難點：理解直接開平方法“降次轉化”的數學思想；準確判斷p的正負，區分方程實數根的三種情況；避免開

平方時遺漏負根.

02

第一環節自主學習

溫故知新：

創設情景，引入新課

復習提問：①什么是平方根？②正數、。、負數的平方根各有什么性質？

③求下列各數的平方根：4、0、1>-2.

情境設問：若一個數的平方等于9,這個數是多少？若f=9,如何求解x?

新知探究

【學法指導】

新知自研：自研課本第5?6頁的內容

【學法指導】自研課本P5.6頁內容

（一）解一元二次方程的基本思想

活動1：解一元二次方程的基本思想

追問1：怎樣解一元一次方程的？

解一元二次方程的基本思想：降次轉化為一元一次方程.

（二）基礎型方程/=〃

活動2：怎樣解/=〃型方程

交流思考：解方程/=4,爐=0,犬=-2,

追問1：結合平方根性質思考：方程的根有幾種情況？由什么決定？

根據平方根性質有三種情況，/=〃是由〃決定的

追問2：對方程/=〃的根有幾種情況？由什么決定？

師生歸納：當〃>0時，方程f=〃有兩個不相等的實數根：X2=-y[p；

當P=0時，方程V=〃有兩個相等的實數根：X1=X?=。；

當p<0時，方程/=〃無實數根（平方數非負）.

及時鞏固：用直接開平方法解方程V—25=0.

解題示范：移項得,/=25,因為25>0,所以x=±5,即％=石/2=-6.

（三）探究復合型方程（〃“+〃）2=〃

活動3：怎樣解（〃tv+〃y=〃型方程

交流思考：如何解方程（X+1）2=4?能否把x+1看作一個整體？

追問1：如果把X+1設其為y,方程變形為什么？怎樣解方程呢？

設戶x+1,方程轉化為丁=4,先求，再反求X.

直接開平方，求出y，即x+1,可以求出x.

鞏固練習：解方程2（x-3p=8.

系數化為I得（X-3）2=4,開方得x-3=±2,解得、=5,々=1

追問2：你能歸納出用平方法解一元二次方程的步驟嗎？交流討論.

師生總結解題步驟：

①整理方程：化為（儂+〃?=〃的標準形式；

②判斷符號：看常數p,是負數沒有實數根；

(3)開方降次：整體開平方，得到兩個一元一次方程；

?求解整理：解一元一次方程，寫出方程的根.

【自研自探】

自研課本P5.6頁內容

典型例題

例1.解下列方程：

(I)4X2-3=0;(2)(X+2)2-9=0.

【分析】按解一元二次方程的步驟，先轉化為。山+〃『=〃形式，直接開平方.

【詳解】解：(i)移項，并將二次項系數化為1,得

4

由此可得/=±當，

即士=手工2=--

(2)移項，得(x+2)'=9

由此可得x+2=±3

x+2=3,或x+2=-3,

即石=

例2.解方程：4(X-2)2-25=0

【分析】將一元二次方程轉化為(,甘+〃)2=〃形式，再直接開平方.

【詳解】解：移項，并將二次項系數化為1，得(X—2)2=B

此題考查了一元二由此可得X-2=±3

2

c5Tr5

x-2=—>或工-2=—>

22

9I

即再二了占二一］.

第二環節合作探究

I.討論解一元二次方程的基本思想

2.討論怎樣解/=〃型方程

3.討論怎樣解+=p型方程

拓展提升：

1.某汽車公司隨著生產技術的不斷提升，生產的某款汽車的價格由2021年8月份的39萬元/輛下降到10月份的

31.59萬元/輛，若月平均降價的百分率保持不變，求月平均降價率.

【詳解】設月平均降價率是x，

依題意得：39（1）2=31.59

解得：％=0.1=10%,%=1.9（不符合題意，舍去），

???月平均降價率是10%.

E鞏固練習

課本課堂練習（P6）第1題、第2題（1、3、5）.

0真題感知

1.（2025?重慶）某景區2022年接待游客25萬人，經過兩年加大旅游開發力度，該景區2024年接待游客

達到36萬人，那么該景區這兩年接待游客的年平均增長率為（）

A.10%B.20%C.22%D.44%

【解答】解：設該景區這兩年接待游客的年平均增長率為戈，

根據題意得:25（1+x）2=36,

解得：獷=0.2=20%,X2=~2.2（不符合題意，舍去），

???該景區這兩年接待游客的年平均增長率為20%.

故選:B.

2.（2025?臺灣）已知甲方程式為（「4）2=9,乙方程式為（x+9）2=-4.關于甲、乙兩方程式的解的

情形，下列敘述何者正確？（）

A.甲有兩個相異的解，乙無解

B.甲有兩個相異的解，乙有兩個相異的解

C.甲有兩個相同的解，乙無解

D.甲有兩個相同的解，乙有兩個相異的解

【解答】解：對于方程（x-4）2=9,

.V-4=±3,

解得川=7,X2=l；

對于方程（x+9）2=-4.

因為負數沒有平方根，

所以此方程沒有實數解.

故選：A.

05隨堂筆記

1.知識技能：（1）解一元二次方程需要“降次”,即把二次方程轉化為一次方程.（2）掌握了完整解題步驟：

整理方程T判斷P的符號T開方降次T求解根,同時能準確判斷方程有無實數根.

2.思想方法：（1）核心數學思想為轉化降次思想:將一元二次方程通過開平方轉化為兩個一元一次方程,

化未知為己知；（2）運用整體思想，把多項式m迎看作整便簡化運算，這是后續配方法解題的核心思維.

3.易錯提醒：（I）開平方時必須保留正魚號，極易遺漏魚損，導致少解一個根:（2）當p<0時，方程無實

數根，不可強行開方求解;（3）解方程前需先將方程化為平方等于?常數的標準形式，注意系數化為I；（4）

p=0時，方程有兩個相等的實數根,不可只寫一個根.

25.2.1配方法（第2課時配方法）

（導學案）

01學習目標

（1）熟練掌握用配方法解二次項系數為1、不為1的一元二次方程的完整步驟；能通過配方變形將一元二次

方程化為（1+〃）2=p的標準形式，并根據p的取值判斷方程根的情況.

（2）經歷“觀察方程、變形化簡、配方湊形、開方求解''的探究過程，歸納配方法通用解題流程，提升代數

變形、歸納總結和邏輯推理能力.

（3）體會數學轉化思想的簡潔性，感受代數變形的邏揖性和規律性；通過分層探究、合作交流，增強自主

探究意識和數學學習自信心.

重點：掌握用配方法解一元二次方程的通用步驟，能熟練求解二次項系數為1和不為1的一元二次方程.

難點：二次項系數不為1時，先將二次項系數化為1的變形操作；配方時準確確定“一次項系數一半的平方”,

保證方程變形的恒等性；根據配方后常數項的正負，判斷一元二次方程根的三種情況.

學習過程

第一環節自主學習

溫故知新：

創設情景，引入新課

L回顧完全平方公式：(?±/>)2=^±2ab+b2.

2.配方湊形：x2+6x+=(X+3)2,X2-4X+=(x-2)2.

3.梃問：如何用直接開平方法解方程(1+3)2=5.

新知探究

【學法指導】

新知自研：自研課本第7?8貝的內容

【學法指導】自研課本P7?8頁內容

(一)探究二次項系數為1的方程配方解法

活動1：用配方法解方程f+6%+4=0.

追問1：能否將方程轉化為(1+3丫=5,轉化的關鍵是什么？

學生交流討論：可以轉化，關鍵是將方程左邊轉化為一個完全平方式.

追問2：怎樣將方程轉化為左邊轉化為一個完全平方式，右邊為0的形式？你能說出理由嗎？

學生交流討論：1.移項：將常數項移到方程右側，得V+6x=-4；

2.配方：兩邊加一次項系數一半的平方(gj=9,得f+6x+=-4+9.

3.湊完全平方：(x+3『=5;

4.開方求解：解得用=一3十J5，%=-3-岳

師生小結：二次項系數為1的方程，配方核心是移項后，兩邊加一次項系數一半的平方.

(二)探究二次項系數不為1的方程配方解法

活動2：用配方法解方程-4工-6=0.

追問1：此方程與例上面講的方程有何不同？

二次項系數不為1

追問2：如何轉化為熟悉的方程形式？并解方程.

學生自主解題：

1.化系數為1：方程兩邊同時除以2,得丁—2x—3=0；

2.移項：f—2x=3；

/八2

3.配方：兩邊加-=1，得（工-1）2=4；

4.開方求解：解得斗=3,x2=-1.

（三）歸納配方法通用解題步驟

活動3：結合上面兩例題，歸納配方法解一元二次方程a?+法+c=0（。。。）的步驟.

學生交流討論：

1.化：二次項系數化為I（方程兩邊同除以二次項系數）；

2.移：常數項移到方程右邊；

3.配：方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方：

4.整：左邊寫成完全平方形式，右邊合并常數項；

5.開：根據平方根的意義開平方；

6.解：解兩個一元一次方程，得出方程的根.

（四）探究方程根的情況

活動4：配方后方程為（工+〃『=〃，〃的取值對根有什么影響？

學生交流討論，師生共同總結：

1.當p>0時，方程有兩個不相等的實數根%二-〃+），%,=-n-；

2.當p=0時，方程有兩個相等的實數根入1=%=-〃；

3.當〃<（）時，方程無實數根.

【自研自探】

自研課本P7?8頁內容

典型例題

例1.解下列方程：

（1）?-8%+1=0;（2）2/+l=3x;⑶3f-6x+4=0.

【分析】（1）方程二次項系數為1,直接運用配方法.

(2)方程二次項系數為2,移項、兩邊同除以2,再用配方法.

(3)類似(2)運用配方法.

【詳解】解：⑴移項，得=

配方，W(x-4)2=15.

由此可得x-4=±Ji￡,

即W=4+小，蒼二4一而..

(2)移項，W2X2-3X=-1.

二次項系數化為1,得/_二=」.

22

配方，得1一3]=_1..

I4J16

由此可得x二=士L,

44

,1

即占=1,々二鼠

(3)移項，得3/-6X=-4.

二次項系數化為1,得12一2八二-上

3

配方，f#(x-l)2=-l<0..

原方程無實數解.

第二環節合作探究

1.討論二次項系數為1的方程配方解法

2.討論探究二次項系數不為1的方程配方解法

3.討論歸納配方法通用解題步驟

拓展提升：

1.閱讀下面的材料：

為解方程卜一7)-5(--1)+4=0,我們可以將爐-1視為一個整體，然后可設/一1=)，,則*一])2=/,

原方程可化為V-5)，+4=O,用配方法解得y=L%=4.

當y=i時，x2-l=l,%=2,...x=±6；

當y=4時，X2-1=4,x2=5,cxr

綜上所述，原方程的解為玉=石，X'=-后.

⑴根據材料解方程：X4+X12-6=0.

（2）已知實數“，/?滿足（a+〃》（a+加-2）=24+4〃-4,求4〃+助-1的值

【詳解】（1）解：設-則原方程可化為V+y-6=°,

用配方法解得）%二-3,乃=2.

當產-3時，X2=-3,無實數根；

當？=2時，/=2,解得工=±五.

綜上所述，原方程的解為％=應，

（2）解：令a+?=x,則原方程可化為MX-2）=2X-4,（十一2）-=（）.

解得百=々=2,即〃+%=2.

.4”十助-l=4（a+%）-l=4x2-1=7

.?.4〃+助-1的值為7.

03鞏固練習

課本課堂練習（P8）第1題、第2題（1、2、3）.

04真題感知

1.（2025.包頭?校考期中）解方程：￡+12x+27=。

【詳解】：X2+12A=-27

x'+12x+36=-27+36

(X+61=9

x+6=3曲+6=—3

解得％=-3,

2.（2025.阿克蘇校考）解方程：X2-2X-8=O.

［詳解］解：x--2r-8=0,

移項得f-2x=8,

配方得Y-2X+1=8+1,即（X—17=9,

x-\=3ngx-l=-3,

解得X=4,勺=-2.

3.（2025?青浦?八年級校考期中）配方法解方程：3/-6》-1=0

【詳解】