配方法的十大應用（專項訓練）-浙教版八年級數學下冊（解析版）

專題03配方法的十大應用（舉一反三專項訓練）

【新教材浙教版】

颼題型歸納

【題型1利用配方法求參數（范圍）】............................................................1

【題型2利用配方法比較代數式大小】............................................................3

【題型3利用配方法證明代數式的值恒大于（或小于）某數】.......................................6

【題型4利用配方法求最值問題】................................................................10

【題型5利用配方法確定三角形的形狀】..........................................................13

【題型6利用配方法解決幾何問題】.............................................................16

【題型7配方法在二次根式中的應用】...........................................................22

【題型8配方法在分式中的應用】...............................................................24

【題型9利用配方法在實數范圍內分解因式】.....................................................27

【題型10利用配方法解決新定義問題】...........................................................29

舉一反三

【題型1利用配方法求參數（范圍）】

【例1】）已知實數九，c滿足ri?—m+Xc=0,n=12m2-12m+c2則"的取值范圍是（）

44

A.nN—B.ri>—C?幾之一2D.ri>-2

44

【答案】A

【分析】由m2-m+工。=0變形得nt?一6=_!c,代入n=12由？-12m+c?+；中得到n=c?-3c+L

4444

再進行配方，根據非負數的性質即可得到答案.

【詳解】vm2-ni+-c=0

4

二m2—771----1C

4

???7U2—771=（771—1）2—

???C<1

???n=12m2-12m+c2+7=12（m2-m）+c2+7=12x（-7C）+cz+7=c2-3c+7

44444

...n=（c-|）2-2

故選:A.

【點睛】本題主要考查了配方法的應用，涉及非負數的性質、偶次方，熟練運用上述知識是解題的關鍵.

【變式1-1](24-25九年級上?江蘇宿遷?期末)已知a,匕滿足(a?+4。+7)(〃-6b+11)=6,則2a+8=()

A.-6B.-1C.2D.3

【答案】B

【分析】本題考杳了代數式求值，配方法的應用，非負數的性質：將(。2+4。+7)(塊一6匕+11)=6變形，

然后根據非負數的性質和式子的結果，可以求出Q、匕的值，再代入求解即可，掌握相關知識是解題的關鍵.

【詳解】解：(a2+4a+7)(b2-6b4-11)=6.

[(a+2尸+3][(Z>—3)2+2]=6,

???(a+2產NO(6-3)2NO,

13當a+2=0,b-3=0時，[(a+2)2+3][(b-3)2+2]=6,

解得：Q=-2,b=3,

:.2a+b

=2x(-2)+3

=-4+3

=-1?

故選：B.

【變式1-2]無論x為何值，關于)的多項式?%2+3x+陽的值都為負數，則常數加的取值范圍是()

9Q

A.m<-9B.--C.inOD.m<-

22

【答案】B

【分析】首先判斷出：-5戶〃?=3>+〃吟然后根據偶次方的非負性質，可得巧《3”+〃?*〃吟

再根據無論x為何值，-*+3戶機<0,推得機+：V0,據此判斷出常數/〃的取值范圍即可.

【詳解】解：回-1(J2-6.V+9)+〃?+：=-1(x-3)；+機+：

回■工(%-3)2<0,

2

[99

0--（x-3）2+???+-<///+-?

222

回無論x為何值，-1X2+3.V+//?<0,

9

2

解得

故選:B.

【點睛】本題考查的知識點是配方法的應用，將多項式進行配方是解此題的關鍵.

【變式1-3]（24-25九年級上?江蘇泰州?期中）已知7九+n=4,mn-p2+8p>20,則7mlp的值為.

【答案】16

【分析】本題考查了配方法的應用，非負數的性質，先由m+n=4得m=4-①將其代入nrn-p2+8p>20

后，將不等式整理并配方得（ri-2）2+（p-4）2<0,根據非負數的性質可得幾=2,p=4,進而可得血=2,

再將〃?、〃、〃的值代入nmp即可得答案.

【詳解】解：所n+n=4,

（3m=4-n,

將n=4-九代入nm-p2+Bp>20得：（4-n）n-p2+8p>20,

整理后配方可得：（ri-2尸+（p-4尸WO,

回ri-2=0,p—4=0,

回—2,p=4,

0m=4—2=2,

0mnp=2x2x4=16,

故答案為:16.

【題型2利用配方法比較代數式大小】

【例2】（2025?安徽六安?一模）已知了，y,z為實數，且y+z=5-4%+3/,z-y=1-2%+公，則》,y,z

之間的大小關系是（）

A.x<y<zB.y<x<zC.y<z<xD.z<x<y

【答案】A

【分析】本題考查了完全平方公式的應用，配方法的應用.先根據已知等式求出y=/-x+2,z=2x2-

3x+3,再利用完全平方公式判斷出y>x,z>y,由此即可得出答案.

【詳解】解:團y+z=5—4無+3x2,z-y=1-2x+x2,

解得y=x2—x+2,z=2x2—3x+3,

0y-x=x2-x+2-x=x2-2x+2=(x-l)2+l>O,

0y>x：

0z-y=1-2x+x2=(x-l)2>0,

I3z>y,

0%<y<z,

故選:A.

【變式2-1】閱讀以下材料：

利用我們學過的完全平方公式及不等式知識能解決代數式一些同題，如小+2a-4=小+2。+1-1

4=(Q+1)2-5

團(。+I)2>0,

0a24-2a—4=(a4-1)2—5>—5,

因此，代數式。2+2。一4有最小值一5

根據以上材料，解決下列問題：

⑴代數式一2Q+2的最小值為；

2

(2)試比較Q2+b+11與6a-2b的大小關系,并說明理由；

(3)已知:a—b=2,ab+c2-4c+5=0,求代數式a+b+c的值.

【答案】⑴1

(2)a2+b2+11>6a-2b,見解析

(3)2

【分析】(1)將代數式小-2。+2配方可得最值；

(2)作差并配方，可進行大小比較；

(3)變形后得：a=b+2,代入處+c2—4c+5=0中，再利用配方法即可解決問題.

【詳解】(1)解：a2-2a4-2=(a2-2a4-1)4-1=(a-I)2+1,

2

H(Q-l)>0,

0(a-I)2+1>1,

即代數式a?-2a+2的最小值為1；

故答案為：1;

(2)a2+b2+11>6a—2b,理由如卜：

a24-b24-11—(6a—2b)

=a2+b2+11—6a+2b

=(a2-6a+9)+(b24-2/?+1)+1,

13("3尸>0,(b+l)2>0,

0a2+/?2+ll>6a-2b；

(3)0a-b=2,

0a=b+2,

0a/?+c2—4c+5=0,

助(b+2)+c2-4c+5=0,

國(b+l)2+(c—2)2=0,

助+1=0,c-2=0,

助=-1,c=2,

0a=-1+2=1,

回Q+匕+c=l—l+2=2.

【點睛】本題考查非負數的性質、配方法的應用，解題的關鍵是熟練掌握配方法，利用配方法可以確定最值

問題，屬于中考常考題型.

【變式2-2](24-25九年級上?全國?單元測試)已知P=^m-2,Q=m2-^m,當m取任意實數時，則P、

Q的大小關系為()

A.總有PNQB.可能P=QC.總有PVQD.不確定

【答案】C

【分析】本題主要考查了配方法的應用，利用作差法得到Q-P=(m-1)2+1,據此可得結論.

【詳解】解：—2,Q—m2—

0Q—P=m2—1|m+2=m2—2m+2=(m—l)2+1,

團(m-1)2>0,

0(7n-l)2+1>1,

0Q-P>1>0,

團總有P<Q,

故選：c.

【變式2-3】設x,y都是實數，請探究下列問題，

⑴嘗試：①當％=-2,丫=1時，丁%2+、2=5,2xy=-4,x2+y2>2xy.

②當x=1,y=2時，vx2+y2=5,2xy=4,x2+y2>2xy.

③當x=2,y=2.5時,vx2+y2=10.25,2xy=10,x2+y2>2xy.

⑷當x=3,v=3時，vx24-y2=18,2xy=18,???x24-y22xv.

⑵歸納：始+丫2與2孫有怎樣的大小關系？試說明理由.

⑶運用：求代數式/+9的最小優

【答案】（1）=

（2）x2+y2>2xy,理由見解析；

⑶代數式/+爰的最小值為8.

【分析】（1）求得/+y2=18,2xy=18,得到/+y2=2到；

（2）結合完全平方的非負性即可解答；

（3）利用歸納的結論即可求解.

【詳解】（1）解：當x=3,y=3時，丁/+V=18,2xy=18,

:x2+y2=2xy,

故答案為：=：

（2）解：x2+y2>2xy,理由如下，

0X2-2xy4-y2=（x-y）2>0,

0x2+y2>2xy；

（3）解:Ox2+y2>2xy,

址2+W22/?W=8,

X2X2

歷代數式/+［的最小值為8.

xz

【點睛】本題考查了配方法的應用，利用完全平方非負數的性質是解題關鍵.

【題型3利用配方法證明代數式的值恒大于（或小于）某數】

【例3】【閱讀材料】利用公式法，可以將一些形如a/+雙+線。=0）的多項式變形為以％+小）2+幾的形

式，我們把這樣的變形方法叫做多項式a/+.+。伍/0）的配方法，運用多項式的配方法及平方差公式能

對一些多項式進行因式分解或有關運算.

例如：對于a2+6a+8.(1)用配方法分解因式：(2)當a取何值，代數式。2+6a+8有最小值？最小值

是多少？

解：(1)原式=M+6Q+8+1-1

=G24-6a+9—1

=(a+3)2-1

=[(a+3)+l][(a+3)-l]

=(a+4)(a+2).

(2)由(1)得：a2+6a+8=(a+3產-1,

???(a+3)2>0,

(n+3)z—1>-1?

???當a=-3時，代數式a?十Ga十8有最小值，最小值是一1.

【問題解決】利用配方法解決下列問題：

⑴用配方法因式分解：X2+2X-8；

(2)試說明不論m為何值，代數式-m2+4m-5恒為負數；

(3)若已知(a+c)(b-a)=+c)2且Q。0,求與￡的值.

【答案】⑴(％+4)(%-2)

⑵見解析

(3)2

【分析】(1)根據題干信息，利用配方法分解因式即可：

(2)先利用配方法將一環+4m-5變形為一(m-2/一1,根據二次方的非負性，求出一小+4m-5的值

恒為負數；

(3)先將(a+c)(b—a)—：(b+c)?變形為(2a—b+c)2—0,得出2a—b+c—0,即可求出-2.

【詳解】(1)解：X2+2X-8

=J2+2x+1-9

=(%+I)2-9

=(x+1+3)(%+1-3)

=(x+4)(x-2).

(2)解：v-m24-4m-5

=-(m2—4m+4)—1

=-(m—2/—1,

(m-2)2>0,

???-(m-2)2<0,

???-(m-2)2-1<-1<0

二不論？n為何值，代數式一根2+一5恒為負數.

(3)解：:(。+。)(6—。)=[(8+(?)2,

:.ab-a2+be-ac=^(b2+2bc+c2),

???4ab—4a2+4bc—4ac=b2+2bc+c2,

???(4a2-4ab+b2)+2(2a-b)c+c2=0,

???(2a-b)2+2(2a-b)c+c2=0,

???(2a-b+c)?=0,

2a—b+c=0,

:.2a=b—c,

???aH0,

=2.

a

【點睛】本題主要考查了配方法分解因式，解題的關鍵是熟練掌喔完全平方公式小±2ab+爐=(°±5尸.

【變式3-1](24-25九年級上?甘肅?期中)用配方法求證：代數式4/一8%+9的值恒為正數.

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了配方法的應用，利用配方法得到4/一取+9=4(%—1)2+5,再根據偶次方的非

負性得到4(%—1)2+525,據此可證明結論.

【詳解】證明：4/-8%4-9

=(4/-8%+4)+5

=4(x2—2x4-1)4-5

=4(x-l)2+5,

0(x-l)2>0,

04(x-l)2>0,

04(x-l)2+5>5,

團代數式4產一8x+9的值恒為正數.

【變式3-2】不論x,y取何值，代數式9/+4y2+6%-8y+2的值()

A.總不小于一3B.總不大于一3C.總大于2D.總小于2

【答案】A

【分析】通過配方可把代數式9/+4V2+6》一8y+2變形為(3X+1)2+4(y-l)2-3,由非負數的知識可

知該代數式的值總不小于-3.

【詳解】解：09x2+4y2+6%-8y+2

=9J2+6x+1+4y2-8y+4-3

=(3x+l)2+4(y-l)2-3

又以3x+l)2>0,(y-I)2>0,

09x2+4y2+6x-8y+2>-3,

即代數式9%2+4y2+6x-8y+2的值總不小于-3.

故選：A.

【點睛】本題靈活運用配方法和非負數概念，考杳了計算、推理能力和數學整體思想.

【變式3-3](24-25八年級上?福建漳州?期中)我們把多項式M+2ab+b2Ra2-2ab+必叫做完全平方式,

如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，

再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數學方法，

不僅可以將?個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決?些與非負數有關的問題或求代數式最大值，

最小值等

例如：分解因式：x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-I)2-22=(x-1+2)(x-1-2)=(x4-l)(x-

3)

⑴請用上述方法把/+4%+3分解因式；

(2)求多項式/+10%+26的最小值;

⑶試說明：無論又、y取任何實數時，多項式/+丫2一4%+2丁+6的值總為正數.

【答案】⑴0+3)(X+1)

(2)1

⑶見解析

【分析】本題考查/配方法的應用，熟練掌握配方法的應用是解題的關鍵：配方法是一種重要的解決問題的

數學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數有關的問題或求代數

式最大值，最小值等.

(1)按照題干中所給的方法，利用配方法進行因式分解即可；

(2)利用配方法將多項式變形為(工+5>+1,然后利用完全平方式的非負性即可求出多項式好+10%+26

的最小值；

(3)利用配方法將多項式變形為(工-2產+(y+1)2+1,然后利用完全平方式的非負性即可得出結論.

【詳解】(1)解：x2+4%+3

=X2+4%4-4-1

=(x+2)2-1

=(x+2+l)(x+2-l)

=(x+3)(%+1)；

(2)加至：x2+10x十26

=x2+10x+25+1

=0+5尸+1,

回(x+5)2>0,

12(%+5t+1>1,

13多項式%2+10X+26的最小值為1：

(3)解：^x2+y2-4x+2y+6

=嚴一4%+4+V+2y+1+1

=(%-2尸+(y+1)2+1,

又以％—2/NO,(y+l)2>0,

22

0(x-2)+(y+l)+l>l>O；

(3無論》、y取任何實數時，多項式/+y2-4x+2y+6的值總為正數.

【題型4利用配方法求最值問題】

【例4】教科書中這樣寫道："我們把多項式小+2立+垓及Q2-2ab+b2叫做完全平方式〃，如果一個多項

式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項,

使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法.配方法是一種重要的解決問題的數學方法，不僅可以將?個看

似不能分解的多項式分解因式，逐能解決一些與非負數有關的同題或求代數式最大值，最小值等.

例如：分解困式

x24-2x—3=x2+2x+l—1—3=(%2+2x+1)—4=(x+I)2—4=(x4-14-2)(x+1—2)=

(x+3)(%-1)；

例如：求代數式2/+4%—6的最小值為2/4-4x—6=2(x2+2x)—6=2(x2+2x4-1—1)-6=

20+1)2—8.可知當％=-1時，2/+4%一6有最小值，最小值是一8,根據閱讀材料用配方法解決下列問

題：

⑴分解因式：m2-4m-5=______；

⑵當。為何值時，多項式-小+4。+18有最大值，并求出這個最大值；

(3)當4,〃為何值時，多項式Q2+3/?2+4Q—6匕+27有最小值，并求出這個最小值.

【答案】⑴(m+l)(m-5)；

(2)2,22；

(3)a=-2,b=1,20.

2

［分析］(1〉根據閱讀材料，先將_4m-5變形為血？_47n+4-9,再根據完全平方公式寫成(m-2)-

9,然后利用平方差公式分解即可解答；

(2)利用分解因式將多項式-M+4a+18轉化為一(。—2)2+22,然后利用非負數的性質即可解答；

(3)利用分解因式將多項式小+3匕2+4Q—6b+27轉化為(a+2尸+3(匕-1)2+20,然后利用非負數的

性質即可解答.

【詳解】(1)解：m2—4m—5=m2-4m4-4—9=(ni—2)2—9=(m+l)(m—5).

(2)解:0—a2+4a4-18=—(a2—4a4-4)+44-18=—(a-2)2+22,

回當a=2時，多項式一a?+4。+18有最大值22.

22

(3)(3)ISM+3〃+4。―6b+27=a2+4Q+4+3s2-2b4-1)4-20=(a+2)+3(b-I)+20,

團當Q=-2,b=l時，多項式M+3〃+4。-6b+27有最小值20.

【點睛】本題主要考查了因式分解的應用、非負數的性質、配方法等知識點，熟練掌握配方法、因式分解的

方法是解本題的關鍵.

【變式4-1］若M=x2-4xy+4y2+2%-4y+3,則M的最小值為.

【答案】2

【分析】本題考查了因式分解和配方法，將原式分解成平方的形式，即可解答，熟知用完全平方式進行進行

因式分解是解題的關鍵.

【詳解】解：M=x2-4xy+4y2+2%-4y+3,

=(x-2y￥+2(x—2y)+3,

=(x-2y+l)2+2,

當％-2y+l=0時，原式取最小值2,

故答案為:2.

【變式4-2］(24-25九年級上?江蘇鎮江?階段練習)配方法是數學中重要的一種思想方法.它是指將一個式

子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法.這種方法常被用到代數式的變

形中，并結合非負數的意義來解決一些問題.已知熨數％、y滿足—％2+：%+丫—3=0,則x-2y的最大值

為.

【答案】2

【分析】本題主要考查了配方法的應用，不等式的性質，由己知式子表示出了，代入x-2y中，配方后再利

用非負數的性質以及不等式的性質求出最大值即可.

【詳解】解：-x2+^x+y-3=0

,7

y=x2--x+3

乙

x-2y=x-2卜2-+3)

=x-2x2+7x-6

=-2x2+8x-6

=-2(X-2)2+2

團(％—2)2>0,

13-2(X-2)2<0

13-2(%—2尸+2<2,

團當x=2時，%—2y有最大值，最大值為：2.

故答案為：2.

［變式4-3］設實數x,y,z滿足x+y+z=1,則河=xy+2yz+3zx的最大值為.

【答案】:

【分析】先將已知等式變形可得z=l-x-y,然后代入M中，利用配方法將右側配方，最后利用平方的非

負性即可求出結論.

(詳解］解：0%4-y+z=1

0z=1-x-y

團M=xy+2yz+3zx

=xy+2y(1-x-y)+3x(1-x-y)

=xy+2y-2xy-2y2+3x-3x2-3xy

=-3x2-4xy-2y2+2y+3x

=(-2x2-4xy-2y2)-%2+2y4-3x

=-2(x+y)2+2x+2y-x2+x

=-2[(x+y)2-(x+y)+；-1]-(x2-x+1-i)

=-2(x+y-/-(x-/+渭

=-21+y—j)2-(x-1)2+;

0-2(x+y--(x-1)<0

回-2(x+y-i)2-(%-i)2+蕓

0M=xy+2yz+3zx的最大值為:

故答案為：

4

【點睛】此題考查的是配方法的應用和非負性的應用，掌握完全平方公式和平方的非負性是解決此題的關鍵.

【題型5利用配方法確定三角形的形狀】

【例5】(24-25九年級匕?貴州黔西?期中)閱讀下列材料：

配方法是初中數學中經常用到的一個重要方法，掌好配方法對我們學習數學有很大的幫助.所謂配方，就

是將某一個多項式變形為一個完全平方式，變形一定要是恒等的.例如：解方程--4%+3=0,則有/-

2

4X+4-4+3=0,/.(x-2)=1,解得%i=3,x2=1-已知/-2%+/+4y+5=0,求x,y的值,

則有(，-2x+1)+(y2+4y+4)=0,(x-+(y+2)2=0,解得％=1,y=-2.

根據以上材料解答下列各題：

⑴若/+6x+y2-8y+25=0,求(x+獷皿的值;

⑵若a,b,c分別表示△48。的三邊長，KWJEa2+8b24-c2-4ab-4fec=0,試判斷△ABC的形狀,并說明

理由.

【答案】⑴1

(2)A/8C為等腰三角形，理由見解析

【分析】本題主要考查了配方法，完全平方公式，代數式求值，非負數的性質，將多項式變形為完全平方式

是解題的關鍵.

(1)應用配方法將方程變形為(％+3)2+(y-4)2=0,解方程得到％=-3,y=4,代入(％+丫)?。24計算即

可；

(2)△ABC為等腰三角形，理由：先將方程變形為(a-28)2+(c—28)2=0,解方程得到a=2b,c=2b,

進而得出。二小即可得到結論.

【詳解】(1)解：v%24-6x+y2-8y4-25=0,

:.(x2+6x+9)+(y2—8y+16)=0,

/.(r+3)2+(y-4)2=0,

???x=-3,y=4,

...0+y)2024=(_3+4)2024=12024=1

(2)解：△ABC為等腰二角形.

理由：???M+8川+c2-4ab-4bc=0,

???(a2-4ab+4b2)+(c2—4bc+4b2)=0,

???(a-2b>+(c-2b)2=0,

??a-2b=0,c-2h=0,

二a=2b,c=2b,

???a=c.

??.△ABC為等腰三角形.

【變式5-1］已知三角形三邊長為a、b^c,且滿足a?—4b=7,b2—4c=—6,c2-6a=-18,則此三

角形的形狀是()

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.無法確定

【答案】A

【詳解】解:0/-4b=7,b2-4(--6,c2-6a=-18,

Sa2-4b+b2-Ac+c2-6a=7-6-18.

整理得：a2-6a+9+b2-4/7+4+c2-4c+4=0,

即(a-3)2+(b-2)2+(c-2)2=0,

團a=3,b=2,c=2,

團此三角形為等腰三角形.故選A.

點睛：本題考查了因式分解的應用，解題的關鍵是正確的進行因式分解.

【變式5-2】已知a,b,c是ZiABC的三邊，若a,b,c滿足a?—5a+b?—8b+)c—5+25=0,則ZiABC是_

三角形；若a,b,c滿足a2+b?+c2—ab—be—ac=0,則aABC是三角形.

【答案】直角；等邊.

【分析】把25分成9、16,利用配方法把a2—6a+b2-8b+鬧飛+25=0改寫為(a-3尸+(b⑷2+G^=0,利

用非負數的性質求出a、b、c的值，根據勾股定理逆定理判斷即可；利用配方法把a2+b2+c2-ab-bc-ac

=C改寫為(a-bF+(b-02+(a?2=0,再利用非負數的性質，可分別求出a、b、c的關系.

【詳解】0a2-6a+b2-8b+Vc-5+25=0,

0(a-3)2+(b-4)2+Vc-5=0,

0a=3>b=4,c=5,

[332+42=52,

0AABC是直角二角形；

0a2+b2+c2-ab-be-ac=0,

0(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=O,

l2)a=b,b—c>a=c,

Pla=b=c,

團aABC是等邊三角形.

故答案為直角；等邊.

【點睛】此題考查了配方法的應用、勾股定理逆定理、非負數的性質，解題的關鍵是注意配方法的步驟，在變

形的過程中不要改變式子的值.

【變式5-3】把代數式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關運算和解題，這種解題方法叫做

配方法.如：①用配方法分解因式：a2+6a+8.

解原式=a2+6a4-8+l—l=a2+6a+9—l=(a+3)2—l2=[(a+3)+l][(a+3)—1]=(a+

4)(a+2).

②仞=小一2。一1,利用配方法求M的最小值.

解：Q?—2Q—1=Q2—2a+1—2=(a—1乃一2.

團(a-1)2>0,

自當a=1時，M有最小值-2.

請根據以上材料解決下列問題：

⑴用配方法因式分解：X2+2X-3：

(2)若M=2%2—8%,求M的最小值；

(3)已知a、b、c是△力8C的三條邊長.若a、b、。滿足小+：爐+5=4a+力一|c一2],試判斷△/18C的形

狀，并說明你的理由；

【答案】⑴a+3)a—i)

⑵-8

⑶等邊三角形，理由見解析

【分析】本題考查了利用配方法進行因式分解、偶次方的非負性、等邊三角形的判定，讀懂題意，掌握配方

法是解題關鍵.

(1)根據配方法，配湊出一個完全平方公式，再利用公式法進行因式分解即可；

(2)先利用配方法，配湊出一個完全平方公式，再根據偶次方的非負性求解即可；

(3)先利用配方法進行因式分解，再利用偶次方的非負性求出mb.c的值，然后判斷三角形的形狀即可.

【詳解】(1)解：x2+2%-3=x2+2%+1-4=(%4-1)2-4=(x+14-2)(%+1—2)=Q+3)(x-1)；

(2)解：M=2x2-8x=2(x2-4x)=2(x2-4x+4)-8=2(x-2)2-8,

(3(x-2)2>0,

0M>-8,

則M的最小值為-8：

(3)解：幽4c是等邊三角形，理由如卜?：

0a2+-b2+5=4a+b—|c—2|,

4

團(Q2-4a+4)+(^b2—b+1)+|c-2|=0,

即(a—2)2+-1)+|c—2|=0,

團一-0,刑—1=0,c—2=0,

解得a=2,b=2,c=2,

團Q=b=c,

即AABC是等邊三角形.

【題型6利用配方法解決幾何問題】

【例6】在△4BC中，24=90。,48=34。=4,〃是△力BC所在平面內一點，則P力？+P8?+PC?的最小值

是.

【答案】V

*5

【分析】本題考查了直角三角形中的最小值，勾股定理、配方法的應用等知識，過P作PD14c于D,過P作

PE1于E,延長CP交4B于M,延長BP交AC于N,設4。=PE=x,AE=DP=y,得出力P?+CP2+Bpi=

3(z-^)2+3(y-l)2+^,即可得出答案，掌握相關知識是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，過P作尸。_LAC于D,過P作PEJ.4B于E,延長CP交延長BP交

AEMB

0Z/1=90°,PDLAC,PELAB,

團四邊形4EPD是矩形，

設AD=PE=x,AE=DP=y,

在Rt/k/lEP中，AP2=x2+y2,

在RtACOP中，CP2=(4—無>+y2,

在BEP中，BP2=x2+(3-y)2,

^AP2+CP2+BP2=x2+y2+(4-x)2+y2+x2+(3-y)2=3x2-8x+3y2-6y+25=3(x-+

3。TH拳

0x=py=l時，Hp2+cp2+￡p2的值最小，最小值為日.

【變式6-1](24-25八年級下?安徽宣城?期中)我們已經學習了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還

有其他重要應用，例如：試求二次三項式/+4%+5最小值.

解：%2+4%+5=%24-4x+4+1=(x+2)2+1,

???(.+2)2>0,(X+2)2+1>1,

X2+4%+5>1,即％2+4x4-5的最小值是1.

試利用“配方法〃解決下列問題：

⑴已知代數式一27+4%-5,求它的最大值.

⑵比較代數式2—?3x5與3/一x卜1的大小，并說明理由.

⑶知識遷移：

如圖，在ABC中，匕C=90。,4c=8cm,8c=6cm,點P在4c邊上以2cm/s的速度從點A向C移動，

點。在C8邊上以lcm/s的速度從點C向點8移動.若點P,Q同時出發，且當一點移動到終點時，另一點也

隨之停止，設四邊形APQB的面積為Scm2,運動時間為，秒，求S的最小值.

【答案】⑴-3

(2)37—%+1>2x2+3x—5,理由見解析

⑶20

【分折】本題考查了配方法的應用，二角形的面積，解題的關鍵是掌握配方法.

(1)利用“配方法”計算即可;

(2)兩式相減，差和0比較，確定大小；

(3)S=大三角形面積減去小三角形面積，再把含有/的式子配方，求最小值.

【詳解】(1)解：一27+4%-5=-2(/-2￥+1-1)-5=-2(%-1)2-3,

???-2(x-I)2<0,

—2(%—I)?-3<—3,

-2x2+4x—5的最大值為-3；

(2)(3x2—x+1)—(2x2+3x-5)=x2—4x+6=(x-2)24-2>0

???(■2)2NO,

(x-2)2+2>2,

???(x-2)2+2>0

二3x2—x+1>2x2+3%—5；

(3)vAC=8cm,8C=6cm,點P在/IC邊上以2cm/s的速度從點A向C移動，點Q在CB邊上以lcm/s的速

度從點。向點8移動

???點P從4點運動到。點所需時間為B+2=4s,點。從。點運動到8點所需時間為6+1=6s,

???0<t<4,

S=S4ABe-S3CQ=IxACxBC--xPCxQC,

S=1x8x6-1(8-2t)t,

S=t2-4t+24=(t-2)2+20>20,

，S的最小值為20.

【變式6-2]如圖，正方形ABC。的邊長為2,點E是邊48上的動點,，連接ED、EC,將ED繞點E順時針旋轉90。

得到EN,將“繞點E逆時針旋轉90。得到EM,連接MN,則線段MN的取值范圍為一.

【答案】4<MN<2\[S/2\[S>MA/>4

【分析】本題是正方形綜合題，考查了正方形的性質，旋轉變換的性質，矩形的判定和性質，全等一:角形的

判定和性質，勾股定理，不等式的性質等，添加輔助線構造全等三角形是解題關鍵.過點M作時尸,力氏交

的延長線于點F,過點N作NGJ./1B,交力8的延長線于點G,作NH_LFM于點H,可證得△MEF三4

ECB(AAS),得出MF=BE=2-x,EF=BC=2,同理：NG=AE=x,EG=AD=2,得出FG=EF+EG=

2+2=4,再證得四邊形FGN”是矩形，得出HN=FG=4,FH=NG=x,MH=MF-FH=2-x-x=

2-2x,再運用勾股定理即可求得答案.

【詳解】解：如圖，過點M作交84的延長線于點兒過點N作NGJ.48,交AB的延長線于點G,

作NH1FM于點H,

貝IJ/EFM=乙EGN=乙FHN=乙NHM=90°,

由旋轉得：EM=EC,EN=ED,Z,CEM=Z.DEN=90%

:.Z.MEF+LCEB=90°,乙DEA+(NEG=90°,

???Z.MEF4-乙EMF=90°,Z.DEA+LEDA=90°,

；?乙CEB=^EMF,乙NEG=LEDA,

?.?正方形力BCD的邊長為2,點E是邊4B上的動點，

設4E=x(0WxW2),則BE=2-x,

二AB=AD=BC=2,匕DEA=乙CBE=90°,

在AM"和△ECB中，

(ZEFM=CBE=90°

乙EMF=乙CEB,

(EM=EC

:心MEF三△ECB(AAS),

MF=BE=2-x,EF=BC=2,

同理：NG=AE=x,EG=AD-2,

FG=EF+EG=2+2=4,

???Z.MFE=乙NGE=Z.FHN=90°,

二四邊形FGN"是矩形，

:.HN=FG=4,FH=NG=x,

.--MH=MF-FH=2-x-x=2-2x,

在Rt△MNH中，MN2=MH2+HN2=(2-2x)2+42=4(x-I)2+16,

v0<%<2,

0<(x-l)2<1,

16<4(x-l)2+16<20,

即16<MN2<20,

???MN>0,

???線段MN的取值范圍為4<MN<2V5.

故答案為：4<MN<2V5.

【變式6-3]（24-25八年級下?江蘇南京?期中）如圖，已知1力8=10,P為線段48上的一個動點，分別以4RPB

為邊在的同側作菱形4PCO和菱形PBFE,點匕C,E在一條直線上，NU4P=60°,M,N分別是對角線4C,8E

的中點.當點P在線段48上移動時，點MN之間的距離最短為.

DC

【分析】連接PM、PN.首先證明/MPN=90。，設P4=2a,則PB=10-2Q,PM=a,PN=V3（5-a）,

構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題.本題考查菱形的性質、勾股定理、配方法的應用等知

識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用配方法解決最值問題.

【詳解】解：連接PM、PN.

???四邊，衫APCO,四邊）已。笈尸fi■是菱形，/-DAP=60°,

二Z.APC=120°,乙EPB=60°,

M,N分別是對角線AC,BE的中點,

Z.CPM=-Z.APC=60°,乙EPN=-Z.EPB=30°,

zMP/V=60°+30°=90°,

設"=2a,

則P8=10-2a,PM=a,BN=-BP=S-a

2

PN=\/BP2-BN2=V3(5-a),

；.MN=Ja2+[V3(5-a)]2=V4a2-30a+75=^4(?-^)2+^,

當a=《時，則4(Q-S)2+《=F，此時有最小值，

即a=3時，MN=^4(a—y)2=竽，

團MN有最小值，最小值為第，

故答案為：竽.

【題型7配方法在二次根式中的應用】

【例7】(24-25九年級上?安徽淮北?階段練習)無論x取任何實數，代數式五2一匕+3都有意義,則k的最

大值為.

【答案】2V3

【分析】本題考查了二次函數的性質，二次根式有意義的條件，根的判別式，熟練掌握條件是解題的關鍵.

令)；=*2一依+3,根據題意，得A=(-1)2-4x1x3W0,解答即可.

【詳解】解：令y=/一心：+3,

13無論x取任何實數，代數式，一「％+3都有意義,

0y>0,

^x2-kx+3=0的判別式A=(-k)2-4xlx3<0

解得一2次<k<26，

歐的最大值為2vs.

故答案為：2^3.

【變式7-1】我國南宋時期數學家奏九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家

海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a,b,c,記2二竺廣，則其面積5=

Jp[p—a)(p—b)(p—c).這個公式也被稱為海倫一秦九韶公式.若p=3,c=2,則此三角形面積的最大

值是.

【答案】V3

【分析】根據公式算出a+b的值，代入公式，根據完全平方公式的變形即可求出解.

【詳解】解：即=空產，p=3,c=2,

團3=批”

2

(3a+b=4?

刖二4-b,

團S=Jp(p-a)(p-b)Q-c)

=《3(3-。)(3-8)(3-2)

=《3(3-a)(3-8)

={3[ab-3(a+1)+9]

=《3(帥—3)

=《3g(4-6)-3]

=《3[_Q_2產+1]

團當。二2時，5有最大值為行.

【點睛】本題考查了二次根式與完全平方公式的應用，解答本題H勺關鍵是明確題意，表示出相應的三角形的

面積.

【變式7-2]若函數y=42023-X-2021的最大值為M,最小值為例，則￡=的為一.

M

【答案】中

【分析】本題考查無埋困數的最值，先求X的取值范圍，求yZ=2+M-(x-2022)2+1的最大值和坂小值,

從而求出y的最大值和最小值即可.

4

【詳解】y=V2023-X+Vx-20214,

2023-x>0,x-2021>0,

2021<%<2023,

???y2=2+27(2023-x)(x-2021)=2+2/-(x-2022)2+1,

當％=2022時，戶有最大值4,

當％=2021時，必有最小值2,

???M=2,m=V2,

7n

,.,"—_\歷，

M2

故答案為：y.

【變式7-3】已知點尸（。,3匕2一3）,且實數a,b滿足Q—4b2+8=0,則點P到原點的最短距離為.

【答案】蔡

【分析】由已知得到點P的坐標為。（。怖。+3）,求得PO=jM+Ga+3）2=J^a2+y+9,利用配方

法求解即可.

【詳解】解：0a—4b2+8=0,

13b2=-+2,則3b2—3=?a+3,

44

團P（a,；a+3）,

*。=m+（支+3）2=腎+/+9

5,72144

=-a2+--a4-——

4、2525

=M。+學+罌，

自當Q=一,時，有最小值，

最小值為江弓=片,

4255

（3P。的最小值為何=耳.

故答案為：Y.

【點睛】本題考查了點的坐標，配方法的應用，熟練掌握求解的方法是解決本題的關鍵.

【題型8配方法在分式中的應用】

【例8】分式好?受中可取的最小值為（）

xz+2x+2

A.4B.5C.6D.不存在

【答案】A

【分析】本題主要考查分式的性質及配方法的應用，熟練掌握分式的性質及配方法的應用是解題的關鍵；由

6X2+12X+10

題意可變形為=6—,然后根據分式的性質及配方法可進行求解.

X2+2X+2(X41)2+l

【詳解】解：由題意得:

6X2+1ZX+1O6(X2+ZX+Z)-Z

=6-^^=6-(^775

X2+2X+2X2+2X+2

Z

若要求得6X+12X+1O的最小值，則需得出/+2%+2的最小值即可,

X2+2X+2

Hz2+2x+2=(x+I)2+1>1,

回/+2x+2的最小值為1,

0^票廠的最小值為4；

x-+2x+2

故選A

【變式8-1】代數式________10105________的最大值是

4x2-i2xy+10y2+6y+i4

【答案】2021

【分析】將分母湊成2個完全平方式，再根據完全平方的非負性和分式的性質即可求得最大值

■、出初、收1010510105,10105rex

【詳解】解：4x2-12xy+10y2+6y+14=(2x-3y)2+(y+3)2+5-5=2021

故答案為：2021

【點睛】本題考查了完全平方公式的應用，分式的性質，掌握完全平方公式是解題的關鍵.

【變式8.2】若分式』不論X我何實數總有意義?求m的取值范圍.

【答案】m>l

【詳解】先利用配方法，再根據分母恒大于o則分式有意義這一條件即可求解.

解：*一2￥+〃?=1—2x+l-l+〃?=(x-1)2+〃?-1,

(?l(x-l)2>o.

國當機一1>0時，即機>1時，不論匯取何