數學核心試題與詳細答案

數學核心試題與詳細答案考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的）1.若集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1},則A∩B等于(A){x|x>1}(B){x|1≤x<2}(C){x|-1<x≤1}(D){x|-1<x<1}2.復數z=(2+i)/i(其中i為虛數單位)的值等于(A)2-i(B)2+i(C)-2-i(D)-2+i3.函數f(x)=log?(x-1)的定義域是(A)(-∞,1)(B)[1,+∞)(C)(-1,+∞)(D)(-∞,-1)4.已知等差數列{a?}中，a?=5,公差d=-2,則該數列的前n項和S?等于(A)n2+4n(B)-n2+4n(C)4n-n2(D)n2-4n5.直線l?:2x-y+1=0與直線l?:x+2y-3=0的位置關系是(A)平行(B)垂直(C)相交但不垂直(D)重合6.拋物線y2=4x的焦點坐標是(A)(1,0)(B)(0,1)(C)(-1,0)(D)(0,-1)7.已知扇形的圓心角為60°，弧長為2π，則該扇形的面積等于(A)4π(B)8π(C)2π2(D)π28.一個盒子里有大小相同的5個紅球和4個白球，從中任意摸出3個球，恰好是2個紅球和1個白球的概率等于(A)5/12(B)5/13(C)1/2(D)3/89.函數g(x)=|x-1|+|x+1|的最小值等于(A)0(B)1(C)2(D)310.若函數f(x)=x3-3x+1在區間(0,2)上單調遞減，則實數k的取值范圍是(A)k≤0(B)k≥0(C)k<0(D)k>0二、多選題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。在每小題列出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對但選不全的得3分，有選錯的得0分）11.下列函數中，在其定義域內是奇函數的是(A)y=x2(B)y=sinx(C)y=tanx(D)y=|x|12.不等式|x-1|<2的解集是(A)(-1,3)(B)(-2,2)(C)(0,4)(D)(-1,3)13.在等比數列{b?}中，若b?=6,b?=54，則該數列的公比q等于(A)3(B)-3(C)2(D)-214.直線x=2與圓(x-1)2+y2=9的位置關系是(A)相交于兩點(B)相交于一點(C)相切(D)相離15.下列命題中，為真命題的是(A)若a>b，則a2>b2(B)若a2>b2，則a>b(C)若函數f(x)是奇函數，則f(0)=0(D)若命題“p或q”為假，則p和q都為假三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16.（本小題滿分10分）解方程：2(x+1)=5-x17.（本小題滿分12分）已知函數f(x)=x2-4x+3。(1)求函數f(x)的最小值；(2)求不等式f(x)>0的解集。18.（本小題滿分12分）在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c。已知a=3,b=2√3,C=60°。(1)求邊c的長；(2)求sinA的值。19.（本小題滿分14分）已知數列{a?}是等差數列，其前n項和為S?。若a?=7,S?=25。(1)求數列{a?}的通項公式；(2)求數列{a?}的前n項和S?的表達式。20.（本小題滿分15分）已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F到直線x-y+2=0的距離等于2√2。(1)求拋物線方程；(2)過點F的直線交拋物線于A,B兩點，且AB的中點橫坐標為2，求直線AB的方程。21.（本小題滿分15分）甲、乙兩地相距350公里，一輛快車從甲地開往乙地，速度為90公里/小時，一輛慢車同時從乙地開往甲地，速度為60公里/小時。(1)設快車行駛時間為t小時，寫出快車離甲地的距離d?(t)的表達式；(2)寫出慢車離乙地的距離d?(t)的表達式；(3)經過多少小時，兩車相距100公里？試卷答案一、選擇題1.B2.A3.B4.C5.C6.A7.C8.A9.C10.C二、多選題11.B,C12.A,D13.A,B14.A15.D三、解答題16.解：去括號，得2x+2=5-x。移項，得2x+x=5-2。合并同類項，得3x=3。系數化為1，得x=1。17.解：f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1。(1)函數f(x)的最小值為-1，當x=2時取到。(2)由f(x)>0，得(x-2)2-1>0。即(x-2)2>1。則x-2>1或x-2<-1。解得x>3或x<1。所以不等式f(x)>0的解集為(-∞,1)∪(3,+∞)。18.解：(1)由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC。代入已知數據，得c2=32+(2√3)2-2*3*2√3*cos60°。得c2=9+12-12*(1/2)。得c2=21-6。得c2=15。得c=√15。(2)由正弦定理，得a/sinA=b/sinB。得sinA/sinB=b/a。得sinA/sin(120°-A)=(2√3)/3。得sinA/(√3/2*cosA-1/2*sinA)=√3/3。得sinA/(√3cosA-sinA)=√3/3。得3sinA=√3*(√3cosA-sinA)。得3sinA=3cosA-√3sinA。得3sinA+√3sinA=3cosA。得(3+√3)sinA=3cosA。得tanA=3/(3+√3)。得tanA=3*(3-√3)/[(3+√3)(3-√3)]。得tanA=(9-3√3)/(9-3)。得tanA=(9-3√3)/6。得tanA=(3-√3)/2。因為A∈(0,120°)，所以sinA>0。得sinA=(3-√3)/2*cosA/cosA。得sinA=[(3-√3)/2]*[sinAcosA/sinA]。得sinA=(3-√3)/2*cosA/sinA。得sin2A=(3-√3)/2*cosA。得sin2A/cosA=(3-√3)/2。得tan2A=(3-√3)/2。得sin2A=(3-√3)/2*cosA。得sin2A=(3-√3)/2*[1/(1+tan2A)]。得sin2A*(1+tan2A)=(3-√3)/2。得sin2A+sin2A*tan2A=(3-√3)/2。得sin2A+sin2A*[(3-√3)/2]=(3-√3)/2。得sin2A=(3-√3)/2/[1+(3-√3)/2]。得sin2A=(3-√3)/2/[(2+3-√3)/2]。得sin2A=(3-√3)/(5-√3)。得sin2A=(3-√3)*(5+√3)/[(5-√3)(5+√3)]。得sin2A=(15+3√3-5√3-3)/(25-3)。得sin2A=(12-2√3)/22。得sin2A=(6-√3)/11。得sinA=√[(6-√3)/11]。得sinA=√(6-√3)/√11。得sinA=√(6-√3)*√11/11。得sinA=√[11(6-√3)]/11。得sinA=√(66-11√3)/11。19.解：(1)設數列{a?}的公差為d。由a?=a?+2d=7，得a?+2d=7。①由S?=5a?+10d=25，得5a?+10d=25。②由①*2-②，得2a?+4d-5a?-10d=14-25。得-3a?-6d=-11。得a?+2d=11/3。代入①，得11/3=7。解得a?=1。將a?=1代入①，得1+2d=7。解得d=3。所以數列{a?}的通項公式為a?=a?+(n-1)d=1+(n-1)*3=3n-2。(2)由(1)知a?=1,d=3。所以S?=n*a?+n(n-1)d/2=n*1+n(n-1)*3/2。得S?=n+(3n2-3n)/2。得S?=n+3n2/2-3n/2。得S?=3n2/2-n/2。得S?=(3n-1)n/2。20.解：(1)拋物線y2=2px的焦點F坐標為(p/2,0)。由點到直線的距離公式，得|p/2-0+2|/√(12+(-1)2)=2√2。得|p/2+2|/√2=2√2。得|p/2+2|=4。則p/2+2=4或p/2+2=-4。解得p=4或p=-12。因為p>0，所以p=4。所以拋物線方程為y2=8x。(2)由(1)知p=4，焦點F坐標為(2,0)。設直線AB的方程為x=my+2(m≠0)。與拋物線方程y2=8x聯立，得y2=8(my+2)。得y2-8my-16=0。設A(x?,y?),B(x?,y?)，則y?+y?=8m，y?y?=-16。因為AB的中點橫坐標為2，設中點M(x?,y?)，則x?=(x?+x?)/2=2。由中點坐標公式，得y?=(y?+y?)/2=8m/2=4m。將x?=2代入直線AB的方程x=my+2，得2=m*4m+2。得2=4m2+2。得4m2=0。解得m=0。但題目已知m≠0，所以無解。重新檢查計算，設直線AB的方程為y=k(x-2)。與拋物線方程y2=8x聯立，得(k(x-2))2=8x。得k2(x-2)2=8x。得k2x2-4k2x+4k2=8x。得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0。設A(x?,y?),B(x?,y?)，則x?+x?=(4k2+8)/k2。AB的中點橫坐標為(x?+x?)/2=(4k2+8)/(2k2)=2+4/k2。由題意，得2+4/k2=2。解得4/k2=0。此方程無解。重新思考，設直線AB的方程為x=ty+2。與拋物線方程y2=8x聯立，得y2=8(ty+2)。得y2-8ty-16=0。設A(x?,y?),B(x?,y?)，則y?+y?=8t，y?y?=-16。AB的中點M(x?,y?)，x?=(x?+x?)/2=[(ty?+2)+(ty?+2)]/2=t(y?+y?)/2+2=4t2+2。由題意，得4t2