高考數學一輪復習 課時規范練69　二項分布、超幾何分布（基礎版）

課時規范練69二項分布、超幾何分布(分值:98分)(單選題每小題5分,多選題每小題6分,填空題每小題5分)基礎鞏固練1.某班級準備進行抽獎活動,福袋中裝有標號分別為1,2,3,4,5的五個相同小球,從袋中一次性摸出三個小球,若號碼之和是3的倍數,則獲獎,其余情況不獲獎.若有5名同學參與此次活動,則恰好3人獲獎的概率是()A.72625 B.C.144625 D.2.已知隨機變量X~B(n,12),若D(X)=2,則E(X)=(A.12 B.C.2 D.43.一包裝箱內有12件產品,其中有10件合格品.現從中隨機取出4件,設取出的4件產品中有X件合格品,則E(X)=()A.13 B.C.43 D.4.(多選題)袋子中有2個黑球,1個白球,現從袋子中有放回地隨機取球4次,取到白球記0分,黑球記1分,記4次取球的總分數為X,則()A.X~B(4,23) B.P(X=2)=C.E(X)=83 D.D(X)=5.(多選題)某人參加一次測試,在備選的10道題中,他能答對其中的5道.現從備選的10道題中隨機抽出3道題進行測試,規定至少答對2題才算合格.則下列選項正確的是()A.答對0題和答對3題的概率相同,都為18 B.答對1題的概率為C.答對2題的概率為512 D.合格的概率為6.(2025·陜西西安模擬)排球比賽實行“五局三勝制”(當一隊贏得三場勝利時,該隊獲勝,比賽結束),根據此前的若干次比賽數據統計可知,在甲、乙兩隊的比賽中,每場比賽甲隊獲勝的概率為23,乙隊獲勝的概率為13,則在這場“五局三勝制”的排球比賽中,甲隊獲勝的概率為.7.某袋中裝有大小相同質地均勻的黑球和白球共5個.從袋中隨機取出3個球,恰好全為黑球的概率為110,則黑球的個數為.若記取出3個球中黑球的個數為X,則D(X)=.

8.(17分)(2026·北京西城高三期中)甲、乙、丙三人進行投籃比賽,共比賽10場,規定每場比賽分數最高者獲勝,三人得分(單位:分)情況統計如下:場次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911(1)從上述10場比賽中隨機選擇一場,求甲獲勝的概率;(2)在前5場比賽中任選兩場,設X表示乙獲勝的場數,求X的分布列和數學期望E(X);(3)假設每場比賽獲勝者唯一,且各場相互獨立,用頻率估計概率.甲、乙、丙三人接下來又進行6場投籃比賽,設Y1為甲獲勝的場數,Y2為乙獲勝的場數,Y3為丙獲勝的場數,寫出方差D(Y1),D(Y2),D(Y3)的大小關系.綜合提升練9.(多選題)(2025·遼寧名校聯盟模擬)隨機變量X服從參數為n,p的二項分布,即X~B(n,p),其概率分布可用下圖直觀地表示,則()A.n=5 B.p=3C.b=364 D.D(X)=10.(2025·陜西西安模擬)盲盒中有大小相同的3個紅球,2個黑球,隨機有放回地摸兩次球,記X為摸到黑球的個數,隨機無放回地摸兩次球,記Y為摸到黑球的個數,則()A.E(X)<E(Y),D(X)>D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)>D(Y)C.E(X)<E(Y),D(X)<D(Y)D.E(X)=E(Y),D(X)<D(Y)11.(多選題)如圖,每一個黑點表示釘在板上的一顆釘子,上一層的每個釘子水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間,從入口處放進一個直徑略小于兩顆釘子之間距離的白球,白球向下降落的過程中,首先碰到最上面的釘子,碰到釘子后皆以二分之一的概率向左或向右滾下,于是又碰到下一層釘子.如此繼續下去,直到滾到底板的一個格子內為止.現從入口放進一個白球,則()A.小球從起點到第③個格子一共跳6次B.小球從起點到第③個格子一共跳7次C.小球落在第③個格子的概率為21D.小球落在第③個格子的概率為3712.(2025·天津,13)某同學每周在操場跑圈2次,一次跑5圈或6圈.已知:該同學第一次跑5圈或6圈的概率均為0.5.若第一次跑5圈,則第二次跑5圈的概率為0.4,跑6圈的概率為0.6;若第一次跑6圈,則第二次跑5圈的概率為0.6,跑6圈的概率為0.4.(1)該同學一周跑11圈的概率為;

(2)若該同學一周至少跑11圈為運動量達標,連續跑4周.記達標的周數為隨機變量X,則X的期望E(X)=.

13.(2025·河南駐馬店模擬)已知隨機變量X~B(n,p),若E(X)=6,D(X)=2,則當k=時,P(X=k)取得最大值.

14.(17分)(2025·甘肅白銀模擬)某校高一學生周末參加社區實踐活動,現從4名男學生和2名女學生中隨機選取2人參加.(1)求在有女學生參加活動的條件下,恰有1名女學生參加活動的概率;(2)記參加活動的女學生的人數為X,求X的分布列及期望E(X);(3)若本次實踐活動有甲、乙、丙3個可選項目,每名女學生可從中選擇1項或2項參加,且選擇參加1項或2項的可能性均為12,每名男學生至少從中選擇2項參加,且選擇參加2項或3項的可能性也均為12,每人每參加1項活動可獲得“班級明星”積分3分,選擇參加幾項活動彼此互不影響,記隨機選取的兩人的積分之和為Y,求Y的期望E(Y)

參考答案課時規范練69二項分布、超幾何分布1.C解析每次抽獎中,共有C53=10種情況,獲獎的情況有(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5)4種,所以獲獎的概率P=25.設5人中獲獎人數為X,則X~B(5,25),所以P(X=3)=C53×(25)3×2.D解析由題意可得,D(X)=12n×(1-12)=2,解得n=8,所以E(X)=8×12=4.3.D解析由題可得X服從超幾何分布,且n=4,N=12,M=10,所以E(X)=nMN=4×10124.ACD解析從袋子中有放回地隨機取球4次,則每次取球互不影響,并且每次取到的黑球概率相等,又取到黑球記1分,取4次球的總分數,即為取到黑球的個數,所以隨機變量X服從二項分布,即X~B(4,23),故A正確;P(X=2)=C42×(23)2×(13)2=827,故B錯誤;因為X~B(4,23),所以E(X)=4×23=83,故C正確;D5.CD解析設此人答對題目的個數為ξ,則ξ=0,1,2,3,P(ξ=0)=C50C53C103=112,P(ξ=1)=C51C52C103=512,P(ξ=2)=C52C51C103=512,P(ξ=3)=C53C50C103=112,則答對0題和答對3題的概率相同6.6481解析若甲隊3局內獲勝,則P1=(23)3=827;若甲隊4局內獲勝,則P2=C31×13×(23)3=827;若甲隊5局內獲勝,則P3=C42×故甲獲勝的概率為P=P1+P2+P3=8277.3925解析設袋中黑球有n個,則從袋中隨機取出3個球,恰好全為黑球的概率為P=Cn3C5該事件服從超幾何分布,由題可知,取出3個球中黑球的個數X的可能取值為1,2,3,P(X=1)=C3P(X=2)=C3P(X=3)=C3則X的分布列為X123P331則E(X)=310×1+35×2+110×3D(X)=310×(1-95)2+35×(2-95)2+110×(3-98.解(1)根據三人投籃得分統計數據,在10場比賽中,甲共獲勝3場,分別是第3場,第8場,第10場.設A表示“從10場比賽中隨機選擇一場,甲獲勝”,則P(A)=310(2)在前5場比賽中,乙共獲勝3場,分別是第2場,第4場,第5場.則X的值為0,1,2,P(X=0)=C22C30C52=110,P(X=則X的分布列為X012P133E(X)=0×110+1×35+2×(3)由題意知,每場比賽甲獲勝的概率為310,乙獲勝的概率為12,丙獲勝的概率為若又進行6場比賽,甲、乙、丙獲勝的場數符合二項分布,即Y1~B(6,310),Y2~B(6,12),Y3~B(6,1所以D(Y1)=6×0.3×(1-0.3)=1.26,D(Y2)=6×0.5×(1-0.5)=1.5,D(Y3)=6×0.2×(1-0.2)=0.96,故D(Y2)>D(Y1)>D(Y3).9.BCD解析對于A,由圖可得X的取值可以為0,1,2,3,4,所以n=4,故A錯誤;對于B,由P(X=4)=C44p4=81256,所以p=34,故B正確;對于C,P(X=1)=C41p(1-p)3=4×34×(14)3=364,所以b=364,故C正確;對于D,D(X)=np(1-p)=10.B解析由題意可知,X~B(2,25),則E(X)=2×25=45,D(X)=2×25×(1-25)=1225.Y的可能取值為0,1,2,則P(Y=0)=C32C20C52=3Y012P331可得E(Y)=0×310+1×35+2×110=45,D(Y)=(0-45)2×310+(1-45)2×35+(2-45)2×110=925,所以E(X)=E11.BC解析小球在下落的過程中,向左與向右的概率相同,各為12,小球落在第③個格子一共跳7次,需要向左5次,向右2次,向右的次數服從二項分布,故小球落在第③個格子的概率P=C72×(12)2×(12)512.(1)0.6(2)3.2解析(1)該同學一周跑11圈的概率為0.5×0.6+0.5×0.6=0.6.(2)該同學一周跑12圈的概率為0.5×0.4=0.2,故該同學運動量達標的概率為0.6+0.2=0.8,∴X~B(4,0.8),則E(X)=4×0.8=3.2.13.6解析由隨機變量X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=2,可得np=6,np(1-p)=2則P(X=k)=C9k(23)k(1-23)當P(X=k+1)P(X=k)>1令9-kk+1×2>1,解得k<173,所以當k≤5且k∈N時,P(X=k+當k≥6且k∈N時,P(X=k+1)<P(X=k),所以當k=6時,概率取得最大值.14.解(1)設“有女學生參加活動”為事件A,“恰有一名女學生參加活動”為事件B,∵P(AB)=C41C21C62∴P(B|A)=P((2)由題意知,X服從超幾何分布,且P(X=k)=C2kC∵P(X=0)=C42C62=25,P(X=1)=C∴X的分布列為X012P281∴E(X)=0×25+1×815+2×(3)設