高考數學一輪復習 課時規范練65　離散型隨機變量及其分布列、數字特征（北師大版）

課時規范練65離散型隨機變量及其分布列、數字特征(分值:93分)(單選題每小題5分,多選題每小題6分,填空題每小題5分)基礎鞏固練1.(2025·江蘇南京模擬)若隨機變量ξ的分布列為ξ-2-1123P0.20.12m0.25m則P(|ξ|<2)的值為()A.0.3 B.0.4 C.0.55 D.0.852.(2025·重慶江北區模擬)已知一組數據x1,x2,…,x7的方差為3,則數據2x1+1,2x2+1,…,2x7+1的方差為()A.3 B.7 C.12 D.133.設離散型隨機變量ξ的可能取值為1,2,3,且P(ξ=k)=ak+b(k=1,2,3),又ξ的數學期望Eξ=3,則ab的值為()A.12 B.-23 C.13 D4.(2025·浙江寧波模擬)將2個小球隨機地投入編號為1,2,3,4的4個盒子中(每個盒子容納的小球個數沒有限制),記1號盒子中小球的個數為ξ,則Eξ=()A.12 B.23 C.712 5.某實驗測試的規則如下:每位學生最多可做3次實驗,一旦實驗成功,則停止實驗,否則做完3次為止.設某學生每次實驗成功的概率為p(0<p<1),實驗次數為隨機變量X,若X的數學期望EX>1.39,則p的取值范圍是()A.(0,0.6) B.(0,0.7)C.(0.6,1) D.(0.7,1)6.(2025·廣東廣州模擬)一個盒子里有3個相同的球,分別標有數字2,3,4,若每次不放回地從盒子中隨機取出一個球,直到取出的所有球的數字之積大于或等于8為止.記此時取出的所有球的數字之和為X,則EX=()A.223 B.7 C.254 D7.(多選題)(2025·福建福州模擬)已知離散型隨機變量X的分布列如下,則下列說法正確的是()X012P0.361-2qq2A.q=0.2B.EX=0.68C.E(X2)=0.4624D.DX=0.29768.(多選題)(2025·湖南長沙模擬)盒子中有3個球,其中1個紅球,2個黃球.從盒子中不放回地隨機取球,每次取1個,直到取出紅球為止.設此過程中取到黃球的個數為ξ,E(ξ),D(ξ)分別為隨機變量ξ的均值與方差,則下列結論正確的是()A.P(ξ=0)=13 B.Eξ=C.E(3ξ+1)=3 D.D(3ξ+1)=69.(2025·河南南陽一模)某保險公司新開設了一項保險業務,若在一年內事件E發生,該公司要賠償a元.設在一年內E發生的概率為p,為使公司收益的期望值等于a的10%,公司應要求顧客交保險金元.

10.(15分)(2025·北京,18)有一道選擇題考查了一個知識點.甲、乙兩校各隨機抽取100人,甲校有80人答對,乙校有75人答對,用頻率估計概率.(1)從甲校隨機抽取1人,求這個人做對該題目的概率;(2)從甲、乙兩校各隨機抽取1人,設X為做對的人數,求恰有1人做對的概率以及X的數學期望;(3)若甲校同學掌握這個知識點,則有100%的概率做對該題目,乙校同學掌握這個知識點,則有85%的概率做對該題目,未掌握該知識點的同學都是從四個選項里面隨機選擇一個,設甲校學生掌握該知識點的概率為p1,乙校學生掌握該知識點的概率為p2,試比較p1與p2的大小(結論不要求證明).綜合提升練11.已知隨機變量X的分布列為X12Pab則“EX=43”是“DX=29”的(A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件12.(多選題)(2025·山東青島模擬)某游戲推出A和B兩種抽獎活動,玩家可以通過參與活動獲得游戲幣,從而換取稀有道具.活動A和活動B的抽獎收益X,Y(單位:千個)及其概率分布如下表所示,則下列說法正確的是()X3711P0.4m0.3Y0818Pn0.60.1A.m+n=0.6B.E(5Y-3)=18C.兩個活動的收益期望一樣多D.活動B的收益風險低于活動A13.(15分)(2025·江西新余模擬)某高校為了豐富大學生的業余生活,每年定期舉行乒乓球比賽.通過資格賽和淘汰賽,該高校的李猛和張明進入決賽,決賽采用五局三勝制,即選手率先獲得三局勝利時,比賽結束并獲得冠軍.根據以往李猛和張明的比賽勝負數據分析,李猛每局獲勝的概率為23,張明每局獲勝的概率為13,(1)求四局結束比賽的概率;(2)此次決賽設總獎金10萬元,若決賽結果為3∶0,則冠軍獎金為8萬元,亞軍獎金為2萬元;若決賽結果為3∶1,則冠軍獎金為7萬元,亞軍獎金為3萬元;若決賽結果為3∶2,則冠軍獎金為6萬元,亞軍獎金為4萬元.求李猛此次決賽獲得獎金數X的分布列和數學期望.創新應用練14.(2025·全國1,14)有5個相同的球,分別標有數字1,2,3,4,5,從中有放回地隨機取3次,每次取1個球.記X為這5個球中至少被取出1次的球的個數,則X的數學期望EX=.

參考答案1.B解析∵0.2+0.1+2m+0.25+m=1,∴m=0.15,∴P(|ξ|<2)=P(ξ=-1)+P(ξ=1)=0.1+2m=0.1+2×0.15=0.4.故選B.2.C解析因為數據x1,x2,…,x7的方差為DX=3,所以數據2x1+1,2x2+1,…,2x7+1的方差為D(2X+1)=4DX=4×3=12.故選C.3.D解析由題設1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)=3,可得14a+6b=3,且(a+b)+(2a+b)+(3a+b)=1,可得6a+3b=1,所以a=12,b=-23,則故選D.4.A解析根據題意ξ可取0,1,2,P(ξ=0)=34×34=916,P(ξ=1)=C21所以Eξ=0×916+1×3故選A.5.B解析由題意得,X的所有可能取值為1,2,3,P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2,所以EX=1×p+2×(1-p)p+3×(1-p)2=p2-3p+3,令EX=p2-3p+3>1.39,解得p<0.7或p>2.3,又因為0<p<1,所以0<p<0.7,即p的取值范圍是(0,0.7).故選B.6.A解析由題意,X的值可以為6,7,9,P(X=6)=A22A33=13,P(X=7)=A所以X的分布列為X679P111所以EX=6×13+7×13+97.ABD解析由0.36+1-2q+q2=1,可得q=0.2,故A正確;因為EX=0×0.36+1×0.6+2×0.04=0.68,故B正確;因為E(X2)=0×0.36+1×0.6+4×0.04=0.76,故C錯誤;因為DX=E(X2)-(EX)2=0.76-0.682=0.2976,故D正確.故選ABD.8.ABD解析ξ=0表示停止取球時沒有取到黃球,所以P(ξ=0)=13,故A正確隨機變量ξ的所有可能取值為0,1,2,P(ξ=1)=23P(ξ=2)=23故ξ的分布列為ξ012P111所以Eξ=0×13+1×13+2×13由E(3ξ+1)=3Eξ+1=3×1+1=4,故C錯誤;Dξ=13×(0-1)2+13×(1-1)2+13×(2-1)2=23,D(3ξ+1)=9D故選ABD.9.(p+0.1)a解析設保險公司要求顧客交x元保險金,若ξ表示公司每年的收益額,則ξ是一個隨機變量,ξ的所有可能取值為x-a,x,P(ξ=x-a)=p,P(ξ=x)=1-p,則ξ的分布列為ξx-axPp1-p因此,公司每年收益的期望值Eξ=p(x-a)+x(1-p)=x-ap,令x-ap=0.1a,解得x=ap+0.1a=(p+0.1)a.10.解(1)甲校隨機抽取100人,其中有80人答對,用頻率估計概率,設從甲校隨機抽取1人,這個人答對為事件A,則P(A)=80(2)設乙校中隨機抽取1人,這個人答對題目為事件B,則P(B)=75100=34,由(1)知P(∴從甲、乙兩校各隨機抽取1人,恰有1人做對的概率為P(X=1)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=4X的所有可能取值為0,1,2,P(X=0)=(1-45)×(1-34)=120,P(X=1)=720,P(∴X的分布列為X012P173∴EX=0×120+1×7(3)由題意可知,p1×100%+(1-p1)×14=45,解得p1=1115,p2×85%+(1-p2)×14=34,解得11.A解析由題意可知a+b=1,若EX=43,則a+2b=43,得a=23,b=13,DX=(43-1)2×23+(43若DX=29,則(a+2b-1)2a+(a+2b-2)2b=ab2+b(b-1)2=-b2+b=29,解得b=13或b=23.當b=13時,a=23,此時EX=1×23+2×13=43;當b=23時,a=13,此時EX=1×12.AC解析依題意可得0.4+m+0.3=1,n+0.6+0.1=1,所以m=0.EX=3×0.4+7×0.3+11×0.3=6.6,EY=0×0.3+8×0.6+18×0.1=6.6,則EX=EY,故C正確;E(5Y-3)=5EY-3=5×6.6-3=30,故B錯誤;DX=(3-6.6)2×0.4+(7-6.6)2×0.3+(11-6.6)2×0.3=11.04,DY=(0-6.6)2×0.3+(8-6.6)2×0.6+(18-6.6)2×0.1=27.24,DX<DY,所以活動B的收益風險高于活動A,故D錯誤.故選AC.13.解(1)記事件A=“四局結束比賽”,則P(A)=C32×(23)2×1(2)由題意知,X的所有可能取值為2,3,4,6,7,8,所以P(X=2)=(1-23)3=127,P(X=3)=C31×23×(1-23)2P(X=4)=C42×(23)2×(1-23)2×(1-23)=881,P(X=6)=C42×(23P(X=7)=C32×(23)2×(1-23)×23=827,P所以X的分布列為X234678P1281688所以EX=2×127+3×227+4×881+6×1681+714.6125解析(方法一)依題意,X的所有可能取值為1,2,3,總的選取方法數為53故P(X=1)=5125=125,P(X=P(X=3)=60125所以EX=1×P(X=1)+2