小學(xué)二年級數(shù)學(xué)（北師大版）下冊第一單元《除法》第3課時知識清單

小學(xué)二年級數(shù)學(xué)（北師大版）下冊第一單元《除法》第3課時知識清單一、核心概念與定義【基礎(chǔ)】【重要】（一）有余數(shù)的除法??在平均分物體時，往往會出現(xiàn)兩種情況：一種是恰好分完，沒有剩余；另一種是分到最后還有剩余，并且剩下的部分不夠再分成一份。這種“分后有剩余”的平均分問題，就需要用一種新的運算來表示，這就是“有余數(shù)的除法”。它是對整數(shù)除法概念的延伸和補(bǔ)充，更貼近現(xiàn)實生活中分配時往往無法做到完全均等的情況。（二）余數(shù)的定義【高頻考點】??在有余數(shù)的除法算式中，平均分后剩余的那個數(shù)，叫做“余數(shù)”。它表示在分物過程中，按照每份的數(shù)量（除數(shù)）進(jìn)行分配后，所剩下的、不夠再繼續(xù)分配的那一部分?jǐn)?shù)量。余數(shù)的單位名稱通常與被除數(shù)的單位名稱保持一致。例如，在“16÷6=2（個）……4（根）”中，“4根”就是余數(shù)，它表示搭了2個房子后，還剩下4根小棒，這4根小棒不夠再搭一個完整的房子了14。（三）有余數(shù)除法算式的讀寫??1、寫法：先寫被除數(shù)，接著寫除號“÷”，然后寫除數(shù)，再寫等號“=”，在商后面點六個實心小圓點“……”，最后寫余數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)格式為：被除數(shù)÷除數(shù)=商……余數(shù)。例如：16÷6=2……4。??2、讀法：在數(shù)學(xué)上，這個算式讀作“十六除以六等于二余四”。需要注意的是，當(dāng)商和余數(shù)后面帶有單位時，要根據(jù)實際情況讀出單位，如“16除以6等于2個余4根”，但在純算式表達(dá)中，通常只讀作“十六除以六等于二余四”28。二、有余數(shù)除法的豎式計算（高階思維與技能核心）【非常重要】【難點】（一）豎式計算的算理（為什么這么算？）??豎式計算是除法運算的重要工具，其每一步計算都對應(yīng)著實際操作過程。以“16÷6”為例：??1、寫豎式：先寫除號“”，把被除數(shù)16寫在里面，除數(shù)6寫在外面左側(cè)。??2、定商（想乘法）：思考16里面最多有幾個6？根據(jù)乘法口訣“二六十二”（因為三六十八，18比16大，不符合要求），所以16里面最多有2個6，因此商是2。這個2要寫在被除數(shù)16的個位上方，表示可以搭2個房子。??3、乘（算用掉的部分）：用商2乘以除數(shù)6，得到積12。這個12代表搭2個房子一共用掉了12根小棒。將其寫在被除數(shù)16的下面。??4、減（算剩余的部分）：用被除數(shù)16減去下面的12，得到差4。這個4就是搭完2個房子后，還剩下的4根小棒，也就是余數(shù)。??5、比（驗證結(jié)果）：檢查余數(shù)4和除數(shù)6的大小，發(fā)現(xiàn)4<6，說明剩下的4根小棒確實不夠再搭一個房子了，計算正確。這一步是驗證有余數(shù)除法計算正確與否的關(guān)鍵147。（二）豎式計算的算法（具體怎么操作？）??豎式計算的過程可以歸納為四個字：“商、乘、減、比”。??1、【商】：確定商是幾，即看被除數(shù)里最多有幾個除數(shù)。??2、【乘】：將商與除數(shù)相乘，把積寫在被除數(shù)下面。??3、【減】：用被除數(shù)減去剛才乘得的積，得到余數(shù)。??4、【比】：比較余數(shù)和除數(shù)，確保余數(shù)一定小于除數(shù)。（三）豎式中各部分?jǐn)?shù)字的含義??以16÷6=2……4的豎式為例：??“16”是【被除數(shù)】，表示一共有16根小棒。??“6”是【除數(shù)】，表示搭一個房子需要6根小棒，即每份的數(shù)量。??“2”是【商】，表示可以搭2個房子，即份數(shù)。??“12”是除數(shù)與商的積（6×2），表示實際用掉的12根小棒。??“4”是【余數(shù)】，表示最后剩下的4根小棒1。三、核心規(guī)律：余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系【非常重要】【高頻考點】（一）基本法則??在有余數(shù)的除法算式中，余數(shù)必須小于除數(shù)。這是判斷計算是否正確的最重要的標(biāo)準(zhǔn)。用數(shù)學(xué)語言表達(dá)為：余數(shù)<除數(shù)389。（二）原理探究（為什么余數(shù)一定要比除數(shù)小？）??如果余數(shù)大于或等于除數(shù)，說明剩下的部分還可以繼續(xù)再分一次（即再搭一個房子、再分一份等），這就意味著原來的商找小了，需要把商調(diào)大。例如，如果計算16÷6時，錯誤地認(rèn)為商是1，那么余數(shù)就是10（166=10），10>6，顯然剩下的10根小棒還可以再搭一個房子，所以商應(yīng)該是2，而不是1。余數(shù)小于除數(shù)這一法則，正是從“不能再分”的實際意義中抽象出來的數(shù)學(xué)規(guī)律3。（三）規(guī)律的應(yīng)用??1、已知除數(shù)，推斷余數(shù)可能的情況：【高頻考點】????例如，在一個除法算式中，除數(shù)是5，那么余數(shù)可能是（1、2、3、4），其中最大的余數(shù)是4，最小的余數(shù)是1（除非特別說明“沒有余數(shù)”，否則余數(shù)不能為0，0即整除情況）。??2、已知余數(shù)，推斷除數(shù)的最小值：【高頻考點】????例如，在一個除法算式中，余數(shù)是6，那么除數(shù)最小應(yīng)該是（7）。因為除數(shù)必須大于余數(shù)。??3、根據(jù)余數(shù)求被除數(shù)：【重要】????被除數(shù)=商×除數(shù)+余數(shù)。這一關(guān)系式是驗算有余數(shù)除法的重要依據(jù)，也是今后解決復(fù)雜問題的關(guān)鍵89。四、考點與考向深度剖析【難點】【高頻考點】（一）直接計算與豎式填空??1、題型示例：用豎式計算27÷5=？??2、解答要點：嚴(yán)格按照“商、乘、減、比”四步進(jìn)行。想5的口訣，五五二十五最接近27且小于27，商5。5×5=25，2725=2，余數(shù)2<5。所以27÷5=5……2。??3、易錯點：商的位置要對齊被除數(shù)的個位；減法計算要準(zhǔn)確；寫完豎式后不要忘記在橫式上寫出完整的商和余數(shù)。（二）余數(shù)有界性問題??1、題型示例：（1）□÷6=4……□，余數(shù)最大是（），此時被除數(shù)是（）。（2）□÷□=3……4，除數(shù)最小是（），此時被除數(shù)是（）。??2、解題步驟：????（1）第一問：除數(shù)是6，根據(jù)“余數(shù)<除數(shù)”，余數(shù)最大為5。再根據(jù)“被除數(shù)=商×除數(shù)+余數(shù)”，求出被除數(shù)=4×6+5=29。????（2）第二問：余數(shù)是4，根據(jù)“除數(shù)>余數(shù)”，除數(shù)最小為5。再求出被除數(shù)=3×5+4=19。??3、考查方式：填空、選擇是主要形式，旨在考察對余數(shù)和除數(shù)關(guān)系的深刻理解。（三）看圖列式與解決問題（情境理解）【熱點】??1、題型示例（包含除）：有13輛玩具坦克，每5輛分給一個小朋友，可以分給幾個小朋友？還剩幾輛？列式：13÷5=2（個）……3（輛）。這里的商2表示人數(shù)，余數(shù)3表示剩下的坦克數(shù)量。??2、題型示例（等分除）：有13片樹葉，平均分給5個小朋友做標(biāo)本，每個小朋友分到幾片？還剩幾片？列式：13÷5=2（片）……3（片）。這里的商2表示每人分到的葉片數(shù)，余數(shù)3表示剩下的葉片數(shù)。??3、解答要點：同一個除法算式（13÷5=2……3）可以對應(yīng)兩種不同的現(xiàn)實情境。解題關(guān)鍵在于通過讀題，區(qū)分商和余數(shù)分別代表什么，并正確書寫單位名稱。商和余數(shù)的單位往往不同，需要根據(jù)題意仔細(xì)辨析47。??4、易錯點：混淆商和余數(shù)的單位，或者在答語中漏掉余數(shù)的描述。（四）周期規(guī)律問題【拓展】【難點】??1、題型示例：按照“藍(lán)、黃、黃”的規(guī)律掛彩燈，第20盞燈是什么顏色？??2、解題步驟：????（1）確定周期：一組有3盞燈（藍(lán)、黃、黃）。????（2）列式計算：20÷3=6（組）……2（盞）。????（3）分析余數(shù)：余數(shù)是2，表示第20盞燈是第7組里的第2盞。根據(jù)規(guī)律，每組第1盞是藍(lán)色，第2盞是黃色，所以第20盞是黃色。如果沒有余數(shù)，則正好是一組的最后一個，即每組第3盞，是黃色89。??3、考查方式：此類問題將除法余數(shù)應(yīng)用于找規(guī)律，考察知識的遷移和應(yīng)用能力。（五）進(jìn)一法與去尾法的實際問題【非常重要】【熱點】??1、進(jìn)一法（租船、載人、裝盒問題）：????題型示例：有22名同學(xué)坐船，每條船限坐4人，至少需要幾條船？????解題步驟：22÷4=5（條）……2（人）。剩下的2人還需要一條船，所以需要5+1=6（條）。????易錯點：學(xué)生容易忽略剩余的2人，直接回答5條。必須結(jié)合實際理解“至少”的含義，即所有人都要坐上船，余下的部分也必須再占用一份。??2、去尾法（購物、做衣服、包裝問題）：????題型示例：用50元買7元一個的文具盒，最多能買幾個？????解題步驟：50÷7=7（個）……1（元）。剩下的1元不夠再買一個，所以最多能買7個。????易錯點：學(xué)生有時會受到進(jìn)一法的影響，錯誤地答成8個。需要辨析：買文具、做衣服等情境中，余數(shù)部分因不夠成一份，必須舍去89。五、常見題型及解題步驟精講（一）基礎(chǔ)計算類??步驟1：讀題，看清除數(shù)和被除數(shù)。??步驟2：在草稿紙上列出豎式或心算乘法口訣，找到最接近被除數(shù)且小于被除數(shù)的那個積。??步驟3：確定商，并用被除數(shù)減去這個積，得到余數(shù)。??步驟4：檢查余數(shù)是否小于除數(shù)。??步驟5：將結(jié)果完整寫在橫式上。（二）概念判斷類（如：下面算式中，正確的是（）。A.35÷6=5……5B.28÷3=8……4C.47÷8=5……7）??步驟1：逐一驗算。根據(jù)“被除數(shù)=商×除數(shù)+余數(shù)”先驗算結(jié)果是否等于被除數(shù)。??步驟2：若結(jié)果等于被除數(shù)，再驗證“余數(shù)<除數(shù)”是否成立。??步驟3：兩個條件必須同時滿足，才說明計算正確。通過排除法找出正確答案。（三）逆向思維類（已知被除數(shù)、商和余數(shù)，求除數(shù)）??題型示例：在一道有余數(shù)的除法算式中，被除數(shù)是43，商是6，余數(shù)是1，除數(shù)是（）。??步驟1：回憶關(guān)系式：被除數(shù)=商×除數(shù)+余數(shù)。??步驟2：變形求積：商×除數(shù)=被除數(shù)余數(shù)。??步驟3：計算：431=42，即6×除數(shù)=42。??步驟4：根據(jù)乘法口訣“六七四十二”，得出除數(shù)是7。六、易錯點與避坑指南（一）計算過程中的錯誤??1、口訣找錯：尋找商時，使用的乘法口訣積大于了被除數(shù)，導(dǎo)致商偏大；或者積雖然小于被除數(shù)，但不是最接近的那一個，導(dǎo)致商偏小，使得余數(shù)大于除數(shù)。????避坑方法：試商時，口訣的積必須“最接近被除數(shù)且小于被除數(shù)”。??2、豎式格式不規(guī)范：商的位置沒對齊，導(dǎo)致減法計算錯誤。????避坑方法：數(shù)位對齊是豎式計算的基礎(chǔ)，尤其是商，一定要和被除數(shù)的個位對齊。??3、橫式上忘寫余數(shù)：很多學(xué)生在豎式計算正確后，往橫式上抄寫結(jié)果時，只寫了商，漏掉了“……余數(shù)”。????避坑方法：養(yǎng)成檢查習(xí)慣，看橫式上的算式是否完整。（二）概念理解偏差??1、誤以為余數(shù)可以等于0：在有余數(shù)除法的語境中，余數(shù)特指“分完后剩下的部分”，如果正好分完，余數(shù)應(yīng)為0，但此時我們稱之為“整除”，屬于表內(nèi)除法范疇。本單元重點研究的是余數(shù)不為0的情況。????避坑方法：理解“余數(shù)”的定義，是“剩余”且“不夠再分”的數(shù)，所以最小是1。??2、混淆商和余數(shù)的單位：【高頻易錯】????避坑方法：單位的確定要回歸題目情境。商和余數(shù)的單位可能相同（如等分除），也可能不同（如包含除）。最好的辦法是結(jié)合題目問題，在填空或作答時圈出問題中的單位作為提示8。（三）解決實際問題時的思維定勢??1、濫用進(jìn)一法：一看到有余數(shù)就加1。????避坑方法：認(rèn)真審題，理解“至少”、“最多”、“能買幾個”、“需要幾條船”等關(guān)鍵詞的實際意義。思考“剩下的東西還能不能組成一個整體？”能組成則加1，不能組成則舍去。??2、忽略題目中的隱藏條件：如“24個學(xué)生和1位老師坐車”，總?cè)藬?shù)是25，而非24。????避坑方法：讀題要仔細(xì)，把涉及的所有“個體”都數(shù)清楚9。七、跨學(xué)科視野與思維拓展（一）與勞動教育的融合??在“搭一搭”的活動中，學(xué)生不僅學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)知識，還進(jìn)行了精細(xì)動作（擺小棒）的訓(xùn)練。通過動手操作，驗證數(shù)學(xué)結(jié)論，體現(xiàn)了“做中學(xué)”的勞動教育理念。讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。（二）與美術(shù)學(xué)科的融合??利用余數(shù)的概念可以設(shè)計重復(fù)的圖案（二方連續(xù)紋樣）。通過計算，可以精確地確定圖案在長條形紙張上的排列與間隔，理解圖案設(shè)計的周期性與數(shù)學(xué)規(guī)律的內(nèi)在聯(lián)系。（三）與信息科技的融合??計算機(jī)編程中的“取模運算”（即求余數(shù)運算）是核心算法之一。例如，判斷一個數(shù)字是奇數(shù)還是偶數(shù)，就是對2取模；實現(xiàn)程序的循環(huán)執(zhí)行，也需要用到余數(shù)。本課學(xué)習(xí)的求余思想，為未來更高階的信息技術(shù)學(xué)習(xí)埋下了思維的種子。（四）與語文閱讀的融合??有余數(shù)除法的應(yīng)用題往往是一個簡短的故事。準(zhǔn)確提取故事中的數(shù)學(xué)信息（總數(shù)、每份數(shù)、份數(shù)），并用數(shù)學(xué)算式表達(dá)出來，是對閱讀