提優(yōu)點11 概率與數(shù)列（含馬爾科夫鏈問題）-2026年高考數(shù)學二輪復習

提優(yōu)點11概率與數(shù)列(含馬爾科夫鏈問題)

【知識拓展】

1.概率統(tǒng)計與數(shù)列的交匯涉及面廣，內涵豐富，是近幾年高考追逐的熱點，主要

是概率統(tǒng)計與數(shù)列的證明、求通項、求和等.

2.馬爾科夫鏈

(1)性質：對于隨機變量序列已知第〃小時的狀態(tài)X,,如果弱+1的隨機變化

規(guī)律與前面的各項X,X”…，X”」的取值都沒有關系，那么稱隨機變量序列M

具有馬爾科夫性.稱具有馬爾科夫性的隨機變量序列｛%｝為馬爾科夫鏈.

(2)原理：利用全概率公式，我們既可以構造某些遞推關系求解概率，還可以推導

經典的一維隨機游走模型，即設數(shù)軸上一個點，它的位置只能位于整點處，在時

刻/=0時，位于點X=溟￡N")一個時刻，它將以概率a或者以a￡0,1),a+夕=1)

向左或者向右平移一個單位.若記狀態(tài)?表示在時刻f該點位于位置￥=i(i￡N"),

那么由全概率公式可得

產(“卜].)=尸(%,,_1)0(人/+]?,固」一)+2(％~+1)?尸(％+]-因3+1)

另一方面，由于0(X+i|XdD=夕，

P(X+\=i\Xl=j+i)=a,

代入上式可得Pi=aPi+i+￡Pi

【類型突破】

類型一概率與數(shù)列

例1甲、乙兩人組團參加答題挑戰(zhàn)賽，規(guī)定：每一輪甲、乙各答一道題，若兩人

都答對，該團隊得1分；只有一人答對，該團隊得0分；兩人都答錯，該團隊得

一1分.假設甲、乙兩人答對任何一道題的概率分別為JI

43

(1)記X表示該團隊一輪答題的得分，求X的分布列及數(shù)學期望E(X)；

⑵假設該團隊連續(xù)答題〃輪，各輪答題相互獨立.記p〃表示“沒有出現(xiàn)連續(xù)三輪

每輪得1分”的概率，p〃=w〃_i+如i+cp〃-3(〃24),求小b,c；并證明：答

題輪數(shù)越多(輪數(shù)不少于3),出現(xiàn)“連續(xù)三輪每輪得1分”的概率越大.

解(1)由題意可知，X的取值為一1,0,1.

卜-1。寸=1

尸(X=7)=

12

3

P(X=O)=；X2_5

T+Tx3~12

32_1

P(X=\)=X

43~2,

故X的分布列如下:

X-101

151

P(B

12122

則E(A)=-1X1+0X5+1X1=5.

1212212

rn13

(2)由題意可知，pi=l,P2=l,P3=l一

P4=1-3X(2J4=^;

16

經分析可得:

分，則p”=；Xp“」；

若第〃輪沒有得1

若第〃輪得1分,且第〃一1輪沒有得1分，則P，，=；X；Xp〃_2；

若第〃輪得1分,且第〃一1輪得1分，第〃一2輪沒有得1分，則p”=

故TH'C=8；

因為P〃=》〃_l+}〃_2+>〃—3,

故pn+1=+；p〃_1+}〃_2,

.._1111-l.l.1

故p〃+J~pn=^n—^>n-\—Dn-1—Dn-3=一于〃十4p”.1十Dn-2

〉〃一3<0；

21O

故p〃+1<pfl(n24),且pi=p2>P3>“4,

貝Up\=P2>pi>p4>ps><**,

所以答題輪數(shù)越多（輪數(shù)不少于3）,出現(xiàn)“連續(xù)三輪每輪得1分”的概率越大.

規(guī)律方法1.證明數(shù)列的單調性關鍵是證明相鄰兩項的差為正數(shù)或負數(shù)，若數(shù)列

為遞推數(shù)列，則需注意尋找相鄰項的關系.

2.證明數(shù)列為等差、等比數(shù)列，關鍵是依據(jù)概率統(tǒng)計知識，得到數(shù)列的通項公式

或遞推式，利用等差、等比數(shù)列的的定義證明.

訓練1國學小組有編號為1,2,3,…，〃的〃位同學，現(xiàn)在有兩個選擇題，每

人答對第一題的概率為:，答對第二題的概率為:，每個同學的答題過程都是相互

獨立的，比賽規(guī)則如下：

a.按編號由小到大的順序依次進行，第1號同學開始第1輪初賽；

b.若第2,3,…，〃-1）號同學未答對第一題，則第，輪比賽失敗，日第i

+1號同學繼續(xù)比賽；

c.若第2,3,…，〃-1）號同學答對第一題，若該生答對第二題，則比賽

在第，輪結束；若該生未答對第二題，則第i輪比賽失敗，由第i+1號同學繼續(xù)

答第二題，且以后比賽的同學不答第一題；

d.若比賽進行到了第〃輪，則不管第〃號同學答題情況，比賽結束.

（1）若隨機變量％表示“名同學在第8輪比賽結束，當〃=3時，求隨機變量X3

的分布列；

（2）若把比賽規(guī)則c.改為：若第（=1,2,3,…，〃-1）號同學未答對第二題，則

第，?輪比賽失敗，第，.+1號同學重新從第一題開始作答.令隨機變量匕表示〃名

挑戰(zhàn)者在第匕輪比賽結束.

①求隨機變量匕（〃&N*,心2）的分布,列；

②證明：E（匕）單調遞增，且小于3.

⑴解由題設，%的取值為1,2,3.

尸（為=i）=；x；=；,

尸叱2）=沁一2兄+卜；X1=5,

218

〃（彳3=3）=L=*,

31818

因此在的分布列為

%123

157

P

31818

⑵①解匕可取值為1,2,…，幾

每位同學兩題都答對的概率為

則答題失敗的概率均為1一隊!=匕

323

py-i

所以匕〃一1,左￡N*）時，P（匕=%）=1工

*3；

當Yn=n時,

故匕的分布列為:

②證明由①知E（匕）=工/3）X|

X'+,1

37Mg.

件」件件「件

E（Yn+］）-E（Yn）=nl3）X；+（〃+l）13j=UJ＞0,

故瓜“單調遞增；

由上得反力）=：,

故E（匕）=￡（力）+四丫3）—/（丫2）］+囪匕）一￡（%）］+???+［￡（匕）一E（y“_i）］,

「5f2］2H3件-50件「

所以E（匕）=；+bJ+bJ+…+bJ=；+2=3—2xbJ＜3,

3

故E（Y2）＜E（Yi）＜E（K4）＜￡（y5）＜???＜E（Yn）＜3.

綜上E（匕）單調遞增，且小于3.

類型二馬爾科夫鏈模型

例2（2024?青島調研）馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學習和

人工智能的基石，在強化學習、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有

著極其廣泛的應用.其數(shù)學定義為：假設我們的序列狀態(tài)是…，”一2,X-i,X,X,

+1,…，那么X+I時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)”,即P(X+]]…，X-

X-1,X)=P(X+i|X).現(xiàn)實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如人人唾棄的賭博.

假如一名賭徒進入賭場參與賭博，每一局賭徒賭贏的概率為50%,且每局賭贏可

以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?0%,且賭輸就要輸?shù)?元.賭徒會一直玩

下去，直到遇到如下兩種情況才會結束賭博：一種是手中賭金為。元，即賭徒輸

光；一種是賭金達到預期的8元，賭徒停止賭博.記賭徒的本金為/元(4￡N*,

A<B),賭博過程如圖中的數(shù)軸所示.

0.50.5

Z-XK

ATA4+1

1

―()?__?1_?——?————R-----------

().50.5

當賭徒手中有〃元(0《〃W8,最終輸光的概率為P(〃)，請回答下列問

題：

(1)請直接寫出尸(0)與P(A)的數(shù)值：

(2)證明仍(〃)｝是一個等差數(shù)列，并寫出公差/

(3)當4=100時，分別計算8=200,8=1000時，。(彳)的數(shù)值，并結合實際，解

釋當8-8時，P①)的統(tǒng)計含義.

⑴解當〃=0時，賭徒已經輸光了，因此P(0)=l.

當〃=8時，賭徒到了停止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率P(8)=0.

(2)證明記M：賭徒有〃元最后揄光的事件，N：賭徒有〃元下一場贏的事件，

則P(M=P(TV)P(MM+P(MP(MM，

即p(〃)=ip(〃一i)+ip(〃+i),

所以P(n)一以(〃-1)=P(〃+1)-P(n),

所以｛尸(〃)｝是一個等差數(shù)列.

設P(〃)一尸("一l)=d,P(〃一1)一尸(〃-2)=d,…，P(l)—P(0)=

累加得P(〃)一P(0)=〃d,

戰(zhàn)P(B)-P(0)=Bd,得d=-L

B

(3)解由P(〃)一P(0)=〃d得P(A)-P(0)=Ach

A

即P(/)=1-;

當5=200時,P(J)=50%,

當8=1000時，P(4)=90%,

當8-8時，口力廣1,因此可知久賭無贏家，即便是一個這樣看似公平的賭博，

只要賭徒一直玩下去就會有100%的概率輸光.

規(guī)律方法1.馬爾科夫曾模型的本質是下一步的概率僅與上一步的概率有關：

2.寫出概率的遞推公式，利用數(shù)學遞推公式求出通項公式，進而解決有關問題.

訓練2(2024?武漢模擬)甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有1個黑

球和2個白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，稱為1次球

交換的操作，重復〃次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為

⑴求Xl的概率分布列并求仇七)；

3]

,F(Y)—

(2)求證：【"2】("22且〃￡N")為等比數(shù)列，并求出E(X〃)(〃22且〃￡N)

⑴解X2可能取0,1,2,3.

則P(A2=0)=2X2X1X1=4；

333381

P(AS=3)=2X1X1X14-1X2X1X1=4；

3333333381

p(不=[)=]乂/義/乂乙+乙乂義/乂乙+/義/義x"+zxzxzx

333333333333333381

41

P(生=2)=l-P(E=0)—P(M=l)-P(X2=3)=：,

o1

故先的分布列為:

0123

A2

432414

Ip

81818181

43241414

E(Xi)=0X+1XJZ-F2X^1+3X

818181819

(2)證明由題可知產(苞+i=l)=尸(M=0)+l3333jP(Xi=l)+；X；P(M=2)

JJ

44

=P(M=0)+/(X=1)+/(M=2),

。(兄+產2)=2"/2(%=1)+(2"；1+1；乂2；)。(“尸2)+0(的=3)=4：P(兄=1)+4P(M

=2)+P(X“=3),

P(M+i=3)=；X；P(M=2)=b(X,=2),

又???P(M=O)+P(%,=1)+P(M=2)+P(M=3)=1,

E(X+i)=iXP(A；,+1=l)4-2XP(XJ+i=2)+3XP(%,+I=3)=P(XJ=0)+^P(A；=l)

+；尸(M=2)+2P(X,=3),

1?1

???￡(黑+])=1+；P(g=l)+；P(M=2)+P(X〃=3)=1+；E(M),

???E(X〃+D-：=("，-2](〃22且〃￡N)

4J

31

F(Y}3】

故1”2j(〃22且〃仁N)為等比數(shù)列，

31

???E(X〃)—：=：xbJ,

21o

1葉？

：.E(Xn)=\3)+2(〃力且〃

【精準強化練】

1.(2024?湖北十一校聯(lián)考)如圖，某人設計了一個類似于高爾頓板的游戲：將一個

半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的中間入口處，小球將自由下落，小

球在下落的過程中，將3次遇到黑色障礙物，已知小球每次遇到黑色障礙物時，

向左、右兩邊下落的概率都是L最后落入4袋或4袋中.一次游戲中小球落入力

袋記1分,落入8袋記2分，游戲可以重復進行.游戲過程中累計得〃(〃EN*)分的

概率為p〃.

⑴求0,P2,〃3；

(2)寫出p〃與pi(〃￡N"且〃22)之間的遞推關系，并求出仍〃}的通項公式.

解(1)小球3次碰撞全部向左偏或者全部向右偏時落入8袋中，

此概率尸(3)=cU+C1U=|,

則小球落入/袋中的概率尸(4)=1一尸(8)=1—1=3,

44

故pi=P(4)=；,

Pl2.113

〃尸⑷+4=d

〃3=。+QXX=2

4464

(2)法一游戲過程中累計得不到〃分，只可能在得到(〃一1)分后的一次游戲中小

球落入B袋中，

故1—p“=}〃_i(〃￡N*_3.〃22),

即夕〃=1一,且〃22).

得〃〃一，=—"""5](〃￡N*且心2),

54

故人一1為等比數(shù)列，且首項為pi—：=；—：=—：，公比為一；，

故P〃=：X14J+；(〃EN)

法二游戲過程中累計得〃分可以分為兩種情況：得到(〃一2)分后的一次游戲中

小球落入B袋中，或得到(〃一1)分后的一次游戲中小球落入4袋中，

71

故p〃=/〃-1+.Pn-2(nwN*且心3),

44

即〃“+：〃”1=〃”i+卜2(〃￡N"日”23),

故人十bi[(〃￡N*且〃22)為常數(shù)數(shù)列，且p2+；pi=l,故p〃+；pi=l(〃￡N*

且〃22),即p〃=1—；p〃_[(〃《"*且〃力2).

下同法一.

2.(2024?開封模擬)某市每年上半年都會舉辦“清明文化節(jié)”，下半年都會舉辦“菊

花文化節(jié)”，吸引著眾多海內外游客.為了更好地配置“文化節(jié)”旅游相關資源，

2023年該市旅游管理部門對初次參加“菊花文化節(jié)”的游客進行了問卷調查，據(jù)

統(tǒng)計，有金的人計劃只參加“菊花文化節(jié)”，其他人還想參加2024年的“清明文

化節(jié)”，只參加“菊花文化節(jié)”的游客記1分，兩個文化節(jié)都參加的游客記2分.

假設每位初次參加“菊花文化節(jié)”的游客計劃是否來年參加“清明文化節(jié)”相互

獨立，將頻率視為概率.

(1)從2023年初次參加“菊花文化節(jié)”的游客中隨機抽取三人，求三人合計得分

的數(shù)學期望；

(2)2024年的“清明文化節(jié).”擬定于4月4日至4月19日舉行，為了吸引游客再

次到訪，該市計劃免費向到訪的游客提供“單車自由行”和“觀光電車行”兩種

出行服務.已知游客甲每天的出行將會在該市提供的這兩種出行服務中選擇，甲第

一天選擇“單車自由行”的概率為:，若前一天選擇“單車自由行”，后一天繼續(xù)

選擇“單車自由行”的概率為若前一天選擇“觀光電車行”，后一天繼續(xù)選擇

4

“觀光電車行”的概率為；如此往復.

①求甲第二天選擇“單車自由行”的概率；

②求甲第〃(〃=1,2,…，16)天選擇“單車自由行”的概率第,并幫甲確定在2024

年“清明文化節(jié)”的16天中選擇“單車自由行”的概率大于“觀光電車行”的

概率的天數(shù).

解(1)由題意，每位游客得1分的概率為:，得2分的概率為:，隨機抽取三人，

用隨機變量X表示三人合計得分，則X可能的取值為3,4,5,6.

P(X=3」3)=卻

件14

P(X=4)=C，X〔3j

2

Pl22

P(X=5)=qx13j

1

P(X=6)=

27,

則現(xiàn)￥)=3義8+4X44-5X2+6X1=4.

279927

所以三人合計得分的數(shù)學期望為4.

(2)第一天選擇“單車自由行”的概率為:則第一天選擇“觀光電車行”的概率

若前一天選擇