天津河?xùn)|區(qū)2026屆高三第二學(xué)期質(zhì)量檢測（二）數(shù)學(xué)試題（試卷+解析）

河?xùn)|區(qū)2025-2026學(xué)年度第二學(xué)期高三質(zhì)量檢測（二）

數(shù)學(xué)試卷

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘.

第1卷（選擇題共45分）

一、選擇題：本大題共9個小題，每小題6分，滿分45分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的，請將正確結(jié)論的代號填在下表內(nèi).

L已知全集外"KJ},集合人{OJA,集合人{五口用，則④加伯力（）

A.{2}B.{0,1}C.{3,5}D.{2,3,4,5}

2.己知xwR,“|1-2司23”是“r一2丫一3之0''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件

/\

3.已知函數(shù)/（丫）=1-97?當(dāng)函數(shù)/（X）為奇函數(shù)時，/log,3為（）

5+1V?7

1?

A.B.-1C.0D.—

22

4.“明數(shù)理”數(shù)學(xué)興趣小組通過調(diào)查，整理出天津市三月份每日最高氣溫與最低氣溫的數(shù)據(jù)?，繪制了氣溫與日

期關(guān)系的散點圖（如圖），并進行統(tǒng)計學(xué)分析，下列說法正確的是（）

天津市2026年3月氣溫散點圖

■最高氣溫?最彳氐氣溫

24

20

氣I6

溫12

8

4

0

及2^鏟0#⑥

日期

A.小明根據(jù)散點圖判斷氣溫與日期無相關(guān)關(guān)系

B.小華利用最小二乘法計算最高氣溫與日期的經(jīng)驗回歸方程為y=-0.69x+2.92,其中x為日期（3月

1日為x=l,3月31日為x=31）

C小紅計算出最低氣溫與口期的相關(guān)系數(shù)為0.9397,以此判斷兩者的相關(guān)程度很弱

D.小強判斷無論是最高氣溫與日期，還是最低氣溫與日期都正線性相關(guān)

5.已知4=邢，6=0.8"c=log08e,則。，b,。的大小關(guān)系為（）

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.a<c<b

6.己知雙曲線,雙曲線的某弦48中點為尸（"?』），且點尸在第一象限，弦力4所在直線與雙

曲線的一條漸近線垂直，則〃?的值為（）

A.±2B.2C.±—D.—

44

7.己知點力為坐標原點，4（3,0）,C（0,4）,點。在V/8C內(nèi)部，。（加,〃），其中〃IEZ+，〃wZ+，則

蘇?麗+況+礪灰的最小值為（）

25

A.——B.—8C.-7D.-5

3

8.“明數(shù)理”數(shù)學(xué)興趣小組在綜合實踐過程中為某公司的一款明星科技產(chǎn)品提供漲價方案，經(jīng)過小組成員分析

討論形成如下四個方案：

方案甲：第一次提價〃7%,第二次提價〃％;方案乙：第一次提價，7%,第二次提價〃7%;

方案丙：第一次和第二次均提價（咚21％；

方案?。旱谝淮翁醿r（2機+2〃）％,第二次降價（〃?+〃）％；

其中0<〃<〃7<50,則四個方案中提價最多的方案為（）

A.甲B.乙C.丙D.T

9.已知。>0,在函數(shù)/（x）=sin（5+0）的部分圖象中（如圖），其圖象上的點4,B,C是同一直線上

的三點，且該直線與，軸交于點。,若|40|=|。/=忸。|=1,則口=（）

A.巴B.叵C.更D.互

2224

第II卷（非選擇題共105分）

二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，滿分30分.請將答案填在題中橫線上.

10.已知復(fù)數(shù)z滿足(l+2i)z=4+3i,則2=

11.的展開式中的常數(shù)項為.（用數(shù)字表示）

12.已知拋物線C:/=4x的焦點為E準線為/,點尸在拋物線上且在x軸上方，|P「|=5,。為坐標原

點，以P0為直徑的圓被直線夕尸所截得的弦長為.

13.立德中學(xué)高三年級進行新年聯(lián)歡，有一個抽獎游戲，箱子中放了100個一樣規(guī)格的紅包，里面分別放入

1,2,3,…,99,100元，若從中隨機抽取兩個紅包，其中一個超過50元，另一個不超過50元的概率為：

若依次（不放回）抽兩次紅包，得到的獎金數(shù)額之和為偶數(shù)的概率為.

14.已知正四棱錐產(chǎn)一PB、PQ的中點分別為￡尸：點G為尸C上一動點，平面E5G將正四

棱錐分為兩個部分，當(dāng)G為PC中點時，體積較小部分與體積較大部分的比值為；當(dāng)PG：PC

3

時，體積較小部分與體積較大部分的比值為.

15.已知二次函數(shù)/（工）=加一2%+。，若對于任意xw[a,2〃],都有/⑺之。成立，則實數(shù)〃的取值范圍

是.

三、解答廟：本大題共5小題，滿分75分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或推理過程.

16.已知正三角形力3C,邊長為3,點。、E在邊AB上（如圖），AD=\,ZACD=ZDCE=0.

（1）求CO的長，sin。的值；

（2）求sin20+]]勺值；

（3）求DE的長.

17.“明數(shù)理”數(shù)學(xué)興趣小組在生活場景中發(fā)現(xiàn)了很多有趣的幾何體，比如操場的小足球門，如圖1,下面將

該物體抽象為一個直四棱柱458/—QCG2，如圖2,底面488/為直角梯形，AB//

AB±BB[,44=1,AB=BC=BBy=4,尸為的中點，￡在N8上且BE=3￡4.

圖1圖2

(1)求證：。七//平面。片2；

(2)求￡廠與平面七片A所成角的正弦值；

(3)求四面體莊的體積.

18.數(shù)列｛/｝為等差數(shù)列，數(shù)列｛"｝為各項不為零的等比數(shù)列，公比為2,〃EN*，

a2-b2=a3-b3=b4-a4.

(1)證明：4=A：

(2)求集合｛k\bk=am+a[9\<m<500｝中元素的個數(shù);

(3)當(dāng)q=l時，將數(shù)列｛%｝的每相鄰兩項氏,之間插入一個數(shù)%”,構(gòu)造新數(shù)列｛6｝,即

G=q,。2=岫,。3=。2，c4=a2b2t數(shù)列｛6｝的前〃項和為S〃，求S?”及滿足S?”>2026的最

小正整數(shù)〃.

19.已知橢圓C的方程為《+￡=1(。>/)〉0),上頂點為力，右焦點為尸，橢圓的離心率為*，點E

為。尸中點，。為坐標原點，AE=5橢圓上一點尸(馬,打)在第一象限.

(1)求橢圓方程；

(2)若/PAF=NEAF,求外；

(3)若直線》=子■%與橢圓交于點〃、N,點N在點”右側(cè)，。為線段ON上一點，尸0=2后,

2yo

證明P0過定點，并求出定點坐標.

20.已知函數(shù)/'(X)=?2x7-ax.

(1)函數(shù)/(X)有兩個零點，求q的取值范圍；

(2)若直線e3、—y—3e3=0為函數(shù)/(x)的一條切線,求。的值:

(3)函數(shù)g(x)=/'(x)+ax-hiax,若對任意x>0,g(x)21恒成立，求。的取值范圍.

河?xùn)|區(qū)2025-2026學(xué)年度第二學(xué)期高三質(zhì)量檢測（二）

數(shù)學(xué)試卷

本試卷分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘.

第1卷（選擇題共45分）

一、選擇題：本大題共9個小題，每小題6分，滿分45分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的，請將正確結(jié)論的代號填在下表內(nèi).

L已知全集叫"KJ},集合人{。，1，4},集合八曲》“},則④加隨力（）

A.{2}B.{0,1}C.{3,5}D,{2,3,4,5}

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)集合的運算即可求解.

【詳解】由題可得，8={0J2},。/={2,3,5},

所以68={3,4,5},則（Q/）c（dB）={3,5}.

2.已知xwR,“|1-2才23”是“%2一二-320”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】先解出不等式，再根據(jù)集合間的關(guān)系，即可得答案.

【詳解】”2,13=1-2x23或1一2%?—3,解得力="|工4-1或％12},

X12-2X-3>0,解得8=或XN3},

因為4是4的真子集，

所以“|1-2H>3”是“/-2x-320”的必要不充分條件.

/\

3.已知函數(shù)/。）二1一一—,當(dāng)函數(shù)/'（X）為奇函數(shù)時，/log,3為（）

5+1V5>

11

A.——B.-1C.OD.-

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求得加，再根據(jù)對數(shù)的運算即可求解.

【詳解】由題知，5*+1工0,則/⑴定義域為R,

所以/’(0)=1=1一￡=0n〃?=2,

2

/(x)=l-7T~T，經(jīng)檢驗滿足題意，

5+1

2.21

所以/地，3=1嚙31?.

57；+1L

4.“明數(shù)理”數(shù)學(xué)興趣小組通過調(diào)瓷，整理出天津市三月份每日最高氣溫與最低氣溫的數(shù)據(jù)，繪制了氣溫與日

期關(guān)系的散點圖（如圖），并進行統(tǒng)計學(xué)分析，下列說法正確的是（）

天津市2026年3月氣溫放點圖

?最高氣溫?最彳氐氣溫

24

20

氣I6

溫12

8

4

0

。爐心受爐NA%*。

日期

A.小明根據(jù)散點圖判斷氣溫與日期無相關(guān)關(guān)系

B.小華利用最小二乘法計算最高氣溫與日期的經(jīng)驗回歸方程為y=-0.69x+2.92,其中x為日期（3月

1日為x=l,3月31日為x=31）

C.小紅計算出最低氣溫與日期的相關(guān)系數(shù)為0.9397,以此判斷兩者的相關(guān)程度很弱

D.小強判斷無論是最高氣溫與日期，還是最低氣溫與F1期都正線性相關(guān)

【答案】D

【解析】

【分析】由散點圖，回歸直線方程的性質(zhì)，變量間的相關(guān)關(guān)系分別判斷即可求解.

【詳解】對于A,觀察散點圖，橫軸代表日期，縱軸代表氣溫，圖中的散點分布并不是雜亂無章的，而是

呈現(xiàn)出一種帶狀分布，

且整體趨勢是隨著日期的增加，氣溫也在逐漸升高，這種趨勢表明氣溫與日期之間存在密切的聯(lián)系，即存

在相關(guān)關(guān)系，故A錯誤；

對干B,回歸直線方程3=標+■中，斜率5反映了變量y隨x的變化趨勢，

若i〉o表示變量）'隨X的增大而增大，為正相關(guān)，若5<0表示變量y隨X的增大而減小，為負相關(guān)；

由散點圖可知，氣溫隨日期的增大而升高，屬于正相關(guān)，所以回歸方程的斜率應(yīng)為正數(shù)，

而小華計算最高氣溫與日期的經(jīng)驗回歸方程斜率為5=-0.69<0，故B錯誤；

對于C,H的值越大，相關(guān)性越強，小紅計算出最低氣溫與日期的相關(guān)系數(shù)為0.9397,以此判斷兩者的相

關(guān)程度很強，故C錯誤；

對FD,由散點圖可知，無論是最高氣溫還是最低氣溫，其數(shù)據(jù)點都呈現(xiàn)出隨日期增加而上升的趨勢，為

正線性相關(guān)，故D正確.

5.已知〃=網(wǎng)，b=0.8c，c=log08e,則。，h,。的大小關(guān)系為（）

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.a<c<b

【答案】C

【解析】

【分析】分別判斷a,b,c與0」的大小關(guān)系即可.

【詳解】由4=?°，可知，底數(shù)e〉l,指數(shù)0.8>0,因此〃=e°s〉l.

又因為0<0.8<1,且e>0,所以0</>=0.8°<1.

再看。=logos已利用換底公式，。=logo*e=7^-=

ln0.8In0.8

由于0<0.8v1,所以ln0.8<0,從而c=-^―<0.

ln0.8

綜上可得C<0<Z?<l<6f,

因此。<6<a.

6.己知雙曲線￡:/—[=],雙曲線的某弦44中點為尸（加,1）,且點夕在第一象限，弦43所在直線與雙

曲線的一條漸近線垂直，則〃?的值為（）

A.±2B.2C.±-D.—

-44

【答案】D

【解析】

【分析】由點差法即可求解.

【詳解】由雙曲線方程1—1=1得，漸近線方程為則直線的斜率&疑=±乎，

X2_ZL-1

?2~

設(shè),4（和必18&,必）,代入雙曲線方程得，

Xy--=l

2

(必一8)(%+%)=0

兩式相減得，（再一工2）（犬］+工2）一

2

（必+為）必一為

所以（占+Z）=?+%)-巧匹?G=0'

2Xj-x2

因為弦力4中點為。（〃7,1）,所以陽+x2=2ni,y}+y2=2,

當(dāng)心=*時，2時|等=0nm=亭

當(dāng)長出二—農(nóng)時，2M+2?變=0=機二—立

出2224

又因為點P在第一象限，所以機＞0,

所以〃

4

7.已知點力為坐標原點，8（3,0）,。（0,4）,點。在V/3c內(nèi)部，。（小,〃），其中機wZ"〃EZ+，則

就麗+德?反+礪灰的最小值為（)

25

A.——B.-8C.-7D.-5

3

【答案】B

【解析】

【分析】由伉。的坐標得出直線8c方程,再根據(jù)點。在V48C內(nèi)部列出關(guān)于"?,〃的不等式組，結(jié)合

mwZJ〃EZ+得出所有可能的點。坐標,由平面向量數(shù)量積的坐標運算即可求解.

【詳解】因為點力為坐標原點，3（3,0）,C（0,4）,

所以直線4c的截距式方程為二十』=1,即4x+3y-12=0,

34

因為點。在V/8c內(nèi)部,

m>0

所以0（6,〃）滿足不等式組，〃〉0,

4m4-3/?-12<0

由4m+3〃<12,且〃？wZ+，〃wZ+，

8

當(dāng)加=1時，由4根+3〃<12得〃<§,〃=1,2,點O可以是（1』）,（1,2）；

當(dāng)加=2時，由4加+3〃<12得〃<g,〃=1,點。是（2,1）；

當(dāng)〃?23時，此時不存在滿足題意的正整數(shù)〃，

綜上所述，滿足條件得點。（加,〃）共有三個：（1』）,（1,2）,（2,1）；

因為況=（一〃7,一〃）,OB=（3-〃1,一〃）應(yīng)=（T%,4-〃），

所以O(shè)AOB=一〃7（3-〃?）+n2=-3m4-nr+/,OAOC=nr一〃（4一〃）二〃一4〃+n2,

OB?OC=（3-777）（-777）-〃（4一〃）=-3m+m2-4n+n2,

所以04?08+OA-OC+OB-OC=（-3/w+in2+n2）+（獨/一4〃+/?2）4-（-3/w+m2-4〃+n2）

=3/7?2+3n2-6m-8〃，

當(dāng)點。（〃?,〃）為（1,1）時，QA.OB^OA.OC+OBOC=-^,

當(dāng)點。（相川為（1,2）時，0403-1-04OC+OBOC=-7^

當(dāng)點。（加川為（2/）時，04.03+04OC+OBOC=-5^

所以萬?礪+刀衣+0瓦。心最小值為-8.

8.“明數(shù)理”數(shù)學(xué)興趣小組在綜合實踐過程中為某公司的一款明星科技產(chǎn)品提供漲價方案，經(jīng)過小組成員分析

討論形成如下四個方案：

方案甲：第一次提價〃7%，第二次提價〃％；方案乙：第一次提價〃％,第二次提價〃2%；

方案丙：第一次和第二次均提價（竺三）%；

方案丁:第一次提價（2〃?+2〃）％,第二次降價（,〃+〃）％；

其中0<〃<〃?<50,則四個方案中提價最多的方案為（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】C

【解析】

【詳解】設(shè)商品原價為。(?！?),

m+nmn

對于甲:最終價格為。(1+〃2%)(1+〃％)=。1+------+-------

10010000J

'"7+〃IJJ'

對于乙:最終價格為。(1+〃％)(1+〃7%)=。1+-7T7-+T=

\1UU1UUUUy

所以甲、乙方案結(jié)果相同,

對于丙:最終價格為41+('蕓)％了二a[\+竟]

40000

由均值不等式，皿土2匚＞白殛匚=色上=_絲_(〃7工〃)，所以方案丙的最終價格高于甲、乙，

4000()4000()4000()10000

對于?。鹤罱K價格為：“1+(2〃[+2〃)％]口一(〃7+〃)％]=。1+~73^--2^0000^，該式存在負

\/

項，所以明顯小于其他方案的結(jié)果，

綜上，提價最多的是方案內(nèi).

9.已知/〉()，在函數(shù)/(x)=sin(@x+Q)的部分圖象中(如圖)，其圖象上的點/,B,C是同一直線上

的三點，且該直線與x軸交于點；)，若恒。|二0用=忸q=i,則①二()

V5n

C-T~1~

【答案】D

【解析】

【分析】已知/。=。8=8。=1,而且4伉。,。共線，因此可以把這條直線的方向向量設(shè)出來，再把三

個點都寫成同一個參數(shù)形式.隨后利用它們都在函數(shù)V=sin(ax+9)的圖象上，把幾何條件轉(zhuǎn)化為三組正

弦值關(guān)系，最后聯(lián)立求出0.

【詳解】設(shè)。(x0,0),并設(shè)直線ABCD的單位方向向量為(見一〃)(州＞0,〃＞0,〃,+〃2=1).

由.4D=DB=BC=1可得/(與一〃?,〃),5(/+〃7,一〃),。(工0+2〃7,-2〃).

因為4民。都在函數(shù)丁=5布(@丫+0)的圖象上，所以sin(0(.％-〃7)+。)=%

sin(o(xo+〃?)+9)=一〃，sin(㈤(/+2〃?)+0)=-2〃.

令X=cox。+(p、u=com,

則上面三式化為sin(X-〃)=〃，①sin(X+〃)=一〃，②sin(X+2〃)=-2/7.③

由?+?得sin(X-〃)+sin(X+〃)=2sinAcos//=0.

若sinX=0,設(shè)X=〃乃，則由②③可推出sin2〃=2sin〃，

即2sinwcosw=2sin〃.

由于〃>0,故sin〃工0,從而cos〃=l,這與圖象位置關(guān)系矛盾，因此不成立.

所以只能有cos〃=0.〃取最小正值，〃=?.

9

此時由①③得sin(x-5)=〃,sin(X+兀)二一2〃.

即一cosX=n9-s\nX=一2〃，所以cosX=一〃,sinY=In.

于是sii?X+cos2^=(2〃了+『=1,故5/=、/=忑.

兀

?！?v5

而coin=—,所以①=-=f=—兀

2-24

忑

因此。兀.

4

第II卷(非選擇題共105分)

二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，滿分30分.請將答案填在題中橫線上.

10.已知復(fù)數(shù)z滿足(l+2i)z=4+3i,則2=.

【答案】2T.

【解析】

【分析】在等式（l+2i）z=4+3i兩邊同時除以1+2，，再利用復(fù)數(shù)的除法法則可得出復(fù)數(shù)z.

4+3,_(4+3i)”2i)_4-3+3/-63_10-5/

【詳解】Q(l+2/)z=4+3/,

1+2/~(l+2z)(l-2/)~5-5

故答案為2-九

本題考查復(fù)數(shù)的除法，解題的關(guān)鍵就是從等式中得出z的表達式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算律得出結(jié)果.

（av

11.9x-華的展開式中的常數(shù)項為.（用數(shù)字表示）

I3⑨

【答案】672

【解析】

【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式即可求解.

（5Y

所以常數(shù)項為C；-3?-注=672.

3

12.已知拋物線C:/=4x的焦點為廣，準線為/,點尸在拋物線上且在x軸上方，|產(chǎn)3=5,。為坐標原

點，以尸。為直徑的圓被直線尸尸所截得的弦長為.

【答案】y

【解析】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義可得尸（4,4）,進而可得圓心和半徑，以及直線夕產(chǎn)的方程，結(jié)合垂徑

定理求弦長.

【詳解】由題意可知：拋物線C:/=4x的焦點為尸（1,0）,準線為=

設(shè)尸（,%，%），為＞°，

因為|尸產(chǎn)|=2+1=5,則玉）=4,

可得"=4x°=16,則典=4,即尸（4,4）,

可知以PO為直徑的圓的圓心為￡（2,2）,半徑r=^\OA\=2V2,

即4.r-3y-4=0,

|8-6-4|_2

則圓心￡(2,2)到直線4x-3y-4=0的距離，/一行十㈠尸，

所以所截得的弦長為24戶一d?=y.

13.立德中學(xué)高三年級進行新年聯(lián)歡，有一個抽獎游戲，箱子中放了100個一樣規(guī)格的紅包，里面分別放入

1,2,3,…,99,100元，若從中隨機抽取兩個紅包，其中一個超過50元,另一個不超過50元的概率為

若依次(不放回)抽兩次紅包，得到的獎金數(shù)額之和為偶數(shù)的概率為.

【答案】?.I

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型，排列組合及分類分步計數(shù)原理即可求解.

【詳解】由題知，從箱子中隨機抽取兩個紅包，其中一個超過50元，另一個不超過50元的概率為

CC。=50

%99，

100個紅包中，獎金數(shù)額為奇數(shù)的有5()個，獎金數(shù)額為偶數(shù)的有5()個，

兩次抽到的獎金數(shù)額之和為偶數(shù)，情況有2種，兩次抽到都是奇數(shù)或偶數(shù)，

A?+A?49

所以依次(不放回)抽兩次紅包，得到的獎金數(shù)額之和為偶數(shù)的概率為‘'°二蕊?

Aioo99

14.已知正四棱錐產(chǎn)一498,PB、尸Q的中點分別為E,F,點G為尸。上一動點，平面ER7將正四

棱錐分為兩個部分，當(dāng)G為PC中點時，體積較小部分與體積較大部分的比值為；當(dāng)PG=gPC

3

時，體積較小部分與體積較大部分的比值為

【答案】①.；|

【解析】

【分析】由正四棱錐的性質(zhì)及四棱錐的體積公式即可求解.

【詳解】設(shè)正四棱錐。一48co的底面邊長為。，高為h,平面￡FG截正四棱錐尸一力5c。的截面為四

邊形MEGF,與PA交點、為M,如圖所示，

因為P&P。的中點分別為E、R,點G為PC中點，

所以EFHBD,EG/fBC,FG//CD,￡EF=LBD,EG=LBC,FG=-CD,

222

又BC,COu平面48c。，EG,FGQ平面4BCD,

所以EG,/G//平面力4C。，又EG,尸Gu平面MEGb,且EGD/GnG,

所以平面MEG/7〃平面45CQ,則點”也為4中點,

所以四棱錐P—MEGF與正四棱錐P-45CQ相似，相似比為1:2,

2

所以四棱錐尸—MEG/的底面邊長為;“，高為:〃，SMEGr=^StBCD=^af

X

所rz1以■（/-AMF/cCUFr=—3SMMcFUCrF'—2〃=—3—4X—2//=-2-4-d~h,

設(shè)體積較小部分的體積為匕，體積較大部分的體積為匕,

則匕=五"",匕=Vp-ABCD一卜P-MEGF=—a2h——a2/?=-a2h

32424

1”

所QI土，

匕7’

24

設(shè)底面正方形48CO的中心為。，作出平面EFG與正四棱錐P—彳8C。的截面圖，交口于點M,

因為P/十尸0=2/=%。2,所以△尸力。為等腰直角三角形，/4PC=90。,

ULH1UI1ULU

在平面中，PO=—PA+—PC,

22

設(shè)兩二kPA，麗=APM4-(1-A)PG=kAPA+1(1-A)PC,

因為麗二,而，

2

k入_1r]

所以以方+/1_/1)》=源+而，即[(—I)]]=[::]

所以麗=刀，即點加,力重合，如圖所示，截面為4EGE，

連接小，AG,過點尸作PV_L4G,垂足為N,

卜.商證明PN即為四棱錐產(chǎn)一4EGE底面AEGF的高，EFLAG,

因為產(chǎn)底面43CQ,BDu平面4BCD,

所以POJ.BD,又BDL4cMecP0=0,NC,尸Ou平面P4C,

所以8。1平面E4C,又EF//BD,所以E/_L平面P4C,

又PN,4Gu平面P/C,所以即_L4G,EF1PN,

又PN1AG,AGC\EF=H,4G,ERu平面力EGA

所以PN八平面/EG夕，即PN即為四棱錐尸一,4￡G產(chǎn)底面/EG/的高，

222

在Rt△04G中，AG=^!AP+PG=Ja2+Qa^=,

斜邊AG上的高為PN=/-=a,S但卜，=—EF=—=—

V1010AbM22326

亍Q

fit；1.1v1DZ1亞2V23

所以c匕=、記“二式心

由正四棱錐的性質(zhì)可得，h=—a^

2

V2=VP-ABCD-VP-AEGF=〃一冬優(yōu)9/

36

723

r/--a1

所以

y2￡1/5

15.已知二次函數(shù)/(工)=。/-2%+。，若對于任意xw[a,2q],都有/⑺之。成立，則實數(shù)〃的取值范圍

是

【答案】[1,+8)

【解析】

【分析】根據(jù)。的范圍分類討論，結(jié)合對于任意工武凡2同，都有/’(x)20成立，解不等式即可求解.

【詳解】因為[。，23是一個區(qū)間，所以2Q>Q=Q>0,

二次函數(shù)/(x)=QM2-2x+a的對稱軸為直線1=,，

a

①當(dāng)時，即〃之1,函數(shù)/(用在[。,2句上單調(diào)遞增，

a

所以/(x)min=f(a)=a3-2a+a=a3-a,

要使對于任意xe[a,2a],都有/(x)20成立，則/(x)的妾0，

所以。3-QN0=>Q(Q-1)(Q+1)N。，解得QNI；

②當(dāng)。<1<2a時，即正<Q〈I時，

函數(shù)/(x)在X=L處取得最小值，/(Mmin=/(-)=。一L,

aaa

則f(x)minN0=a-1N0,不等式無解;

③當(dāng)時，即O<40①，函數(shù)/（工）在［〃,2a］上單調(diào)遞減,

a2

所以/Wmin=/(2。)=4a3-3a,

則f（x）minN0n4/-3420,不等式無解;

綜上所述，。的取值范圍是［1,+8）.

三、解答廟：本大題共5小題，滿分75分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或推理過程.

16.已知正三角形48。，邊長為3,點。、E在邊48上（如圖），AD=\,ZACD=ZDCE=0.

（1）求。。的長，sin。的值；

（2）求sin（2夕+,）的值;

（3）求。E的長.

【答案】（I）CD=近,sin<9=—

14

⑺走

7

7

(3)DE=-

8

【解析】

【分析】（】）由余弦定理求解即可；

（2）由二倍角的正弦及兩角和的正弦公式求解;

（3）利用正弦定理求解.

【小問1詳解】

在VNBC中，ZJ=60°,力C=3,AD=\,

AC2+AD2-CD232+]2-CD21

解得CD二日,

二.cos力==

2ACAD62

a32+7—15萬.——二問

..cos4=------7==——，siu/9=vl-cos"6^=-----

2x3x771414

【小問2詳解】

由(1)sin2/9=2sin<9cos6>=—?cos2。=2cos2夕一1二二，

1414

.兀、?“兀?兀M561百II4百

/.sin29+—=sin2夕cos—+sm—cos2〃=----x—+——x—=----.

I3j331422147

【小問3詳解】

(

因為sin2，+—=sinZJEC,

I3J

^\x\/AFCsin。

所以由正弦定理可得-一:一-

CD~DE

4A/372?「

所以〒14，解得DE=-.

FF8

17.“明數(shù)理”數(shù)學(xué)興趣小組在生活場景中發(fā)現(xiàn)了很多有趣的幾何體，比如操場的小足球門，如圖1,下面將

該物體抽象為一個直四棱柱-。CG",如圖2,底面為直角梯形，AB〃煙,

AB±BB.,4￡=1,AB=BC=BB『4,尸為8c的中點，E在上且8E=3￡4.

圖1圖2

(1)求證：?！?/平面CAA；

(2)求叱與平面七片。所成角的正弦值:

(3)求四面體戶石4口的體積.

【答案】(1)證明見解析

7

(2)五

13

【解析】

【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證明QE//平面即可:

（2）求出平面￡片。的法向量，利用線面角的向量法求解；

（3）利用向量法求出cos/qEQ,再由三棱錐體積公式求解.

【小問1詳解】

以.4為原點，為x軸，4。為N軸建立空間直角坐標系,

根據(jù)已知得4（0,0,0）,5（4,0,0）,C（4,4,0）,。（0,4知）,4（3,0,4）,

初4,0,4）,C,（4,4,4）,刀（3,4,4）,￡（1,0,0）,*4,2,0）,

貝U詼=（1,—4,0）,西=（0,—4,4）,西=（一1,0,4）,

設(shè)平面的法向量為）=（芍乂z）.

n.CB,=-4y+4z=0一/.

則＜------,令x=4,則勺=（4,1,1）,

々?C。=-x+4z=0

因為瓦?瓦=4-4+0=0,所以瓦1］，

所以DE〃平面CBQ「

【小問2詳解】

市二（3,2,0）,硒=（3,0,4）,西二（2,4,4）,

設(shè)平面的法向量為0=（￡,_/,，），

‘晨函=3x'+4z，=0一/、

則〈二---，令x'=4,則〃2=（4』,一3）,

r

n2-ED1=2x+4y+4z'=0

3x4+2xl772

所以sin。=cos￡*￡〃，=

EF與平面EBR所成角的正弦值為述.

13

【小問3詳解】

因為4-皿口=\EF\smO=V13,

=*sin/8曲=3_溫/43二

SD廣詈量

所以二；|函||西卜in/Bf=2回，

?28

所以/_E陽1入=§"尸-碼aSA￡MP=y?

18.數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，數(shù)列也｝為各項不為零的等比數(shù)列，公比為2,〃￡]<，

a?一仇=%一a=a-?

（1）證明：%=a；

（2）求集合｛集4=%+q,14m4500｝中元素的個數(shù);

（3）當(dāng)[=1時，將數(shù)列｛4｝的每相鄰兩項氏,之間插入一個數(shù)。也，構(gòu)造新數(shù)列血｝,即

q=q,。2=64，。3=。2，c4=a2b2,...?數(shù)列｛c〃｝的前〃項和為5〃，求S2,,及滿足S2”>2026的最

小正整數(shù)〃.

【答案】（1）證明見解析

（2）元素個數(shù)為9（3）S2.=3+（2〃—3）2"+〃2,最小正整數(shù)〃=8

【解析】

【分析】（1）由等差數(shù)列，等比數(shù)列基本量的計算，結(jié)合已知即可證明；

（2）由等差數(shù)列，等比數(shù)列基本量的計算，結(jié)合4=%,+q得出2"2=〃7,再根據(jù)機的范圍即可求解；

（3）由分組求和，錯位相減法求得S2“，再根據(jù)S?”單調(diào)性即可求解最小正整數(shù)〃.

【小問1詳解】

設(shè)｛%｝的通項公式為%=4+(〃-l)d,〃eN*,｛2｝的通項公式為

因為。2-仇=%一4，所以q+<，-2bl=q+2c/-44,則d=2b｝,

因為牝一4二4一。4,所以q+d-2々=8々-q-3",則。=2q,

所以q=々.

【小問2詳解】

由“?=《”+%，”=々得，aQi=6十(〃z-l)2al十％,所以2"2=〃？，

又因為14及4500,所以lW2i?500,

因為函數(shù)〉=2X-2在R上單調(diào)遞增，

所以％=2,3,4,5,6,7,8,9,10,元素個數(shù)為9.

【小問3詳解】

,,_|

由已知得bH=2,S2n=al+a2+--+an+a]bi+a2b2+--+anbn,

1+2/?—12

設(shè)4=q+〃2+.??+〃〃=---〃=〃，

設(shè)8“=1x20+3x21+5x2?+…十(2〃—1)x2"”①

24=1x2、3x2?+5x23+…+(21)x2〃②

①?②得:一紇=1—(2〃—1)2"—2儂+2?+…+2"T),

紇=3+(2〃-3)2〃，

所以S?”=An+Bn=3+(2〃-3)2"+"2,

因為氏=2〃-1>0,。=21>0,anbn>0,

所以S?”二3十(2〃一3)2”十〃2單調(diào)遞」曾，

又〃=7,凡=1460<2026,右=8,S16=3395>2026,

所以最小正整數(shù)〃=8.

19.已知橢圓。的方程為上頂點為力，右焦點為尸，橢圓的離心率為乎，點E

為。*中點,。為坐標原點，AE=#、橢圓卜一點P（Xo/o）在第一象限?

（1）求橢圓方程；

（2）若NP4F=NEAF,求比；

（3）若直線>=戶1與橢圓交于點M、N,點N在點"右側(cè)，。為線段ON上一點，PQ=2>/2,

2yo

證明也過定點，并求出定點坐標.

X2v2

【答案】（1）±+2_=i

84

2

⑵y0=-

（3）證明見解析，定點坐標為（2,0）

【解析】

【分析】（1）由已知直接求解方程即可；

（2）先求出點上關(guān)于直線4尸的對稱點，即可得出直線4P的方程，與橢圓方程聯(lián)立即可求解；

（3）設(shè)Q（t,荒,由兩點之間距離公式得出/的方程，結(jié)合橢圓方程求解/,再表示出直線尸。即可

證明.

【小問1詳解】

由離心率為也，得Q=J5C，所以b=c,/（0）），F(xiàn)（c,0）,F（￡,O）?

2

AE=W+b2=*=6

22

所以。=2,則。=2后，b=2,所以土+匕=1.