2026年高考數學一輪復習專練：正弦定理、余弦定理（附答案）

§4.8正弦定理、余弦定理

【課標要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形2理解三角形的面積公式并能應用3能利用正弦定理、余

弦定理解決一些簡單的三角形度量問題.

■落實主干知識.

1.正弦定理、余弦定理

在^人^。中，若角A,B,C所對的邊分別是。tb,c,R為△ABC外接圓半徑，貝IJ

定理正弦定理余弦定理

標二爐+/—2/7cc()sA；

內容-^―=—^―=—^―=2R2

sin/lsinBsinC〃=c+〃-2c〃cos8；

^="+/?2—2a/?cosC

(l)〃=2RsinA,

/?=2/?sinB,.b2+c2-a2

COSA=———;

2bc

c=2RsinC；

222

Dc+a-b

變形COSB=--------

2ac

(2)sin4甘,

「a2+b2-c2

cosC=———

.r,b.〃Czab

smB=——，smC=——；

2R2R

(3)a:bc=sinA:sin8：sinC

2.三角形解的判斷

4為銳角4為鈍角或直角

c

zLC0

圖形、y\j

補…％

ABAA'8

關系式a=bsinAbsinA<a<ba>b

解的個數一解兩解一解一解

3.三角形中常用的面積公式

(1)S=表不邊。上的高)；

(2)5=14加曲。二^。心曲8=；Z?csinA；

(3)S=，(a+/+c)(/?為三角形的內切圓半徑).

B自主診斷

1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“4”或“x”)

(I)三角形中三邊之比等于相應的三個內角之比.(x)

(2)在△ABC中，若sinA>sinB,則a>b.(V)

(3)在AABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素.(X)

(4)當〃+。2—標>0時，△ABC為銳角三角形；當加+。2—/=()時，△A8C為直角三角形；當b2+c2-a2<0

時，八ARC為鈍角三角形.(X)

2.已知△ABC的內角A,B，。所對的邊分別為a,b,c,若b=>H,a=\,8=知，則c等于()

A.V5B.2C.V3D.3

答案B

解析由余弦定理得COS8=,即一J=,整理得/+c—6=0,解得c=2(負值舍去).

M；2〃ac-'22c

3.在△八8c中，內角人，8,。所對的邊分別為a,b,c,若。一80,〃一100,八一45。，則符合條件的三角

形有()

A.一個B.兩個

CO個D.不能確定

答案B

解析由題意知，。=80,8=100,4=45。，由正弦定理，得騰=蹊，所以sin8=學.

wsinB8

因為a<b,所以B>A,故4有兩解，

即符合條件的三角形有兩個.

4.在AABC中，角A,8,C的對邊分別為a,b,c,且a=4,/)=5,c=6,則cosA=,△

ABC的面積為

答案!苧

44

解析依題意得8SA=F：：-Q2=J,

20C4

所以sinA=V1—cos2/l=—,

4

所以△ABC的面積為％csinA=竺亞.

24

國微點提醒

1.熟記△ABC中的以下常用結論：

(l)A+B+C=7i,甘桔一*

(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

(3)大邊對大角,大角對大邊,〃>/?=A>8=sinA>sin8,cosA<cosB.

A+RCA+Rr

(4)sin(A+B)=sinC；cos(4+8)=-cosC；tan(A+8)=-tanC；sin—cos-；cos-=sinp

(5)三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=〃cosA+acosB.

(6)三角形的面積S=7p(p-?)(P-b)(p-c)(p=g(a+b+c)).

(7)在斜△ABC中,tanA+lan5+tanC=tanA-tanBianC.

2.謹防兩個易誤點

(1)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理解三角形時，注意解的個數討論，可能有一解、兩解或無解.

(2)求角時易忽略角的范圍而導致錯誤，需要根據大邊對大角，大角對大邊的規則，畫圖幫助判斷.

---------------------------探究核心題型----------------------------

題型一利用正弦、余弦定理解三角形

例1(1)(2025?重慶模擬)在4A6c中，內角A,8,C的對邊分別為a,/?,c,且〃十十力《一〃.若。一

V6,a=3直sinB,則C等于()

A.-B.-C.-D.—

46812

答案D

解析在△ABC中，由〃+/+兒=4及余弦定理，可得8$4=空曰=一：，

由0<.4<71,可得A=§,

J

又b=y/6,〃=3夜sinB,

+F廿…is但?nbs】nAV6sin-v^x-i

由正弦理得「r~產=——

TEsinB=---a---=3>/2s.in3B=3>/2sinB2sin8

又sinB>0,解得sinB=y

又0<B《，BittB=-,

34

所以CE-f

(2)在△ABC中，角A,8,C的對邊分別為a,b,c,若b=8,c=3,A=60°,則此三角形外接圓的半

徑R等于()

A.竽14機D.竽

BR?丁Ci

答案D

解析因為b=S,c=3,A=60°,

所以/=〃+C2-2〃CCOSA=64+9-2X8X3X1=49,所以。=7,

所以此三角形外接圓的直徑小總="芋，所以R=建

2

思維升華應用正弦、余弦定理的解題技巧

⑴求邊:利用正弦定理變形公式k需等或余弦定理求解.

(2)求角：利用正弦定理變形公式s)nA=坐等或余弦定理的推論求解.

0

(3)利用式子的特點轉化：如出現/+〃一/=〃/)的形式用余弦定理，等式兩邊是關于邊或角的正弦的齊

次式用正弦定理.

跟蹤訓練1(l)Q025?八省聯考)在△ABC中,8。=84。=10?05/孫。1,則448。的面積為()

A.6B.8C.24D.48

答案C

解析由余弦定理得AC^AG+A獷IA/^ACcos/ZMC,即64=100+A"-2A8X10X3

5

"弘1248+36=0,

???AB2+8C2=AC2,.\AB±BC,

S.ABC=^ABBC=gX6X8=24.

(2)(多選)在△A8C中，內角A,B,。所對的邊分別為a,b,c.已知a+〃=l(),c=5,sin28+sin8=(),

則下列結論正確的是()

A.a=3B.b=7

C.B=60°D.sinC=—

14

答案ABD

解析由sin28+sin8=0,得

2sinBcos2+sinB=0,

因為在△ABC中，sinBNO,得cosA=一：,

由余弦定理b2=a2+c1-2accosB,

因為b=]0~a,所以(10—4=〃+52_2乂々乂5乂(_§,解得〃=3,所以6=7.

由cosB=一；,得8=120°,則sinB=與.

由正弦定理得sinC=^sinB=pq=等

題型二正弦定理、余弦定理的簡單應用

命題點1三角形的形狀判斷

例2在中，內角A,〃，C所對的邊分別是a,b,c,梏c-acosB=(2a-b)cosA,則△A8C

的形狀為()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

答案D

解析方法一因為c—Geos8=Qa—〃)cosA,

。=兀一(A+3),

所以由正弦定理得sinC-sinAcosB

=2sinAcos4—sinBcosA,

所以sinAcos8+cosAsinB—sinAcosB

=2sinAcosA-sin8cosA,

所以cosA(sinB-sinA)=0,

所以cosA=0或sinB=sinA,

所以4=1或B=A或8=兀一人(舍去)，

所以AABC為等腰或直角三角形.

方法二因為c—?cosB=(2a—b)cosA,

由余弦定理得

222222

a+c-bC.xbA-c-a

化簡得(a—/?)(〃+/一屋)=。，

所以a—b=0或b2-\~c2—a2=0,

所以a=b或b1-\-c1=cr,

故△ABC為等腰或直角三角形.

命題點2三角形的面積

例3(2024?武漢模擬)在△A3C中，內角A,8,。所對的邊分別為a",c,若8=芋,b=6,4+占

4

=2y/2ac,則△ABC的面積為.

答案3

解析由余弦定理得〃=/+/—2accosB,

即36=蘇+/+缶。=24/c+@:=3&ac,

所以QC=6或，

所以△48C的面積

S=：acsin8=：X6A/^Xg=3.

222

命題點3與平面幾何有關的問題

例4已知。是RtZXABC斜邊8c上一點，AC=V5OC.

⑴若ND4C=30。，WJZADC=；

⑵若BD=2DC,且DC=1,則AO的長為

答案(1)120。(2)V2

解析(1)在中，由正弦定理得/，

''△A。。sinz.ADCs\nz.DAC

所以sinNAZ)C=esin皿。=叵,

DC22

又/4QC=8+N/M/)=B+(900—NQAO=3+60°>60°,

所以NADC=I20。.

(2)由BD=2DC,且DC=1知BC=3,

又AC=V5OC,貝ijAC=V5,

所以RtZXABC中，cos。=翌=—,

BC3

在△AOC中，由余弦定理得

AOLAG+OC2—2ACOCCOSC=(V3)2+I-2V3X1X#=2,

?3

所以AQ=V2.

思維升華(1)判斷三角形形狀的兩種思路

①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀.

②化角：通過三角恒等變換，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀.

(2)三角形面積公式的應用原則

①對于面積公式S=)戾inC=)csin8=，csinA,一般是已知哪一個角就使用哪一個公式.

②與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化.

跟蹤訓練2⑴設△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若當=2,S+c+a)S+c—〃)

SlHoC

=3bc,則△ABC的形狀為.

答案等邊三角形

解析因為翌=區，

sinfic

所以三=色，所以6=c.

bc

又(b+c+a)(b+c、-〃)=38c,

所以b1-^c1—a2=bc,

222

Hi.b+c-abe1

所以COSA=F^=荻=3

因為4￡（o,71）,所以A=?,

J

所以△A8C是等邊三角形.

（2）（2024?新課標全國I）記444。的內角A,13,C的對邊分別為a,b,c,已知sinC=V^cosA,a^b1

—c2=y/2ab.

①求B；

②若AABC的面積為3+8,求c.

解①由余弦定理有〃+護一/=2出JCOSC,

因為a2-\-b2—c2=\[2ab,

所以cosC苛,

因為CG（0，冗），所以sinOO,

從而sinC=V1-cos2C=Jl-（Y）=y，

又因為sinC=V2cosB,

即cosB=：,

又B￡（0,兀），所以8=弓.

J

②由①可得8=g,cosC=y,C￡（0,兀），

從而C=~,sinA=sin（A+C）=sin停+：）

_V3v_|_1v_\/6+V2

-------A----T―zx--------------------.

22224

方法一由正弦定理有二=:，

sin-sin-

從而/?=?.?<?=*?,

由三角形面積公式可知，

△48C的面積可表示為S.\ABC=，osinA

1限>?6+V23+^3少

-2"TCC_48-C，

由已知△ABC的面積為3+V5,

可得噌(2=3+75,所以c=2x/2.

8

方法二記R為△ABC外接圓的半徑，

由正弦定理得

S38(?=#必sinC=2/?2sinAs\nBsinC

=0R2V%+'反遍0

422

^^?/?2=34-V3.

4

所以R=2.

所以c=2R7nC=2X2X^=2x/2.

■微拓展,

相關定理在解三角形中的綜合應用

1.角平分線定理

在△曲中,也為NW的角平分線，貝嘿=筮

進而得到（1）AD2=ABAC-（斯庫頓定理）.

(2)—=—=SAAB。

[fAC~~CD~S&ACD，

2.張角定理

在△ABC中，D為8c邊上的一點，連接，若=Q,ZCAD=fi,

貝修+sinasin(a+0)

ABAD

3.中線長定理

在中，A。為AC邊上的中線，貝|JA"+AG^ZCAON+QC2）.

典例⑴在△然€*中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=7,/?=8,c=9,則AC邊上的中線長

為________

答案7

解析方法一在△ABC中，設80是AC邊上的中線，由中線長定理知，

AB2+BC1=2(BD2+DC2),

即^+。2=2(8。2+：/)2),

_..cz+azh281+4964

貝lj=-----------=------------=49,=7,

2424

故AC邊上的中線長為7.

22_2_]]

方法二因為"738,c=9,由余弦定理得cos於三了7+98

2X7X9-21'

設。是AC的中點，則而="瓦5+近)，

兩邊平方得|麗F=X瓦/+2BA^BC.+~BC2)

=>(81+2x9x7x…)=49,

4

所以|麗|=7,即AC邊上的中線長為7.

(2)在△43C中，角A,8,。所對的邊分別為a",c"Q是/84C的角平分線，若,AD=2^3,

貝IJ2/，+c的最小值為

答案6+4V2

解析如圖，???4。是N8AC的角平分線，

：.ZBAD=ZCAD

=2N8AC=—,

26

由張角定理干sinziBHC_s\nz.BAD+sinzC/lD

ADACAB

??si?n-IIsi?n-IIsi.n-IIiii

即T=—i=1

2V3bc'bc2

A2/?+C=(2/?+C)Q+i)X2

=x.2c,4。、，,,2c4b

6+—b+—c26+27—bx—c

=6+4企（當且僅當與=，且￡+i=1,

即c==2或+2時取等號）.

課時精練

［分值：100分］

閾知識過關

一、單項選擇題（每小題5分，共3（）分）

1.（2025?海口模擬）在AA8c中，內角A,8,C的對邊分別為a,b,c,若a=2,b=3,sinA=g,則sinA

等于（）

A.-B.ZC.-D.i

4334

答案A

解析若a=2，/?=3,sinA,

則由正弦定理得，-r—=-r—,即寺=一^,

sin/lsinf?-sinB

2

所以sin

4

2.在AABC中，cosC=-,AC=4,BC=3,貝UcosB等于（）

A

答案A

解析依題意，由余弦定理得，^^2=4C2+/?C2-2ACBCCOSC=42+32-2X4X3X|=9,即A8=3,所

心+靖一心9+9-16_1

以cosB=

2ABBC2x3x3-9,

3.（2024?長沙模擬）已知在△ABC中，內角4,3,C的對邊分別為a,b,c,且三邊之比a：b：c=2：3：4,

sin4-2sinB

則等于（）

sin2C

B?三C.2D.-2

答案C

解析因為在△A8C中,a：b：c=2：3：4,

設a",c分別為2k,3k,4k,QO,

由余弦定理?=?2+/?2-2^cosC,

可得16Zr=4Z:24-9Zr—12ArcosC,

解得cosC=-7,

4

可得sin4-2sin8_sin4-2sin8a-2b2〃-2x3k_

sin2c2sinCcosC2ccosC2x4〃x(-^)'

4.在AABC中，內角A,8,C的對邊分別為a,b,c,已知sin=+?=；,則△ABC的形狀為()

22C2

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

答案A

解析.?.*+*=;

.1-C3S/I1b._b

，??一

22~^cosA1,

...b2+c2-a2b

.cosA=-----------=-

2bcC

，/+/一屏=2〃，/.b2+a2=c2,

???△ABC為直角三角形,且。=90。.

5.（2024?榆林模擬）在△ABC中，角A,8,C的對邊分別是a,b,c,且三邊滿足加=5+。2—4或，B=

7,則AABC的面積為（）

4

A.2-V2B.4-2V2

C.2+V2D.4+2企

答案A

解析因為/?2=(a+c)2-4企=々2+”+2%*—4或,所以標+/一力2=4a—2ac,

因為B=；,由余弦定理得，

4

222

八\^2a+c-b2\[2-ac

COSB=—=-----------=---------

22acac

所以<7C=4>/2—4,

故△ABC的面積

S="sin?=i（4V2-4）X^=2-V2.

6.（2025?上海模擬）在△ABC中，角4,A,C所對的邊分別為a",c,若a=V5,且c—2〃+275cosC=0,

則該三角形外接圓的半徑為（）

A.lB.V3C.2D.2V3

答案A

解析?.?〃=V5,；?c'—2b+24cosc=0,

sinC—2sin8+2sinAcosC=0,

.*.sinC—2sin（A+C）+2sinAcosC=0,

sinC_2sinAcosC_2sinCeosA+2sinAcosC=0,

AsinC-2sinCeosA=0,

VsinOO,.*.cosA=1,

???A￡（0,兀），三，

設該三角形外接圓的半徑為r,由正弦定理得

=更=2=2r

sinA叵*

2

：.r=\.

二、多項選擇題（每小題6分，共12分）

7.在△A8C中，角A,8,C所對的邊分別為a,b,c,則下列條件能確定2個三角形的是（）

A.A=",b=1,c=2

4

B.B=y,b=1,c=2

C.A=g、b=3,ci=y/3

D.8=2,b=V5,a=2

4

答案CD

解析對于A,因為兩邊及其夾角唯一確定一個三角形，所以A選項的條件能確定I個三角形；

對于B,由正弦定理可知，sinC=誓=享=75>1,無解，

b1

故R詵項的條件不能確定三角形；

對于C,由正弦定理可知，立］8=等二誓=曰＜1,又〃＞〃，即7T）,

所以B=9或8=4，故C選項的條件能確定2個三角形；

。O

對于D,由正弦定理可知，sin4=給產=三喜=嚕=21,

bV3V33

又即n）,又易知$"=春＞聽=當，則3也4=當有兩個解，

故D選項的條件能確定2個三角形.

8.已為△A8C的內角A,8,C所對的邊分別為a,b,c,下列四個命題中正確的是（）

A.若訛osA=〃cosB，則△ABC是等腰三角形

B.若bcosC+ccosB=b,則△A8C是等腰三角形

C若白=忌=表，則。改是等邊三角形

D.若8=60。,b2=ac,則△ABC是直角三角形

答案BC

解析對于A,若t/cosA=bcosB,則由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,

???sin2A=sin2B,則2A=28或24+23=180。,即A=8或4+8=90。，則△ABC為等腰三角形或直角三

角形，故A錯誤；

對于B,若bcosC+ccosB=b,則由正弦定理得sinBcosC+sinCeos8=sin（8+C）=sinA=sinB,即A=

B,則△ABC是等腰三角形，故B正確；

對于C,若，則由正弦定理得"4=^^=學，則tanA=tanB=tanC,即A=B=C,

cosAcosBcosCcoszlcosBcosC

即△ABC是等邊三角形，故C正確；

對于D,由于8=60。，b2=ac,由余弦定理可得b2=ac=a2+c--ac,可得3—。）2=0,解得,故4

AOC是等邊三角形，故D錯誤.

三、填空題（每小題5分，共10分］

9.（2024?開封模擬）記△A8C的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosC=［,a=3b,則cosA

答案T

6

解析在△48C中，cosC=1,a=3b,

由余弦定理可得

222222

「a+b-c9b+b-c2

cosC=F^=2.=5，

解得c=VS〃,

再由余弦定理可得

.b2+c2-a2爐+6匕2_9b2V6

cos=2b?b=一7

10.（2024?成都模擬）在△ABC中，AC=1,ZACB=-,延長84到點。，使得AO=/,ZADC=-,貝UAB

46

的長為.

答案當

解析???在△ABC中，AC=i,ZACB=-,延長BA到點。，使得4。=/，ZADC=-,

46

J由正弦定理得缶=磊

ADsin￡ADC_V2

可得sin/ACQ=

2

可得/ACO=B,AZBAC=ZACD+ZADC=-+7=,ZABC=n-^--=

446121243

???在AA8c中，由正弦定理得

AB_AC

sinz.ACBsinz.ABC'

即名=工，解得/W=4.

sin-sin-3

43

四、解答題（共27分）

11.（13分）（2024?新課標全國H）記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA+V5cosA=2.

（1）求A；（5分）

（2）若a=2,V2/?sinC-csinW,求△AHC的周長.（8分）

解（1）方法一常規方法（輔助角公式）

由sinA+V3cosA=2,

可得/inA+*osA=l,

即sin（A+；）=l,

由于A￡（0,加A+衿信第：

故A+產，

解得A=￡

6

方法二常規方法（同角三角函數的基本關系）

由siiM+x/3cosA=2,

又siMA+cos2A=1,

消去sin力得到

4cos2A—4V3cosA+3=（）=（2cosA--\/3）2=0,

解得cosA=1,

又AE（0,花），故A=[

6

（2）由題設條件和正弦定理得，

V2Z?sinC=csin28=V5sinBsinC=2sinCsinBcosB,

又8,C￡（0,兀），則sinBsinCWO,

進而COS,得到B=^,

于是C=n-A-B=^,

sinC=sin（7r—A—8）=sin（A+8）

=sinAcos3+cosAsinB

_\/2+V6

4-，

由正弦定理可得，

a_b_c

sin/sinBsinC'

即急飛=施’

解得b=2y/2,c=V6+V2,

故△ABC的周長為2+遍+3企.

12.（14分）（2025?南昌模擬）如圖，兩塊直角三角形模具，斜邊靠在一起，其中公共斜邊AC=10,ZBAC=

g,/OAC=5,3Q交AC于點E

A

⑴求BD2；(7分)

(2)求AE.(7分)

解(1)囚為兩塊直角三角形斜邊靠在一起，其中公共斜邊AC=10,,ZDAC=v,8。交AC于

34

點E,

可得AB=AC?cosN8AC=l()X；=5,

AD=ACcosZDAC=10X^=572,

2

因為N8AO=/8AC+NDAC=E+E,

34

所以cosZBAD=cos-cos--sin-sin-

3434

_lV2V3V2_V2-V6

-----Av———Av--------------------.

22224

所以在△45。中，

BD2=AB2+AD2-2ABADCOSZBAD

=25+50-2X5X572

4

=50+25/3.

(2)因為sinZBAD=sin(-+-)=,

\34/4

又因為S/MBD=SMBE+Sa.ADE,

所以!48ADsinNBA￡>=4ABAEsinN8AE+3AEAOsinNEA。，

222

即工X5X5&X^^=Z><5XAEX包+3XAE><5aX立，

242222

解得AE=58一5.

10能力拓展

13題6分，14?16題每小題5分，共21分

13.(多選)在△48C中，角4,8,C的對邊分別是〃，6,c,若iz=VTO,標+於一/="sinC,acos8+

Z?sinA=