三角恒等變換-高考數(shù)學(xué)重難點題型講義（新高考地區(qū)專用）解析版

專題4.5三角恒等變換.重難點題型精講

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1.兩角差的余弦公式

對于任意角a，P有cos(“一片)=cosacos*+sinasin/?.

此公式給出了任意角〃力的止弦、余弦與其差角a-外的余弦之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡記作

C(a-fty?

公式巧記為：兩角差的余弦值等于兩角的同名三角函數(shù)值乘積的和.

2.兩角和的余弦公式

(1)公式的結(jié)構(gòu)特征

同角6的余弦、正弦

cos(a+6)=C<Macon6-sinasinB

同角a的余弦、正弦

(2)兩角和與差的余弦公式的記憶技巧

兩角和與差的余弦公式可以記憶為“余余正正，符號相反

①“余余正正”表示展開后的兩項分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；

②“符號相反”表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相反，即兩角和時用

兩角差時用

3.兩角和與差的正弦公式

(1)兩角和與差的正弦公式的結(jié)構(gòu)特征

同角6的余弦、正弦

sin(a±P)=sTinacos。±cTosasin。

同角a的正弦、余弦

(2)兩角和與差的正弦公式的記憶技巧

兩角和與差的正弦公式可以記憶為“正余余正，符號相同

①“正余余正”表示展開后的兩項分別為兩角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；

②“符號相同”表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相同，即兩用和時用

兩角差時用

4.兩角和與差的正切公式

兩角和與差的正切公式的結(jié)構(gòu)特征

同號同號

III

tan(a+/3)=加11。,Btan(a-/?)=tana-tanB

tan

I---I-1ManpI1+tanatanp

異號異號

符號變化規(guī)律可簡記為“分子同，分母反”.

5.三角恒等變換思想一一角的代換、常值代換、輔助角公式

(1)角的代換

代換法是一種常用的思想方法，也是數(shù)學(xué)中一種重要的解題方法，在解決三角問題時，角的代換作用

尤為突出.

常用的角的代換形式：

①a二(a+6)-成；

②-("a)：

③a=g［(a+/?)+(a-^)］；

④〃二;(6-a)];

@a~y=(a~P)+(”y).

(2)常值代換

用某些三角函數(shù)值代換某些常數(shù)，使之代換后能運用相關(guān)的公式，我們把這種代換稱為常值代換，其

中要特別注意的是“I”的代換.

(3)輔助角公式

通過應(yīng)用公式asina+Z>cos?=y/a2b2sin(?+°)［或asina+Z)cos?=一°)將形如

￡?sina+bcosa3,都不為零)的三角函數(shù)式收縮為一個三角函數(shù)后sin(a+伊)［或

百cos(a—*)］.這種恒等變形實質(zhì)上是將同角的止弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和收縮為一個

三角函數(shù)，這種恒等變換稱為收縮變換，上述公式也稱為輔助角公式.

6.二倍角公式

二倍角的正弦、余弦、正切公式

函數(shù)公式6=a簡記符號

正弦sin2a=2sinorcosas%

余弦cos2a=cos2a-sin:a-2a?2a-1=1-2sin2ac(?“)C2a

.2tana

正切tan2a=)%

1-tana

短儲千一五三

【題型1兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用】

【方法點撥】

⑴使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.

⑵使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值.

【例I】（2022春?巴宜區(qū)校級期末）已知sina=春，aeg,it）,cos￡=-/,0是第三象限角，則cos（a

-p)=()

【解題思路】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosa,sin（3的值，進(jìn)而利用兩角差的余弦公式即

可計算得解cos（a-p）的值.

【解答過程】解：因為simz=g,awg,n）,cos￡=—備，￡是第三象限角，

所以cosa=—V1—sin2a=—sinp=-—cos2s=一腎

則cos（a-p）—cosacosp+sinasinp=（—F）X（一島）+FX（—vi）=—ZF-

JXOJJLUJ

故選：A.

【變式1-1]（2022春?富平縣期末）化簡￡即6+力）一￡加4-4）二（）

A.2tan4B.-2tan4C.2tan2AD.-2tan2A

【解題思路】由條件利用兩角差的正切公式、誘導(dǎo)公式證得結(jié)論.

【解答過程】解：tern?+A）-ta靖-A）

nTCTCn

=tan[(—+4)-(——A)]?[l+tan(-+A)tan(——A)]

4444

Tln

=tan2A*[l+tan(—+A)col(—+A)]

44

=tan2AX2

=2tan2A.

故選：C.

sin(a--)

【變式i-2]（2022?香坊區(qū)校級模擬）已知tana=-3￡ang則------3一的值為()

X4cos(a--Ti)

-4B.-2C.2D.4

【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式cos(a-瑞)=sin(a+金)，再利用兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡即可.

7cos(a-瑞)=sin(a+僉),7T

【解答過程】解:tana=-3tan討

?/TT、.TC.TtTCTt

sin(a_^)sin(a一一-)stnacos—-cosasin—tana-tan--4tan—

則=TC=TC*=乙

cos(a-*r)sin(a+—)sinacos—+cosasin—tana+tan--2tan—

'12712121212

故選：C.

【變式1-3](2022春?漢中期末)已知si皿+sin(8+今=1,則￡加(夕+看)=()

V6V3l

A.—B.—C.±V5D.±4丁1

332

【解題思路】由已知利用兩角和的正弦公式可求sin(0+^),進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求

O

解.

【解答過程】解:因為sin。+sin(8+芻=$in9+；sin9+竽cos8=血11。+竽cosB=gsin<94-=1,

所以sin(0+5)=g，

oJ

所以COS(0+g)=土J1_sE2(?+.)=土與,

nlnsin(8+分，、反

則.(°+G)=^4T±T

故選：D.

【題型2兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用】

【方法點撥】

⑴運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟悉公式的正用，還要熟悉公式的逆用及變形應(yīng)用.公式的逆

用和變形應(yīng)用更能拓展思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.

(2)對asinx+bcosx化簡時，輔助角3的值如何求要清楚.

【例2】(2022春?富縣校級期末)cos125°cos5°+cos35°sin5°=()

A."B.C.-D.一孚

2222

【解題思路】由誘導(dǎo)公式可得cosl250=-sin35°,再利用兩角差的正弦公式，得解.

【解答過程】解：cos125°cos5°+cos35°sin5°=cos(90°+35°)cos50+cos35°sin5°

=-sin35°cos5°+cos35°sin50=-sin(35°-5°)=-sin30;=~i.

故選：B.

【變式2-1](2022春?成都期末)tan45°-tan15°-^ytan45otan15°=()

L1-底W

A.V3B.V3-2C.一亭D.一

33

【解題思路】利用兩角和與差fl勺正切公式化簡可得答案.

【解答過程】解：tan450-tan15w—^-tan45°tan150

=lan(45°-15°)(l+laii450(an15°)-^laii45lanl50

73

=可

故選：D.

【變式2-2](2022春?安徽期末)化簡(s)5。+cos50)(l+V3tanl0°)=()

V2L

A.—B.2V2C.2D.V2

2

【解題思路】由題意，根據(jù)二角恒等變換與誘導(dǎo)公式求解即可.

【解答過程】解：(sm5°+cos5°)(l+V3tanl0°)=/(孝s加5。+￥cos5。)竺i嗡需叱

2sin40°2\/2sin400cos400

=&?sin5(T?...............—...........................■，一一■一

coslO°si九800

故選：D.

【變式2-3](2022春?濰坊月考)己知gva<7?v],且si%2asi嶗—cos2asi九;冗='，sin2/?cos￡+

cos2Psin^=字，則cos(20-2a)的值為()

A.—B.—C.一等D.一堂

9393

【解題思路】根據(jù)兩角和差的正弦公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式，可得sin⑵+今)=1,sin(20+Q=冬再

由a,B的取值范圍，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求得cos(2a+?cos(20+第的值，然后配湊角,

由兩角差的余弦公式，得解.

【解答過程】解：由題意知,sin(2a+?)=A,sin(2p+5)=織

因為三中可苦,所以]<2a+*<20+X苧，

所以cos(2a+f=-Jl—sin2(2a+^)=2&

M'

cos(20+左)=-Jl-sin2(2^+=-苧,

所以cos（20-2a）=cos[（20+百）-（2。+與）]

=cos（20+今）cos（2a—+sin（20+第sin（2a—

「、反73

=T3X3-一"針

故選：A.

【題型3二倍角公式及其應(yīng)用】

【方法點撥】

對于與二倍角公式有關(guān)的化簡、求值問題，需觀察題中角之同的關(guān)系，并能根據(jù)式子的特點構(gòu)造出二倍角

的形式，正用、逆用、變形用二倍角公式化簡、求值，注意利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等知

識對已知式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

【例3】(2022?貴陽開學(xué))已知sin(a+g)=*J3sin(2"^)=()

5533

A.-B.C.D.-

8888

【解題思路】由誘導(dǎo)公式，結(jié)合二倍角的余弦公式.

【解答過程】解：已知sin(a+.)=*，

則sin(2a-點)=sin2[(a+g)—^]=-cos2(a+—)=2sin2(a+g)-1=—

故選:B.

【變式3-1](2022?成都開學(xué))若sin(-5-0)=7,則sin("一。)的值為()

/47

33)\[7

A.-3B.-C.D.一

4444

[解題思路]由已知利用誘導(dǎo)公式即可計算求解.

【解答過程】解：因為sin(-y-0)=-sing+e)=1,

7TQ

所以$in(-4-0)=—7，

74

6TT717T、3

則sin(———0)=sin[n-(―+0)]=sin(―+8)=-??.

7774

故選：A.

【變式3-2](2022春?湖南期末)若立九(卷一。)=2，則cos(5-2a)=()

【解題思路】利用二倍角公式轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答過程】解：由sin(著一a)=得cos6-2a)=cos\2(^~a)]=1-2sin2(^~a)=1-2x(#=

1

2，

故選：A.

【變式3-3](2021秋?云南期末)已知sina=2sin(?+a),則cos2a=()

3434

A.TB.-gC.-D.-

5555

【解題思路】利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡已知等式可得【ana的值，進(jìn)而利用二倍角的

余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.

【解答過程】解：因為sina=2si7i(*+a)=2cosa,

所以tana=2,

3

cos2a-si刀2Q_1-tan2a_l-Z?

則cos2a=5-

cos2a+sin2al+tan2a1+22

故選：A.

【題型4三角函數(shù)式的化簡】

【方法點撥】

⑴三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征.

⑵三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式子和三角函數(shù)

公式之間的共同點.

4sizi24°cos24°

【例4】(2022春?南陽期末)化藺g=+〃皿2。=()

A.1B.V2C.V3D.2

【解題思路】直接根據(jù)二倍角公式以及兩角差的正弦公式求解即可.

【解答過程】解：,尸嚷：尸。十一一

邛+.2。

cos12°

_2sE(60。-12。)

+tanl20

cosl20

2x(^xcosl2°-1xsinl2°)

4-tanl2°

cos12。

=V3-tan12°+(an!2°

故選：c.

【變式4-1](2021秋?沙坪壩區(qū)校級月考)化簡…2r、-=()

4sm2(-+a)tan(--a)

1

A.cosaB.sinaC.1D.-

2

【解題思路】先考慮分母化簡，利用降次公式，正切的兩角和與差公式打開，整理，可得答案.

【解答過程】解：先考慮分母：4血2今+0)￡加4—a)=41一'"§+2。),

=2(1+stn2a)?—osa+si.a=2(cosa~stna)=2cos2a,

W7"1--------c-o-s-2-a------------c-o-s-2-a-..-1

4sin2(^+a)tan(-a)2cos2a2

故選：Q.

【變式4-2］（2022春?南陽月考）下列化簡結(jié)果正確的個數(shù)為（）

(DCOS220sin520-sin220cos520=1；

.一tan24°+tan36°r-

②.....—―.......=V3；

-l-tan24°tan360

③cosl50—sin15"=芋；

?sinl50sin300sin7S0=

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解題思路】①由兩角差的正弦公式，可判斷:

②由兩角和的正切公式，可判斷；

③利用輔助角公式，可判斷；

④結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式，得解.

1

【解答過程】解：①cos22。sin52。-sin22°cos52°=sin(52°-22°)=sin30°=1,即①正確;

...tan240+tan36°

②----------------=tan(24°+36°=tan60°=V3?即②正確;

l-tan24°tan36°

③cosl50-sin150=V2(cos450cos150-sin45csin150)=V2cos(45°+15°)=V2cos60c=孝，

即③正確;

?sin15°sin30°sin75°=sinl5=sin30:cos150=isin30Qsin30:=5X5X5=^,即④錯誤,

LLLLXS

所以正確的個數(shù)為3個.

故選:c.

【變式4?3】（2022春?集寧區(qū)校級月考）下列化簡正確的是（）

A.cos82°sin52°-sin82°cos520=i

B.sin!5°sin30°cos750

tan480+tan72°

C.----------=Vr3

l-tan48℃an72°

D.cos2150-sin215°=噂

【解題思路】利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡求解即可.

【解答過程】解：對于A,cos?2°sin52°-sin82°cos52°=sin(52°-82°)=sin(-30°)=—

故錯誤：

對于B,sin15°sin30°cos75°=isinl5°cos75°=gin15°cos(90°-15°)=^sin15°cos15°

1iii

jsin30°=zx5*故錯誤;

對于C,原式=tan(48°+72")=tan120°=-V3,故錯誤;

對于。，原式=cos30。=孚，故正確.

故選：D.

【題型5三角函數(shù)求值問題】

【方法點撥】

⑴給值求值問題一般是將待求式子化簡整理，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求出

相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入即可.

⑵給角求值問題一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角之

間總有一定的關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除特殊角三角函數(shù)而

得解.

⑶給值求角問題一般先求角的某一三角函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.

【例5】（2022春?江西期末）若反九（郎-a）=],則竺竺也學(xué)的值是.

【解題思路】利用兩角差的正切公式求出tana,再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式求值即可.

【解答過程】解：:￡cm（￥-a）=卷,

rr31-tana3i

tan(^-a)=即;~~：----==，解得tana=7,

4b1+tana54

,,sin2a+cos2atan2a+l17

sin2a-cos2atan2a-l15'

故答案為:-圣

X

[cx/2sin(a-7)

【變式5-1](2021秋?廣東月考)已知a為第二象限角，且cosa=-浮，則一;—十二一強(qiáng)

$cosda-stn^a

【解題思路】利用兩角和差的上弦公式進(jìn)行化簡，利用同角關(guān)系進(jìn)行求解即可.

yV2

V2sin(a--)yf2x^-(sina-cosa')1

【解答過程】解:==------------------

cos2a-sin2a----(cosa+sina)(cosa-sina)>--------sina+cosa

???a為第二象限角，且cosa="

???sina=J1一(-昌2=等，

則原式一七一專一倔

~s~~s~s

故答案為：-瓜

【變式5-2](2022春?憑祥市校級月考)求下列各式的值：

2sin47°-V3sinl7°1

(1)--------=—.

2cos170-2—

(2)tan250+tan35°+\f3tan250tan350=_A/3_.

1/o

【解題思路】(I)利用兩角和口勺正弦公式得出加47。=今C0S17—寧sinl71化簡即可求解；

(2)利用兩角和的正切公式得出tan250+tan350=tan(25°+35°)(1-tan25°tan35°),代入求解即

可得出答案

【解答過程】解：(1)Vsin47°=sin(30°+17°)=4cosl7°+^sinl70,

A2sin47°-V3sinl7°=cos17°,

.2sin470-VIsinl70_cosH氐inV70-百sin\70_cosl7°_1

2cos17°-2COS17°~2cos170-2；

c3-?RO、tan2S°+tan250百

(2).tan60—tan(25+35)=1=-；7甘苫-；-■OFZ=V3?

l-tan250-ta7i35°

tan250+tan35c=V3(1-tan25ctan350)=x/3—x/3tan25°tan35c,

tan250+tan35c4-73tan25°tan350=V3.

1

故答案為：-；V3.

【變式5-3］(2021秋?涪陵區(qū)校級期中)若sin2a=容sin(p-a)=且］，pG［ir,學(xué)］,則

771

【解題思路】根據(jù)知的變換可得，a+B=B-a+2a,從而可得cos(a+p)=cos(p-a)cos2a-sin(P-

a)sin2a,然后根據(jù)已知條件分別得到cos(0-a),cos2a的值，進(jìn)而求解得到結(jié)果.具體過程詳見解

析.

7T7T37r

【解答過程】解：根據(jù)題意，。日￡，］1，-］,

*乙乙

?,*2a€g,TT]>/?—a€g,手],a+0€[^-,2TT],

又因為sin2a=電，sin(0-(x)=

口X\J

所以2a和0-a一定不為終邊在坐標(biāo)軸上的角，即得2a為第二象限角，0-a為第二象限侑,

所以根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系可得，cos(p-a)=_/1_司角5_°)=_誓,

又因為sin2a=卓所以cos2a=V1-sin22a=2底

5",

又因為a+B=(p-a)+2a,

所以cos(a+p)=cos(p-a)cos2a-sin(p-a)sin2a=(-3；；。)x(—―^)—x=苧,

由上可得a+夕6(岑，2"),即a+0為第四象限角,

?

??a+0=才77r.

故答案為a+0=*.

【題型6三角恒等變換的應(yīng)用】

【方法點撥】

三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為

/(.r)=/sin(sx+8)的形式再研究其性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想

解決相關(guān)問題.

［例6］(2021春?金山區(qū)校級期中)已知函數(shù)/(%)=4sin3xcosx—2sinxcosx-icos4x.

(1)求函數(shù)/(x)的最小正底期及單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求/(x)在區(qū)間［0,舟上的最大值和最小值及相應(yīng)的x值;

【解題思路】(1)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得函數(shù)解析式/(幻=-華Sin(4x+^),利用周

期公式可求函數(shù)f(x)的最小正周期，由2Kr+$W4x+今工25+竽，依Z,可得函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增

區(qū)間.

(2)由問0,勺，可得4什今￡琮，為，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得f(x)在區(qū)間［0,勺上的最大值和

最小值及相應(yīng)的x值.

【解答過程】解：(I)V/(x)=4sin\cos.r-2sinvcosx—|cos4x

=sin2Kx(1-cosZr)-sin2r-^cos^

=-1sin4x-icos4x

二-孝sin(4x+?

???函數(shù)/(x)的最小正周期7=竿=%.

'?,由22TT+冬W4x+JW2E+擎，kEZ,可得：—+—<x<—+―,AWZ,

242216216

???函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：I竺+三，竺+"1，依Z；

216216

71

(2)VxGlO,R,

：.4x+^e竽］,

Asin(M+第曰-苧11，

f(x)=一空sin(4x+，)E［-空，一］,

/4乙2

7T1

可得當(dāng)％=今時，/(x)在區(qū)間［0,R上的最大值為5，

當(dāng)戶余時，取得最小值為一冬

【變式6-1］(2021春?興慶區(qū)校級期末)已知函數(shù)f(x)=bsinxcosx+-cos2%)(xGR).

(1)求/(x)的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求滿足的x的集合.

【解題思路】(1)利用倍角公式降塞，再由輔助角公式化積，由周期公式求周期，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)

性求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)直接求解三角不等式得答案.

【解答過程】解：(1)f(x)=\/3sinxcosx+^(sin2x-cos2x')

=^-sin2x-|cos2x=sin(2x-5).

???T=^-=n.

由一￡+2kll工2x-強(qiáng)式2+2k7t,解得一名+/<7r/x二與+kn?k￡Z.

，/(x)的單調(diào)增區(qū)間為[一看+而，g+k/r],依Z；

(2)由si?i(2%一看)>—3，得一看+2/CTT<T2x—1+2版,

27T

ZnrVxV~^~+ZTT,k6Z.

工滿足/'(%)>-/的X的集合為{入伙TTVxV號+Er，kez].

【變式6-2](2021?南通模擬)已知sinB+cos2=%L06(-3，

(1)求8的值：

(2)設(shè)函數(shù)/(x)=sin2x-sin2(x+0)xeR,求函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間.

【解題思路】(1)由sin0+cos0=汽1,可得(sin0+cos0)2=sin20+cos20+2sin9cos0=2六,可得sin20=

一堂，結(jié)合范圍攵(-*%即可解得8=

(2)Ftl(1)可得。=則/(%)=sin2x-sin2(x-1),利用倍角公式，兩角差的余弦函數(shù)公式以及

輔助角公式化簡可得/(x)=^sin(2x—1)，令2Kr—1W2x—5W2Kr+}k