直線與平面的位置關(guān)系 第1課時(shí) 直線與平面平行-2026蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊章節(jié)練（含解析）

2026蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊

13.2.3直線與平面的位置關(guān)系

第1課時(shí)直線與平面平行

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一直線與平面平行的判定

1.（2025浙江杭州期中）下列說法中，與“直線a〃平面a”等價(jià)的是（）

A.直線a與平面a內(nèi)的任意一條直線都不相交

B.直線a與平面a內(nèi)的兩條直線平行

C.直線a與平面a內(nèi)無數(shù)條直線不相交

D.直線a上有兩個(gè)點(diǎn)不在平面a內(nèi)

2.（2024江蘇南京河西外國語學(xué)校期中）在四面體ABCD中,E,F分別為AB,AD上的點(diǎn)，且

AE：EB=AF：FD=1：3,H,G分別為BC,CD的中點(diǎn)，則（）

A.BD〃平面EFGH且四邊形EFGH為矩形

B.EF〃平面BCDn.四邊形EFGH為梯形

C.HG〃平面ABD且四邊形EFGH為菱形

D.HE〃平面ADC且四邊形EFGH為平行四邊形

3.（2024湖南模擬）下圖是一個(gè)四棱錐的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，四個(gè)三角

形為正三角形,E,F,M分別是P3A,P2D,BC的中點(diǎn)，在此四棱錐中，下列結(jié)論正確的是（）

A.BE與CF是異面直線，且BE〃平面PFM

B.BE與CF是相交直線，且BE〃平面PFM

C.BE與CF是異面直線，旦BE〃平面PFC

D.BE與CF是相交直線，且BE〃平面PFC

4.（2025天津南開期中）下慳是正方體的平面展開圖.關(guān)于這個(gè)正方體,有以下判斷:

①CN〃DE;②BM〃平面ADE;卷BD〃平面CFN;④DM,BF是異面直線.其中判斷正確的

序號是.

5.（2025江蘇南通海安曲塘中學(xué)期中）在如圖所示的五面體中,四邊形ABCD與四邊形

FECD均為等腰梯形,EF〃CD,AB〃CD,EF=AB=；CD,BC=BE,M,N分別為EF,CD的中

點(diǎn),AC與BN相交于點(diǎn)P.求證:MP〃平面EBC.

6.（2024江蘇蘇州期末）如良，在三棱柱ABC-AiB,Ci中,E,F分別為AiCi,BC的中點(diǎn),M,N分

別為A】B,A】C的中點(diǎn).求證:

（1）MN〃平面ABC;

（2）EF〃平面AAiBiB.

B

題組二直線與平面平行的性質(zhì)

7.（2025北京期末）已知l,m是兩條不同的直線,a,。是兩個(gè)不同的平面，且lUa,an（3=m，則

“1〃。］”是“1〃?！钡模ǎ?/p>

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

8.（2025江蘇無錫期中）對于直線a,b,c和平面af,下列命題中正確的是（）

A.如果a〃a,那么a與a內(nèi)的任何直線平行

B.如果a〃a,b〃a,那么a//b

C.如果@〃1?聲〃見那么b〃a

D.如果aCl0=a,bUa,cCp,b〃c,那么a〃b〃c

9.（2025江蘇無錫錫東高級中學(xué)期中）如圖，在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)D,E分別為棱PB,BC的

中點(diǎn).若點(diǎn)F在線段AC上，且滿足AD〃平面PEF,則喋的值為（）

12

A.1B,2C,-D.-

10.（2025江蘇鹽城濱海中學(xué)階段檢測）如圖所示,四邊形ARCD是梯形,AR〃CD,且AR〃平

面a,AD,BC與平面a分別交于點(diǎn)M,N,且點(diǎn)M是AD的中點(diǎn),AB=4,CD=6,則MN=.

11.（2025江蘇宿遷中學(xué)階段檢測）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊

形，點(diǎn)E為棱PD的中點(diǎn).設(shè)平面ABE與直線PC相交于點(diǎn)F,求證:EF〃平面ABCD.

12.（2024江蘇無錫第一中學(xué)期中）如圖，在三棱錐A-BCD中,E為AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P,Q分別為

BC,BE的中點(diǎn)，平面DPQ與平面ACD的交線為I.

⑴證明:直線PQ〃平面ACD;

⑵判斷PQ與1的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

能力提升練

題組一直線與平面平行的判定

1.（多選題）（2025江蘇泰州姜堰中學(xué)階段檢測）如圖，在正方體ABCD-A1B1CiDl中,E,F,G分

別是棱BBhBiCi,CiDi的中點(diǎn)，則（）

A.FG〃平面AEDi

B.BCi〃平面AEDi

C.點(diǎn)Ci在平面AEDt內(nèi)

D.點(diǎn)F在平面AEDi內(nèi)

2.（多選題）（2024湖北武漢華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)期中）在下列底面為平行四邊形的

四棱錐中,M,S,T,P,Q是四棱錐的頂點(diǎn)或?qū)?yīng)棱的中點(diǎn)，則PQ〃平面MST的有（）

3.如圖所示，在正方體ABCD-AiBiCiDj中,E是BC的中點(diǎn),P是直線BDi（不含B,D）兩點(diǎn)）

上的動(dòng)點(diǎn)，在其運(yùn)動(dòng)的過程中，平面DEP可能經(jīng)過的該正方體的頂點(diǎn)是.（寫

出滿足條件的所有頂點(diǎn)）

4.（2024江蘇鹽城三校期中聯(lián)考）如圖，已知四棱臺(tái)ABCD-A^iCiD,的上、下底面分別是邊

長為2和4的正方形，點(diǎn)P是棱DDi的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱BC上.當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，使得

PQ〃平面ABBiAi?

5.（2024重慶第七中學(xué)校期中）如圖所示，在正四棱錐S-ABCD中,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)，且

SP=3PD,Q為側(cè)棱SD的中點(diǎn).

(1)證明:BQ〃平面PAC;

⑵側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE〃平面PAC?若存在，求出葛的值;若不存在,試說明

EC

理由.

題組二直線與平面平行的性質(zhì)

6.（2024廣東四校聯(lián)考）如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為S,AB為底面圓的直徑,M,C為底面圓周上

的點(diǎn),并將弧AB三等分，過AC作平面％使SB〃平面％設(shè)a與SM交于點(diǎn)N,則*J值為

)

A

54

7.（多選題）（2025江蘇無錫第三高級中學(xué)期中）如圖所示，在棱長為夜的正方體

ABCD-AiBiC（Di中,P,Q分別為線段BDi,BBi上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列說法正確的是

A.存在點(diǎn)P,Q,使得CiP〃AQ

B.直線AiP和直線CQ異面

C.存在點(diǎn)P,Q,使得PQ〃平面DCCiDi

D.ACiPQ周長的最小值為\/8+4a

8.（2025江蘇泰興中學(xué)階段檢測）如圖,正方體ABCD-A]BiGDi的棱長為3,點(diǎn)N在BD上,

點(diǎn)M在BC上，且CM=0,MN〃平面AAiBiB,則BN的長為.

9.（2024福建度門外國語學(xué)校月考,）下圖是一塊正四棱錐形木料，正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱

長和底面邊長均為13,M為側(cè)棱PA上的點(diǎn).

⑴若PM：MA=1：1,要經(jīng)過點(diǎn)M和棱BC將木料鋸開，在木料表面上應(yīng)該怎樣畫線?（請寫

出必要的作圖說明）

（2）若PM：MA=5:8,在線段BD上是否存在一點(diǎn)N,使直線MN〃平面PBC?如果存在，求

出BN：ND的值以及線段MN的長;如果不存在,請說明理由.

答案與分層梯度式解析

13.2.3直線與平面的位置關(guān)系

第1課時(shí)直線與平面平行

基礎(chǔ)過關(guān)練

l.Aa〃a=a與平面a無交點(diǎn)與平面a內(nèi)的任意一條直線都不相交，故A正確;

若a與平面a內(nèi)的兩條直線平行，則aUa或a〃&故B錯(cuò)誤；

若a與平面a內(nèi)無數(shù)條直線不相交，則acza或a〃a或a與平面a相交，故C錯(cuò)誤；

若a上有兩個(gè)點(diǎn)不在平面a內(nèi)，則a〃a或a與平面a相交，故D錯(cuò)誤.

2.B在平面ABD內(nèi),,.?AE：EB=AF:FD=1：3,，EF〃BD.

又BDU平面BCD,EFC平面BCD,；?EF〃平面BCD.

在平面BCD內(nèi),???H,G分別是BC,CD的中點(diǎn),?,.HG〃BD,

???HG〃EF.

pEFAE1HGCH\

BDAB4'80BC2,

AEF/HG.

在四邊形EFGH中,EF〃HG且EF#HG,

???西邊形EFGH為梯形.

3.B根據(jù)題意，畫出四棱錐P-ABCD,如圖所示，連接EF.

因?yàn)镋,F分別是PA,PD的中點(diǎn)，

所以EF〃AD且EF^AD,

又AD〃BC且AD=BC,所以EF〃BC且EF=|BC,

所以四邊形BCFE為梯形，所以BE與CF為相交直線.

因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以EF//BM且EF=BM,

所以四邊形BMFE為平行四邊形，所以BE〃MF,

又BEQ平面PFM,MFU平面PFM,所以BE〃平面PFM.

4.答案②③④

解析將平面展開圖還原成正方體，如圖，

易知CN與DE是異面直線，①錯(cuò)誤.

連接AN,易知BM〃AN,又ANU平面ADE,BMC平面ADE,所以BM〃平面ADE,②正確.

易知BD〃FN,又NFU平面CNFJBDQ平面CNF,所以BD〃平面CFN,故③正確.

DM與BF既不相交也不平行，所以DM,BF是異面直線，④正確.

5.證明連接AN,取BC的中點(diǎn)S,連接ES,PS,

由已知得AB〃NC且AB=NC,所以四邊形ABCN為平行四邊形，則P為AC的中點(diǎn)，則

SP〃AB,且SP=|AB.

因?yàn)镸為EF的中點(diǎn),EF〃AB且EF=AB,所以EM〃AB,且EM=^AB,則SPEM,故四邊形

PSEM為平行四邊形，所以MP〃ES,

又MPQ平面EBC,ESU平面EBC,所以MP〃平面EBC.

解題模板利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找出一條直

線與已知直線平行，常利用平行四邊形的性質(zhì)，三角形、梯形的中位線定理，基本事實(shí)4等

找平行線.

6.證明(1)因?yàn)镸,N分別為AiBAC的中點(diǎn)，

所以MN〃BC,

又MN。平面ABC,BCU平面ABC,所以MN〃平面ABC.

(2)取AB的中點(diǎn)G,連接FG,AiG,如圖，則FG〃AC,FG=AC,

又A正〃AC,AiE=|AC,所以AIE〃FG,AIE=FG,

所以四邊形AiGFE為平行四邊形，所以EF〃AiG,

又EFQ平面AAIBIB,AIGU平面AA1B1B,

所以EF〃平面AAiBiB.

7.C若l〃m」Ua,arip=m,則1Q仇且mU0,由線面平行的判定定理可知1〃0,充分性成立;

若1〃0,1（=見01邯=14則由線面平行的性質(zhì)定理知1〃01,必要性成立,故力〃111”是“1〃留的充

要條件.

8.D在正方體ABCD-AiBiCiD1中分析A,B,C選項(xiàng).

對于A,如圖1,直線BC〃平面ABCD,ABU平面ABCD,但直線BQ與AB異面，故A錯(cuò)

誤；

對于B,在圖1中,B]C”平面ABCD,AIBI〃平面ABCD,但BiCi與A.B）相交，故B錯(cuò)誤；

對于C,在圖1中,BiCi〃平面ABCD,BC〃BC,但BCX平面ABCD,故C錯(cuò)誤；

對于D,如圖2,因?yàn)閎〃c,cU0,bCd所以b〃p,

乂bUa,an0=a，所以a〃b,又b〃c,所以a〃b〃c,D正確.

9.C連接CD,交PE于點(diǎn)G,連接FG,如圖,

TAD〃平面PEF,ADU平面ADC,平面ADCCI平面PEF=FG,.\AD〃FG,

???點(diǎn)D,E分別為棱PB,BC的中點(diǎn).???G是ABC的重心，,喘啜號

10.答案5

解析因?yàn)锳B〃平面a,ABU平面ABCD,平面ABCDfl平面a=MN,所以AB/7MN.

又點(diǎn)M是AD的中點(diǎn),AB〃CD,所以MN是梯形ABCD的中位線，故MN=5.

11.證明因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，所以AB〃CD.

又ABQ平面PCD,CDU平面PCD,所以AB〃平面PCD.

因?yàn)槠矫鍭BED平面PCD=EF,ABU平面ABE,所以AB〃EF.

又EFQ平面ABCD,ABU平面ABCD,

所以EF〃平面ABCD.

12.解析⑴證明:連接CE「.,點(diǎn)P,Q分別為BC,BE的中點(diǎn)，

APQ//CE,

又PQC平面ACD,CEU平面ACD,

???直線PQ〃平面ACD.

(2)PQ與1平行.

證明:二?PQ〃平面ACDTQU平面DPQ,平面DPQA平面ACD=1,.\PQ^L

能力提升練

1.BD如圖，在正方體ABCD?ABGDi中,ABCiD,則四邊形ABCQ1是平行四邊形，所以

ADiZ/BCi,

又ADC平面AEDI,BCIQ平面AEDi,所以BCi〃平面AEDi,故B正確；

連接EF,因?yàn)镋,F分別為BBi,BiCi的中點(diǎn)，所以EF〃BG,又AD"BG,所以EF〃ADi,所

以E,F,Di,A四點(diǎn)共面，即點(diǎn)F在平面AEDi內(nèi)，故D正確；

連接FDi,顯然G不在平面AEFDi內(nèi)，所以FG與平面AED1不平行，故A錯(cuò)誤；

由BC〃平面AEDi,可知點(diǎn)Ci不在平面AEDi內(nèi)，故C錯(cuò)誤.

2.AB對于A,如圖1,取MS的中點(diǎn)A,底面為平行四邊形STFE,連接PA,TA,

則PA〃SE,PA=SE,又TQ〃SE,TQ=，E,

所以PA〃TQ,PA=TQ,即四邊形PATQ為平行四邊形，

故PQ〃AT,而ATU平面MSTTQQ平面MST,

故PQ〃平面MST,A正確；

對于B,如圖2,取MS的中點(diǎn)B,底面為平行四邊形EFTS,連接PB,TB,

則PB〃SE,PBWSE,又TQ〃SE,TQ=：SE,

所以PB〃TQ,PB=TQ,即四邊形PBTQ為平行四邊形，

故PQ〃BT,而BTU平面MST,PQQ平面MST,

故PQ〃平面MST,B正確；

對于C,如圖3屋設(shè)底面為平行四邊形GFES,D為ME的中點(diǎn)，連接QD,DS,

設(shè)DQCIMT=H，連接SH,

則DQ〃FE,DQWFE,又PS〃EF,PS=；EF,

所以DQ〃PS,DQ=PS,即四邊形DQPS為平行四邊形，

故DS〃PQ,又DS與平面MST相交，所以PQ與平面MST相交,C錯(cuò)誤；

對于D,如圖4,設(shè)底面為平行四邊形EFMQ,連接ME,FQ,設(shè)MECFQ=H，連接SH,

因?yàn)镠,S分別為FQ,PF的中點(diǎn)，所以SH〃PQ,

又SH與平面MST相交，所以PQ與平面MST相交,D錯(cuò)誤.

3.答案AbBi,D

解析由題意知，平面DEP必定經(jīng)過正方體的頂點(diǎn)D.

下面分析正方體中除D點(diǎn)外的其他頂點(diǎn),滿足題意的正方體的頂點(diǎn)與DE確定的平面必然

與直線BDi相交，且交點(diǎn)不為B,Di,顯然頂點(diǎn)A,B,C,Di都不符合題意.

分析頂點(diǎn)G是否符合題意、如圖1,

連接GE,DG,CDi,設(shè)DCCCDLO,則0為DCi的中點(diǎn)，連接EO,因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以

BD〃EO,又EOU平面DECLBDN平面DECi,所以BDi〃平面DEG,故G不符合題意；

分析A）,Bi是否符合題意，根據(jù)正方體的特征，結(jié)合圖2和圖3可知，圖2中的平面A.DE和

圖3中的平面BiDE分別和直線BDi相交于M,N,所以AuBi符合題意.

綜上，平面DEP可能經(jīng)過的該正方體的頂點(diǎn)是A,,BI,D.

4.解析當(dāng)CQ=1時(shí),PQ〃平面ABBIAI.理由如下：

取AAi的中點(diǎn)M,連接BM.MP.

因?yàn)镸,P分別為AAi,DDi的中點(diǎn)，

所以由梯形的中位線定理得MP〃AD〃A】Di,且MP」”'"」,

當(dāng)CQ=1時(shí),BQ=3,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，

所以BQ〃AD〃MP,且MP=BQ=3,

所以四邊形BQPM為平行四邊形，

所以BM〃PQ.

又BMU平面ABBiAi,PQC平面ABBiAi,

所以PQ〃平面ABBiAi.

5.解析（1）證明:連接BD,設(shè)ACnBD=O,連接OP,

因?yàn)镾P=3PD,Q為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，

所以P為QD的中點(diǎn).

又O為BD的中點(diǎn)，所以O(shè)P〃BQ,

而OPU平面PAC,BQQ平面PAC,

所以BQ〃平面PAC.

⑵在側(cè)棱SC上存在一點(diǎn)E,使得BE〃平面PAC,滿足號2.理由如下:

在SC上取一點(diǎn)E,滿足*2,連接BE,DE,設(shè)DECCP=F，由(1)知ACnBD=O,連接OF,

下面先證明F為DE的中點(diǎn)，在側(cè)面SCD中,如圖,

因?yàn)镋,F,D三點(diǎn)共線，所以可設(shè)科X豆+b1礪(入+-1入,*R),

而告=2,SP=3PD,所以弟|X5C+7際

EC33

又C,F,P三點(diǎn)共線，所以有2*1,

結(jié)合入+p=1,解得入=四4

所以豆W豆+；苑所以F為ED的中點(diǎn).

又0為BD的中點(diǎn)，所以O(shè)F〃BE,

而OFU平面PAC,BEQ平面PAC,

所以BE〃平面PAC.

6.C如圖，連接MB,交AC于點(diǎn)D,連接ND,NA,NC,MC,BC,則平面NAC即為平面a.

因?yàn)镾B〃平面a,平面SMBCI平面a=DN,SBU平面SMB,所以SB〃DN.

因?yàn)锳B為底面圓的直徑，點(diǎn)M,C將弧AB三等分,

所以/八碗=/"6。=/81^=/m。=30。,1\優(yōu)=吹=^8,所以MC〃AB,所以僚二*=/

又因?yàn)镾B//DN,所以黑啜=；,所唬V

方法技巧利用線面平行的性質(zhì)定理解決計(jì)算問題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(1)根據(jù)已知線面平行

關(guān)系推出線線平行關(guān)系;(2)利用三角形中位線定理、平行線分線段成比例等推出有關(guān)線段

的關(guān)系;(3)利用所得關(guān)系計(jì)算求值.

7.BDA選項(xiàng)，如圖1,在CG上取點(diǎn)E,使CE=BQ,連接QE,DE.由CEBQ,得四邊形BCEQ

為平行四邊形，

故QEBC,又BCAD,所以QEAD,則四邊形ADEQ是平行四邊形，所以AQ〃DE,

又D,E,Cie平面CDDC,C痣DE,PE平面CDDC,所以DE和CiP為異面直線，則AQ和

CiP不可能平行，故不存在點(diǎn)P,Q,使得GP〃AQ,A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，如圖2,在AAi上取點(diǎn)F,使AF=BQ,連接FQ,FD：.由AFBQ,得四邊形ABQF為平行

四邊形，故FQ^DiCi,

由圖可知，點(diǎn)Ai在平面FQCiDi的上方，點(diǎn)P在平面FQCiDi的下方，

則直線AiP與平面FQCiDi相交，交點(diǎn)T在線段A)P上,T4CiQ,

又T,Q,CC平面FQCDAPA平面FQCiDi=T,

所以直線A)P和CiQ異面,B正確；

C選項(xiàng)，連接BD(圖略)，若PQ〃平面DCGD],由PQU平面DBBQi,平面DCGDQ平面

DBBQ尸DDi,得PQ〃DDi,此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，不合題意,C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，連接BG,將三棱錐G?BBQi展開成平面圖形如圖3,

連接GC3,分別交BDi和BBi于P,Q,此時(shí)△GPQ的周長最短，為CiC3的長,

OO

ZCIBC3=900+45=135,BCI=BC3=2,

則由余弦定理得

C|C3=J+4?2x2x2x(-