2025-2026學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次月考卷01【測試范圍：蘇教版必修第二冊第9~14章】（全解全析）

高一數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次月考卷01(江蘇專用)

全解全析

(考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前.考牛務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考訐號填寫在答題卡卜C

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：蘇教版必修第二冊第9章?第14章。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.若復(fù)數(shù)z的共規(guī)復(fù)數(shù)I=2-i，則(z-l)i=()

A.1+iB.-1+iC.2+2iD.2-2i

【答案】B

【詳解】由題意知z=2+i,所以(z-l)i=(l+i)=-l+i.

2.己知向量G=(l,-2),6=(2,32),c=(4,22),且+則4=()

44c33

A.-B.——C.——D.-

3344

【答案】A

【分析】根據(jù)向量平行滿足的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.

【詳解】由題可得"5=(3,3%-2),因?yàn)榧?/(,+6)，c=(4,22),所以64=4(34—2),得4=*

故選：A

3.已知一組數(shù)％,x2,%的平均數(shù)是3,方差為4,則數(shù)據(jù)2』+1,2占+1,2.v,+1,2%+1的平均數(shù)

和方差分別是()

A.7,8B.7,16C.6,8D.6,16

【答案】B

1/18

【分析】根據(jù)平均數(shù)與方差的基本公式以及性質(zhì)求解即可.

2222

【詳解】由題意，二…;…=3,?=i[(x,-3)+(x2-3)+-3)+(x4-3)]=4.

所以2芭+1,2X2+1,2x3+1,2七+1的平均數(shù)

——2演+1+2毛+1+2七+1+2.%+12(x)+x+x+X)+4

X.==234=ZxJ+1=/,

44

方差S；=4x；[(玉-3)2+(占-3)2+(.V,-3)2+(七-3)[=16.

故選：B.

4.設(shè)明〃是兩條不同的直線，。，夕是兩個(gè)不同的平面，下列命題中錯(cuò)誤的是()

A.若〃7_La,〃”//〃〃/7,則a_L〃

B.若aH0,mua,則〃"http://?

C.若mA,mua,nu0,則a_L〃

D.若欣則用與。所成的角和，與夕所成的角相等

【答案】C

【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面之間平行和垂直的判定定理以及性質(zhì)定理，分別判斷各選項(xiàng)的正誤可得答案.

【詳解】〃_La,

?.f%,.?.存在/uy?,使得/〃〃，此時(shí)/_La,則a_L〃，故A正確.

???平面。馬平面用沒有公共點(diǎn)，

???wua,.?.直線〃1與平面/沒有公共點(diǎn)，即〃〃//，故B正確.

C.如圖所示，當(dāng)平面a與平面力不垂直時(shí)，設(shè)an/=m,平面夕上存在直線〃_L，〃，故C錯(cuò)誤.

D.???〃?〃〃，??.直線〃八〃與平面。所成的角相等，同理，直線機(jī)，〃與平面/所成的角相等,

與a所成的角和〃與/所成的角相等,故D正確.

故選：C.

2/18

5.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測量某建筑的高度OP,選取了與O在同一水平面且在同一水平線上的4

B,C三處.已知在4B,。處測得該建筑頂部P的仰角分別為60、45"30",<B=BC=20m,則該建

筑的高度。尸=（）

A.20vlmB.10x/6mC.10>/3mD.loV2m

【答案】B

【分析】結(jié)合題意，利用cosNO%+cos/O4C=()由余弦定理計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)。尸=x,則。力=無其。〃=.%0。=6工，

3

在4。4。中，cosZOBA+cosZ.OBC=0,則40°+廠一§'~400-x2-3x2

---------=----1-------------=0

2x20-x2x20'x

解得x=10#，則OP=10指m.

故選:B.

6.已知.二J1一8s6601+tanl9028s?34°-1，則下列選項(xiàng)正確的是（）

V2l-tan：9a

A.a>c>bB.c>a>h

C.b>c>aD.b>a>c

【答案】D

【分析】根據(jù)三角恒等變換，進(jìn)行化簡，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性，判斷大小.

【詳解】因?yàn)镴】c;s6._/in?33。=sin33。，所以a=sin330=cos57。，

根據(jù)正切兩角和的公式得分=1+tan19=‘a(chǎn)n45+tan19=tan（45°+19。）=tan64’,

1-tan191-tan45-tan!9

根據(jù)二倍角公式可知c=2cos’340-1=cos680?

根據(jù)余弦函數(shù)在（0,9上單調(diào)遞減，且值域?yàn)椋?,1）,所以I>cos570>cos68'，

3/18

正切函數(shù)在（0,§上單調(diào)遞增，所以tan64。tan450，

所以tan64>1>cos57>cos68，

故選:D.

7.在銳角△力3。中，若sin/l=2sin4sinC,則tan/Han8tanC的最小值為（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

[分析】根據(jù)sinJ=sin(8+C)和sin力=2sin4sin。可得tan8+tanC=2tani?tanC,令

tanZ?+tanCm

tantf+tanC=2tanZ^tanC=m，結(jié)合正切和角公式“

1-tan5tanC,m可求m范圍.要求的式子可

1----

2

化為taMlan次anC=-tan（4+C）l2n8tanC,可繼續(xù)化為用m表示的式子，根據(jù)m的范圍可求其最小值.

【詳解】由sinJ=sin(4+C)=2sin^sinC,得sin8cosc+cosBsinC=2sin8sinC,

兩邊同時(shí)除以cos4cosc,得tanZ?+tanC=2tanZ^tanC.

令tanB+tanC=2tanBtanC=m,

???△48C是銳角一：角形,

tan8+tanCm

tan(5+C)=V°,m>2.

l-tanMC-

又在三角形中有:

m1nr11

taii4tan5tanC=-tan(54-C)tan5tanC=--------rn=

11

]_巴2〃-2_2_+l-2

2nrmm4；

故當(dāng)初=4時(shí)，tarvltanZ^tanC取得最小值8.

故選：C.

4

8.某個(gè)封閉的圓錐形容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）的軸截面是辿長為6的等邊三角形，一個(gè)表面積為;兀

的小球在該容器內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)，則小球能接觸到的圓錐容器內(nèi)壁的最大面積為（）

A.\2nB.147tC.16兀D.18幾

【答案】C

4/18

【分析】求出小球半徑，由題意作出示意圖.從而知道小球與圓錐能夠接觸的面為一個(gè)圓臺的側(cè)面和一個(gè)圓,

在軸截面圖中，通過圓與三角形兩鄰邊相切求得圓臺的上下底半徑和母線，從而求得圓臺的側(cè)面面枳，再

求的圓的半徑得到圓的面積，即可求得答案.

【詳解】設(shè)小球的半徑為「，則小球表面積g冗=4/，即/?=立,

33

在圓錐內(nèi)壁側(cè)面，小球接觸到的區(qū)域圍成一個(gè)圓臺側(cè)面，如圖，

△48。是這個(gè)封閉的圓徘形容器的軸檄血，邊長為6,

AB=BC=AC=6,Z-A=Z.B=ZC=—,ZJ0E=—,

3]6

2BJ=BG=CK=CD=AE=AF=—=?=T

則.我，

tan—

6

???A/EEA/G。都為等邊三角形，???E/=力尸=1,GD=AG=AB-BG=5

FF\GD5

7

圓臺上下地面半徑分別為4=《-=5,r2=-^-=-,母線長G/=-月產(chǎn)-6G=4,

，圓臺側(cè)面面積S=兀x；+g）x4=12兀，

在圓錐地面，小球能夠接觸到的區(qū)域是一個(gè)圓，其半徑4=與=生手空=2,

其面枳S2=4兀，

???圓錐內(nèi)壁上小球能接觸到的圓錐容器內(nèi)壁總面積為5=￡+$2=12兀+4冗=16兀.

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.某校舉辦“班班有歌聲”愛國主義合唱比賽，7位評委給某班的評分分別為82,90,65,68,80,92,80,

依據(jù)評分規(guī)則，需去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，剩余5個(gè)評分為有效數(shù)據(jù)，則（）

5/18

A.有效數(shù)據(jù)的極差是10B.有效數(shù)據(jù)的平均數(shù)是80

C.有效數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是86D.有效數(shù)據(jù)的方差是50

【答案】BC

【分析】根據(jù)題意先求有效數(shù)據(jù)，再逐項(xiàng)驗(yàn)證即可求解.

【詳解】根據(jù)題意有效數(shù)據(jù)為：68,80,80,82,90,

所以有效數(shù)據(jù)的極差為90-68=22,故A錯(cuò)誤：

士川u”M82+90+68+8°+80℃..十九

有效數(shù)據(jù)的平均數(shù)為-----------------=80,故B正確；

由5x0.8=4,所以有效數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為歿處=86,故C正確；

有效數(shù)據(jù)的方差為（x［（82-80）2+（90-80『+（68-8（）『+（80-80）2+（80-80）1=49.6,故口錯(cuò)誤.

故選:BC.

10.在△力3c中，內(nèi)角小B,。的對邊分別為a,b,c,則下歹J說法正確的是（）

A.若。=6,c=9,8=60。，則符合條件的△川%?有且僅有兩個(gè)

B.若sin8>sinC,貝ij8>C

C.若sin，/+sin?〈sin?C,則△XHC為鈍角三角形

D.若MBC為銳角三角形,則sin4>cos8

【答案】BCD

【分析】根據(jù)余弦定理以及正弦定理，逐項(xiàng)檢驗(yàn)，可得答案.

【詳解】對于A：若。=6,c=9,8=60。，

由余弦定理得b=y/a2+c2-2accosB=^62+92-2x6x9cos60°=3J7?

故符合條件的△/4C有且僅有一個(gè)，故A錯(cuò)誤；

對于B：反證法：假設(shè)CN8,根據(jù)三角形內(nèi)大邊對大角，則C26,

由正弦定理可得sinCNsinB,與題干矛盾，故B正確：

對于C：若sin?/+sin?4〈sin?C，由正弦定理得a?+〃v/,

由余弦定理得cosC="一+"一'<。故￡<。<冗，所以△/4C為鈍角三角形，故C正確;

2ab2

對于D：若△彳8。為銳角三角形，則"A*,所以>力嗎-8>0,

因?yàn)閥=sinx在（0卷）上單調(diào)遞增，所以sin力〉sin（5-〃）=cos8,故D正確.

故選：BCD.

6/18

11.如圖，在長方體48co中48=40=2,<4=26,點(diǎn)P為線段力2上一動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則

下列說法正確的是（）

A.直線P6J/平面8CQ

B.三棱錐尸-BCG的體積為定值WI

3

c.若。為線段中點(diǎn)，則G尸與。。垂宜

D.平面〃G。截長方體力BCD-44GA的外接球所得截面面積是坐

【答案】ACD

【分析】A選項(xiàng)：根據(jù)線線平行可證線面平行，即可判斷A選項(xiàng)；B選項(xiàng)：根據(jù)線面平行可得體積為定值,

并求值；C選項(xiàng)：根據(jù)線面垂直可得線線垂在；D選項(xiàng)：易知外接球球心到平面8G。的距離為點(diǎn)。到平面

80。距離的一半，再利用等體積轉(zhuǎn)化法可得解.

【詳解】A選項(xiàng)：連接與馬，PB「

由已知為長方體，則8Q//&）,ADJ/BC、,即產(chǎn)〃〃86，

乂，：BDcBC［=B,且80,8。］匚平面4。］。，BR,PRu平面4BR,

立面3G。〃平面尸用。，

7/18

又?「做U平面咫n，

:.PB"/平面BCQ,A選項(xiàng)正確;

B選項(xiàng)：

由ADJ/BC,,且BC\u平面BCG,ADt(z平面BCC[,

:.g〃平面BCG，

...點(diǎn)P在/A上,

“P-BCC、=^-BCC,?

又％…=拉好?。&=2"明?AG=半

田=4.3g=半，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng):

當(dāng)。為網(wǎng)中點(diǎn)時(shí)，BQ=；BB\=0

BQ二BC也

即△08CS/CG,

~BC~CQ~~

.?.￡BCQ=NCGB,即NBCQ+ZC,BC=ZCC,B+ZC,BC=90°,

則C0_L4C，

8/18

由長方體ABCD-44GA可知力8_L平面BBGC，且BQu平面BBgC,

所以X8_LC0,

又?；BC"B=B,BC、,力4u平面力5G2,

.?0_1.平面48。。,

?.?。產(chǎn)匚平面4?64，，。。，。尸，C選項(xiàng)正確;

D選項(xiàng)：由長方體性質(zhì)可知長方體力8a）-48￡"的外接球球心。為其體對角線8A中點(diǎn),

則R==^AB-+AD2+DD[=2,

設(shè)點(diǎn)0到平面8G。的距離為d,

則點(diǎn)R到平面BCQ的距離為2d,

在三校錐。-4G。中，BD=ABZ+AD~=2>/2，BC\=DC^=J6C~+CC；=2\f3,

即―=婀帆一（加=2亞,

又入MD=Jn，即-Sj-2<7=--C1DlDD15C,

解得

5

則平面BCQ被長方體ABCD-4§￡"外接球所截小圓半徑r=VFK=平，

IQ

其面積為“"兀，D選項(xiàng)正確.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

9/18

12.已知向量￡石滿足￡=（i,JJ）,Z_L（Z+2B）,則坂在￡上的投影向量的坐標(biāo)為.

【答案】（一卜當(dāng)）

【分析】應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得15=-2,再由投影向量的定義求石在）上的投影向量的坐標(biāo).

【詳解】由題設(shè)7（￡+2B）=f+27B=4+27B=0，則13=-2，

所以書在￡上的投影向量為竺.=；=了?（1,6）=（—

\a\\a\422

故答案為：（_!,-

2

13.已知a,〃e(0,],且滿足sinatan〃=l-cosa,cos(a-〃)=j,則cosa二

【答案】-/0.125

O

【分析】應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合兩角差的余弦化簡，應(yīng)用角的范圍或應(yīng)用三角恒等變換結(jié)合角的范圍

得出。=2/，最后應(yīng)用二倍角余弦公式計(jì)算.

【詳解】因?yàn)閟inatan/?=l-cosa,所以sinasin'=cos尸-cosa8s

即cosacos/7+sin<zsin/?=cos(<2-/7)=cos/7,

因?yàn)閍/w0,—,所以］

\z)

所以a—4二尸，所以。=2〃,

13

因?yàn)閏os(a—/?)=z，所以cos/?二z，

,91

所以cosa=cos2/?=2cos2p~\=2x-----1=-

168

故答案為：—

O

14.南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出“三斜求積術(shù)“，即以小斜塞，并大斜累，減中斜幕，余半之,

自乘于上：以小斜幕乘大斜將，減上，余四約之，為實(shí)：一為從隅，開平方得枳，可用公式

（其中a、b、c、S為三角形的三邊和面積）表示.在ZU4C中，八b、c分別

為角人B、C所對的邊，若j，且端聲篝，則用。面積的最大值是——.

【答案】號/

10/18

1-y/3cosBcosC

【分析】先根據(jù)求出。=石"，結(jié)合公式和二次函數(shù)可得答案.

6sinBsinC

…孰、E%1-GCOS8COSC

【詳解】囚為一7=------=-^—

V3sinBsinC

所以sinC=>/3(sinCcos5+cosCsin5)=>/3sin(C+^)=V3sinJ,

由正弦定理可得c=

由題意S=-^4+18a2--

4

243

令fj2,則§=+——，

4

當(dāng)，=9,即a=3時(shí)，S取到最大值地.

4

故答案為：箸

四,解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

已知m為實(shí)數(shù),設(shè)復(fù)數(shù)z=(2〃/—3〃L2)+(〃/-5〃?+6)i.

(1)當(dāng)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)時(shí)，求，〃的值：

(2)設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(xj),若滿足工7+5>0,求機(jī)的取值范闈.

【答案】(1)〃?=—；

⑵[-8,-3)U(l,+8)

【分析】(1)根據(jù)純虛數(shù)的概念列出關(guān)于機(jī)的不等式組，解出即可；

(2)先得z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，解不等式即可.

2〃/-3w-2=0

【詳解】(1)由題意得

m2-5m-60

所以〃？=_g：

(2)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2m2一3m—2,m2-5m+6),

因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)滿足%-y+5>0,所以(2m2-3m-2)-(nr-5陽+6)+5>0.

11/18

解得旭＜-3或刑＞1,

所以m的取值范圍為(一8,-3)U(l,+8).

16.(15分)

為調(diào)查某校學(xué)生的校志愿者活動(dòng)情況，現(xiàn)抽取一個(gè)容量為100的樣本，統(tǒng)計(jì)了這些學(xué)生一周內(nèi)的校志愿者

活動(dòng)時(shí)K，并繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖，記數(shù)據(jù)分布在[50,100),[100,150),[150,200),[200,250),

[250,300),[300,350),[350,400]的頻率分別為/；,力，…，￡.已知./；+人+力=0.5,f4=2f6.

(1)求人，。的值;

(2)請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)，全校學(xué)生一周內(nèi)的校志愿者活動(dòng)平均時(shí)長為多少？

(3)學(xué)校現(xiàn)在準(zhǔn)備對忐愿者活動(dòng)時(shí)長排在前10%的學(xué)生授予“志愿活動(dòng)模范之星”的榮譽(yù)稱號，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)

估計(jì)，志愿者活動(dòng)時(shí)長最少為多少分鐘才可能被評為“志愿活動(dòng)模范之星”？

【答案】⑴人=015,人=0.1

(2)212.5

⑶325分鐘

【分析】(1)由頻率分布直方圖的面積特征結(jié)合題意計(jì)算可得；

(2)由頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算可得；

(3)由頻率分布直方圖計(jì)算第90百分位數(shù)可得.

【詳解】(1)由圖知：Z=0.001x50=0.05,/；=0.006x50=0.3,

/,=0.5-/=0.5-0.05-0.3=0.15,

fs=f2=0/5,。"=0.05,/+)=1-(5+/+￡+>/；+力)=1-(0.5+0.15+0.05)=0.3,

由廣￡=2/6,則八=0.1；

12/18

(2)平均時(shí)長為7=75,+125人+1757；+225%+275/+325^+375./；

=75x0.05+125x0.15+175x0.3+225x0.2+275x0.15+325x0.1+375x0.05

=212.5分鐘；

(3)由題目可知即求樣本數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)，由(1)可知

f\+fi+/i+fs=085,工+人+/+力+人+/=0.95,

故第90百分位數(shù)落在第六組，由/6=01，

可算出第六組小長方形的高為0.1+50=0.002,

假設(shè)第90百分位數(shù)為x,則有O.85+(x-300)x0.002=0.9,

解得x=325,故最少需要325分鐘.

17.（15分）

如圖，在三棱錐產(chǎn)一/出。中，力/上平面48。，4C_LC8,P/=/18=2,4Hl尸8于點(diǎn)必，AN上PC千點(diǎn)N.

(1)證明：△4UN為直角三角形：

(2)當(dāng)三棱錐P-ABC體積最大時(shí)，求二面角力--C的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)由4_L8C,4C_L8C得到8C_L平面尸4C,進(jìn)而得到8C_L4V,再結(jié)合4V_L尸C,即可求

證;

(2)先通過體積公式及基本不等式確定力。=以=正時(shí)，體積最大，再確定乙為二面角

4-P8-。的平面角，結(jié)合余弦定理即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)镠l平面ABC,8c在平面力8c內(nèi),

13/18

所以尸4_L8C,

因?yàn)榱_L8C,PZrMC=力，尸/,力。＜=平面?彳（7,

所以8C_L平面尸4。，又/N在平面產(chǎn)力C內(nèi)，所以8c_L4N.

因?yàn)榱1PC,PCC\BC=C,PC,BCu平面PBC,

所以4V/平面PBC,又MV在平面PBC內(nèi),

所以4V_LMN,所以△4WN為百角二角形.

（2）由題意知/T8C=!SA.C-P4=1/C-C8W=：/CC8,

363

AC1+CR2

在Ra/4C中，AC2+CB2=AB2=4,所以---------=2,

2

I2

所以/5c=44CCBK、，當(dāng)日.僅當(dāng)/。=。8=立時(shí).，/TBC體積最大.

由（1）知，4VS平面PBC,依在平面平面P8C內(nèi)，所以力NJ.P4,

又囚為4"_1?3,片"04"-/,4V,MWu平面月MN,

所以P8_L平面AMN,所以ZJMV為二面角4-尸3-。的平面角.

「…PAAC2x02>/3

當(dāng)NC=C8=J?時(shí)，在中，AN=P（.=也2+市.二〒，

PA-AB2x2

在Rta214中,AM==近,

PB也2+22

由（1）知，AN1MN,所以MN

cosZJ；V/y=-—叵

AM

即三棱錐尸-48C體積最大時(shí)，二面角4-P8-C的余弦值為史.

3

18.（17分）

已知〃，b,。分別為△/"（7三個(gè)內(nèi)角4,B,。的對邊，滿足力=；,J5acos。十a(chǎn)sinC_2J5.

⑴求b;

（2）若△力臺。為銳角三角形，且外接圓圓心為。，

（i）求麗.就的取值范圍；

（ii）求“力。和△（用C面積之差的最大值.

【答案】（1）2

14/18

(2)(i)(-2,1)；(ii)近

12

【分析】(1)由正弦定理及輔助角公式求解即可;

(2)(i)根據(jù)平面向量的運(yùn)算、數(shù)量積的性質(zhì)及余弦定理可得的.％=2-c，再利用正弦定理及兩角和

的正弦公式、正切函數(shù)的性質(zhì)求解印;

(ii)設(shè)△48C外接圓半徑為由正弦定理可得〃=熹’結(jié)合三角形的面積公式及二倍角公式可得

+—3，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

4tan*BtanB4

a_b

【詳解】(1)由正弦定理得,

sinAsinB

b

則容sin(J+C),即“2

sin(j+C

又、/Jacos。+asinC=2\/3,則2asin(C+y1=2百,

b-----

則2?2?sin(C+1=26,即/)=2.

sinfy+C3

(2)(i)由旃.就=^3(旅-而卜麗沃?麗.雨,

因?yàn)椤椤?8C外接圓圓心，即外心,

所以泌灰」拼，BOBA=-8A2=-c

2222

由余弦定理得,a2=b-+c2-2bccosA=4+c2-2c，

所以豆0.=；(4+,2_20_；/=2_0

b

由正弦定理得,

sinBsinC

2sinI—+B

則_bsinC_2sin(4+5)_(3jVJcosB+sinB后,,

c=---------------=—=-------------------=-------+1

sinBsinBsinBsinBtanB

0<B<-

2

由，，解得

兀o2

0c<-2--7--1Bc<—

32

所以tan8￡作,+s,則

c=----+le(l,4),

tan5

15/18

所以稱配=2"￡（—2,1）.

（ii）設(shè)△力AC外接圓半徑為R,則。4=08=0。=/?,

5.2/?=—=—,g|J/?=—

sinBsinBsinB

因?yàn)?40c=28,ZBOC=2A=—

3

月不以S.。植=3叱5皿/月℃=：---；---sin2B=------

sin*Btan8

sin"」—

3OBC22sin2B34sin2541tan2B

，]=_3.，+，一3

所以2。w一邑網(wǎng)、二審一7[1+

tan2B)4tan*BtanB4

由（i）知，lan8e1苧,+e,令

熹…仙回

h]llcJ32,J3_J3f2j3)[j3

則JO“一SaO8c=/(x)=---'X+工一丁=---X----+—?

X/

19.（17分）

離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo).設(shè)。為多面體「的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體「在點(diǎn)尸處的離散曲率為

0P=1-1（/。/。2+/0尸2+3+/以_/以+/以尸9）,其中2（=1，2,?、4,/3）為多面體「的所有與點(diǎn)

2兀

產(chǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面。/2，平面。2尸。3,…，平面OhJ以和平面以為多面體「的所有以「為公共

點(diǎn)的面.

（1）求四棱錐S-48C。在各個(gè)頂點(diǎn)處的離散曲率的和；

（2）如圖，現(xiàn)已知四棱錐S-/18C。的底面"C。是邊長為2的菱形，且力C=2,頂點(diǎn)S在底面的射影。為力C

的中點(diǎn).

16/18

①若OS=j2二/7,求該四棱錐在s處的離散曲率0s；

②若該四棱錐在S處的離散曲率0s=g,求直線OS與平面見3所成角的正弦值.

⑵