高一數學 第二課時 古典概型（二）

第二課時古典概型(二)

課標要求1.進一步理解古典概型的定義.2.熟練掌握古典概型的概率計算公式.

【引入】上一節課我們學習了古典概型的定義和計算公式，解決了簡單的古典概

型問題，本節課我們學習古典概型與其他知識相綜合、較復雜的古典概型問題.

一、列舉法解決古典概型問題

例1(鏈接教材P246T7)一個盒子里有三張卡片，分別標記有數字1,2,3,這

三張卡片除標記的數字外完全相同.隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張.

(1)求“抽取的卡片上的數字之和為5”的概率；

⑵求“抽取的卡片上的數字完全相同”的概率.

解將3張卡片有放回的抽取3次，每次抽1張的樣本點有：

(1,1,I),(I,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),

(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),

(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),

(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27個，

且都等可能.

(1)記事件A為“抽取的卡片上的數字之和為5"，則其對應的樣本點為(1,1,3),

(1,2,2),(1,3,1),(2,1,2),(2,2,1),(3,1,1),共6個，

所以P(A)=近=§,

2

所以“抽取的卡片上的數字之和為5”的概率為各

(2)記事件B為“抽取的卡片上的數字完全相同”，則其對應的樣本點為(1,1,

1),(2,2,2),(3,3,3),共3個，

31

所以P(8)=萬=§,

所以“抽取的卡片上的數字完全相同”的概率為益

思維升華解題時要注意是“有放回地抽取”還是“無放回地抽取”，若是“有

放回地抽取”，則在每次抽取之前，產品種類及個數都不發生變化，因此某件新

產品被抽到的概率也不變；若是“無放回地抽取”(假設每次抽取的結果都可知),

則在每次抽取之前，所剩產品種類及個數都在發生變化，因此某件產品被抽到的

概率也在不斷變化.

訓練1某市在創建“全國文明城市”活動中大力加強垃圾分類投放宣傳.某居民

小區設有“廚余垃圾”“可回收垃圾”“其他垃圾”“有害垃圾”四種不同的垃

圾桶.一天，居民小陳提著上述分好類的垃圾各一袋，隨機每桶投一袋，則恰好有

兩袋垃圾投對的概率為()

A|c|D.：

答案D

解析記“廚余垃圾”“可回收垃圾”“其他垃圾”“有害垃圾”的垃圾桶分別

為1,2,3,4,

小陳提的“廚余垃圾”“可回收垃圾”“其他垃圾”“有害垃圾”分別為。，

c,d,

每桶投一袋的樣本點有:

(671,b2,<?3,44),(al,b2,c4,J3),(6/1,b3,<?2,14),(al,b3,c4,d2),(al,

〃4,<?3,d2),(a1,Z?4,c2,J3),(〃2,b\,c3,d4),(r/2,b\,c4,J3),(a2,b3,

cl,44),(〃2,b3,c4,JI),(。2,M,c3,JI),(al,M,cl,J3),(〃3,b\,c2,

J4),(a3,Z?l,c4,J2),(a3,b2,c\,44),(〃3,b?,c4fJI),(a3,M,cl,d2),

(a3,M,c2,dl),(〃4,b\,c3,c/2),(a4,b\,c2,d3),(a4,42,c3,JI),(M

b2,cl,d3),54,Z?3,cl,d2),(〃4,Z?3,c2,dl),共24個，且都等可能,

恰好有兩袋垃圾投對的樣本點有:

(a\,b2,c4,d3),(。1,b3,c2,d4),(6/1,/74,c3,d2)t(a2,b\,c3,d4),(〃3,

b2,c\,d4),(a4,b2,c3,d\),共6個,

所以恰好有兩袋垃圾投對的概率〃=捺=1

二、概率的應用

例2某兒童樂園在“六一”兒童節推出了一項趣味活動，參加活動的兒童需轉

動如圖所示的轉盤兩次，每次轉動后，待轉盤停止轉動時，記錄指針所指區域中

的數，設兩次記錄的數分別為x,y,獎勵規則如下：

指針

①若孫W3,則獎勵玩具一個；

②若孫28,則獎勵水杯一個；

③其余情況獎勵飲料一瓶.

假設轉盤質地均勻，四個區域劃分均勻，小亮準備參加此項活動.

⑴求小亮獲得玩具的概率；

(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由.

解用數對(x,y)表示兒童參加活動先后記錄的數，則樣本空間。={。,

y￡N,0W4,1W)W4},

其中共有16個樣本點.

⑴記“町W3”為事件4,

則事件A包含的樣本點個數為5,

即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).

所以P(4)=正，

即小亮獲得玩具的概率為得

(2)記“孫28”為事件B,“35，＜8”為事件C,

則事件B包含的樣本點個數為6,

即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),

所以P(B)—g.

事件C包含的樣本點個數為5,

即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),

所以尸(。=焉

3

為

因-

8

所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.

思維升華應用古典概型的概率公式求事件的概率時，首先應判斷本試驗是不是

古典概型，然后再正確地找出試驗的樣本空間包含的樣本點個數及事件包含的樣

本點個數，最后代入公式求出概率.

訓練2某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，抽獎

方法是從裝有2個紅球4,4和一個白球B的甲箱與裝有2個紅球tzi,s和2

個白球/力，歷的乙箱中，各隨機摸出1個球，若摸出的2個球都是紅球則中獎,

否則不中獎.

(1)用球的標號列出所有的樣本點；

⑵有人認為兩個箱子中的紅球總數比白球總數多，所以中獎的概率大于不中獎的

概率，你認為正確嗎？請說明理由.

解(1)所有樣本點包含(4,防)，(4,。2),(4,加),(Ai,歷),(42,tzi),(42,

42),02,加),02,岳),(B,m),(B,42),(B,bi),(B,bi).

(2)不正確，理由如下：

由(1)知，所有樣本點共12個，

其中摸出的2個球都是紅球的樣本點有(4,⑦)，(Ai,G),(A2,m),(A2,Q2),

共4個，

41

所以中獎的概率為75=5，

I2

不中獎的概率為1-1=|,

故不中獎的概率比較大.

三、概率與統計的綜合問題

例3某中學為普及法律知識，組織高一學生學習法律常識小冊子，并隨機抽出

100名學生進行法律常識考試，并將其成績制成如圖所示的頻率分布直方圖.

t妣

麗

().04()\............?~~I

().0301------------------

().005

0

5()607()8090KM)成績

⑴估計這100人的平均成績;

(2)若在這100人中，成績在［90,100］的學生中恰有2位是男生，現從樣本中成績

在［90,100］的學生中抽取3人去校外參加社會法律知識競賽，求其中恰有一位男

生的概率.

解⑴由頻率分布直方圖可知(0.005+0.04+0.03+a+0.005)X10=l,解得a=

0.020,

所以這100人的平均成績為(55X0.005+65X0.04+75X0.03+85X0.02+

95X0.005)X10=73,即這100人的平均成績為73分.

(2)依題意可知成績在［90,100］的有100X0.005X10=5(人)，

其中2位男生、3位女生，設3位女生分別為a,b,c,2位男生分別為A,B.

從中任取3人的樣本點有b、c),m，b,A),(mb,B),(mc,A),(a,c,

B),(mA,B),S，c,A),(仇c,B),(btA,B),(c,A,B),共10個，

其中恰有一位男生的樣本點有(mb.A),(a,b,B),(〃，c,A),(a,c,B),(b,

c,A),(b,c,B),共6個，

所以恰有一位男生的概率〃=會=1.

思維升華概率與統計結合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布

直方圖等給出信息，只要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決，

解決此類題目的步驟主要有：

第一步：根據題目要求求出數據(有的用到按比例分配分層隨機抽樣、有的用到頻

率分布直方圖等知識)；

第二步：列出樣本空間，計算樣本空間包含的樣本點個數；

第三步：找出所求事件包含的樣本點個數；

第四步：根據古典概型概率計算公式求解；

第五步：明確規范地表述結論.

訓練3海關對同時從A,從C三個不同地區進口的某種商品進行抽樣檢測，從

各地區進口此種商品的數量(單位：件)如下表所示.工作人員用分層隨機抽樣的方

法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測.

地區ABC

數量50150100

⑴求這6件樣品中來自A,B,C各地區商品的數量；

(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構進行進一步檢測，求這2件商品來

自相同地區的概率.

解⑴因為樣本量與總體中的個體數的比是

JUIIDUI1UUJU

所以樣本包含三個地區的個體數量分別是

50xsn=1?1504=3,100X4=2,

所以這6件樣品中來自4,B,C三個地區的數量分別為1,3,2.

(2)設6件來自A,B,。三個地區的樣品分別為人；①，史，&;Ci,C2,

則從這6件樣品中抽取的2件商品，樣本空間。={(A,Bi),(A,Bi),(A,a),

(A,Ci),(A,C2),(Bi,B*,(Bi,&),(Bi,Ci),(Bi,C2),(82,83),(82,Ci),

(&,C2),(&,Ci),(&,C2),(Ci,C2)},共15個樣本點.

每個樣品被抽到的機會均等，因此這些樣本點的出現是等可能的.

記事件。="抽取的這2件商品來自相同地區”，則事件。包含的樣本點有：(3,

&),(Bi,83),(&,&),(Ci,C2),共4個,

4

所以P(D)=正，

即這2件商品來自相同地區的概率為會.

JLJ

【課堂達標】

1.將一枚質地均勻的硬幣連擲兩次，恰有一次正面朝上的概率為()

A.|B.C.|D.1

答案D

解析將一枚質地均勻的硬幣連擲2次，樣本點有(正，正)，(正，反)，(反，王)，

(反,反)，

而只有一次正面朝上的樣本點有(正，反)，(反，正)，

21

故其概率為

2.已知5件產品中有2件次品，其余為合格品.現從這5件產品中任取2件，恰有

一件次品的概率為()

A.0.4B.0.6C.0.8D.1

答案B

解析記3件合格品分別為4,A2,A3,2件次品分別為8,B2,從5件產品中

任取2件，有（4,Az）,（Ai,4）,（Ai,Bi）,（Ai,&）,（4,A3）,（A2,81）,（A2,

82）,（A3,Bi）,（A3,及）,（Bi,&）,共10個樣本點，

其中恰有一件次品包含6個樣本點，

故所求事件概率為強=06

3.北京市環境保護監測中心每月向公眾發布北京市各區域的空氣質量狀況.某年1

月份各區域的PM2.5濃度情況如表：

各區域1月份PM2.5濃度（單位：微克/米方表

區域PM2.5濃度區域PM2.5濃度區域PM2.5濃度

懷柔27海淀34平谷40

密云31延慶35豐臺42

門頭溝32西城35大興46

順義32東城36經開區46

昌平32石景山37房山47

朝陽34通州39

從上述表格中隨機選擇一個區域，其這年1月份PM2.5的濃度小于36微克/米3

的概率是（）

答案D

解析從題中表格內隨機選擇一個區域，共有17個樣本點，

其中PM2.5的濃度小于36微克/米3的地區有9個樣本點，

9

則這年1月份PM2.5的濃度小于36微克/米3的概率是萬.

4.甲、乙兩名運動員各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種，

則他們選擇相同顏色運動服的概率為.

答案|

解析樣本空間。=｛（紅，紅），（紅，白），（紅，藍），（白，紅），（白，白），（白,

藍），（藍，紅），（藍，白），（藍，藍）｝,共9個，

其中顏色相同的樣本點有（紅，紅），（白，白），（藍，藍），共3個,

3I

故所求的概率〃=5=不

?課時精練，

一、基礎鞏固

1.有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫，從這5支彩筆

中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為（）

A.,B.|C.|D.1

答案C

解析從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，有1（）個樣本點，分別為（紅，黃），

（紅,藍），（紅,綠），（紅,紫）,（黃，藍）,（黃,綠），（黃，紫），（藍,綠），（藍,

紫），（綠，紫），

取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的樣本點有（紅，黃），（紅，藍），（紅,綠），（紅,

紫），共4個，

故所求概率為4*奇2

2.小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M,/,N中的

一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數字，則小敏輸入一次密碼能夠成

功開機的概率是（）

A應c±n±

八158J530

答案C

解析???。=｛（〃,1）,（M,2）,（M,3）,（M,4）,（M,5）,（/,1）,（7,2）,（7,

3）,（7,4）,（7,5）,（N,1）,（N,2）,（N,3）,（M4）,（N,5）｝,

???共15個樣本點，且每個樣本點出現的可能性相等，

正確的開機密碼只有1種，?"=長.

3.杜甫的“三吏三別”深刻寫出了民間疾苦及在亂世之中身世飄蕩的孤獨，揭示

了戰爭給人民帶來的巨大不幸和困苦.“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼關吏》,

“三別”是指《新婚別》《無家別》《垂老別》.語文老師打算從“三吏”中選兩首，

從“三別”中選一首推薦給同學們課外閱讀，那么語文老師選的古詩中包含《新

安吏》和《無家別》的概率是（）

2457

--C--

A.9999

答案A

解析《新安吏》《石壕吏》《潼關吏》分別記為mb,c,《新婚別》《無家別》《垂

老別》分別記為d,乙/從“三吏”中選兩首，從“三別”中選一首，有樣本點：

（〃，/?,d）,（〃，b,e）,（。，b,f）,（〃，c,d）,（〃，c,e）f（〃，c,f）,（Z?,c,d）,

S，c,e）,s，c,./）,共9個且每個樣本點的出現都是等可能的，

其中包含《新安吏》和《無家別》的樣本點有（。，b,e）,伍，c,e）,共2個，

所以所求概率為余2

4.一袋中裝有除顏色外完全相同的3個黑球和2個白球，先后兩次從袋中不放回

地各取一球，則第一次取出的是白球，且第二次取出的是黑球的概率為（）

132

---

55

10

答

案C

解析設3個黑球編號分別為4,A2,小，2個白球編號分別為3,歷,先后兩

次從袋中不放回地各取一球，樣本點有（4,A2）,（Ai,A3）,（Ai,Bi）,（Ai,&）,

(A2,AI),(42,A3),(A2,BI),(A2,82),(43,Ai),(A3,A2),(A3,Bi),(A3,82),

(Bi,Ai),(Bi,人2),(Bi,A3),(Bi,B?),(Bi,Ai),(B2,八2),(Bz,A3),(Bz,Bi),

共20個,

其中，第一次取出的是白球，且第二次取出的是黑球的情況有6個樣本點,

???所求概率/?—2Q—JQ.

5.如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，在AB,CD,EF,GH

這四條線段中任意選擇兩條，那么所在直線是異面直線的概率是（）

21

-*--

-B-C

A.2336

答案A

解析由題意得到如圖正方體，在A8,CD,EF.G”這四條線段中任意選擇兩

條，樣本點有(GH,AB),(GH,EF),(GH,CD),(ABfCD),(ABtEF)，(EF,

CD),共6個，

其中異面直線的樣本點有(G/7,AB),(GH,EF),(AB,CD),共3個，

故在A8,CD,EF,GH這四條線段中任意選擇兩條，

31

那么所在直線是異面直線的概率是

6.從甲、乙、丙、丁、戊五個人中選取三人參加演講比賽，則甲、乙都被選中的

概率為.

3

答案To

解析從五個人中選取三人，則試驗的樣本空間0={(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，

(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，

丙,戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)},共10個樣本點，

甲、乙都被選中的樣本點有3個，

故所求的概率為京3

7.從3名男同學和3名女同學中任選2名(每名同學被選中的概率均相等)，則2

名都是女同學的概率為.

答案I

解析用A,B,C分別表示3名男同學，用〃，b,c分別表示3名女同學，則從

6名同學中選出2名的樣本點有(A,B),(A,C),(A,。)，(4,力，(A,c),(B,

C),(B,a),(B,b),(B,c),(C,a),(C,b),(C,c),(a,b),(a,c),(/?,c),

共15個,

其中2名都是女同學包括(a,與，(a,c),S，c),共3個樣本點，

故所求的概率為3==事1

8.把一個骰子連續拋擲兩次，得到的點數依次為a,b,則使得關于x的方程片-

辦+。=0有2個互不相等的實數根的概率為.

17

答案36

解析若方程f—辦+〃=0有2個互不相等的實數根，則/—4於0.一個骰子連

續拋擲兩次，得到的點數依次為。，b,記為(m歷,所有的樣本點有36個，其中

滿足題意的有(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),

(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共17

個.

故使得關于X的方程f—辦+力=0有2個互不相等的實數根的概率為肝.

9.從兩臺臺式電腦(記為A和8)、兩臺筆記本電腦(記為。和Q)中任意抽取兩臺.

⑴分別寫出有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣和按比例分配分層隨機抽

樣的樣本空間；

(2)在三種抽樣方法下，分別計算抽到的兩臺都是筆記本電腦的概率.

解設第一次抽到的電腦記為x,第二次抽到的電腦記為》則可用數組(x,y)表

示兩次抽取的樣本點.

⑴根據相應的抽樣方法可知，

有放回簡單隨機抽樣的樣本空間：

。產{(A,A),(A,B),(A,C),(A,D),(B,A),(B,B),(B,C),(B,D),(C,

A),(C,B),(C,C),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C),(Q,￡>)}.

不放回簡單隨機抽樣的樣本空間：

02={(A,B),(A,O,(A,。)，(B,A),(B,Q,(B,D),(C,A),(C,B),(C,

D),(D,A),(D,B),(。，C)}.

按比例分配分層隨機抽樣，先從臺式電腦中抽一臺，再從筆記本電腦中抽一臺，

其樣本空間：

。3={(4,C),(A,。)，(8,C),(B,D)}.

⑵設事件后="抽到兩臺筆記本電腦”，

則對于有放回簡單隨機抽樣，

Ei={(C,C),(C,D),(D,C),(。，D)).

因為抽中樣本空間。中每一個樣本點出現的可能性都相等，所以這是一個古典概

型，

41

因此P(Ei)=正=不

對于不放回簡單隨機抽樣，

及={(C,。)，(D,Q}.

因為抽中樣本空間。2中每一個樣本點出現的可能性都相等，所以這是一個古典概

型，

21

因此P(E2)=五=4.

因為按比例分配分層隨機抽樣，不可能抽到兩臺筆記本電腦，所以E3=,因此

P(￡3)=0.

1().某小組共有4,B,C,D,E五位同學，他們的身高(單位：米)及體重指標(單

(2)從該小組同學中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70米以上且體重指標都

在［18.5,23.9)中的概率.

解(1)由題意知，從該小組身高低于1.80米的同學中任選2人，這一試驗Ei的

樣本空間。1={4&AC,ADfBC,BD,CD),共6個樣本點，且每個樣本點出

現的可能性相同，故屬于古典概型.

設事件M表示“選到的2人的身高都在1.78米以下”，

則〃={4&AC,BC),共含有3個樣本點，

31

所以P(M)=d=,

(2)從該小組同學中任選2人，這一試驗員的樣本空間0={AB,AC,ADtAE,

BC,BD,BE,CD,CE,DE},共10個樣本點，且每個樣本點出現的可能性相

等，故屬于古典概型.

設事件N表示“選到的2人的身高都在1.70米以上且體重指標都在［18.5,23.9)

中”，

則7={。。，CE,DE},共含有3個樣本點，

3

所以P（N）=m.

二、綜合運用

11.先后兩次拋擲同一枚骰子，將得到的點數分別記為。，b,則a,b,4能夠構成

鈍角三角形的概率是（）

1「13

AA6B-2C,36D-9

答案D

解析要使mb,4能夠構成鈍角三角形，則仇4需要滿足/+〃<42或4

+42〈序或42+從<。2,且能夠滿足三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于

第三邊.

樣本點的總數是36,結合上述條件可知，

當。=1時，均不符合要求，有。種情況；

當。=2時，b=3,5符合要求，有2種情況；

當。=3時，b=2,6符合要求，有2種情況；

當。=4時，〃=6符合要求，有1種情況；

當。=5時，8=2符合要求，有1種情況；

當。=6時，b=3,4符合要求，有2種情況；

所以能構成鈍角三角形的共有8種情況.

故。，b,4能夠構成鈍角三角形的概率〃=磊=看

JX-Z7

12.（多選）一個袋子中裝有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件產品，其中

結論正確的是（）

A.任取2件，則取出的2件中恰有1件次品的概率是￡

B.每次抽取1件，不放回地抽取兩次，樣本點總數為16

C.每次抽取1件，不放回地抽取兩次，則取出的2件中恰有1件次品的概率是J

D.每次抽取1件，有放回地抽取兩次，樣本點總數為16

答案ACD

解析記4件產品分別為1,2,3,a,其中〃表示次品.

在A中，樣本空間。={(1,2),(1,3),(1,。)，(2,3),(2,。)，(3,?)),共6

個樣本點，且每個樣本點出現的可能性相等，“恰有一件次品”的樣本點%(1,

31

〃)，(2,。)，(3,