解題技巧02 四招搞定充分必要性的判斷（解析版）2027屆高考數(shù)學一輪復習

解題大招02四招搞定充分必要性的的判定

X題型01定義法判斷充分必要性

--------------------------------1題型02集合法判斷充分必要性

四招搞定充分必要性的判斷

--------------------------------、題型03逆否命題法判斷充分必要性

題型04遞推法判斷充分必要性

知識點01從邏輯關系上看充分條件與必要條件

(1)若p=q,但4%p,則稱p是q的充分而不必要條件；

(2)若p不能推出q,但q%p,則稱p是q的必要而不充分條件；

⑶若p=>q,且q=p(即p<=>q)則說p是q的充要條件；

(4)p%q，月.q%P，則說P是q的既不充分也不必要條件.

知識點02充分必要性的的集合模型解釋

若p以集合A的形式出現(xiàn)，q以集合B的形式出現(xiàn)，即人=口,汽)},B={x|q(x)},則

(1)若AGB,則p是q的充分條件.

(2)若BGA,則p是q的必要條件.

(3)若人=8,則p是q的充要條件.

(4)若AGB且BOA,即ADB,則p是q的充分不必要條件.

(5)若BGA且A0B,即BDA,則p是q的必要不充分條件.

(6)若A。B旦B。A,則p是q的既不充分也不必要條件.

知識點03四種命題及其真假的關系(拓展)

1.四種命題的定義:

[I)互為逆命題

如一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題叫作互為逆命題，其中一個叫

作原命題，另i個叫作原命題的逆命題.

(2)互為否命題

如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的條件的否定和結論的否定，那么這兩個命題叫作互為否命

題，其中一個叫作原命題，另一個叫作原命題的否命題.

(3)互為逆否命題

如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論的否定和條件的否定，那么這兩個命題叫作互為逆否

命題，其中一個叫作原命題，另一個叫作原命題的逆否命題.

2.四種命題之間的關系

(1)四種命題之間有如下相互關系：

原命題._三3——，逆命題

翼則若,喋

否三彳&否

否命題_______________：逆否命題

若?則一＞q互逆若一1g則.

(2)四種命題真假性之間的關系：

①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

②兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關系.

典型解析

?題型01定義法判斷充分必要性

定義法判斷充分性與必要性的步驟

1.確定條件P是什么，結論q是什么.

2.看條件p能否推出結論q,若能，則p是q的充分條件，若不能則p不是q的充分條件.

【典例1】在下列各題中，分析p是q的什么條件：(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件"''既

不充分乂不必要條件”中選出一種）

（1）p:a+h=O,q:a2+b2=0;

（2）〃:工=1或％=2,4:工-1=Vx-I;

（3）p:x>0,y>0,q:xy>0.

【答案】（1）必要不充分條件；（2）充要條件；（3）既不充分也不必要.

［解析］（1六。+〃=0=。=一>表〃2+//=0,/+=0=〃=。且〃=0=>。+〃=0,

?卬是q的必要不充分條件.

（2）vX=1或X=2<=>X-1=A/7-T,,.,.p是q的充要條件.

（3）x>0,y>0=xy>0,xy>0力x>0,y>0,叩是q的充分不必要條件.

【跟蹤訓練】

1.設x,y都是實數(shù)，貝且>>3”是“x>2或），>3"的（）條件

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分也非必要

【答案】A

【分析】利用或和且的含義，再結合充要條件的定義判定即可.

【解析】①當*>2且），>3時，則x>2或y>3,??.充分性成立，

②?.大>2或），>3=x>2或），>3或x>2且），>3,.?.必要性不成立，

?.x>2且）>3是x>2或），>3的充分不必要條件，

故選：A.

2.（2026?江蘇?模擬預測）已知實數(shù)。則是"曲<1”的（）

4

A,充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

【答案】A

【詳解】1>〃+。時，T>a+bN2y/^,；.l>4ab,ab<\,

又〃/?<■!■時，取a=100,b-）,此時a+b>\,

41（X）0

所以則是的充分不必要條件.

A題型02集合法判斷充分必要性

即先將P與q的關系轉化為相應的兩個集合間的關系,再判斷充分性與必要性.

【典例2」】使不等式2x2-5x-3>0成立的一個充分而不必要條件是()

A.z<0B.x20C.x￡{—1,3,5}D.x/一或萬？3

2

【答案】C

【解析】解2X2-5X—320,得工，一工或X>3

2

對于選項4當1=-！時不能推出2x2—5x—3>0,不充分；

3

對于選項B當x=2時不能推出2x2—5x—3>0,不充分；

選項D是充要條件；

對于選項C,{—1,3,5}?？趞用，一4或x>3},故{—1,3,5}"是“不等式2x?—5x—320成立”的充

2

分不必要條件.故選C.

【典例2-2］已知〃：/一8x一20>0,q:2戶1—n^OGnX)),且p是q的必要不充分條件,求實數(shù)m的取

值范圍.

【分析】用集合的觀點考慮問題，先寫出p和q對應的集合A、B,然后由p是q的必要而不充分條件得A。

B,從而可列出不等式組求解.

【解析】解不等式/一8工一20>(),得p:A={x|x>10,或"一2}.

解不等式V—2x+l——〉0,得q:B={.r|x>1+/w,或x<1—>0}.

???p是q的必要不充分條件，

tn>0,in>0,

ABUA,結合數(shù)軸(如下圖)可知卜一機W-2,或彳\-m<-2,解得m29.

1+/M>1(),\+m>1(),

——i-i~*--0-^5-----------

1—m—20101-F-mx

???m的取值范圍為{mm29}.

【跟蹤訓練】

1.（2026?江蘇南通?三模）設集合A={x|x2-（a+l）x+a=O},集合8=^=1，，則"Ac6={3}〃的一

>人L?

個必要不充分條件是（）

A.a=3B.ciG（2,3|C.4=1D.ae{l,2}

【答案】B

【詳解】因為B=士=1}={3},

若八c8={3},則3wA,所以9-3(。+1)+。=0,解得a=3,

當〃=3時，A={X|X2-4.V+3=0]={1,3},此時」CB={3},

所以。=3是4cB={3}的充要條件，

故Fc8={3}〃的一個必要不充分條件是ae{2,3}.

2.(2026?福建泉州?模擬預測)“函數(shù)/(x)=g/+f在區(qū)間(a-4,〃)內存在最小值”的充分不必要條件可

以是()

A.()<。<2B.1<?<4C.1<?<4D.-2<a<2

【答案】B

【詳解】由題意r(x)=f+2x=%(x+2),令廣0)=0,解得工=-2或x=0,

當HC(f,-2),(0,y)時，則f(x)單調遞增，

當”e(-2,0)時，/3<0,則/(x)單調遞減，

所以/⑺的極小值為/(0)=0,

因為/(*)區(qū)間(a-4,a)內存在最小值，所以極小值點0在區(qū)間(。-4,a)內，

a-4<0

則解得0vav4,

a>0

令=x[；x+l)=(),解得x=-3,或x=°'

所以。一42-3,解得

綜上，函數(shù)/(.r)=；V+x2在區(qū)間卜「4,〃)內存在最小值時

要滿足“函數(shù)〃同=；/+/在區(qū)間卜/-4,〃)內存在最小值〃的充分不必要條件,

即所求為1w。<4的真子集，

分析選項可得，只有1<。<4符合題意.

3.(2026?云南怒江?模擬預測)已知6>0,使得不等式2幺r+」141成立的一個充分不必要條件是

x-ni

-2^x<4,則小的取值范圍是.

【答案】(4,48)

【分析】解分式不等式，再結合充分不必要條件建立關于機的不等式求解即可.

【詳解】由生—r+m+l』),可得(x+，〃+l)(x-"?)W0且

x-mx-rn

因為m>0,所以-m-lvm,故不等式的解集為［F-LM.

由是不等式成立的充分不必要條件，可得［-2,4］是［一川-1,⑼的真子集，

故｛,解得4v〃i,

所以6的取值范圍是(4,+8).

A題型()3逆否命題法判斷充分必要性

1.互為逆否的兩個命題是等價的.當我們從正面對命題.進行判斷較為困難時，可將其轉化為

對它的逆否命題進行判斷.該方法也稱為等價法.

2.由原命題和逆否命題間的關系可知：

等價于非3=非4；

BnA等價于非An非8；

4oB等價于非8。非4.

【典例3?1】錢大姐常說“便宜沒好宣貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的()

A.充分條件B.必要條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B.

【詳解】根據(jù)等價命題，便宜=沒好貨，等價于，好貨=不便宜，故選B.

【典例3?2】設條件p:實數(shù)x滿足工2-4公+3〃2<0(〃<0)；條件夕:實數(shù)1滿足f+2x-8>0且r?是

r的必要不充分條件，則實數(shù)〃的取值范圍是

【答案】a<-A

【分析】“一Q是F的必要不充分條件”等價于“q是〃的必要不充分條件”

【詳解】設尸=卜|冗2-4仆+3〃2<(),〃<()｝,可解得:尸=(3。,。),

設。=｛幻丁+2x-8>o｝可解得：Q=(f,-4)D(2,4OO),

???—p是F的必要不充分條件q是p的必要不充分條件:.Q^P-a<0:.a<-4

【跟蹤訓練】

1.祖咂原理：“帚勢既同，則積不容異'’.它是中國古代一個涉及幾何體體積的問題，意思是兩個同高的幾何

體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等。設A3為兩個同高的幾何體，p:A,8的體積不相等，

q:A,8在等高處的截面積不恒相等，根據(jù)祖咂原理可最知，p是q的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】如果AB在等高處的截面積恒相等，則AB的體積相等,即r,因此有〃=>“，但p必q,

例如，把兩個相同的錐體放在一個平面上，再把其中一個錐體翻轉底向上，頂點在原底面所在平面，雖然在

等高處的截面積不恒相等，但體積相等.故〃是9的充分不必要條件.故選A.

【點撥】破解此類題的關鍵:一是讀懂數(shù)學文化的背景的含義：二是利用“以小推大”的技巧來破解充分必要

條件的判斷.

2.判斷下列命題p是命題q的什么條件.

(1)p：X2y2；q：工工丫或工工一、.

(2)若x,y為實數(shù)，p：|才|+|)”。0;q：x,y不全為0.

【解析】(1)—/?：x2=y2；—q：乂=丫且*=—y,—p令F,但r=>—/?,

所以F是f的充分不必要條件，即P是q的充分不必要條件.

(2)-y?：|X|4-1y|=0；ry：x,y全為0,-/?<=>-^,所以ry是一/2的充分條且是必要條件，即p

是q的充分且必要條件.

I?題型04遞推法判定充分必要性

由于邏輯聯(lián)結符號“今”臺”具有傳遞性，因此可根據(jù)幾個條件的關系，經過若干

次的傳遞，判斷所要判斷的兩個條件之間的依存關系.

【典例4】己知〃是一的充分不必要條件，夕是廠的充分條件，s是r的必要條件，夕是s的必要條件.現(xiàn)有

下列命題：

(1)$是4的充要條件；(2)〃是q的充分條件而不是必要條件；(3〃?是4的必要條件而不是充分條件；(4)-1P

是F的必要條件而不是充分條件；

(5)，?是s的充分條件而不是必要條件.

則正確命題的序號是

【答案】⑴⑵⑷

【詳解】根據(jù)已知條件畫出下圖：

結合上圖可知，，s<=>4,(1)正確；〃=〃=s=q,...〃=夕，但鄉(xiāng)工>〃，(2)正確；同理判斷(3)(5)不

正確，(4)正確.

【跟蹤訓練】

1.已知p，q都是r的必要條件，5是r的充分條件，q是5的充分一條件.那么：

(l)s是9的什么條件？

(2)廠是學的什么條件？

(3)p是g的什么條件？

【解析】由題意畫出網絡示意圖.

由圖可知:

(l)q=s,,s=>/=><??所以s是4的充要條件.

(2)〃=夕，q=>s=>『.所以，?是，/的充要條件.

(3)<7=>.v=>r=〃，所以〃是g的必要條件.

鞏固提升

1.（2026?上海普陀?二模）已知直線/、m和平面了,若mua,則”與也不相交”是的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.既非充分乂非必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)線面判斷及線線位置關系結合必要非充分條件定義判斷.

【詳解】當直線/與平面。相交，且交點不在直線〃?上時，滿足”與〃?不相交〃，

但“"/a”不成立，故充分性不成立；

若IHa,則/與a無交點,所以“j與旭不相交”,故必要性成立：

所以“/與，〃不相交”是“〃/a”的必要非充分條件.

2.（2026?四川達州?二模）已知向量成=（〃-1,。一5）,?=（-],d-2）,則“a=T〃是“而〃萬”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用平面向量平行的坐標表示即可求解.

【詳解】當。二一1時，向量而=（-2,-6）,五二（一1,一3）,則4=2萬,即向/無故充分性成立；

當成/歷時，滿足（〃一1）（。一2）+以1/-5）二。，即（〃一3）,+1）=0,解得：a=3或a=—l,所以必要性不成

立；

所以"a=-1"是"m//萬”的充分不必要條件

3.（2026?山東煙臺?二模）已知｛4｝是等差數(shù)列，其公差為d,前〃項和為S”，則"d>0”是"數(shù)列｛手｝為

單調遞增數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】因為S”=陷H—g--d,所以==al——d+—n.

若d>0,則關于〃的函數(shù)2=4-2d+《〃是單調遞增的?次函數(shù)，

n22

所以數(shù)列［鼠］為單調遞增數(shù)列.

n

若數(shù)列［4］為單調遞增數(shù)列，則當〃22時，氣>辿，

(nnn-\

即解得〃>0.

S

所以〃d>0〃是“數(shù)列—為單調遞增數(shù)列〃的充要條件.

n

4.(2026?河北邢臺?二模)已知數(shù)列｛&｝的前〃項和為5“，且S“=m/+加+1,則；〃是"數(shù)列｛4｝為

遞增數(shù)列〃的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

［詳解］當〃=1時，q=&=a+6+1,

2

當〃N2時，an=Sn-=an+bn+\-+b(n-1)+\=2an-a+b,

當〃N2時，an^-an=2a(n+1)-a+b-(2an-a+b)=2a,

要使數(shù)列｛q｝為遞增數(shù)列，則］,

a>0|

即.八A/解得〃>彳；

3a+b>a+b+\2

若〃>；，則一定滿足。>0且q>4,數(shù)列｛q｝遞增，充分性成立；

若數(shù)列｛4｝遞增，則必有必要性成立；

所以"〃>g"是"數(shù)列｛q｝為遞增數(shù)列”的充要條件.

5.(多選)(2026山東泰安?三模)下列選項正確的有()

A.已知諭，后是兩個非零向量，則“比與”的夾角為鈍角"是"用mvO"的充要條件

B."sinx=l"是"cosx=0"的充分不必要條件

C.事件4與8相互獨立的充要條件是尸(48)=P(A)P(8)

D.已知等比數(shù)列｛q｝的公比為q,則“">1"是"&｝是單調遞增數(shù)列〃的必要不充分條件

【答案】BC

【詳解】對于A,因為陽，元是兩個非零向量，

所以iii-?<()<=>］麗卜|同cos〈泣"〉<00cos〈源汾<0=沅與n的夾角為鈍角或180。，

所以“玩與萬的夾角為鈍角"是"行萬<0〃的充分不必要條件，故A錯誤.

對于B,^9cosx=0<=>cos2x=0<=>l-sin2x=0<=>sinx=±l?

所以“sinx=l"是"cosx=0"的充分不必要條件，故B正確.

對于C,根據(jù)事件相互獨立的定義可知,事件C與8相互獨立的充要條件是P(A5)=P(A)P(8),故C正確.

對于D,當％<0時，若4>1,則4=4聞”、

由指數(shù)函數(shù)的性質可知=是減函數(shù)，所以"“>1"推不出"｛q｝是單調遞增數(shù)列”；

若等比數(shù)列｛qj是單調遞增數(shù)列，則〃")=是增函數(shù)，

所以4<0且0<”1或4>()且“>1,

所以“應｝是單調遞增數(shù)列〃推不出“4>】”,

所以是"｛4｝是單調遞增數(shù)列〃的既不充分也不必要條件，故D錯誤.

6.(多選)(25-26高三下?湖北襄陽?月考)有限集合S中元素的個數(shù)記作card(S),設AB都為有限集

合，則下列命題中是真命題的有()

A.AD8=0的充要條件是card(AU⑶=card(A)+card(8)

B.的必要條件是card(A)4card(8)

C.4不是4的子集的必要條件是card(A)<card(fi)

D.A=8的充要條件是card(A)=card(8).

【答案】AB

【詳解】對于A,因為AD8=0等價于。胡(1(4口田=0，

又card(A\JB)=card(人)+card(B)-card(八p)〃)，

所以card(Ap|4)=0等價于card(A(JB)=card(A)+card(B),

故AP|8=0的充要條件是card(A\JB)=card(A)+card(B),故A正確；

對于B,因為所以集合A中的元素都是集合8中的元素，故card(A)WcardS),

所以card(4)Wcard(8)uA=8,故B正確；

對于C,令4={0,2,3}1={1,2},顯然A不是b的子集，此時card(A)>card(8),

故C錯誤；

對于D,令人={0,1},8={1,2},顯然card(A)=card(8),但AwB，所以A=8的充要條件不是

card(A)=card(B),故D錯誤；

7.已知p是q的必要不充分條件,q是一的充要條件，s是，?的充分不必要條件，現(xiàn)有下列命題：①p是s的

必要不充分條件；②q是s的充要條件；③廠是p的充分不充分條件；④非p是非s的必要不充分條件；⑤

P是r的充分而不必要條件；則正確命題序號是:

【答案】①③

【解析】如圖，P笫I"『毋觀圖并結合充分條件與必要條件的傳遞性可得，p是s的必要不充分條件,q

是s的必要不充分條件,r是p的充分不必要條件,s是p的充分不必要條件(即非p是非s的充分不必要條件),p

是「的必要不充分條件.

8.(2025高一?全國?專題練習)若是“卜-對<1〃的充分不必要條件，則實數(shù)加的取值范圍為

【答案】」2]

【詳解】由,一相|<1，可得T<戈一根<1,

得加一即工￡(〃2-1,〃1十1),區(qū)間長度為2,

(1,2)區(qū)間長度為1,

因為是"歸-〃?|<1"的充分不必要條件，

所以(1,2)是(〃L1,〃2+1)的真子集，

又區(qū)間長度為2,(1,2)區(qū)間長度為1,

所以〈解得1W"區(qū)2,

[w+1>2

故實數(shù)，〃的取值范圍為[1,2].

9.(25-26高一上?