2026高考數學復習：變量間的相關關系及回歸模型（附答案）

變量間的相關關系及回歸模型

（分值:84分）

（單選題每小題5分,多選題每小題6分,填空題每小題5分）

基礎鞏固練

1.（2020?全國I，理5）某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發芽率y和溫度x（單

位:℃）的關系，在20個不同的溫度條件下進行種子發芽實驗，由實驗數據8M）（i=l,2,…,20）得

到下面的散點圖：

o<----------->----------1----------1----------?

010203040溫度/OC

由此散點圖，在10℃至40°C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發芽率y和溫度x

的回歸方程類型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+be'D.y=q+blnx

2.（2024?上海,13）已知氣候溫度和海水表層溫度相關，且相關系數為正數，對此描述正確的是

（）

A.氣候溫度高，海水表層溫度就高

B.氣候溫度高，海水表層溫度就低

C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢

D.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢

3.已知變量x與y的取值如下表：

X12345

y57-m89+〃711

且y對x呈現線性相關關系，則y與x的經驗回歸方程y=4什0必經過的定點為（）

A.（l,5）B.（2,7-⑼C.38）D.（5,ll）

1

4.對某種動物的三項指標48c進行調查研究.現有這種動物若干只，設每只動物的這三項指

標為.若（明瓦）與3,G）的散點圖如圖1和圖2所示，那么關于（加,G）的散點圖最

合理的為（）

6

5

4

3

2

1

0123456A

圖1

7

6

5

4

3

2

1

0123456A

圖2

77

66

55

44

33

22?.???.

1

A0123456BB0123456B

C

77

66

55??

44

33

22

1

Co123456BD0123456B

5.已知由樣本數據（為,乂）（，=1,2,3,…,6）組成的一個樣本，得到經驗回歸方程為y=2x+0.5,且又=6,

增加兩個樣本點（-1,3）和（5,10）后，得到新樣本的經驗回歸方程為y=2.5x+b.在新的經驗回歸

方程下，樣本（4,9）的殘差為（）

A.-2B.-0.5C.0.5D.2

2

6.根據變量y和》的成對樣本數據，由一元線性回歸模型篇量篇二得到經驗回歸模

型;=￡+；,對應的殘差如圖所示，則模型誤差()

-20406080100觀測時間

A.滿足一元線性回歸模型的所有假設

B.只滿足一元線性回歸模型的E(e)=0的假設

C.只滿足一元線性回歸模型的Q(e尸標的假設

D.不滿足一元線性回歸模型的E(e)=0Q(e)=/的假設

7.觀察變量x與j，的散點圖發現可以用指數型模型/擬合其關系，為了求出經驗回歸方

程，設z=l”,求得z關于x的經驗回歸方程為;=2x-l,則片,k=.

8.(13分)某公司為提升A款產品的核心競爭力，準備加大A款產品的研發投資，為確定投入

A款產品的年研發費用，需了解年研發費用x(單位:萬元)對年利潤興單位:萬元)的影響.該公

司統計了最近8年每年投入A款產品的年研發費用與會利潤的數據,得到如圖所示的散點

888

圖.經數據分析知/與x正線性相關，且相關程度較高.經計算得，E斯=80,￡切=200,S。廠

t=1i=1i=l

8

3)2=250,E84)8歷)=500.

i=1

y

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

02468101214161820X

AAA

(1)求y關于x的經驗1Hl歸方程y=bx+a;

3

（2）若該公司對A款產品欲投入的年研發費用為30萬元，根據（1）得到的經驗回歸方程，預測

年利潤為多少萬元.

n

人￡（xrx）（yry）AA

附為=--------,a=y-bx.

綜合提升練

9.已知變量y與變量x的關系可以用模型y=,eC2x（C1,c2為常數）擬合，設z=lny,變換后得到

一組數據如下：

X23456

z1.021.201.421.621.84

由上表可得經驗回歸方程為z=0.206x+a,則5=（）

A.0.206B.c0-206

C.0.596D.c0596

10.（2025?海南海口模擬）已知變量x和變量y的一組成對樣本數據（歷,乂）?=1,2,3,…川,其經驗

A

回歸方程為y=6x+a,若X/F+4,W=M-1,新樣本數據8'M（i=1,2,3,…⑼得到的經驗叵歸方程

A

依然為y=6x+a,則b=（）

A.-4B.4C.4D.7

44

1n

11.（多選題）（2026?廣東佛山質量檢測）有一組成對樣本數據但加）/2必），…,設又=-S

ni=l

1n

馬歹=：￡%，由這組數據得到新成對樣本數據g五為彳）.（必兄乃-力，…,E-京力力，下面就這兩

組數據分別先計算樣本相關系數，再根據最小二乘法計算經驗回歸直線，最后計算出殘差平

方和，則下列選項正確的有（）

4

n

八Zx）（yry）AA

附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為￡=--------坦=歹-位.相關系數

2

i（xrx）

f=1

n__

￡（xx）（yy）

i=I___r_____r______

尸丁^Z~n~■

）

S（XCX）2￡（y廣歹2

q>=ii=i

A.兩組數據的相關系數相同B.兩組數據的殘差平方和相同

C.兩條經驗回歸直線的斜率相同D.兩條經驗回歸直線的截距相同

12.某校數學建模興趣小組收集了一組恒溫動物體重做單位:克）與脈搏率負單位:心跳次數/

分鐘）的對應數據（用工）（尸1,2,…,8）,根據生物學常識和散點圖得出/與〃近似滿足

8

戶c渺（c★為參數）.令斯=ln肌,％=ln計算得1=8,歹=5,2W=214.由最小二乘法得經驗回歸

i=i

方程為;=晨+7.4,則k的值為;為判斷擬合效果，通過經驗回歸方程求得預測值；

。=1,2,…,8）,若殘差平方和V&廠匕）2n）.28,則決定系數用y.（參考公式:決定系數

i=1

￡（yr匕產

R2=l-耳-----）

i（yry）2

i=1

13.（15分）2024年某養殖基地考慮增加人工投入,根據市場調研與模擬，得到人工投入增量

x（單位:人）與年收益增量興單位:萬元）的數據和散點圖分別如下：

V234681013

V13223142505658

年收益增量W萬元

60..

50?

40?

30?

20,

10,

51015人工投入增§tx/人

根據散點圖,建立了y與x的兩個回歸模型：

模型①:y=4.lx+11.8;模型②:y=6代+a

⑴求出模型②中y關于x的經驗回歸方程（精確到0.1）;

5

(2)比較模型①、模型②的決定系數k的大小，說明哪個模型擬合效果更好,并用該模型預

測,要使年收益增量超過80萬元，人工投入增量至少需要多少人?(精確到整數)

經驗回歸方程；=￡+；的系數：

n_n__nA

2

八Zx(yi-nxyZ(xrx)(yry)AA￡(yry.)

b=丹------=J------------,Q=歹一匕五模型的決定系數:R2=|一甲------.

￡蜻nx2￡(x(-x)2E(yry)2

1=1I=1i=1

AAA77

參考數據:令t=^My=4+a,且上2.46薩38.86,￡(北Xr用戶80.97,￡(3X78;模型①中

t=1i=i

yAyA

S。廠匕)2=182.42;模型②中￡什廠匕)2=74.12.

1=1￡=1

6

參考答案

變量間的相關關系及回歸模型

1.D解析結合題中散點圖，由圖象的大致走向判斷,此函數應該是對數函數模型，故應該選

用的函數模型為

2.C解析成對數據相關分析中，若相關系數為正數，則兩個變量的值多為同時增加或同時減

少.由此可知A,B,D選項錯誤,C選項正確.故選C.

3.C解析由于又「+2+廣4+5=3,乃5+(75)+8；(9+叫+38,

則線性回歸方程必過定點(3,8).故選C.

4.A解析因為指標43滿足正相關,指標力。滿足負相關，可知指標員。滿足負相關，故C

錯誤;且(曲皿￡(4,6),(辦回￡(5,7)片N：故B,D錯誤.故選A.

5.C解析設新樣本的均值為V又則？=生產=5,歹=6"；+1。=1],所以1]=2.5乂5+/,解

得[=-1.5,所以新樣本的經驗回歸方程為y=2.5x-L5,預測值y=2.5x4-1.5=8.5,所以殘差為9-

8.5=0.5.故選C.

6.D解析根據一元線性回歸模型中對隨機誤差的假定，殘差應是均值為0,方差為〃的隨

機變量的觀測值，在殘差圖中顯示應均勻分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區

域內.而圖中的殘差與觀測時間存在線性關系，說明均值不為0,殘差的方差不是一個常數，所

以不滿足一元線性回歸模型的所有假設,故選D.

7.e"2解析由題意知Jny=2x-1,所以y=e2x"=e-Le*又產。*所以。=e",解得％=2.

88

8.解⑴I,Zx尸80,Z必=200,

i=1i=1

88

/.x=1=<?iy<=25.

88

88

72

.Z(^-x)=250,(xrx)(j7-y)=500,

i=ii=i

7

8

,，「歹)500f

??力=§=250=2,

2儼⑨2

，a=y-bx=25-2xl0=5.

故y關于x的經驗回歸方程為y=2i+5.

A

(2)由(1)可得,y=2x+5.

???當x=30時,>=2x30+5=65.

???對A款產品投入30萬元年研發費用，年利潤約為65萬元.

9.D解析由表格中數據得數=2+3+：+5+6=4,

-1.02+1.20+1.42+1.62+1.84,

z=----------------------=1.42,

AAA

代入方程，得1.42=0.206X4+Q,解得Q=0.596,因此z=0.206x+0.596.

由產**兩邊取對數，得Iny=c2x+lncb

又z=lny,所以,2=0.206,Inq=0.596,即ci=e°$96故選D.

.c^+匚、n一八，+X2+…+x—yiy2

10.C解析idx=-----------n,y=-----------,

則？=（不+4）+（必+：）+…+（芍+4）=又+4,同理￡二。1,

所以點（蒜）丘+4,詞）都在直線、心+夕上,所以g=歲衰;2n.“

iy-1-u\x十一j十a,

解得g］故選c.

H.ABC解析由于新成對樣本數據但無歷02-元力-歹）,…,（用廣五弘廣歹）,其平均數分別為％'=

（%「歹）+（%2-歹）+…+（Xn-歹）_（*1+）2+…+小nA同理不一（3廠,）土（及-歷+…+（力-力_

(yi+y2+.??+y〃)-〃丁二。

n

，〃勺?x)(yry)2四-%)(y「歹)

這樣根據公式b=-----n---------------,尸=~Inn

Z(M-XI2E(xrx)2E(y,-y)2

f-17“i?■i

8

用樣本數據減去平均數得片-1與新成對數據(X廠分%'=(》月)-0=M-五

用樣本數據減去平均數得歹;與新成對數據(yry)-y'=(vry)-0=y；-y,

即它們每一個對應數據的差值都是一樣的，

這就說明兩條經驗回歸直線的斜率相同，兩組數據的相關系數相同，故A,C正確；

由于回歸宜線經過樣本數據的樣本點為區歹),而新數據的樣本點為(0,0),

即樣本數據的回歸