直線與圓的位置關系【十大題型】-人教A版高中數學選擇性必修第一冊（原卷版）

專題2.7直線與圓的位置關系【十大題型】

【人教A版(2019)]

>題型梳理

【題型I判斷直線與圓的位置關系】.............................................................2

【題型2根據直線與圓的位置關系求參數】.......................................................2

【題型3圓的切線長】..........................................................................3

【題型4圓的切線方程的求解】.................................................................4

【題型5已知切線求參數】......................................................................4

【題型6求圓的弦長與中點弦】.................................................................5

【題型7已知圓的弦長求方程或參數】............................................................6

【題型8直線與部分網的相交何題】.............................................................7

【題型9直線與圓有關的最值何題】.............................................................8

【題型10直線與圓的方程的實際應用】..........................................................9

A舉一反三

【知識點1直線與圓的位置關系及判定】

i.直線與圓的位置關系及判定方法

(1)直線與圓的位置關系及方程組的情況如下:

位置相交相切相離

交點個

兩個一個零個

數

/、

(/

圖形

",

d與r的

d<rd=rci>r

關系

方程組

有兩組不

解的情僅有一組解無解

同的解

況

(2)直線與圓的位置關系的判定方法

①代數法：通過聯立直線方程與圓的方程組成方程組，根據方程組解的個數來研究，若有兩組不同的

實數解，即△>(),則直線與圓相交；若有兩組相同的實數解，即△=(),則直線與圓相切；若無實數解，即

△<0,則直線與圓相離.

②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑，?的大小來判斷，當dvr時，直線與圓相交；當公r時，直線

與圓相切;當力，?時,直線與圓相離.

【題型1判斷直線與圓的位置關系】

【例1】（23-24高二下?陜西榆林,階段練習）直線丫=k（工一5）-2（4￡幻與圓。一3）2+。+1）2=6的位

置關系為（）

A.相離B.相交C.相切D.無法確定

【變式1-1］（23-24高二下?云南曲靖?期末）已知圓C:（%-2/+V=16,直線/:m%+y-3m-1=0,

則下列結論中正確的是（）

A.直線I恒過定點（2,1）B.直線I與圓C相切

C.直線1與圓。相交D.直線I與圓。相離

【變式1-2］（23-24高二下?上海?期中）已知直線上ax+by—r2=。與圓C:x2+y2=r2（r>0）,點A（a,b）,

則下列說法錯誤的是（）

A.若點A在圓C上，則直線［與圓C相切

B.若點4在圓C內，則直線，與圓。相離

C.若點4在圓C外，則直線［與圓C相離

D.若點4在直線［上，則直線L與圓C相切

【變式1-3］（23-24高二下.上海.期末）已知圓。的方程為X2+嚴=r2,點、pg/）,（MW0）是圓。內一點,

設以P為中點的弦所在的直線為m,方程為ax+by=r2的直線為m則（）

A.m||n,且ri與圓。相交B.m||n,且幾與圓。相離

C.mln,月.n與圓。相交D.m1九，且n與圓。相高

【題型2根據直線與圓的位置關系求參數】

【例2】（2024.山東煙臺.三模）若圓/+y2+Q%+百y+2Q-3=o與無軸沒有交點，則實數a的取值范圍

為（）

A.（2,6）B.（3,5）

C.（2,3）U（5,6）D.（2,3）U（6,+8）

【變式2-1］（23-24高二下.四川達州?期中）“一4VmV6”是直線Z:%+y-m=O和圓C:（x-I）2+

（y+1）2=8相交的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式2-2］（2U24?江西吉安?模擬預測）已知圓（::％2+丫2-6%+8=。與直線/^一、+2=。有公共點，則

整數k的值為()

A.-3B.-1C.1D.2

【變式2-3](23-24高二下?河南濮陽?階段練習)已知直線，:y=%+a與圓7+=2和圓(％-4)2+y2=

祖2〔小＞0)都相切，則實數血的值為()

A.V2B.2^2C.3V2D.a或3或

【知識點2圓的切線及切線方程】

1.自一點引圓的切線的條數：

(1)若點在圓外，則過此點可以作圓的兩條切線；

(2)若點在圓上，則過此點只能作圓的一條切線，且此點是切點；

(3)若點在圓內，則過此點不能作圓的切線.

2.求過圓上的一點(右,％)的圓的切線方程：

(1)求法：先求切點與圓心連線的斜率M后0),則由垂直關系可知切線斜率為-)，由點斜式方程可求

得切線方程.如果k=O或k不存在，則由圖形可直接得切線方程.

(2)重要結論：

①經過圓/+必=,.2上一點PG。,％)的切線方程為+=〃2.

222

②經過圓(x—a)2+(y—b)=r上一點「(.，此)的切線方程為(凡一a)(x—a)+(yQ—b)(y—b)=r.

③經過圓M+y2+DI+E)，+F4)上一點p(x°,%)的切線方程為+D?土甘+E?丐a+F

=0.

【題型3圓的切線長】

【例3】(23-24高二上?安徽馬鞍山?期末)由點P(-l,4)向圓工2+必一4%-6丫+12=0引的切線長是()

A.3B.V5C.gD.5

【變式3-1](23-24高二上?北京平谷?期末)已知半徑為I的圓經過點4(2,3),過點M(—2,0)向圓作切線，

則切線長的最大值為()

A.V35B.2nC.V15D.473

【變式3-2](23-24高二上.重慶北硝.階段練習)過點4(2,3)作圄M:/+y2=1的一條切線，切點為⑶則

\AB\=()

A.3B.2V3C.V7D.V10

【變式3?3】(2024?湖北?模擬預測)已知點P為直線1:3%-4丫+12=0上的一點,過點P作圓C:(x-3/+

(y-2)2=1的切線PM,切點為M,則切線長|PM|的最小值為()

.12D13廠V170「\/194

【題型4圓的切線方程的求解】

【例4】（23?24高二下?北京?期中）已知圓O:/+y2=5,直線，經過點（1,2）,且I與圓0相切，則，的方程

為（）

A.x+2y-5=0B.x-2y+3=0C.2x-y=0D.2x+y-4=0

【變式4-1]（23-24高二上.河南許昌.期末）直線/過點P（2,l）,且與圓/+/=1相切，則直線/的方程

為（）

A.3x+4y+2=0B.4%-3y+5=0

C.4x4-3y+5=0D.4x—3y—5=0或y=1

【變式4-2]（23-24高二上?湖南長沙?期中）過點（4,0）的直線2與圓/+川一軌一町+16=0相切，則

直線/的方程為（）

A.3x+4y-12=0或y=0B.3%+4y-12=0或X=4

C.4k+3y—12=0或y=0D.4%+3y—12=0或k=4

【變式4-3]（23-24高二上.天津?期末）過（1,0）點旦與圓/+丫2一4X-4y+7=0相切的直線方程為（）

A.2x-y-2=0B.3x-4y-3=0

C.2%-y-2=0或x=lD.3x-4y-3=0或x=1

【題型5已知切線求參數】

[例5]（23-24高二上?福建泉州?階段練習）若直線y=V3z+7tl與圓/+y2-2y=0相切，則實數TH的值

為（）

A.一百+2或-75-2B.1或-3

C.-1或3D.“+1或百一1

【變式5-1]（23-24高二下?廣東江門?期末）若直線％-y+3=0與圓/+y2-2x+2-a=0相切，則a=

（）

A.9B.8C.7D.6

【變式5-2]（23-24高二下.江西.階段練習）已知圓O:/+y2=%直線I的方程為％-y+m=0,若在直

線Lt存在點P,過點P作圓。的切線P4PB,切點分別為點48,使得乙408為直角，則實數m的取值范圍為

（）

A.（—oo,—4）U（4,4-00）B.（―oo,-4]u[4,4-oo）

C.（-4,4）D.[-4,4]

【變式5-3]（23-24高二上?安徽蕪湖?階段練習）已知圓C：（x+1尸+（y-1尸=4,若直線y=依+5上

總存在點P，使得過點P的圓C的兩條切線夾角為60。，則實數k的取值范圍是()

B.女工一盤或攵21

JLD

C.k<一個或k>0D./c>1

JLO

【知識點3圓的弦長】

1.圓的弦長問題

設首線/的方程為嚴丘+〃，網C的方程為(X—工0)2+(y—%)2=廠2,求弦長的方法有以下幾種:

(1)幾何法

如圖所示，半徑八圓心到直線的距離4弦長/三者具有關系式：，==*+(《)2

(2)代數法

將直線方程與圓的方程組成方程組，設交點坐標分別為A(M，M)](M，n).

①若交點坐標簡單易求，則直接利用兩點間的距離公式進行求解.

y=kx+b

②若交點坐標無法簡單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元

22

(x-xoy+(y-y0)=i

二次方程中根與系數的關系可得汨+必,汨?必或以十必，州?乃的關系式，通常把I4—x?|或

|力用=+土|凹一叫作弦長公式.

【題型6求圓的弦長與中點弦】

[例6](23-24高二下?山東煙臺?階段練習)已知圓/+y2-12A-+20=0,過點M(4,2)的直線與圓交于4,8

兩點，線段48的中點為M

(1)若點N的坐標為(4,0),求歷例；

(2)若線段MN的垂直平分線經過點P(2,0),求直線的方程.

【變式6-1](23-24高二上.山東日照.期末)已知直線，1：4x-3y+5=0與％垂直，且，2經過點(一1」)?

(1)求，2的一般式方程；

(2)若月與圓c：/+(y-4)2=25相交于48兩點，求|4B|.

【變式6-2](23-24高二上?河南駐馬店?期末)公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一

書中證明了平面內到兩定點距離之比為常數k(k>0,kH1)的點的軌跡是圓，這個圓被稱為阿波羅尼斯

圓.在平面直角坐標系xOy中，N(0,0),M(3,0),動點Q滿足需=2,設動點Q的軌跡為曲線C.

⑴求曲線。的方程；

(2)直線Lx+my+m=0(m6R)與曲線C交于4B兩點，若mW{-l,0,l},從中任選一個血值，求此時相應

的弦長|4B|.

【變式6-3](23-24高二上.湖北荊州.期末)已知圓。:必+y2-4m%+2y+5m2-6nl-6=0,直線，:％+

y-3=0.

⑴求m的取值范圍;

(2)當圓。的面積最大時，求直線/被圓C截得的弦長.

【題型7已知圓的弦長求方程或參數】

2

[例7](23-24高二下?安徽六安?期末)“a=一5”是“直線+乃y+a=0被圓(％-I)2+(y-2⑹=5

截得的弦長為4”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.即不充分也不必要條件

【變式7-1]（23-24高二下.安徽安慶?期末）已知圓心為（1,1）的圓與x軸交于A、B兩點,\AB\=2t則該

圓的方程是（）

A.x2+y2+2x+2y=0B.x2+y2+2x4-2y-4=0

C.x2+y2-2x-2y=0D.x2+y2-2x-2y-4=0

【變式7-2]（2024?貴州六盤水?三模）已知直線ax—y+2=0與圓（％-1）2+丫2=4相交于A，B兩點,

若[48|=28，則a=（）

43

A.-B.1C.--D.-2

34

【變式7-3]（2024?全國?模擬預測）已知圓C:7+y2-6%=0,直線位。都經過原點0,且匕,小若。與

。被圓。所截得的弦長之比為2:1,則直線。的斜率為（）

A.--B.-C.±-D.±-

2323

【題型8直線與部分圓的相交問題】

【例8】（23-24高二上?江蘇連云港?階段練習）若直線/:y=%+b與曲線、=斤中有兩個交點，則實數b

的取值范圍是（）

A.（-V2,V2）B.（1,V2）

C.[1,V2）D.[1,V2]

【變式8-1]（23-24高二下?重慶階段練習）直線上x—my-l—3m=0與曲線C:x=2+6手有兩個

交點，則m的取值范圍是（）

【變式8-21（23-24高二下?湖南長沙?開學考試）若直線y=m（x-1）+2與曲線y=^/?二77有且僅有兩個

不同的交點，則實數m的取值范圍是（）

A.卜2,-加（0可B.（-00,0）U（^,+oo）

C.[-2,-^）U（0,^]D.（-03,0）U（1,4-03）

【變式8-3]（23-24高二上?山西朔州?期末）直線-y-2k+1=0與曲線C:y+1=+6%-5有

交點，則實數A的取值范圍是（）

A.[-1,2]B.(-co,-^]u[2,+oo)

C.[-2,|]D.(_8,-2]U原+8)

【知識點4與圓有美的最值問題的解題策略】

1.解與圓有關的最值問題

(I)利用圓的幾何性質求最值的問題

求圓上點到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線.

①如圖2-5-14S,當直線/與圓C相交時，最小距離為0,最大距離為4力=-4其中r為圓的半徑，〃

為圓心到直線的距離；

②如圖2-5-ld②，當直線/與圓C相切時，最小距離為0,最大距離為AO二2八

③如圖251d③，當直線/與圓C相離時，最小距離為最大距離為

圖2-5_I-4

(2)利用直線與圓的位置關系脩決最值(取值范圍)問題

解析幾何中的最值問題一般是根據條件列出所求目標一函數關系式，然后根據函數關系式的特征選

用參數法、配方法、判別式法等，應用不等式求出其最值(取值范圍).對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾

何性質，根據式子的幾何意義求解，這常常是簡化運算的最佳途徑.

①形如〃=匯二2的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題.

X—a

②形如t=ax+by的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題.

③形如(x-〃)2+()，—份2的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題.

(3)經過圓內一點的最長弦就是經過這點的直徑，過這點和最長弦垂直的弦就是最短弦.

【題型9直線與圓有關的最值問題】

【例9】(2024.陜西漢中?二模)已知OM:x2+y2-2x-2y-2=0,直線，:2%+y+2=0,P為/上的一

動點，A,3為OM上任意不重合的兩點，則cos乙4PB的最小值為()

人2百4西門3

A.----DB.——C.---D.——

5555

【變式9-1](2024.四川攀枝花.三模)由直線＞=%上的一點P向圓(％—4)2+y2=4引切線，切點為Q,則

|PQ|的最小值為()

A.V2B.2C.遍D.2V2

2

[變式9-2](23-24高二下?湖南?期中)設4為直線3+y-2=0上一點，P,Q分別在圓G：1+J+y2=;

與圓。2：(無一1)2+(y—4)2=1上運動，則I/1QI—|入0|的最大值為()

A3+V13D1+V13廠3+V73n-3+V73

?2a?2。?2u?2

【變式9-3](2024?陜西西安?一模)己知圓。的方程為：x2+y2=1,點4(2,0),8(0,2),P是線段48上的

動點，過P作圓。的切線，切點分別為C,D,現有以下四種說法：①四邊形PC。。的面枳的最小值為1：②

四邊形PC0D的面積的最大值為倔③麗?麗的最小值為-1；④卮?而的最大值為看其中所有正確說法

的序號為()

A.①③④B.?@@C.②③④D.①④

【知識點5直線與圓的方程的應用】

1.直線與圓的方程的應用

(1)解決實際問題的步驟：

①審題：認真審題，明確題意，從題目中抽象出兒何模型，明確題中已知和待求的數據；

②建系：建立適當的平面直角坐標系，通過點的坐標及已知條件，求出幾何模型的方程；

③求解：利用直線、圓的性質等有關知識求解；

④還原：將運算結果還原為對實際問題的解釋.

(2)建系原則

建立適當的平面直角坐標系要把握兩個原則：

①對稱性原則.可以選擇對稱中心為坐標原點，對稱軸所在的直線為坐標軸.到兩個定點的距離問題，可

以選擇兩個定點所在的直線以及線段的垂直平分線為坐標軸等.有兩條相互垂直的直線的問題則川選其為坐

標軸.

②集中性原則.可以讓曲線上盡可能多的特殊點在坐標軸上.如與三角形有關的問題，可以考慮將三角形

的三個頂點全部放在坐標軸上.

【題型10直線與圓的方程的實際應用】

【例10】(23-24高二上?湖北武漢?期末)為了保證海上平臺的生產安全，海事部門在某平臺。的正東方向

設立了觀測站4在平臺。的正北方向設立了觀測站B,它們到平臺。的距離分別為12海里和0)海里,

記海平面上到觀測站4和平臺。的距離之比