高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 第4節(jié) 不等式恒（能）成立問題-含解析

第4節(jié)不等式恒(能)成立問題

9重難解讀恒(能)成立問題是高考的常考考點(diǎn)，其中不等式的恒(能)成立問題經(jīng)常與導(dǎo)數(shù)及其幾何意義、

函數(shù)、方程等相交匯，綜合考查分析問題、解決問題的能力，一般作為壓軸題出現(xiàn)，試題難度略大.

—L????考點(diǎn)突破能力提升——:-----------c

考點(diǎn)一分離參數(shù)法求參數(shù)范圍

【例1]已知函數(shù)/(x)=sinx-2ax,a《R,若關(guān)于x的不等式f(x)Wcosx-1在區(qū)間上恒成立,求實(shí)數(shù)a

的取值范圍.

解不等式/G)Wcosx-l在區(qū)間gn)上恒成立，

即2心---------在區(qū)間上怛成立，

、兒/\sinx-cosx+1

設(shè)g(<)=-------；-------，

Fil，/x_xcosx+xsinx-sinx+cosx-l

火」gw=------------------------------------

設(shè)h(x)=xcosA'+Asinx-sinx+cosx-i,貝U/zz(x)="xsinx+xcosx=x(cosx-sinx).

因?yàn)楫?dāng)&TT)時(shí),sinJC>0,COSX<0,

所以當(dāng)x￡(Q)時(shí),"(x)vO,

所以函數(shù)力⑺在&Ti)上單調(diào)遞減，且皚)=短2<()，所以當(dāng)時(shí)，〃㈤<°，

即g'(x)<。，則函數(shù)g(x)在e，7T)上單調(diào)遞減，且

所以當(dāng)不￡&口)時(shí),g(x)q,所以啟*

故實(shí)數(shù)CI的取值范圍為[：,+8).

I思維升華,

I.分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，這要比分類討論法簡便很多.

2.(12/(外恒成立max；

a勺(X)恒成立勺(X)min；

a2/G)能成立0427(x)min；

aWf(x)能成立0awy(x)nm.

【跟蹤訓(xùn)練1]已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=l*QO,〃￡R).若/⑺圖象恒在晨x)圖象的上方,求a的取值范

圍.

解由/(x)圖象恒在g(x)圖象的上方，得lnx?l+￡>0恒成立，

所以<7>.r-xlnA在(0,+oo)上恒成立，

令y=x-x\nx,貝Uy--Inx.

當(dāng)0<x<l時(shí),y>0,所以)=x-xlnx在(0,1)上單調(diào)遞增,

當(dāng)x>l時(shí),y'<0,所以.y=x-xlnx在(1,+oo)上單調(diào)遞減，

所以Vmax=1-lxln1=1,故a>L

考點(diǎn)二分類討論法求參數(shù)范圍

【例2】已知函數(shù)/U)=er+(m+1)x,加￡R.若存在x￡[1,2],使得不等式el+y+/?Hnx+in2fix)成立，求in

的取值范圍.

解不等式e'+^-+//?lnx+m2/金)可化為nx-(/??+1)x+m20,

即存在xW[1,2],使得不等式^"+〃?」】x-(〃?+l)x+m20成立.

構(gòu)造函數(shù)[(x)=y+//Hnx-(7?+1)x+m[1,2],

則h*(x)=JK+^-(m+1)=-(x-ni)?(x-1).

XX

①當(dāng)mWl時(shí)，/?'(x)NO恒成立，故Qx)在[1,2]上單調(diào)遞增，故h(x)max=/?(2)=mln2-〃?2(),解得〃?WO,故

機(jī)W()：

②當(dāng)l<m<2時(shí)，令人'(x)>0,解得m<x<2;令〃'(x)<0,解得1<x<m，故萬(外在[1,m]上單調(diào)遞減，在(閉,2]上單

調(diào)遞增，又人⑴=-1,故介⑵=〃71n2-/〃N0,解得WO,這與1<〃?<2相矛盾，舍去；

③當(dāng)汨力2時(shí),“(x)WO恒成立，故h(x)在11,2]上單調(diào)遞減，故11(x)max=/?(i)=-1<0,不符合題意，舍去.

綜上所述，機(jī)的取值范圍為(-00,0].

I思維升華，

對于不適合分離參數(shù)的不等式，常常將參數(shù)看作常數(shù)直接構(gòu)造函數(shù)，常用分類討論法，利用導(dǎo)數(shù)研究單

調(diào)性、最值，從而得出參數(shù)范圍.

【跟蹤訓(xùn)練2](2026?陜西漢中月考)已知函數(shù)f(x)=f+"hix

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

⑵若/(%)NO恒成立,求a的取值范圍.

解⑴易知/(x)=2r4*Q0,

①若GO,則/G)>0恒成立J1)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

②若*/<0,令=0,得x=p,

當(dāng)x￡(O，F(xiàn)|)時(shí)/⑴<°4外單調(diào)遞減;

當(dāng)x￡(F1,+8)時(shí),/(力>0,

/(X)單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)時(shí)J(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增;

當(dāng)。<0時(shí)JG)在(0,上單調(diào)遞減，在,+8上單調(diào)遞增.

⑵由(1)知/⑺=號">0),

當(dāng)。>0時(shí)J(x)>0,所以/(X)單調(diào)遞增，又X-0+J(x)T-8,故/&)20不恒成立；

當(dāng)4=0時(shí),/(%)=?『>(),符合題意；

當(dāng)。《)時(shí)JG)在(0,51)上單調(diào)遞減，在(P，+8)上單調(diào)遞增，

所以mi?=/(5I)=一]+Qin”由f(x)20恒成立，可得彳+alnR?。,解得a，-2e,所以-2eWa<0.

綜上,a的取值范圍為[?2e,0].

考點(diǎn)三雙變量的恒(能)成立問題

【例3】設(shè)f(x)二，xlnx,g(x)二公-%2々.

(1)如果存在汨,x2e[0,2],使得g3)-g(X2)2加成立,求滿足上述條件的最大整數(shù)M；

(2)如果對于任意的邛力,2],都有/(5)及⑺成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解(1)存在.，及6[0,2],使得g(xi)-g(x2)2M成立，等價(jià)于

[gCxi)-g(X2)1max》M成立.

g'(x)=3x2-2x=x(3x-2),

令g'(x)=0,得x=0或x=|,

因?yàn)椋?l)=若,g(①=3g(2)=l,

所以當(dāng)[0,2]時(shí),g(x)max=g⑵=l,g(x)min=g(|)=

1[2

則[g3)-gU2)]max=g(X)max-g(X)min=—,

所以滿足條件的最大整數(shù)M為4.

⑵對任意的S,/K2]都有/(5)2gs,則/(X)minNg(X)nrn.

由⑴知當(dāng)X理閭時(shí),

gWmax招(2)=1,

所以當(dāng)2]時(shí),/(x)彳+xln工21恒成立，即a^x-jr\nx恒成立.

1

令h(x)=x-x\nx,x^,2\,則h'M=\-Zx\nx-x,

令9(x)=l-2dnx-x,則，(x)=-3-21nx<0,即//(x)在悖,2上單調(diào)遞減，

又"⑴力,所以當(dāng)工4，1]時(shí)，

"(x)》0,當(dāng)x￡[l,2]時(shí),*G)W0,

所以人魚)在假,1]上單調(diào)遞增，在[1,2]上單調(diào)遞減，

所以力(X)g=/?⑴二?,故421.

所以實(shí)數(shù)4的取值范圍是[1,+8).

I思維升華〉

“雙變量”的恒(能)成立問題，常見的轉(zhuǎn)化有:

1.VX1eM,3X2EN,/(X1)>g(X2)叼U)min>g5)min.

2.V.VIEM,VX2￡N,f(X\)>gCv2)可(1)min>g(X)max.

3.3X|GM,3.V2￡N,f(x\)>g(M)<=>/'(A)mM>g(工)min.

4.3X1EM,V.r2￡N,f(x])>gCv2)max>g(x)max，

【跟蹤訓(xùn)練3］(2026?遼寧沈陽質(zhì)檢)已知/(x)=^-3x+3-^,g(x)=ln(x+1)+a,3xie［0,2］,V*￡［0,2］,使

得/?)Wg(x2)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是11-1+8).

解析￡［0,2］,V.t2￡［0,2］,使得/(為)Wg(⑹成立等價(jià)于在O2］上J(x)minWg(X)min.易得/(X)=(X-

D⑶+3+斜,當(dāng)［0,2］時(shí),3x+3+$0,

令了(上)>0得1<A<2,令/(x)v0得OWrd,所以/(x)在［0,1］上單調(diào)遞減，在［1,2］上單調(diào)遞增，所以函數(shù)/(x)

在［0,2］上的最小值為了(口與已易知g(x)在［0,2］上單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)在［0,2］上的最小值為g(0)=a,

所以即實(shí)數(shù)。的取值范圍是［1一，,+8).

微點(diǎn)拓展

端點(diǎn)效應(yīng)法是一種必要性探路法,是指對某些與函數(shù)有關(guān)的恒成立問題,通過選取函數(shù)定義域內(nèi)的某些

特殊值,先得到一個(gè)必要條件,初步獲得參數(shù)的范圍,再在該范圍內(nèi)進(jìn)行討論,或去驗(yàn)證其充分性,進(jìn)而得到

參數(shù)的準(zhǔn)確范圍的方法.

1.如圖(1),如果連續(xù)函數(shù)/G)在區(qū)間加上單調(diào)J(x)20恒成立,則/320且/S)20.

2.一階端點(diǎn)效應(yīng):如圖(2),如果連續(xù)函數(shù)f(x)在某一點(diǎn)即處的函數(shù)值/(xo)恰好為零,則當(dāng)時(shí)J(x)20

成立的一個(gè)必要條件為端點(diǎn)項(xiàng)處的導(dǎo)數(shù)值/(xo)2O.因?yàn)槿绻?(沏)<0,那么函數(shù)會在松右側(cè)的一個(gè)小區(qū)間

內(nèi)先單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)/G)在工力沏時(shí)不恒為非負(fù)值,不滿足要求，如圖(3).

這個(gè)方法把某個(gè)區(qū)間上函數(shù)的恒成立問題轉(zhuǎn)化為判斷端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值符號，這就是端點(diǎn)效應(yīng).

類似地,如果連續(xù)函數(shù)/(x)在某一點(diǎn)刖處的函數(shù)值/(xo)恰好為零，當(dāng)Qxo時(shí)J(x)<0成立的一個(gè)必要條件為

項(xiàng)處的導(dǎo)數(shù)值f(xo)<O.

3.二階端點(diǎn)效應(yīng):如圖(4),如果連續(xù)函數(shù)/金)在區(qū)間［出切上JG)20恒成立,且/(加=0,/(〃)=0,則/320.

端點(diǎn)效應(yīng)的核心思想是必要性探路，充分性護(hù)航.我們在解決一類恒成立問題時(shí),可以利用端點(diǎn)處需滿足的必

要條件縮小參數(shù)的取值范圍,而往往得到的范圍即為所求,再去做充分性論證即可.

【應(yīng)用】(1)設(shè)函數(shù)/(x)=ln(1+x),g(x)=xf(x),其中/(X)是fix)的導(dǎo)函數(shù).若/(x)2ag(x)恒成立,求

實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解依題意,/英)二士，

又g(.i)=Va)?2O,

則屋”=士，*6

而/⑺2〃g(x)恒成立，

即ln(l+.r)力上二恒成立.

1+X

令F(x)=ln(l+x)--(x^O),

l+x

則”a)2o恒成立.

由于F(0)=0,故此時(shí)必須保證函數(shù)FG)在.『0右側(cè)附近區(qū)間上單調(diào)遞增，

即保證廣⑺20在A-0右側(cè)附近區(qū)間上恒成立，

而-----

H-7l+x(l+x)2(l+x)2*

則廣｛0)=1/,

貝iJaWl.

下面證明當(dāng)時(shí),”(x)20恒成立.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)尸&)巖三2品"°，

故函數(shù)F(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞增,

即F(x)^F(O)=O,

故當(dāng)＜7^1時(shí)，函數(shù)尸320恒成立，

即原命題成立，

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-8,1］.

⑵設(shè)函數(shù)/(4)=X?-1)-加.若當(dāng)GO時(shí)J(x)20恒成立,求。的取值范圍.

解由于當(dāng)x20時(shí)，函數(shù)/(x)20恒成立，而/(0)=0,

故要保證函數(shù)人工)20在［0,+8)上恒成立，需保證/G)在尸0右側(cè)附近區(qū)間上單調(diào)遞增,

即保證函數(shù)/(x)20在入=0右側(cè)附近區(qū)間上恒成立.

而f(.r)=er-1+xex-2ax=(,v+1)e'-2av-1,故/(0)=1-1=0,

即此時(shí)需保證函數(shù)F(x)在尸。右側(cè)附近區(qū)間上單調(diào)遞增，

即保證函數(shù)尸(x)20在x=0右側(cè)附近區(qū)間上恒成立.

而廣⑨=(x+2)e-2a,故/'(0)=2e°-2?=2-2?,

而要函數(shù)/⑺20在戶0右側(cè)附近區(qū)間上恒成立，

則/(0)20,即

下面證明當(dāng)。＜1時(shí),/(分20在［0,舊)上恒成立，

當(dāng)aW1時(shí),/'(x)=(x+2)e-2a^(x+2)ev-2,

令(p(.r)=(x+2)e'-2,x20,則/(x)=(x+3)ev＞0,故函數(shù)*(x)單調(diào)遞增，

故(p(x)(0)=2-2=0,

即.r'a)~(p(x)NO,

故此時(shí)函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，即/(x)2/(0)=0,

故函數(shù)/⑺單調(diào)遞增，即/(x)2/(0)=0,

此時(shí)即可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(x)20在［0,+oo)上恒成立，即。的取值范圍是(-8,1］.

課時(shí)作業(yè)

［基礎(chǔ)鞏固］

1.(2025?山師附中一模)已知函數(shù)f(x)=vlnx-cix.

⑴當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)/&)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若對任意(0,+oo),/(x)Wf+2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解⑴當(dāng)。二。時(shí)，函數(shù)/(x)=xlnx的定義域是(0,+8)/(x)=Inx+l,

令/(6<0,得1nx+1<0,解得0<x<i故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0弓)，

令/⑺>0,得lnx+l>0,解得心*故/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間是Q,+8),

綜上J(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,J,單調(diào)遞增區(qū)間是(%+8).

(2)由對任意xe(0,+oo),/WW』+2恒成立知xlnx-f-ZWat恒成立.

因?yàn)?v>0,所以a21n在工￡(0.+co)上恒成立.

X

設(shè)h(x)=lnx-x--(x>0),則h^x)=--1+g=—2^x+1\

XXxzxz

令人'3=0,得3=2,及=-1(舍去),

當(dāng)Xf(0,2)時(shí)，"(x)、0,〃(x)單調(diào)遢增，

當(dāng)XG(2,+oo)時(shí),/?’(只<0,〃6)單調(diào)遞減，

故當(dāng)尸2時(shí),〃(x)取得極大值，也是最大值，則力6)皿、=〃(2)=1112-3,

所以若a^h(x)在(0,+co)上恒成立，則a2/?(x)max=ln2-3,

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是［h］2-3,+8).

2.已知函數(shù)/金)二燮.

(I)求函數(shù)/(x)的極值；

⑵若不等式ey(A)+?ln.G1恒成立,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解⑴由題意可知/(x)的定義域?yàn)镽,且/(x)=M，令「金)=0,得尸0,

當(dāng)x變化時(shí),/金)J(x)的變化情況如表，

X(-8,0)0(0,+oo)

/W+0-

/(X)單調(diào)遞噌極大值單調(diào)遞減

所以當(dāng)40時(shí)J(x)取得極大值1,沒有極小值.

⑵ey(x)+a\n1恒成立，即x+alnx20恒成立，

設(shè)gCv)=x+6/lnx,x>0,則gr(x)=1寸=資

①當(dāng)<7=0時(shí),g(x)=x>0恒成立，符合題意；

②當(dāng)</>0時(shí),/⑺>0,可知g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

因?yàn)間(eW)=eT-l<0,

所以<+alnx20不恒成立；

③當(dāng)?/<0時(shí),x變化時(shí),gQ),g(x)的變化情況如表，

X(0,-a)-a(-a,十8)

gG)-0+

g(X)1極小值單調(diào)遞增

可知g(x)的最小值為g(-a)=-a+aln(-a),則-a+Hn(-a)20,

因?yàn)椤?lt;0,故解得-eW〃<0.

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是[-e.O].

3.(2026,遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體考試)己知函數(shù)f(x)=(Inx-x+1)(e'-ar)(a￡R).

⑴當(dāng)“0時(shí)，求/G)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)W0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解⑴由題意可知J(x)的定義域?yàn)?0,+00),

若a=0,則f{x)=(lnx-x+\)e\

f(x)=(lnx—x+：)e*,

設(shè)g(1)=lnx-x+-,x>0,

/1\23

ml，/、X2-X+l(X-2)+4八

貝U8^=-^—=-3〈°，

可知g(x)在定義域(0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞減，且g(l)=O,

故當(dāng)Q1時(shí),g(x)<0,即/(x)<0；當(dāng)0<rd時(shí),g(x)X),即/。)>0,

所以/(公的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1).

⑵設(shè)力⑺=lnx-x+luX),

則h,M=—X,

令h'M>0,解得0<r<l；令/2fCv)<0,解得x>\,

可知人(%)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，

則MOW>⑴=0,即lnx-x+1^0,

若/⑺W0恒成立，則e'-ax'O在定義域(0,+oo)內(nèi)恒成立，

可得《2。在定義域(0,+8)內(nèi)恒成立，

X

設(shè)FM=-,.x>0,則9(x)二"孚二

XX2

令F<?>0,解得x>l；令F(x)<0,解得0<r<l,

故“外在(I,十oo)內(nèi)單調(diào)遞增，在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，

則F(x)^