北師八年級數學上冊-第1章 勾股定理（5個易錯點）

第1章勾股定理單元復習提升（易錯點）

易錯點01勾股數

【指點迷津】勾股數就是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數.

典例1.下列各組數中，是勾股數的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.3,V7,4

513

C.6,VD.9,40,41

22

跟蹤訓練1.下列各式中，屬于勾股數的一組是（）

A.1,日初B.3,4,6C.6,7,8D.7,24,25

跟蹤訓練2.觀察下列幾組勾股數，①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；?9,40,

41；并尋找規律，請你寫出有以上規律的第⑤組勾股數:，第〃組勾股數是________.

易錯點02用勾股定理理解三角形分類討論

【指點迷津】用勾股定理解直角三角形時，先確定直角三角形，再確認直角邊與斜邊，通過

勾股定理M+b2=c2解另一個直角邊或斜邊，也就是“知二求一”，注意分類討論.

典例2.已知，直角三角形的兩邊分別為3和5,則第三邊的長為（）

A.4B.V34C.4或后D.或2"

跟蹤訓練1.已知三角形兩邊長為8和6,要使這個三角形為直角三角形，則第三邊的長為（）

A.10B.2幣C.10或2/D.10或24

跟蹤訓練2.在中，已知兩邊長分別為1和3,則第三邊長為.

易錯點03勾股定理的逆定理

【指點迷津】①勾股定理的逆定理，由三角形的三邊滿足M+b2=c2數量關系，得到三角形是

直角三角形，如何構建得到上述數量關系，方法有絕對值、平方、算術平方根的非負性，等

式變形，因式分解等等；②滿足（ka）2+（kb）2=（kc）2,也能得到三角形是直角三角形。

典例3.若."C的三邊分別為。也下列給出的條件不能使得構成直角三角形的是

（）

A.a=y/5,b=y/b,c=VFTB.a=5,b=6,c=>/H

C.ZA:ZB:ZC=3:4:5D.a://：c=3:4:5

跟蹤訓練L?8c的三邊長mb,c滿足（a-b）2+-3+1c-3&|=0,則二A8C是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等腰直角三角形

￡艮蹤訓練2.若，的三邊長a、b、c滿足M+從+c-2_6□+8〃+10c—50,那么ABC是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

跟蹤訓練3.下歹IJ由三條線段。、權c構成的三角形:①〃=2""?"="『一〃2,c=>+/(〃〉,〉。)，

②4=2〃+1,b=2n2+2n+\,c=2/z2+2/?(/?>0),③々=3%,b=4k,c=5Z(Z>0),④

八:辰八=1：62,共中能構成直角三角形的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

易錯點04網格問題

【指點迷津】找出網格中滿足題意的直角三角形，用勾股定理解直角三角形

典例4.如圖，在5x6的正方形網格中，點A,8在格點上，且每個小正方形的邊長都是1,

則線段A8的長為()

A.3B.4C.5D.7

跟蹤訓練1.如圖：4x1網格中每個正方形邊長為1,表示石長的線段是()

A.OAB.OBC.OCD.OD

跟蹤訓練2.如圖，A8c的頂點A、8、C在邊長為1的正方形網格的格點上，8OLAC于點

4

C.逑D.

5

跟蹤訓練3.如圖，在4x4的方格中，每個小正方形的邊長為1,若點A在數軸上表示的數

是T,以A為圓心，4。為半徑畫圓弧與數軸的正半軸交于點E,則點E所表示的數是（）

A.V10B.V10+1C.710-1D.1-V10

易錯點05勾股定理的應用

【指點迷津】立體圖形展開問題，注意化抽象為具體（可用實物圖展開方法等），其他實際應

用注意轉化到直角三角形中去解決（注意可以找多個直角三角形，多次使用勾股定理或逆定

理）

典例5.如圖，一圓柱高8C=12;rcm,底面周長是16;rcm,。為BC的中點，一只螞蟻從點A沿

圓柱外壁爬到點尸處吃食，要爬行的最短路程是（）

A.12^-cmB.11乃cmC.10笈D.9^-cm

跟蹤訓練1.如圖，小冰想用一條彩帶纏繞圓柱4圈，正好從A點繞到正上方的8點，已知

知圓柱底面周長是3m,高為16m,則所需彩帶最短是（）m.

跟蹤訓練2.如圖，一根長15cm的木條，斜靠在豎直的墻上，這時木條的底端距墻底端12cm.如

果將木條底端向左滑動3cm,那么木條的頂端將向上滑動（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

跟蹤訓練3.如圖，在我軍某次海上演習中，兩艘航母護衛艦從同一港口。同時出發，1號

艦沿東偏南6（）。方向以9節（1節=1海里/小時）的速度航行，2號艦沿南偏西60。方向以12節

的速度航行，離開港口2小時后它們分別到達4,8兩點，此時兩艦的距離是（）

A.9海里B.12海里C.15海里D.30海里

跟蹤訓練4.勾股定理是人類數學文化的一顆璀璨明珠，是用代數思想解決幾何問題的最重

要工具也是數形結合的組帶之一，如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度鹿=ln將它往

前推6m至。處時（即水平距離C/）=6m）,踏板離地的垂直高度b=4m,它的繩索始終拉直，

則繩索AC的長是（）

D.9m

C.6m

第1章勾股定理單元復習提升(易錯點)

答案全解全析

易錯點01勾股數

【指點迷津】勾股數就是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數.

典例1.下列各組數中，是勾股數的是()

A.().3,0.4,().5B.3,V7,4

513

C.，6,」D.9,40,41

22

【答案】D

【分析】三個正整數，其中兩個較小的數的平方和等于最大的數的平方，則這三個數就是勾

股數，據此判斷即可.

【解析】A.不是勾股數，因為0.3,0.4,0.5不是正整數，不符合題意；

B.不是勾股數，因為近不是正整數，不符合題意；

C.不是勾股數，因為葭不是正整數，不符合題意；

D.是勾股數，9,40,41都是正整數，且9、4()2=412,符合題意；

故選D.

【點睛】本題考查勾股數的概念，解題的關鍵是掌握勾股數的特點：三個數均為E整數，其

中兩個較小的數的平方和等于最大的數的平方.

跟蹤訓練1.下列各式中，屬于勾股數的一組是()

A.1,近、下＞B.3,4,6C.6,7,8D.7,24,25

【答案】D

【分析】利用勾股數的定義逐項分析即可解答.

【解析】解：A、???1,"G都不是正整數，?,?1,五行不是勾股數，不符合題意；

B、???32+4%62,???3,4,6不是勾股數，不符合題意；

C、???6?+72/82,?,?6,7,8不是勾股數，不符合題意；

D、???242+72=252,???7,24,25是勾股數，符合題意.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了勾股數的定義，滿足的三個正整數稱為勾股數.

跟蹤訓練2.觀察下列幾組勾股數，①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；?9,40,

41;并尋找規律，請你寫出有以上規律的第⑤組勾股數:,第〃組勾股數是________.

【答案】11，60,612/7+1,2〃(〃+1),2M(M+I)4-1

【分析】根據所給的幾組勾股數可找出規律，根據此規律即可求出第五組勾股數.

【解析】解：①3=2xl+l,4=2xlx(l+D,5=2xlx(l+l)+l,

@5=2x2+l,12=2x2x(2+l),13=2x2x(2+l)+l,

③7=2x3+l,24=2x3x(3+l),25=2x3x(3+1)+1,

一9

?二笫〃組勾股數為：

a=2n+lf〃=2〃(〃+1),c=2n(n+\)+],

，第⑤組勾股數為4=2x5+1=11,Z>=2x5x(5+l)=60,c=2x5x(5+l)+l=61,即",60,61.

故答案為:11,60,61；2/1+1,2〃(〃+1),2仆+1)+1.

【點睛】本題考查了勾股數，此題屬規律性題目，解答此題的關鍵是根據所給的勾股數找出

規律，按照此規律即可解答.

易錯點02用勾股定理理解三角形分類討論

【指點迷津】用勾股定理解直角三角形時，先確定直角三角形，再確認直角邊與斜邊，通過

勾股定理a?+b2K2解另一個直角邊或斜邊，也就是“知二求一”，注意分類討論.

典例2.已知，直角三角形的兩邊分別為3和5,則第三邊的長為()

A.4B.V34C.4或取D.屈或2后

【答案】C

【分析】分5為直角邊和斜邊兩種情況進行討論求解即可.

【解析】解：??,直角三角形的兩邊分別為3和5,5>3,

①當5為直角邊時，第三邊為斜邊，由勾股定理，得：第三邊的長為后兩=宿；

②當5為斜邊時，第三邊為直角邊，由勾股定理，得：第三邊的長為序手=4;

綜上：第三邊的長為4或后；

故選C.

【點睛】本題考查勾股定理.解題的關鍵是熟練掌握勾股定理，注意分類討論.

跟蹤訓練L已知三角形兩邊長為8和6,要使這個三角形為直角三角形，則第三邊的長為()

A.1()B.2幣C.1()或2gD.10或24

【答案】C

【分析】分8為東斗邊，6為直角邊和8和6都為直角邊兩種情況，結合勾股定理解答即可.

【解析】解；若8為斜邊，6為直角邊，則第三邊為際F=A=2b；

若8和6都為直角邊，則斜邊為配芯=10；

故選：C.

【點睛】本題考查了勾股定理，屬于常見題型，熟練掌握勾股定理、正確分類是關鍵.

跟蹤訓練2.在RtZ\A8C中，已知兩邊長分別為1利3,則第三邊長為.

【答案】而或2夜

【分析】分兩種情況考慮：若3為直角邊，可得出1也為直角邊，第三邊為斜邊，利用勾股

定理求出斜邊，即為第三邊；若3為斜邊，可得1和第三邊都為直角邊，利用勾股定理即可

求出第三邊.

【解析】解：①若3為直角邊，可得1為直角邊，第三邊為斜邊，

根據勾股定理得第三邊為行弄=瓦；

②若3為斜邊，1和第三邊都為直角邊，

根據勾股定理得第三邊為五萬=2々，

則第三邊長為M或2c.

故答案為：加或2后.

【點睛】此題主要考查了勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握勾股定理是解本題的

關鍵.

易錯點03勾股定理的逆定理

【指點迷津】①勾股定理的逆定理，由三角形的三邊滿足a2+b2r2數量關系，得到三角形是

直角三角形，如何構建得到上述數量關系，方法有絕對值、平方、算術平方根的非負性，等

式變形，因式分解等等；②滿足(ka)2+(kb)2=(kc)2,也能得到三角形是直角三角形。

典例3.若乂BC的三邊分別為，也c,下列給出的條件不能使得乂8C構成直角三角形的是

()

A.a=\[s,b=\/6,c=VFTB.a=5,b=6,c=y/Ti

C.ZA:Z.B:ZC=3:4:5D.?:/?:c=3:4:5

【答案】C

【分析】根據勾股定理的逆定理，三角形的內角和定理，進行計算逐一判斷即可.

【解析】解；A、???/+〃=(后『+(6『=11=(而『=。2,

???能構成直角三角形，故A不符合題意；

22

B、;a?+/=5?=36=6=Z?f

???能構成直角三角形，故B不符合題意；

C、VZA:ZB:ZC=3:4:5,

ZC=180°XA=75°,

12

???不能構成直角三角形，故C符合題意；

D、*.*a:b:c=3:4:5

??cr+b-=c,

???能構成直角三角形，故D不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形的內角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，

三角形的內角和定理是解題的關鍵.

跟蹤訓練LA8C的三邊長。，b,c滿足(a-b)z+j2a-〃-3+|c-3&|=0,則A8c是()

A.等腰三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【分析】由等式可分別得到關于o、〃、c的等式，從而分別計算得到a、〃、c的值，再由片+從=。2

的關系，可推導得到以8c為直角三角形.

【解析】解：力)2+,2"8一3+1c-3&|=0

又卜24-〃-3之0

卜-3閩20

f("4=0

/.\y/2a-b-3-0,

[|c-3V2|=O

a-b=0

-2a-b-3=0

c-3>/2=0

4=3

解得b=3,

c=3&

a2+b2=c2?且a=〃，

???為等腰直角三角形，

故選：D.

【點睛】本題考查了非負性和勾股定理逆定理的知識，求解的關鍵是熟練掌握非負數的和為

0,每一個非負數均為0,和勾股定理逆定理.

跟蹤訓練2.若昧8c的三邊長a、b、c滿足a2+L+M=6a+泌+1品-50,那么4ABe是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

【答案】B

【分析】先用完全平方公式進行因式分解求出a、b、c的值，再確定三角形的形狀即可.

【解析】解：/+。2+。2=&/+助+10。一50，

移項得，，+〃+°2-6。一昉一10c+50=0,

/-6。+9+/一8〃+16+。2-10。-25=0,

(a-3)2+(〃-4)2+(C—5-=0,

a-3=0,Z?-4=0,c-5=0,

a=3,/?=4,c=5,

"2=91/=16,/=25,

a2+b2=c2,

是直角三角形，

故選:B.

【點睛】本題考查了運用完全平方公式因式分解，勾股定理逆定理，非負數的性質，解題關

鍵是通過等式的變形，恰當的拆數配成完全平方，再根據非負數的性質求邊長.

跟蹤訓練3.下歹IJ由三條線段。、氏。構成的三角形:①。=2"刃一〃2,。=>+〃2(加>〃>。)，

②〃=2〃+1,b=2n2+2n+\,c=2n2+2n(n>0),③a=3Z,b=4k,c=5k(k>0),(4)

右：亞：&=1:出:2,其中能構成直角三角形的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】判斷一組數能否成為直角三角形的三邊，就是看是否滿足兩較小邊的平方和等于最

大邊的平方，將題目中的各題一一做出判斷即可.

【解析】解：①("廣一/+(2小〃)~=tn+/-2〃/〃2+4ni2n2=m44-n4+2nftr=(，/+n2),

???能成為直角三角形的三邊長；

②（2〃/+（2//+2〃）-=（2,『+2〃+1『，

???能成為直角三角形的三邊長；

③（34+（4爐=（5爐，

???能成為直角三角形的三邊長；

④丁（6J=1+3=4=（八）2,B|Ja+b-c,

??a,b,C不構成三角形

???能構成直角三角形的有3組，

故選：C.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應用，在應用時注意是兩較短邊的平方和等于最長

邊的平方.

易錯點04網格問題

【指點迷津】找出網格中滿足題意的直角三角形，用勾股定理解直角三角形

典例4.如圖，在5x6的正方形網格中，點A,B在格點上，且每個小正方形的邊長都是1,

則線段43的長為（）

A.3B.4C.5D.7

【答案】C

【分析】利用勾股定理即可計算.

【解析】根據題意，利用勾股定理有44=7?萬=5，

故選：C.

【點睛】本題考查了勾股定理的的知識，通過網格點找到合適的直角三角形并確定其邊長是

解答本題的關鍵.

跟蹤訓練1.如圖：4x1網格中每個正方形邊長為1,表示石長的線段是（）

A.OAB.OBC.OCD.OD

【答案】B

【分析】利用勾股定理求出每條線段的長，再進行判斷即可.

【解析】解：由勾股定理得，O/l=Vl2+l2=V2

0B=q12+2?=5

OC=Vl2+32=Vio,

OD=>/12+42=\/?7，

:?表示5/5應為線段OB.

故選：B.

【點睛】本題考查在網格中表示無理數的長，掌握勾股定理求線段的長是解題關鍵.

跟蹤訓練2.如圖，ABC的頂點A、8、C在邊長為1的正方形網格的格點上，8。_LAC于點。,

則3。的長為（）

R1!1：1C

111

--1------11_.

A2B.垣C.還D-?

555

【答案】C

【分析】根據圖形和三角形的面積公式求出.48C的面積,根據勾股定理求出AC,根據三角

形的面積公式計算即可.

【解析】解：如圖，

ABC的面積=gx8CxAE=2,

由勾股定理得，AC=#”二#,

則;x石xBZ）=2,

解得3平,

故選：C.

【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，掌握在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平

方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關鍵.

跟蹤訓練3.如圖，在4X4的方格中，每個小正方形的邊長為1,若點4在數軸上表示的數

是T,以A為圓心，A。為半徑畫圓弧與數軸的正半軸交于點E,則點E所表示的數是（）

C.J10—ID.1-M

【答案】c

【分析】根據勾股定理求出入。，即可得到AE=AO=而，進而得到答案.

【解析】解：vAD=y]32+[2=710，

AE=AD=V10,

???點七所表示的數是,

故選：C.

【點睛】此題考查了網格與勾股定理，正確理解題意利用勾股定理求得A￡=AQ=而是解題

的關鍵.

易錯點05勾股定理的應用

【指點迷津】立體圖形展開問題，注意化抽象為具體（可用實物圖展開方法等），其他實際應

用注意轉化到直角三角形中去解決（注意可以找多個直角三角形，多次使用勾股定理或逆定

理）

典例5.如圖，一圓柱高6c=12乃cm,底面周長是16;rcm,尸為8C的中點，一只螞蟻從點A沿

圓柱外壁爬到點，處吃食，要爬行的最短路程是（）

A.12^-cmB.11乃cmC.1（）乃。〃?D.9^-cm

【答案】C

【分析】將圓柱展開，然后根據兩點之間線段最短，利用勾股定理解答.

【解析】解：將圓柱沿點A所在母線展開，連接的，

C

P

X

,

Z

■

?

X

由兩點之間線段最短可知，最短路程是”的長.

??,底面圓周長為167rcm,

???底面半圓弧長為8;rcm,

?；BC=12次m,P為8c的中點，

BP=—BC=6/rcm

2

根據勾股定理得：

AP=yjAB~+BP2=J（8;r『+（6乃f=iO^cm,

故選：C.

【點睛】此題考查的是平面展開?最短路徑問題，解題的關鍵是根據題意畫出展開圖，表示出

各線段的長度，再利用勾股定理求解.

跟蹤訓練1.如圖，小冰想用一?條彩帶纏繞圓柱4圈，正好從A點繞到正上方的。點，已知

知圓柱底面周長是3m,高為16m,則所需彩帶最短是（）m.

【答案】C

【分析】把曲面展開變為平面，利用兩點間線段最短，再根據勾股定理即可求解.

【解析】解：如圖，線段A8即為所需彩帶最短，

由圖可知AC=3X4=12,BC=16,

，由勾股定理得，

AB=ylAC2+BC2=\/122+162=20?

故選c.

【點睛】本題考查兩點間線段最短和勾股定理在牛.活中的應用.將曲面問題變為平面問題是

解答本題的關鍵.

跟蹤訓練2.如圖，一根長15cm的木條，斜靠在豎直的墻上，這時木條的底端距墻底端12cm.如

果將木條底端向左滑動3cm,那么木條的頂端將向上滑動（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【答案】B

【分析】利用勾股定理分別求出。4'，的長，進而求出4V的長即可得到答案.

【解析】解：如圖，在Rt中，A8'=15m,。&=12m,

***OA=JA曉-"=9cm；

在RtZXAOB中，48=15m,OB=12-3=9m,

,?OA=VAB2—OB2=12cm，