浙教版數學九年級下冊 第1章 解直角三角形 單元基礎檢測卷

浙教版數學九年級下冊第1章解直角三角形單元基礎檢測卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.sin30°=()

A?孚B.gCTD"3

口T

2.如圖，在中，ZC=90°,則煞=（）

B.tanBC.sinAD.cosB

3.若cos60o二小貝「□”表示的數是（）

A.1B.V2C.V3D.3V3

4.計算6tan45。一2cos60。的結果是（）

A.3B.4C.5D.6

5.如圖，以點。為圓心，任意長為半徑畫弧,與射線OM交于點A,再以點A為圓心，40長為半徑

畫弧，兩弧交于點8,畫射線OB,則tan乙4OB的值為（）.

rv'3

JTD.V3

6.春秋時期，魯班米到楚國為楚士制作了攻城用的云梯，如圖所示，有梯力B與水平面8C的央角為

40°,若楚國欲攻打宋國，已知宋國城墻4c高為10丈，則云梯梯身長48約為（）

CB

A.就/丈B.而躲丈C10sin40。丈D,10cos40。丈

7.在RtMBC中,ZC=9O°MC=1,5C=2,那么下列銳角三角比中，正確的是（）

A.sin/l=洛

B.tan/1C.cosB=—D.tanfi=2

45

8.如果a是銳角，且sina=:，那么sin（90。-。）的值等于（）

16

ABCQ3D.

-4-I-525

9.如圖，在邊長為1的小正方形網格中,點A,B,C都在這些小正方形的格點上，則tan4氏4C的值

為（）

A.IB.2C.1D.冬

4

10.如圖，在RtZkABC中，延長斜邊48到點。，使60=《/石，連接CD.若￡由14-

3^Atan^BCD

的值為（）

ABD

A百B3CD3

A-1616C-~8U-8

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.計算：1-25譏30。=.

12.若乙4為銳角，cosA=2，則乙4=.

13.沿一斜坡向上走3米，高度上升1米，那么這個斜坡的坡度i=.

14.如圖，在△48C中，乙AC8=90。，sinB=LCO是高.若4。=2,則80=

15.在△A8C中，若|tanA—百|+（cos8—芋）2=0，則乙。=

16.如圖，將矩形48C0對折使A8與OC重合，得到折痕EF,再次折疊，使點4落在折痕￡F上，并使

折痕經過點0,得到折痕DM和線段0N,記0M與EF的交點為H.若40=4百，則HN=

三、解答題（共8小題，共72分）

1-2

計算：-V27+2cos30°-（TT-2025）0；

18.圖1是一盞臺燈的照片，圖2是其示意圖.臺燈底部立柱CO（與桌面MN垂直）的高為6cm,支

架BC長為20cm,支架48長為25cm.若支架A8,8c的夾角為106。，支架8c與底部立柱CO的夾角為

150。，求臺燈的旋鈕A到桌面MN的距離（精確到1cm）.（參考數據：sin46°=cos44°?0.72,V3?

1.73)

19.11,CD=6,tanA=2,求:

（1）80的長：

（2）的值.

20.汾河是黃河的第二大支流，自北向南，縱貫山西，被山西人稱為母親河，對山西省的歷史文化

有著深遠的影響.某項目學習小組的同學想要測量某段汾河的寬度，他們設計了如下測量方案：如

圖，在該段汾河的對岸岸邊任取一點力，再在河的這邊取兩點在點B處測得48與河岸的夾角a

為20。，在點C處測得4。與河岸的夾角/?為45°,兩點間的距離為300m.

A

?備用圖

（1）求該段汾河的寬度（即△4BC中8c邊上的高）；（結果精確到0.1m；參考數據：s/20。《

0.34,cos20°?0.94,tan20°?0.36）

（2）請再設計一種測量該段汾河寬度的方案.（要求：畫出測量示意圖，并簡要說明測量方案及

測帚數據）

21.圖（1）是高鐵座椅靠背及小桌板打開時的實物圖，其側面可抽象成圖（2）,支架BC連接靠背

AB和小桌板CD,點E是杯托處，此時靠背4B垂直于地面，小桌板CO平行于地面，測得CE二

10cm,Z.ABC=35°.（參考數據：tan35°?0.70,tan55°?1.43,sin35。、0.57,sin55c=0.82）

A

圖（1）圖（2）圖⑶

（1）圖（2）中，乙BCD=°；

（2）靠背48可以繞點8旋轉至與小桌板支架CB重合的位置，如圖（3）,杯托E處凹陷深度為

0.7crn,若此時乘客的水杯能豎直放在杯托處（點E）.

?^ACD=°：

②求乘客水杯的最大高度.

22.如圖1、圖2均為8X6的方格紙（每個小正方形的邊長均為1）,在方格紙中各有一條線段AB,

（1）在圖1中畫一個直角△4BC,使得點C在小正方形的頂點上；

（2）如圖2中畫一個平行四邊形凡使得平行四邊形A8E尸的面積為圖1中AABC面積的4

倍，點E、F在小正方形的頂點上;

(3)圖2中連接AC,直接寫出1的長度.

23.如圖，一輛汽車在路口停車等紅燈，駕駛員的眼睛點P到地面距離PC=2米，看前方一棟建筑物

頂部點M的仰角為53。，且點P與建筑物的水平距離為20米.

(2)駕駛員從點P看地面的斑馬線兩端48的俯角分別是20。和76。，若每個人所占斑馬線的寬度

按0.5米計算.

①求出斑馬線的寬度力艮

②求行人在斑馬線上一橫排并排行走時的最多人數.

(參考數據：tan53。取手tan20。取0.36,tan76。取4).

圖1圖2

【知識學習】

三個等角的頂點在同一條直線上，稱一線三等角模型(角度有銳角、直角、鈍角，若為直角，則

又稱一線三垂直模型).解決此模型問題的一般方法是利用三等角關系找全等或相似三角形所需角的

相等條件，利用全等或相似二角形解決問題.

(I)【探索發現】

如圖1,分別過小C兩點作經過點8的直線的垂線，垂足分別為M、N,若點B恰好是線段MN的

中點，求tan4的值；

(2)【類比遷移】

如圖2,P是邊延長線上一點，乙4P8=請依據所學模型，求tan乙P4C的值.

答案解析部分

1.【答案】B

【知識點】求特殊角的三角函數值

【解析］【解答】解：sin300=3;

故選B.

【分析】根據特殊角的三角函數值進行解答即可.

2.【答案】B

【知識點】正切的概念

【解析】【解答】解：解：???在.RtAABC中，"=90°,

AC

：■tan8=

故選：B.

【分析】根據銳角三角函數的定義即可求得答案.

3.【答案】A

【知識點】求特殊角的三角函數值

【釋析】【解答】解：?.?cosGO。=2，且cos60。=?,

-.2□=_21，

=1.

故選：A.

【分析】根據特殊角的三角函數值，cos60。的值為與直接與給定等式比較即可得出答案.

4.【答案】C

【知識點】特殊角的三角函數的混合運算

【解析】【解答】解:6tan45°—2cos60°

1

=6X1-2X2

=6-1

=5.

故選：C.

【分析】根據特殊角三角函數值，可得實數的運算，根據實數的運算，可得答案.

5.【答案】D

【知識點】等邊三角形的性質；求特殊角的三角函數值；尺規作圖-等腰（等邊）三角形

【解析】【解答】解:如圖所示,連接48,

由作圖方法可知。4=AB=OB,

???A408是等邊三角形，

???乙力。8=60%

**.tanZ/lOi?=tan60°=x/3?

故選：D.

【分析】先證明△048是等邊三角形，得4108=60。,即可得出tan〃08的值.

6.【答案】A

【知識點】已知正弦俏求邊長

【解析】【解答】解：???/48C=40。，AC高為10丈，

???索=sin4ABC，

2_1°

故選：A.

【分析】根據正弦的定義即可直接作答.

7.【答案】C

【知識點】解直角三角形一三邊關系（勾股定理）；解直角三角形一邊角關系

【解析】【解答】解：如圖：

A

'：LC=90°,AC=1,BC=2,

=yjAC2+BC2=遍，

A.sinA=^=^=苧，故此選項錯誤;

B.tanA=第=2,故此選項錯誤；

C.cosB=器=套=故此選項正確;

D.tanfi=故此選項錯誤.

故選：C.

【分析】先利用勾股定理求出AB的長度，然后求出sinA、lanA、cosB、tanB的值，進行判斷.

8.【答案】C

【知識點】解直角三角形一三邊關系（勾股定理）；解直角三角形一邊角關系

【辭析】【解答】解：如圖，在zC=90°,LB=a,則乙4=90。一a

4aC

---

'?'sina5/F

設AC=4k,則力B=5k

；.BC=3k

...BC3k3

??sm（m9A00°-a）=而=加=1

故選：C.

【分析】如圖，RMABC中，ZC=90°,ZB=a,設AC=4k,則AB=5k,根據勾股定理可得

BC=3k,進而根據正弦的定義即可求解.

9.【答案】C

【知識點】在網格中求銳角三角函數值

【解析】【解答】解：由圖可知AC=J22+22=2或,BC=Vl2+I2=V2*4B=近2+32=

222

AC+BC=10=ABf

:.AC1CB,

???tanz.BAC=彩=W==4，

AC2722

故選：C.

【分析】利用勾股定理求出三角形的三條邊，并利用勾股定理的逆定理判斷其為直角三角形，最后

根據正切的定義即可求得答案.

10.【答案】B

【知識點】解直角三角形一三邊關系（勾股定理）；解直用三角形一邊角關系；A字型相似模型；相似三角

形的性質-對應三線；相似三角形的判定預備定理（利用平行）

【解析】【解答】解：如圖，過點B作BK||4c交C。于點K.

???LACB=90°,taa4=AB2=AC2+BC2,

?

394I?

AC=^AB=BC=1AB=昔m,

JJJJ

vBK||AC,

LCBK=^ACB=90°,△BKDACD,

?BK_BD

^AC=AD=4f

9

???BK=而租，

:.tan乙BCD=卷=3

F

故選：B.

【分析】如圖，過點B作BK||AC交CD于點K.設BD=m,則AB=3BD=3m,求出BC,BK可得結

論.

1L【答案】（）

【知識點】特殊角的三角函數的混合運算

【解析】【解答】解：1—2sin30°=1—2x2=0,

故答案為：0.

【分析】代入特殊角的三角函數值，然后計算即可.

12.【答案】60°

【知識點】已知某個三角函數值求其他三角函數值

【解析】【解答】解：,?,cos4=J，cos60o=2,

???LA=60°,

故答案為：60°.

【分析】根據余弦值求出NA的度數，再根據特殊角的三角函數值解答即可.

13.【答案】a:4

【知識點】解直角三角形的實際應用-坡度坡角問題

【解析】【解答】解：設沿一斜坡向上走3米，水平距離為L米，根據勾股定理：

32=I2+L2

9=1+L2

L2=8

L=V8=2V2（米）

坡度i=h:L=1:2V2=V2:4?

故答案為：V2:4.

【分析】根據坡度的定義，坡度i是鉛垂高度h與水平距離L的比，即］；!!：L.設沿一斜坡向上走3

米，水平距離為L米，利用勾股定理可求水平距離L,再計算坡度.

14.【答案】6

【知識點】解直角三角形一含30。角直角三角形

【解析】【解答】解：在中，Z.ACB=90°>sinB=CD是高，

：.LA+=乙4+Z.ACD=90°,乙B=30°,

：.LACD==30°,

：.AC=2AD=4,

?'?AB-2AC—8,

：.BD=AB-AD=8-2=6,

故答案為：6.

【分析】得至iJ/ACD=NB=30。，然后根據30。的直角三角形的性質解答即可.

15.【答案】75。

【知識點】偶次方的非負性；絕對值的非負性；特殊角的三角函數的混合運算

【解析】【解答】解：:|tanA-V3|+（cosB-停尸=0，

**?tanA-V3=0,cosB-竽=0

?**tanA=V3,cosB=冬

則44=60。"=45°,

：.LC=180°一乙A—乙8=180°-60°-45°=75°,

故答案為：75。.

【分析】先根據非負數的性質及特殊角的三角函數值求出44、乙8的度數，再根據三角形內角和等

于180°求出乙C的度數.

16.【答案】4

【知識點】矩形的性質；翻折變換（折疊問題）；解直角三角形一三邊關系（勾股定理）；解直角三角形一

含30。角直角三角形；矩形翻折模型

【解析】【解答】解：由折疊的性質可得：AE=DE=^AD=2y/3,AD=DN=473?乙EDH=

*DN,

1

:.DE/DN,

??CZLDE1

??sm乙DNE=萬斤=2?

：.LDNE=30°,

,:(DEN=90°,

：.LADN=60°,

：.LEDH=30°.

V.4F=DE=鼻。=2?AD=DN=4存

ADE=2值,DN=4百,

,EN=DN?sin乙EDN=4^3?sin60°=4V3x字=6，EH=DE?tan乙EOH=2A/3?tan30°=

2V3x苧=2,

J

；,HN=EN-EH=6-2=4.

故答案為4.

【分析】由折疊的性質，利用特殊角的三角函數值求出4DNE=30。，進而得求出乙EDH=30。，然

后根據解直角三角形求出EN和EH的長，解答即可.

17.【答案】解：（》2一封+2C0S3O。-（兀一2025）。

=4-3V3+2x^-l

=4—3^3+V3-1

=3-2技

【知識點】零指數幕；負整數指數幕；二次根式的性質與化簡；特殊角的三角函數的混合運算

【解析】【分析】先計算負整數指數次幕，二次根式和零指數次毒，代入特殊角的三角函數值，然后

合并同類二次根式即可.

18.【答案】解：如圖，過點A作AH_LMN于點H,過點B作BK_LAH于點K,延長DC交

BK于點J

A

,?ZCDH=ZKHD=ZJKH=90°,

???四邊形DHKJ是矩形.

/.DJ=KH,ZDJK=ZBJC=90\

VZBCD=150°,

AZBCJ=30°,ZCBJ=60°,

VZABC=106°,

AZABK=46°,

：?CJ=BC,cos30°=20x三=10V3、】7.3(cm),

AK=ABsin46°=25x0.72=18(cm),

.\AH=AK+KH=AK+JC+CD=18+17.3+6-4l(cm),

???臺燈的旋鈕A到桌面MN的距離約為41cm.

【知識點】解直角三角形的其他實際應用

【解析】【分析】如圖，過點A作AHJ_MN于點H,過點B作BKJ_AH于點K,延長DC交BK

于點J.解直角三角形求出AK,JC可得結論.

19.【答案】(1)解：*：CD1AB,tanA=2,CD=6,

??tan/1==2,

6

-3

--AD2

?「AB=11,

；?BD=48—4。=11-3=8；

(2)解：VCD=6,BD=8,CDLAB.

；?BC="D'2+BD2=V62+82=10,

..CD63

,?sinBn=阮=而二手

【知識點】解直角三角形一三邊關系（勾股定理）；解直角三角形一邊角關系

【解析】【分析】（1）根據題意可知tan4=器,先求得AD,然后由BD=AB-AD,即可解答;

⑵先用勾股定理求得BC,然后由sinB=黑直接計算即可.

DL

20.【答案】（1）解：如圖，過點A作力0的延長線于點D,

設.4。=X771,

由圖可知，Z-ABD=20°,

在Rt△48。中，

*：LABD=20°,AD=xm

x

'B°=tan20°036x,

在R￡△力CO中，

?"=45。,

A.4D=CD=xm,

\'BC+CD=BD,

/.300+%=0.36x,

Ax=469m

?*.AD=CD=xx469m,

，河的寬度約為469m；

(2)解：如圖2,過河對岸點A作/IB18C,在河這邊任選一點C,作CE1BC,

圖2

測量CE,CD,BD的長度,通過相似可得河寬49的長度.

【知識點】相似三角形的實際應用；解直角三角形的其他實際應用

【解析】【分析】⑴過點A作.HOMC的延長線于點D,設AD=xm,則BD=?0.36%根據

tanzO

BC=300m,即可列出方程；

⑵過河對岸點A作.在河這邊任選一點C,作C砸8C,測量CE,CD,BD的長度，通過

相似可得河寬AB的長度.

21.【答案】（1）125

(2)解：①55

②如圖，過點E作CO的垂線交48于點F,

在中，tanz.FCE=/

??.EF=CEtanZ-FCE=10xtan55°?10x1.43=14.3(cm),

14.3+0.7=15（cm）.

答：乘客水杯的最大高度約為15cm.

【知識點】解直角三角形的其他攵際應用

【解析】【解答］解：（1）點8作8rlic0,

1CEP

，乙8c0+乙C8F=180°,

'：cABC=35°,

?"CB"=900-350=55。，

：.LBCD=180。-55。=125°

故答案為:125.

（2）①當靠背力8可以繞點8旋轉至與小桌板支架C8重合的位置，由（1）知乙8co=125。,

：.LACD=180°-乙BCD=55°,

故答案為：55.

【分析】（1）過點B作BF||CD,由平行線的性質得出乙BC。+乙。89=180。,由已知條件得出,

乙CBF=55°,進而口J求出48C0.

⑵①根據題意可知，^-ACD-1800-48co代入計算即可.

②過點E作CD的垂線交AB于點F,通過解Rt△CEF求出EF,再加上0.7cm即可求出答案.

22.【答案】（1）解如圖所示，tan^BAC=

故RtA即為所求:

（2）解：如圖所示，平行四邊形A8Er的面積為圖1中△ABC面積的4倍,

故平行四邊形即為所求；

（3）2V13

【知識點】平行四邊形的面積；解直角三角形一三邊關系（勾股定理）；解直角三角形一邊角關系；尺規作

圖?直角三角形

【解析】【解答】（3）解：如上圖，連接4E,

AE=V62+42=2g.

故答案為：2后.

【分析】⑴根據中，tan/BAC=2,進行作圖即可；

（2）根據圖I中，△ABC面積為4,可得尸的面積為16,據此作圖即可.

23.【答案】（1）解：如圖，過P作P。_LMN于點D,

，四邊形PCNO是矩形，

:?PC=DN=2米，PD=CN=20米,

在Rt^PDM中，AMPD=53°,

AMD=PDtan53°?20x1?y(^),

???MN=MD+ON=￥+2=^(米),

答：建筑物MN的高度為畢米；

(2)解：①?.?4PBC=76°,

BC=久。??=5(米)，

tan76042

??"P4c=20°,

?/irPC250/uz.x

??-4C=t^2^"036=T（米）'

AB=AC-BC=等-*=相（米）；

②,.Z8聿米，

??yg+0.5=10

答：行人在斑馬線上一橫排并排行走時的最多人數為10人.

【知識點】解直角三角形的其他實際應用

【解析】【分析】⑴過P作PODMN%）,則PC=QN=2米，PD=CN=20米,根據三角函數的定義得

到DM=PD-tan53°=20x狂26.7（米），求得MN=MD+DN=28.7米；

⑵①連接PB,根據三角函數的定義得到BC二二之另=3米），ACPC二2

tan/6什乙