2026年六年級下冊奧數培優講義：完全平方數性質（知識梳理+例題講解+提升練習）原卷版+解析

專題21完全平方數性質

I知識點梳理I

一、基本概念

完全平方數是指可以表示為某個整數平方的數，即若存在整數（n），便得（。=m2）,貝|J（Q）

為完全平方數（如（1=M）,（4=22）,（9=32）,（16=42）等）。

關鍵特征：完全平方數的質因數分解中，所有質因數的指數均為偶數。

示例：

（36=62=（2x3）2=22x3?）（質因數2的指數為2,3的指數為2,均為偶數）；

（100=102=（2x5）2=22x52）（質因數2、5的指數均為2,偶數）。

非完全平方數反例：（12=22x3］）（質因數3的指數為1,奇數，故12不是完全平方數）。

二、核心性質（必學）

1.質因數指數偶性

完全平方數分解質因數后，每個質因數的指數都是偶數。反之，若一個數的質因數分解中所有

指數為偶數，則該數是完全平方數。

例：（144=122=24x32）（指數4、2均為偶數）；（225=152=32x52）（指數2、2均為

偶數）。

2.因數個數為奇數

非完全平方數的因數成對出現（如6的因數1&6、2&3,共4個，偶數），而完全平方數有一

個因數是重復的（即平方根），故因數個數為奇數。

例：（16）的因數為1、2、4、8、16,共5個（奇數）；（25）的因數為1、5、25,共3個（奇

數）。

3.個位數字特征

完全平方數的個位數字只能是0、1、4、5、6、9,不可能是2、3、7、8。

例：（M=1）（個位1）,（22=4）（個位4）,（32=9）（個位9）,（42=16）（個位6）,（52=

25）（個位5）,（62=36）（個位6）,（72=49）（個位9）,（82=64）（個位4）,（92=81）

（個位1）,（102=100）（個位0）。

4.除以4的余數特征

完全平方數除以4的余數只能是0或1。

若（n）為偶數（（n=2攵）），則（/=4/）,除以4余0；

若（n）為奇數（（九=2七+1））,貝久/=4k2+4上+1=4（必+Z）+1）,除以4余1。

例：（16+4=4）（余0）,（25+4=6......1）（余1）,（36+4=9）（余0）。

5.除以3的余數特征

完全平方數除以3的余數只能是0或1。

若（n）是3的倍數（（n=3k））,則（M2=9M2）,除以3余0；

若（n）不是3的倍數（（n=3k±l））,則（M2=9k八2±6k+l=3（3k八2±2k）+l）,除以3余1。

例:（9+3=3）（余0）,（16+3=5……1）（余1）,（25+3=8……1）（余1）。

6.平方差公式應用

兩個完全平方數的差可表示為（。2-=（Q-b）（q+5）），其中（Q>b）,且（a-b）與（a+b）

同奇同偶（因為（a）、（b）同奇或同偶時，（a-b）和（a+b）均為偶數；一奇一偶時，均為奇數）。

三、核心方法（必學）

1.判斷完全平方數的方法

質因數分解法：分解質因數，若所有指數為偶數，則是完全平方數；

個位排除法：個位為2、3、7、8的數直接排除；

余數驗證法：除以4余2或3、除以3余2的數排除。

2.構造完全平方數的方法

若已知數（N=amxbnxcP）（?,b,c）為質數，（m,n,p）為正整數），則使其成為完全平方數的

最小乘數為各質因數指數“補成偶數”所需的質數暴，即：若（m）為奇數則乘（a）,（n）為奇數則

乘（b）,以此類推。

例：（N=12=22x3］），質因數3的指數為1（奇數），故最小乘數為3,得到（12x3=

36=62）（完全平方數）。

四、核心應用

1.判斷是否為完全平方數（結合質因數分解、個位特征、余數特征）；

2.求最小完全平方數（補全質因數指數為偶數）；

3.解決乘積為完全平方數問題（使乘積中各質因數指數均為偶數）；

4.平方差公式的應用（分解因數、求連續自然數等）。

「例題講解I

一、基礎題（判斷與識別）

例1：判斷下列數是否為完全平方數：（1）121；（2）143；（3）225o

解題步驟：

（1）121：個位為1（符合特征），分解質因數（121=1嚴）（指數2為偶數），故是完全平方數

ll2o

（2）143：個位為3（不符合完全平方數個位特征），直接排除，不是完全平方數。

（3）225：個位為5（符合特征），分解質因數（225=152=32x52）

（有數均為偶數），故是完全平方數（（152））。

答案：（1）是；（2）否；（3）是。

跟蹤練習1：判斷324是否為完全平方數（用質因數分解法）。

答案：是，（324=182=22x3,（指數2、4均為偶數）。

二、進階題（構造與計算）

例2：已知（N=23x32x5，求最小的正整數（￡）,使得（Nxk）為完全平方數。

解題步驟：

分解（N）的質因數：（23x32x51）,各質因數指數為3（2）、2（3）、1（5）；

完全平方數要求指數為偶數，故需補全：2的指數3-4（需乘（2】）），5的指數1

->2（需乘（5】）），3的指數2已為偶數；

最小（A=2x5=10）,此時（Nxk=24x32x52=（22x3x5）2=602）（完全平方數）。

答案：（k=10）。

跟蹤練習2：若(1008xa)是完全平方數，求最小正整數(a)。(提示：先分解1008的質因數)

答案：(a=7)。解析：(1008=24x32x71)，質因數7的指數為1(奇數)，故(a=

7)?不對，1008=24x32x7】，指數4(2)、2(3)為偶數，7的指數1需補1,所以(Q=

7)

三、挑戰題(綜合應用)

例3：四個連續自然數的乘積為3024,求這四個數中是否有完全平方數。

解題步驟：

分解3024的質因數:(3024=24X33X71)；

連續自然數相差1,嘗試組合質因數：(6x7x8x9=3024)(驗證：6=2x3,7=7,8=

23,9=32,乘積=2x3x7x23x32=24x33x7,與分解結果一致)；

四個數為6、7、8、9,其中9二3八2是完全平方數。

答案：有，9是完全平方數。

例4：證明：任意兩個完全平方數的差不可能是2。

解題步驟：

設兩個完全平方數為(a?)、(b2)((a>/>)),則(Q2_從=(Q_盯?+b)=2)；

2的因數對為(1,2),故({Q-8=1a+b=2),解得(a=1.5),(b=0.5),非整數，矛盾；

因此，不存在整數(a,b)使(a，2?bA2=2),得證。

跟蹤練習3：已知(a)、(b)為正整數，且(Q2-/=45),求⑷、(b)的值。

答案：(a=7),(b=2)(或(a=9),(b=6))。解析：((a-b)(a+b)=45),45的因數對：(1,45)、

(3,15)、(5,9),解得(a=23,b=22)或(a=9,b=6)或(a=7,b=2)。

1藉異彖工1

1.已知4+2022=32,且A是一個三位數，B是一個兩位數，那么A的取值共有()種。

A.6B.7C.8D.9

2.自然數1?60（）中，有奇數個約數的數共有個。（）

A.19B.20C.24D.25

3.數學家華羅庚小時候學因數與倍數時，曾經遇到過這樣的問題：已知有兩個數，它們的乘

積是2800,其中一個數的因數個數比另一個數的因數個數多1,那么這兩個數的和是（）。

A.190B.185C.191D.192

4.三個連續自然數，其中一個數是質數，一個是完全平方數，在質數和完全平方數之間的自

然數稱為“完美數”。例如，10在9和11之間，是一個“完美數”。包括10在內的兩位數中有（）

個“完美數”。

A.3B.4C.5D.6

5.計算：12?—1『+102—92+82-72+62—52+42-32+22-12=（）（備注：

A2=AXA）O

6.計算：12342—2342=（）0

7.自然數N是一個不超過100的完仝平方數，它減去13或加上15后，得到的數都是完仝平

方數，?N=0

8.一個三位數加1或者乘1（）的結果都是完全平方數，這個三位數是（）。（注：一個自

然數與自身相乘的積叫做完全平方數。）

9.有一類自然數，它們都是平方數,且最后三位數字相同。例如:452=2025,552=3025,

9夕=9025,…它們的后三位數字相同，都是“025”。這類自然數中最小的是_______。

10.從0、2、4、6、8中挑出4個各不相同的數字能組成一個四位完全平方數，那么這個完全

平方數是—O

11.Alice寫了一個三位數，Bob發現它乘10之后會變成一個完全平方數，Cindy發現它加上

9之后也是完全平方數，那么Alice寫的三位數是（）。

12.一個正整數a與2020的積是一個完全平方數，則a的最小值是（）<>

13.有一本書，每天讀80頁，5天讀完；每天讀90頁，4天讀完。為了更好地讀懂這本書,

小明打算每天少讀一點，決定N天看完，此時每天讀N頁正好讀完。這部小說共頁。

14,設且8〃+1為完全平方式，則符合條件的整數〃的個數為—o

15.有一個奇怪的四位數（首位不為0）,它是完全平方數，它的數字和也是完全平方數，用

這個四位數除以它的數字和得到的結果還是完全平方數，并且它的因數個數還恰好等于它的數

字和，那當然也是完全平方數，如果這個四位數的各位數字互不相同，那么這個四位數是

（）。

16.設非零自然數a,b,c滿足方程C=2（）22。試求：

（1）/+/+C2的最小值。

（2）當"+。2+，取得最小值時a,b,c的值。

17.已知A和D為兩個非零自然數位。且利用這兩個數位組成的兩位數有以下性質:

（1）而可以被寫成2和而一2的積；

（2）而是個平方數；

求兩位數而。

18,能夠找到這樣的四個正整數，使得它們中任意兩個數的積與2002的和都是完全平方數嗎?

若能夠，請舉出一例；若不能夠，請說明理由.

19.一個自然數與自身相乘的結果稱為完全平方數?已知一個完全平方數是四位數，且各位數

字均小于7.如果把組成它的數字都加上3,便得到另外一個完全平方數，求原來的四位數?

20.一個四位數的每一位數字都是非零的偶數，它乂恰好是某個偶數數字組成的數的平方，請

問：這個四位數是多少？

專題21完全平方數性質

I知識點梳理I

一、基本概念

完全平方數是指可以表示為某個整數平方的數，即若存在整數（n）,使得（a=1）,貝IJ（Q）

為完全平方數（如（1="）,（4=22）,（9=32）,（16=42）等）。

關鍵特征：完全平方數的質因數分解中，所有質因數的指數均為偶數。

示例：

（36=62=（2x3）2=22x3?）（質因數2的指數為2,3的指數為2,均為偶數）；

（100=102=（2x5）2=22x52）（質因數2、5的指數均為2,偶數）。

非完全平方數反例：（12=22x3］）（質因數3的指數為1,奇數，故12不是完全平方數）。

二、核心性質（必學）

1.質因數指數偶性

完全平方數分解質因數后，每個質因數的指數都是偶數。反之，若一個數的質因數分解中所有

指數為偶數，則該數是完全平方數。

例：（144=122=24x32）（指數4、2均為偶數）；（225=152=32x52）（指數2、2均為

偶數）。

2.因數個數為奇數

非完全平方數的因數成對出現（如6的因數1&6、2&3,共4個，偶數），而完全平方數有一

個因數是重復的（即平方根），故因數個數為奇數。

例：（16）的因數為1、2、4、8、16,共5個（奇數）；（25）的因數為1、5、25,共3個（奇

數）。

3.個位數字特征

完全平方數的個位數字只能是（）、1、4、5、6、9,不可能是2、3、7、8。

例：（I?=1）（個位1）,（22=4）（個位4）,（32=9）（個位9）,（42=16）（個位6）,（52=

25）（個位5）,（62=36）（個位6）,（72=49）（個位9）,（82=64）（個位4）,（92=81）

（個位1）,（102=100）（個位0）。

4.除以4的余數特征

完全平方數除以4的余數只能是0或1。

若（n）為偶數（（n=2攵）），則（/=4/）,除以4余0；

若（n）為奇數（（九=2七+1））,貝久/=4k2+4上+1=4（必+Z）+1）,除以4余1。

例：（16+4=4）（余0）,（25+4=6......1）（余1）,（36+4=9）（余0）。

5.除以3的余數特征

完全平方數除以3的余數只能是0或1。

若（n）是3的倍數（（n=3k））,則（M2=9M2）,除以3余0；

若（n）不是3的倍數（（n=3k±l））,則（M2=9k八2±6k+l=3（3k八2±2k）+l）,除以3余1。

例:（9+3=3）（余0）,（16+3=5……1）（余1）,（25+3=8……1）（余1）。

6.平方差公式應用

兩個完全平方數的差可表示為（。2-=（Q-b）（q+5）），其中（Q>b）,且（a-b）與（a+b）

同奇同偶（因為（a）、（b）同奇或同偶時，（a-b）和（a+b）均為偶數；一奇一偶時，均為奇數）。

三、核心方法（必學）

1.判斷完全平方數的方法

質因數分解法：分解質因數，若所有指數為偶數，則是完全平方數；

個位排除法：個位為2、3、7、8的數直接排除；

余數驗證法：除以4余2或3、除以3余2的數排除。

2.構造完全平方數的方法

若已知數（N=amxbnxcP）（?,b,c）為質數，（m,n,p）為正整數），則使其成為完全平方數的

最小乘數為各質因數指數“補成偶數”所需的質數暴，即：若（m）為奇數則乘（a）,（n）為奇數則

乘（b）,以此類推。

例：（N=12=22x3］），質因數3的指數為1（奇數），故最小乘數為3,得到（12x3=

36=62）（完全平方數）。

四、核心應用

1.判斷是否為完全平方數（結合質因數分解、個位特征、余數特征）；

2.求最小完全平方數（補全質因數指數為偶數）；

3.解決乘積為完全平方數問題（使乘積中各質因數指數均為偶數）；

4.平方差公式的應用（分解因數、求連續自然數等）。

［例題講解i

■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■J

一、基礎題（判斷與識別）

例1：判斷下列數是否為完全平方數：（1）121；（2）143；（3）225o

解題步驟：

（1）121：個位為1（符合特征），分解質因數（121=1嚴）（指數2為偶數），故是完全平方數

ll2o

（2）143：個位為3（不符合完全平方數個位特征），直接排除，不是完全平方數。

（3）225：個位為5（符合特征），分解質因數（225=152=32x52）

（有數均為偶數），故是完全平方數（（152））。

答案：（1）是；（2）否；（3）是。

跟蹤練習1：判斷324是否為完全平方數（用質因數分解法）。

答案：是，（324=182=22x3,（指數2、4均為偶數）。

二、進階題（構造與計算）

例2：已知（N=23x32x5，求最小的正整數（￡）,使得（Nxk）為完全平方數。

解題步驟：

分解（N）的質因數：（23x32x51）,各質因數指數為3（2）、2（3）、1（5）；

完全平方數要求指數為偶數，故需補全：2的指數3-4（需乘（2】）），5的指數1

->2（需乘（5】）），3的指數2已為偶數；

最小（A=2x5=10）,此時（Nxk=24x32x52=（22x3x5）2=602）（完全平方數）。

答案：（k=10）。

跟蹤練習2：若(1008xa)是完全平方數，求最小正整數(a)。(提示：先分解1008的質因數)

答案：(a=7)。解析：(1008=24x32x71)，質因數7的指數為1(奇數)，故(a=

7)?不對，1008=24x32x7】，指數4(2)、2(3)為偶數，7的指數1需補1,所以(Q=

7)

三、挑戰題(綜合應用)

例3：四個連續自然數的乘積為3024,求這四個數中是否有完全平方數。

解題步驟：

分解3024的質因數:(3024=24X33X71)；

連續自然數相差1,嘗試組合質因數：(6x7x8x9=3024)(驗證：6=2x3,7=7,8=

23,9=32,乘積=2x3x7x23x32=24x33x7,與分解結果一致)；

四個數為6、7、8、9,其中9二3八2是完全平方數。

答案：有，9是完全平方數。

例4：證明：任意兩個完全平方數的差不可能是2。

解題步驟：

設兩個完全平方數為(a?)、(b2)((a>/>)),則(Q2_從=(Q_盯?+b)=2)；

2的因數對為(1,2),故({Q-8=1a+b=2),解得(a=1.5),(b=0.5),非整數，矛盾；

因此，不存在整數(a,b)使(a，2?bA2=2),得證。

跟蹤練習3：已知(a)、(b)為正整數，且(Q2-/=45),求⑷、(b)的值。

答案：(a=7),(b=2)(或(a=9),(b=6))。解析：((a-b)(a+b)=45),45的因數對：(1,45)、

(3,15)、(5,9),解得(a=23,b=22)或(a=9,b=6)或(a=7,b=2)。

i短耳彖31

1.已知4+2022=32,且A是一個三位數，B是一個兩位數，那么A的取值共有()種。

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】A是一個三位數，B是一個兩位數，且A+2022=B2,則B?一定大于2022,據此求

出B的最小值，再求出B的最大值，即可求出A的取值共有多少種。

【詳解】解：因為45x45=2025,2025-2022=3,所以A=3,B=45,不符合題意；

因為46x46=2116,2116-2022=94,所以A=94,B=46,不符合題意;

因為47x47=2209,2209-2022=187,所以A=187,B=47；

因為48x48=2304,2304-2022=282,所以A=282,B=48；

因為49x49=2401,24012022=379,所以A=379,B=49；

因為50x50=2500,2500—2022=478,所以A=478,B=50；

因為51x51=2601,2601-2022=579,所以A=579,B=51；

因為52x52=2704,2704-2022=682,所以A=682,B=52；

因為53x53=2809,2809—2022=787,所以A=7X7,B=53：

因為54x54=2916,2916-2022=894,所以A=894,B=54；

因為55x55=3025,3()25-2022=1003,所以A=10()3,B=55,不符合題意;

所以A的取值共有8種。

故答案選：C

【點睛】本題考查了完全平方數性質的應用，解題的關鍵是求出B的最小值和最大值。

2.自然數1?600中，有奇數個約數的數共有個。()

A.19B.20C.24D.25

【答案】C

【分析】有奇數個約數，說明這些數都是完全平方數，先估算大致的范圍，再確定滿足條件的

數有多少個即可。

【詳解】1x1=1

2x2=4

3x3=9

24x24=574

25x25=625

574<600<625

所以自然數1?600中，有奇數個約數的數共有24個。

故答案為：C

3.數學家華羅庚小時候學因數與倍數時，曾經遇到過這樣的問題：已知有兩個數，它們的乘

積是2800,其中一個數的因數個數比另一個數的因數個數多1,那么這兩個數的和是（）。

A.190B.185C.191D.192

【答案】X

【分析】先把2800分解質因數，考慮到除了完全平方數，其他數字因數的個數都是成對出現

的，不會出現多1個的情況，因此找出屬于完全平方數的因數的個數，再進一步分析，找出符

合題意的答案。

【詳解】任何一個正整數，其因數應該是成對出現的，這意味著，一般情況下，一個正整數應

該有偶數個因數；完全平方數的因數個數是奇數個；

根據題意：''兩個數的乘積等于2800,其中一個數的因數個數比另一個數的因數多1”,這表明：

這兩個數中有一個是完全平方數；

由于：2800=2x2x2x2x5x5x7,其屬于完全平方數的因數有五個:22=4.42=16.52=25.102

=100、202=400,

分別進行分析：2800=4x700,各有3個和16個因數，不符合題意；

2800=7x400,各有2個和15個因數，不符合題意；

2800=16x175,各有5個和6個因數，符合題意；

2800=25x112,各有3個和10個因數，不符合題意；

2800=28x100,各有6個和9個因數，不符合題意；

綜上所述，這兩個數是16和175,這兩個數的和是：16+175=191。

故答案選：C

4.三個連續自然數，其中一個數是質數，一個是完全平方數，在質數和完全平方數之間的自

然數稱為“完美數”。例如，10在9和11之間，是一個“完美數”。包括10在內的兩位數中有（）

個“完美數

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】由題可知，因為“完美數”在三個連續自然數的質數和完全平方數的中間所以需要看完

全平方數左右兩側隔一個數的數是否是質數，要想找出兩位數中的“完美數”，涉及到的完全平

方數有9、16、25、36、49、64、81、100,據此逐步分析即可求解。

【詳解】因為“完美數”在三個連續自然數的質數和完全平方數的中間所以需要看完全平方數左

右兩側隔一個數的數是否是質數，要想找出兩位數中的“完美數”，涉及到的完全平方數有9、

16、25、36、49、64、81、100；

9右側隔一個數的數為11,11是質數，10是“完美數”；

16左右兩側隔一個數的數為14、18,都不是質數，故16兩側沒有“完美數”;

25左右兩側隔一個數的數為23、27,23是質數,24是“完美數”;

36左右兩側隔一個數的數為34、38,都不是質數，故36兩側沒有“完美數”;

49左右兩側隔一個數的數為47、51,47是質數，故48是“完美數”：

64左右兩側隔一個數的數為62、66,都不是質數，故64兩側沒有“完美數”;

81左右兩側隔一個數的數為79、83,都是質數，故80和82都是“完美數”；

100左側隔一個數的數為98,不是質數，故100左側沒有“完美數”；

包括10在內的兩位數中的“完美數”有10、24、48、80、82,共有5個。

故答案選：C

5.計算：122—112+1（）2—92+82—72+6?—52+42—3?+22—『=（）（備注：

2

A=AXA）0

【答案】78

【分析】觀察算式發現題目求的是多個平方差（如12?-1/）的和，因此可以利用平方差公

式/一從二色一勾色+匕））將原式轉換為：

（12-H）X（12+11）4-（10-9）X（10+9）+（8-7）X（8+7）4-....+（2-l）x（2+l）,繼續化簡即

為：12+11+10+9+8+7+……+2+1,最后再根據等差數列求和公式即可完成計算。

【詳解】122-112+102-924-82-72+62-52+42-32+22-12

=（12-U）x（12+H）+（10-9）x（10+9）+（8-7）x（8+7）+……+（2-l）x（2+l）

=lx(12+ll)+lx(10+9)+lx(8+7)+...+lx(2+l)

=12+11+10+9+8+7+...+2+1

=(12+1)x124-2

=13x6

=78

6.計算：12342—2342=()。

【答案】

1468000

【分析】此題利用平方差公式a2-b2=(a-b)(a+b)進行簡便計算。

【詳解】12342—234?

=(1234-234)x(1234+234)

=1000x1468

=1468000

7.自然數N是一個不超過10()的完全平方數，它減去13或加上15后，得到的數都是完全平

方數，則N=o

【答案】

49

【分析】自然數N是不超過］00的完全平方數，且N減去13或加上15后得到的數都是完全

平方數。

設N減去13等于A的平方，N加上15等于B的平方，則B2-A2=28。

通過根據公式a2-b2=(a+b)(a-b)得出(B-A)(B+A)=28,并考慮B和A為自然數

且B>A,找到符合條件的A和B,進而求出N。

【詳解】設N—13=A2

N+15=B2,其中A和B是自然數。

(N+15)-(N-13)

=N+15-N+13

=28

則B2-A2=28

(B-A)(B+A)=28

由于B和A是自然數且B>A,因此B—A和B+A都是正整數，且B+A>B—A

28的因子有1、2、4、7、14、28o

其中B-A和B+A必須同奇偶(因為B和A都是整數，B-A和B+A同奇偶)，且乘積為

28。

可能因子對中：

若B—A=2,B+A=14

則B=8,A=6o

代入A=6,得N=A2+13=36+13=49。

則N=49c

8.一個三位數加1或者乘1()的結果都是完全平方數，這個三位數是()。(注：一個自

然數與自身相乘的積叫做完全平方數。)

【答案】360

【分析】根據乘10的結果也是完全平方數可以列舉出所以情況，再根據加1后也是完全平方

數，可以確定最終的結果。

【洋解】402=1600,161不是完仝平方數，

502=2500,251不是完全平方數，

602=3600,361是完全平方數,

902=8100,811不是完全平方數。

綜上，只有360滿足題意。

【點睛】這類數論問題，關鍵是要找到突破口，這道題可以從乘10的結果是完全平方數出發,

這樣更快解答。也可以從三位數加1也是完全平方數出發，先列舉再找出正確答案。

9.有一類自然數，它們都是平方數,且最后三位數字相同。例如：452=2025,552=3025,

952=9025,…它們的后三位數字相同，都是“025”。這類自然數中最小的是_______。

【答案】100

【分析】題目要求找到最小的平方數，且最后三位數字相同。我們需要結合平方數的特性，從

最小的可能情況逐一驗證。

【詳解】“最后三位數字相同”意味著三位數字完全一致，如"100”、“111”等。平方數中，102

=100,后三位是“100”的這類自然數還有902=8100,1102=12100,…后三位“100”完全相同，

且是最小的滿足條件的平方數。

【點睛】本題的關鍵是準確理解“最后三位數字相同”是指三位數字完全一致，而非題目示例中

“025”（后三位數字相同但并非三位全相同的特殊表述干擾）。

10.從（）、2、4、6、8中挑出4個各不相同的數字能組成一個四位完全平方數，那么這個完全

平方數是一。

【答案】6084

【分析】這道題的關鍵在于利用完全平方數的特性和給定的數字范圍，通過排除法縮小范圍。

一個數能否被3整除將會快速的排除很多不符合要求的數.

【詳解】首先個位只能為4（因為是“完全平方數”，如果個位是0的話得要兩個0,如果是6

的話十位必為奇數，而這里都是偶數），這時還有（）、2、6、8四個數，那么我們看看哪個數字

不被挑選：如果是0不用則4個數字之和為2+4+6+8=20,或者6不用，或者4個數字之

和為0+2+4+8=14,均能被3整除余2；如果是8不用，則4個數字之和為0+2+4+6=

12,能被3整除但不能被9整除；如果是2不用，則4個數字之和為0+4+6+8=18,既是3

的倍數也是9的倍數，所以2不被使用。這樣就只有4個數字6804、6084、8064、8604四種

可能，而78x78=6084,因此，6084就是題目所求的“完全平方數”

【點睛】利用完全平方數的個位數特性快速鎖定個位數為4,結合分析數字之和余3的整除關

系，有效的排除了不符合條件的數字，再進行驗證，從而高效地找到答案。

11.Alice寫了一個三位數，Bob發現它乘10之后會變成一個完全平方數，Cindy發現它加上

9之后也是完全平方數，那么Alice寫的三位數是（）。

【答案】160

【分析】Alice寫了一個三位數，Bob發現它乘10之后會變成一個完全平方數，說明這個三位

數個位數字是0,則這個三位數的前兩位也是個完全平方數，據此列舉，再結合它加上9之后

也是完全平方數推斷即可。

【詳解】這個三位數乘10等于完全平方數，說明這個三位數末尾是0,前兩位是人完全平方

數,它加上9之后也是完全平方數，即這個數可能是：169,259,369,499,649,819；發現

只有169是完全平方數，所以這個三位數是160

答：Alice寫的三位數是160。

故答案為：160

12.一個正整數a與2020的積是一個完全平方數，則a的最小值是()。

【答案】505

【分析】先將2020分解質因數，再根據完全平方數的質因數的個數一定是偶數個，由此即可

確定最小值。由此即可確定a的最小值是多少。

【詳解】2020=22X5X101

所以a最小是：5x101=505。

因此a的最小值是505。

13.有一本書，每天讀80頁，5天讀完；每天讀90頁，4天讀完。為了更好地讀懂這本書，

小明打算每天少讀一點，決定N天看完，此時每天讀N頁正好讀完.這部小說共頁.

【答案】324

【分析】通過觀察可知，每天讀8()頁，5天讀完，最后一天沒有讀滿8()頁，所以總頁數一定

大于［80x(5-1)］頁，也就是320頁，小于(80x5)頁，也就是400頁；每天讀90頁，4天

讀完，最后一天沒有讀滿90頁，所以總頁數大于［90x(4—1)］頁，也就是270頁，小于(90x4)

頁，也就是360頁，所以總頁數大于320頁，且小于360頁，因為總頁數=NxN,所以總頁數

為平方數，只要找到320-360之間的平方數即可，只有18的平方符合，總頁數為18的平方。

【詳解】80x(5-1)

=80x4

=320(頁)

90x4=360(頁)

320V總頁數V360

總頁數=NXN

18』324

172<320<182<360<192

總頁數為182,也就是324頁,

【點睛】找到總頁數的取值范圍是解答本題的關鍵。

14,設1工〃<100,且8〃+1為完全平方式，則符合條件的整數〃的個數為—o

【答案】13

【分析】首先觀察發現3、5、7、9……這些數的平方都可以寫成8〃+1的形式，事實.匕任何

一個奇數的平方都可以寫成加+1,但由于9<8AZ+1<801,所以這個奇數的平方也要小于

等于801。

【詳解】令/=8〃+1

27?=729<801

292=841>801

所以。的取值有3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27,共13個。

【點睛】本題考查的是完全平方數，對于完全平方數的相關性質要非常熟悉。

15.有一個奇怪的四位數(首位不為())，它是完全平方數，它的數字和也是完全平方數，用

這個四位數除以它的數字和得到的結果還是完全平方數，并且它的因數個數還恰好等于它的數

字和，那當然也是完全平方數，如果這個四位數的各位數字互不相同，那么這個四位數是

()。

【答案】2601

【解析】四位數的數字和最小是1,最大是36,9999不是完全平方數，排除；數字和是完全

平方數，那么數字和可能取9,16,25；因數個數還恰好等于它的數字和，那么因數個數也是

完全平方數，而完全平方數有奇數個因數，排除16；對于9和25兩種情況進行分類討論。

【詳解】如果數字和是9：

由于這個四位數除以它的數字和9,得到的結果還是完全平方數；

結合因數個數，符合要求的這個四位數可以寫成"x32的形式，因為為質數，經測試可取17；

得到符合要求四位數*2X32=2601;

如果數字和是25：

由于這個四位數除以它的數字和25,得到的結果還是完全平方數；

結合因數個數，符合要求的這個四位數可以寫成〃X54的形式，沒有符合要求的數；

故這個四位數是2601。

【點睛】本題考查的是完全平方數的知識點，完全平方數的因數個數是奇數個。

16.設非零自然數a,b,c滿足方程"+從一c=20220試求:

(1)02+從+。2的最小值。

(2)當々2+6+C2取得最小值時a,b,c的值。

【答案】(1)2034

(2)27,36,3或36,27,3

【分析】由公十〃2一c二2022得至Ue?十〃2十^=2022—°?十c，因此求/十〃十的最小值

即可轉化為求c的最小值。因為c為非零自然數，所以從1開始枚舉，因為a、b為非零自然

數，所以通過對兩個完全平方數的和來確定c的最小值，從而得到^+從+廿的最小值。

【詳解】(1)因為"+〃2—=2022，

所以"+從+。2=2022+/+。，

因此求/+/的最小值即可轉化為求c的最小值。

當c=l時，/+/=2023,經嘗試，沒有兩個完全平方數的和為2023,故舍去；

當c=2時，/+〃2=2024,經嘗試，沒有兩個完全平方數的和為2024,故舍去；

當c=3時，/+〃2=2025,經嘗試，362+272=1296+729=2025，

所以c的最小值為3,42+。2+c2的最小值為：2022+3+32-2034.

答：儲+〃+/的最小值為2034。

(2)當c=3時，片+^+才取得最小值，此時a,b的值分別為36,27或27,36。

答：當a2+〃+c2最小值時b,c的值為27,36,3或36,27,3。

17.已知A和D為兩個非零自然數位。且利用這兩個數位組成的兩位數有以下性質：

(1)可以被寫成2和4。一2的積;

(2)而是個平方數；

求兩位數而。

【答案】49

【分析】根據麗可以被寫成2和標-2的積，則可以得到：100+4=2x(104+0—2),

將這個算式化簡即為：19A=8O+4,然后而是個平方數，根據完全平方數的末位數的特點

進一步推斷即可。

【詳解】由題意可知：100+4=2x(104+0-2)

化簡即為：19A=80+4

而是個平方數，完全平方數的末位數只能是0,1,4,5,6,9,

所以。=1,4,5,6,9；

經過檢驗。=9,A=4