九年級數(shù)學(xué)下冊 相似三角形的判定（第3課時） 知識清單

九年級數(shù)學(xué)下冊相似三角形的判定（第3課時）知識清單一、核心定理：兩角分別相等的兩個三角形相似（【重要】）（一）定理的內(nèi)容與解析該定理是本章的核心內(nèi)容之一，它指出：如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。這是判定兩個三角形相似最直接、最常用的方法之一。從邏輯上分析，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理（三角形三個內(nèi)角的和等于180°），當(dāng)兩個三角形有兩組角分別相等時，它們的第三組角必然相等。因此，“兩角對應(yīng)相等”實(shí)際上等價于“三角對應(yīng)相等”，這完全契合了相似三角形的定義。這個定理為我們提供了一條極為簡便的判定路徑：無需測量或計(jì)算邊長，僅通過角的關(guān)系就能確定三角形的形狀是否相同。（二）符號語言與圖形語言如圖，在△ABC和△DEF中，∵∠A=∠D，∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF。在這里，對應(yīng)頂點(diǎn)必須寫在對應(yīng)的位置上。∠A和∠D是對應(yīng)角，∠B和∠E是對應(yīng)角，則剩下的∠C和∠F自然成為對應(yīng)角。對應(yīng)邊則為：AB對應(yīng)DE，BC對應(yīng)EF，AC對應(yīng)DF。（三）定理的證明思路（【理解】）教材中采用了經(jīng)典的“構(gòu)造法”進(jìn)行證明，這種思想方法在幾何學(xué)習(xí)中具有普遍指導(dǎo)意義。證明思路：在△DEF的邊DE上截取DG=AB，過點(diǎn)G作GH∥EF，交DF于點(diǎn)H，構(gòu)造出中間三角形△DGH。首先，根據(jù)“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”這一基本事實(shí)，可得△DGH∽△DEF。然后，通過已知的角相等條件（∠A=∠D，∠B=∠E）和平行線的性質(zhì)，可以證明△DGH與△ABC全等（ASA）。最后，利用相似三角形的傳遞性，即可得出△ABC∽△DEF的結(jié)論。這個過程完美地體現(xiàn)了“未知”向“已知”轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。（四）典型應(yīng)用場景與例題分析該定理的應(yīng)用極為廣泛，尤其是在含有平行線、圓內(nèi)接四邊形、對頂角、公共角、垂直關(guān)系等圖形中。1.【基礎(chǔ)應(yīng)用】直接尋找已知角例1：如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，且DE∥BC。求證：△ADE∽△ABC。證明：∵DE∥BC(已知)，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C(兩直線平行，同位角相等)。在△ADE和△ABC中，∵∠A=∠A(公共角)，∠ADE=∠B，∴△ADE∽△ABC(兩角分別相等的兩個三角形相似)。【點(diǎn)評】這是該定理與平行線性質(zhì)結(jié)合的最基本模型，也是“A”型相似的標(biāo)準(zhǔn)形式。2.【高頻考點(diǎn)】在圓中求線段長例2：如圖，弦AB和CD相交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)P。求證：PA·PB=PC·PD。證明：連接AC、BD。∵∠A=∠D，∠C=∠B(同弧所對的圓周角相等)，在△PAC和△PDB中，∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△PAC∽△PDB(兩角分別相等的兩個三角形相似)。∴PA/PD=PC/PB(相似三角形對應(yīng)邊成比例)。∴PA·PB=PC·PD(比例的基本性質(zhì))。【點(diǎn)評】這是一個經(jīng)典的“相交弦定理”的證明過程。它將圓中的等角轉(zhuǎn)化與相似三角形的判定完美結(jié)合，是中考和競賽中的常考題型。【重要】3.【難點(diǎn)突破】利用“母子型”相似求邊長例3：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜邊AB上的高。(1)求證：△ACD∽△ABC；△CBD∽△ABC。(2)若AD=4，BD=9，求CD和BC的長。證明(1)：∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC=∠ACB=90°。在△ACD和△ABC中，∵∠A=∠A(公共角)，∠ADC=∠ACB，∴△ACD∽△ABC(兩角分別相等的兩個三角形相似)。同理，∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°，∴△CBD∽△ABC。【深入探究】由△ACD∽△ABC，可得AC/AB=AD/AC，即AC2=AD·AB。由△CBD∽△ABC，可得BC/AB=BD/BC，即BC2=BD·AB。由△ACD∽△CBD，可得AD/CD=CD/BD，即CD2=AD·BD。解(2)：由CD2=AD·BD=4×9=36，∴CD=6(負(fù)值舍去)。在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理，BC=√(BD2+CD2)=√(92+62)=√(81+36)=√117=3√13。【點(diǎn)評】這是直角三角形中最重要的相似模型——“母子型”相似（或稱射影定理模型）。由此推導(dǎo)出的三個等積式（AC2=AD·AB,BC2=BD·AB,CD2=AD·BD）是解決直角三角形相關(guān)計(jì)算問題的重要工具，務(wù)必熟練掌握。【非常重要】【高頻考點(diǎn)】（五）常見題型與考向分析1.填空題/選擇題：直接給出兩個三角形的兩組角，判斷是否相似；或在復(fù)雜圖形中識別相似三角形的對數(shù)。2.解答題：結(jié)合平行線、圓、特殊四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形）的性質(zhì)，證明三角形相似，并利用相似比求線段長度或角度。3.探究題：在動態(tài)幾何問題中，探究在某一時刻兩個三角形是否相似。二、特殊情形：直角三角形相似的判定（【拓展】）（一）一般直角三角形的相似判定由于直角三角形有一組角（直角）是天然相等的，因此判定兩個直角三角形相似比判定一般三角形相似的條件更為寬松。主要有以下幾種方法：1.【基本方法】有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。【分析】若∠A=∠A‘，則根據(jù)“兩角分別相等”，Rt△ABC∽Rt△A’B‘C’。2.【基本方法】兩條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似。【分析】若AB/A‘B’=AC/A‘C’（其中AB、AC是直角邊），且夾角∠A=∠A‘=90°，則根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等”，Rt△ABC∽Rt△A’B‘C’。（二）【難點(diǎn)】特殊的“HL”判定定理對于直角三角形，還有一個類似于全等三角形中“HL”定理的相似判定方法。定理：斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似。符號語言：如圖，在Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘中，∠C=∠C’=90°。如果AB/A‘B’=AC/A‘C’（或AB/A‘B’=BC/B‘C’），那么Rt△ABC∽Rt△A‘B’C‘。證明思路：已知兩組邊的比例關(guān)系，欲證兩個三角形相似，通常考慮“三邊成比例”或“兩邊成比例且夾角相等”。這里沒有直接給出夾角（直角）所夾的兩邊（即兩直角邊）的比例，而是給出了斜邊和一條直角邊的比例。我們可以設(shè)AB/A‘B’=AC/A‘C’=k，則AB=k·A‘B’，AC=k·A‘C’。在兩個直角三角形中，分別利用勾股定理表示出BC和B’C‘：BC=√(AB2AC2)=√(k2·A’B‘2k2·A’C‘2)=k·√(A’B‘2A’C‘2)=k·B’C‘。因此，BC/B’C‘=k。這樣就得到了三邊對應(yīng)成比例：AB/A’B‘=AC/A’C‘=BC/B’C‘=k。根據(jù)“三邊成比例”，可以判定Rt△ABC∽Rt△A’B‘C’。【易錯警示】使用此定理時，必須確保比例關(guān)系是“斜邊比斜邊”等于“直角邊比直角邊”，并且對應(yīng)的直角邊必須是對應(yīng)邊，不能混淆。【重要】三、相似三角形判定的綜合運(yùn)用與思路拓展（一）相似三角形判定的路徑選擇在面對一個具體的幾何證明題時，如何快速準(zhǔn)確地選擇判定方法，是解題的關(guān)鍵。1.首先看“角”：1.是否有公共角、對頂角？2.是否有平行線帶來的同位角或內(nèi)錯角相等？3.是否在圓中，有圓周角定理及其推論提供的等角關(guān)系？4.是否有垂直帶來的90°角？5.如果有兩組等角，直接選擇“兩角分別相等”。1.其次看“邊”：1.如果已知條件中給出了較多的邊長的比例關(guān)系，或者需要計(jì)算邊長，則考慮“三邊成比例”或“兩邊成比例且夾角相等”。2.如果是一對直角三角形，優(yōu)先考慮銳角相等或“HL”相似判定。1.再看“圖形結(jié)構(gòu)”：1.“A”型、“8”型：通常利用平行找角。2.“母子”型（射影定理型）：通常利用垂直找等角，得出三個相似三角形。3.“旋轉(zhuǎn)”型：往往通過已知比例和旋轉(zhuǎn)得到的相等角來證明。（二）【高頻考點(diǎn)】分類討論思想在相似中的應(yīng)用當(dāng)題目中未明確給出兩個三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)時，常需要運(yùn)用分類討論思想，以防漏解。例4：如圖，在△ABC中，AB=8cm，AC=6cm，BC=9cm。點(diǎn)D是邊AB上的一動點(diǎn)，且AD=2cm。點(diǎn)E在邊AC上，連接DE。若以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求AE的長。分析：題目只說△ADE與△ABC相似，并未指明對應(yīng)關(guān)系。因此，我們需要分兩種情況討論：情況一：△ADE∽△ABC。此時，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)A，∠A是公共角，所以AD與AB是對應(yīng)邊，或AD與AC是對應(yīng)邊？需要進(jìn)一步細(xì)分。實(shí)際上，我們應(yīng)抓住已確定的等角關(guān)系：∠A=∠A。(1)如果∠ADE=∠B，則根據(jù)“兩角分別相等”，有△ADE∽△ABC。此時，對應(yīng)邊為：AD/AB=AE/AC。∴2/8=AE/6，解得AE=1.5cm。(2)如果∠ADE=∠C，則根據(jù)“兩角分別相等”，有△ADE∽△ACB。此時，對應(yīng)邊為：AD/AC=AE/AB。∴2/6=AE/8，解得AE=8/3cm。綜上所述，AE的長為1.5cm或8/3cm。【解答要點(diǎn)】在解決相似三角形的動點(diǎn)問題時，必須養(yǎng)成分類討論的習(xí)慣。通常根據(jù)已知的相等角（如公共角）作為突破口，分兩種情況討論另一個角的不同對應(yīng)關(guān)系，或者分情況討論夾這個角的兩組邊的對應(yīng)關(guān)系。【非常重要】【易錯點(diǎn)】四、核心素養(yǎng)與思想方法提煉（一）類比思想本章知識的學(xué)習(xí)與三角形全等的判定有著驚人的相似性。我們可以通過對比來加深理解和記憶：三角形全等（特殊相似）三角形相似（一般情況）SSS（三邊對應(yīng)相等）三邊成比例SAS（兩邊及夾角對應(yīng)相等）兩邊成比例且夾角相等ASA（AAS）（兩角及夾邊對應(yīng)相等）兩角分別相等（邊無需相等）HL（直角三角形的斜邊、直角邊相等）直角三角形的斜邊、直角邊成比例通過這種對比，我們可以清晰地看到從“形完全一樣”到“形相同，大小不一定相同”的思維進(jìn)階。（二）轉(zhuǎn)化思想在證明相似或利用相似求值時，轉(zhuǎn)化思想無處不在。1.等角轉(zhuǎn)化：通過平行線、圓的性質(zhì)、全等等方式，將已知條件中的等角關(guān)系集中到目標(biāo)三角形中。2.比例線段轉(zhuǎn)化：利用相似三角形的性質(zhì)，將比例關(guān)系在不同三角形之間進(jìn)行傳遞，例如在“A”型或“8”型相似中，常常需要利用中間比來溝通已知和未知。3.等積式轉(zhuǎn)化：相似三角形得到的比例式可以化為等積式（如AD·AB=AE·AC），而等積式又是證明線段相等或比例關(guān)系的重要橋梁。（三）建模思想熟悉并掌握常見的相似基本模型，可以極大地提高解題速度和準(zhǔn)確性。1.平行線型：A型、X型（8字型）。2.相交線型：具有公共角或?qū)斀堑娜切危ㄈ缋?的相交弦模型）。3.母子型：一個直角三角形被斜邊上的高分成的兩個小三角形都與原三角形相似（如例3）。4.一線三等角型：一條直線上有三個相等的角，這個模型在壓軸題中非常常見。五、本課時考點(diǎn)、易錯點(diǎn)與提分策略（【非常重要】）（一）核心考點(diǎn)清單1.基礎(chǔ)考點(diǎn)：直接運(yùn)用“兩角分別相等”判定兩個三角形相似；識別“A”型、“8”型相似。2.高頻考點(diǎn)：在圓中利用圓周角定理證明三角形相似并求線段長（如例2）；在直角三角形中利用“母子型”相似和射影定理的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算（如例3）。3.難點(diǎn)考點(diǎn)：涉及動點(diǎn)或不確定對應(yīng)關(guān)系時的分類討論問題（如例4）；將相似三角形與函數(shù)、四邊形等知識結(jié)合的綜合性問題。（二）常見易錯點(diǎn)警示1.對應(yīng)關(guān)系不清：在寫比例式或使用相似三角形的性質(zhì)時，沒有嚴(yán)格將對應(yīng)邊的比值寫正確。例如在△ABC∽△DEF中，寫成AB/DE=AC/DF是正確的，但寫成AB/EF=AC/DF就是錯誤的。2.判定條件遺漏：在運(yùn)用“兩邊成比例且夾角相等”時，容易忽略“夾角”這一核心條件，誤將兩邊及其中一邊的對角相等作為判定依據(jù)。3.分類討論遺漏：在動點(diǎn)問題或文字?jǐn)⑹鲂蛦栴}中，只考慮了一種對應(yīng)情況，導(dǎo)致答案不完整。4.計(jì)算粗心：在利用相似比列方程求解時，比例式列錯或解方程出錯。（三）解題規(guī)范與步驟以一道典型的證明題為例，展示規(guī)范答題步驟：題目：已知，如圖，D是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，且∠ABD=∠C。求證：AB2=AD·AC。證明規(guī)范：∵∠ABD=∠C(已知)，∠A=∠A(公共角)，（【步驟1：找準(zhǔn)條件】）∴△ABD∽△ACB(兩角分別相等的兩個三角形相似)。（【步驟2：判定相似】）∴AB/AC=AD/AB(相似三角形對應(yīng)邊成比例)。（【步驟3：列出比例式】）∴AB2=AD·AC(比例的基本性質(zhì))。（【步驟4：得到結(jié)論】）【點(diǎn)評】每一步都有理有據(jù)，邏輯鏈條清晰，最終完美得出所要證明的等積式。六、單元知識整合與跨學(xué)科視野（一）與后續(xù)知識的聯(lián)系相似三角形的判定是初中幾何的基石之一。它不僅在本章后續(xù)的“相似三角形的性質(zhì)”和“位似”中直接應(yīng)用，更是高中學(xué)習(xí)“空間幾何體”、“空間向量”、“三角函數(shù)的定義”等知識的重要基礎(chǔ)。例如，