基本不等式（原卷版）

第04講基本不等式

題型一由基本不等式比較大小...................................................................2

題型二利用基本不等式求織的最大值............................................................3

題型三利用基本不等式求和的最小值............................................................4

題型四利用對勾函數求最值.....................................................................5

題型五“1”的妙用..............................................................................7

題型六與基本不等式有關的恒(能)成立問題......................................................8

題型七基本不等式的實際應用..................................................................10

課時精練..................................................................................12

【基礎回顧】

知識點1:基本不等式：加^一

⑴基本不等式成立的條件：a>0,b>0.

⑵等號成立的條件：當且僅當。=方時，等號成立.

⑶其中等，叫作正數。，〃的算術平均數；幅叫作正數。，的幾何平均數.

知識點2：利用基本不等式求最值

⑴己知y都是正數，如果積xy等于定值P,那么當x=y時，和x+y有最小值2爐.

(2)已知x,y都是正數，如果和x+y等于定值S,那么當x=y時，積孫有最大值js?.

注意：利用基本不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等

知識點3：幾個重要的不等式

(l)672+Z?2>2^Z?(fl,Z?￡R).

(2r+1>2(a,b同號).

/〃+久2

(3)〃歸(2)3，。仁R)。

cr+b1/+久2

(m/?eR)o

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

知識點4：基本不等式的常見變形

⑴積、和與平方和的相互轉化關系：〃區（三一）一與一。

......：、+2I-a-\-bicr-^b1

⑵不等式串：-j~~—2—（4>0,/?>0）o

a~^b

（3）“1”的代換。

題型一由基本不等式比較大小

【例題精講】

1.（2026?北京朝陽?模擬預測）若a,beR+,則+b2<2〃是"一1<ab<1"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不

必要條件

2.（25-26高三?上海?二輪復習）已知實數a,b滿足ab>0,貝U<）

A.a+b<abB.-+^>2

ab

C.若a>b,則工<D.若a<b,m>0,則其氏g+m*0）

ab

3.（2025?北京?高考真題）已知a>0,b>0,貝U（）

A.a2+b2>2abB-!+岳專

C.a+b>>[abD-3+會會

4.（25-26高三下?北京?開學考試）已知a/WR,且aVbV0,則下列不等關系中正確的是（）

.季,信

A.a<bC

5.（25-26高一下?吉林長春?開學考試）已知0<Q<b,Q+b=l,則5b,￡?+/的大小關系是（）

A.1<a2+b2<bB.1<b<a2+62C.a24-b2<b<|D.無法確定

6.（24-25高一上?江西吉安?期中）已知>>y>0,則下列不等式成立的是（）

A?%>等,y>歷B.x>y>^>^

c.x>^>4^y>yD.^>^>x>y

7.（25-26高一上?安徽合肥?月考）如圖所示為一個矩形和一個正方形，矩形的邊長分別為a,從。>0,h>

0）,當正方形的周長與矩形周長相等時正方形的邊長為x,當正方形面積與矩形面積相等時止方形的邊長

為A當正方形對角線與矩形對角線相等時正方形的邊長為z,則（）

A.x>y>zB.z>x>yC.x>z>yD.z>y>x

（多選）8.（25-26高一上?安徽?月考）設為非零實數，則下列不等式一定成立的是（）

A.a2+/22abB.Q+｝〉2C.b24-12bD.|^|4-|^|>2

（多選）9.（25-26高一上?江西景德鎮?期中）已知正實數小人滿足2a+b=4ab,則下列選項正確的是

（）.

A.ab￡—B.Q>—C.Q+2,b>—D.a+bN——~~

2444

（多選）10.（25-26高三上?遼寧?期中）下列不等式中正確的是（）

A.x24-1>2xB.x4-y>2y/xy

C.一?：2D.若x>y>0，則xI1I1二4

x2+2/x-yy

題型二利用基本不等式求積的最大值

【例題精講】

1.（2026?四川綿陽?三模）已知a>0,b>0,則“abW1"是"a+b=2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

2.（2026?天津河西?一模）已知Q>0,b>0,且2a+b=l,則ab的最大值為（）

A.1B.-C.-D.-

489

3.（2026?福建泉州,二模）已知正數a,匕滿足Q+9=1,則雜勺最大值為（）

DD

.11一夜C1

A.-Bn.-C.—D.—

8442

4.（25-26高一上?廣東江門?月考）下列函數的最值中錯誤的是（）

A.已知%>0,2-3%-￡的最大值是2-488.Jx（10-無）的最大值為5

C.已知3>1,%+工的最小值為3D.%+2的最小值為2

x-lX

5.（25-26高三上?江西上饒?月考）已知正數滿足Q+a〃工4,則好的最大值為（）

A.1B.2C.2V2D.4

6.（25-2G高一上安徽合肥?期中）已知x>O,y>0,x+3y=6,貝by的最大值為（）

A.3B.6C.9D.12

7.（25-26高三上?湖南長沙?月考）下列說法正確的是（）

A.當％W（0,1）時，工+［的最小值為2

B.當％W（0,冗）時，sinx+的最小值為4

C.公+1的最小值為2%

D.當％W（0,1）時，4x（1-％）的最大值為1

（多選）8.（2026?重慶?模擬預測）己知P（x,y）為直線I：-+y-2=0在第一象限內的一點,則下列結論

正確的是（）

A.盯的最大值為2B.±+2的最小值為8

xy

C.3+4y2的最小值為3D.2二的最小值為1+咚

（多選）9.（2026?黑龍江哈爾濱?模擬預測）已知Q>0,b>0,且a+2b=1,則下列說法正確的有（）

A.時的最大值為：B.的最小值為2e

C.VH+儂的最大值為或D.2。+4b的最小值為4

（多選）10.（2026?四川攀枝花?一模）已知a>0,b>0,且2a+b=l,則（）

A.ab有最大值;B.乙+：有最小值8

8ab

C.2a（b+l）有最大值1D.4Q2+/）2有最小值;

題型三利用基本不等式求和的最小值

【例題精講】

1.（2026?河南開封?模擬預測）若x>2y>0,則一-+三的最小值為（）

/x-2yy

A.3B.6C.9D.12

2.（2026?天津紅橋?一模）已知Q>0,b>0,若Q+b=2,則/-+的最小值為（）

l+a1+b

A.2B.-C.-D.2+企

44

3.（2026?陜西商洛?二模）已知正數a,b滿足ab=2a+b,則Q+2b的最小值為（）

A.3B.4C.6D.9

4.（2026?山西臨汾?二模）已知m>0,n>0,Hm+3n=1,則巴十工的最小值為（）

mn

B.5C.4D.3

5.（2026?廣東清遠?二模）已知實數Q>0,b>0,^.a+b=1,則貯二的最小值為（）

A.5B.4C.2\[2-2D.2或+2

6.（2026?山東泰安?二模）當0cx<3時，-+9的最小值是（)

X3-x

A.3B.4D.勺

3

7.（2026?河北邢臺?二模）設Q>0,b>0,且4+f=Q,則a+b的最小值為（）

D

A.12B.9C.8D.4

（多選）8.（2026?河北維安?模擬預測）下列說法正確的是（）

A.BxER,x2+3x+2<0

B.若％ER,則是脛<3〃的充要條件

3x

C./+島的最小值為3

D.若白〉白，則a>6

c2-lc2-l

（多選）9.（2026?河北滄州?二模）若Q>0,b>0,a+b=4,貝ij（）

411

A.a—>0B.-I—>1

bab

C.Va+VF<2V2D.12<a2+3Z?2<48

（多選）10.（2026?河北廊坊?一模）已知a,b,c,d均為實數，則下列說法正確的是（）

A.若aVb,cH0,則2/

B.若Q>b,c>d,則QC>bd

C.若a〉l,b>l,且a+6=Qb,則與的最小值為2n

a-lb-1

D.若a>0,b>0,且a+b=2,則-a+1++2c國

題型四利用對勾函數求最值

【例題精講】

1.(25-26高一上?上海?月考)下列函數中，最小值為2的是()

A.y=%+：(%工0)B.y=4-l(x<1)

C.y=y/x+^=-2(%>0)D.y=y/x24-4+^j==(xER)

（高一下?河南信陽?期中））的最小值為（）

2.25-26y=x+X-—12a>2

A.1B.2C.4D.5

3.（25-26高一上?河北保定?期中）下列結論正確的是（）

A.若Q>b>0,c>0,則辛

b+cb

B.函數y=2-3%一￡（%>0）的最小值是2-4舊

C.y=>lx2+3+=^的最小值是2

D.若a,b,cWR,則層+/+c??ab+be+QC

4.（25-26高一上?天津西青?月考）下列說法正確的個數是（）.

①％+r2；

②函數y=平獸的最小值為4；

VX2+3

③若%>0,貝卜（2-幻最大值為1；

④，已知a>3時，a+>2Ja-當且僅當。=/，即Q=4時，。+，三取得最小值8.

A.0B.1C.2D.3

5.（25-26高三上?山東濰坊?月考）函數y=%+1（十之4）的最小值為（）

X—2

A.2B.4C.-2D.—2

6.（25-26高一上?河北保定?月考）下列選項不正確的是（）

A.當%>1時，％的最小值是3B.已知XV0,則X+2■的最大值是一2

x-lX

C.當0Vx<10時，J%（10-幻的最大值是5D.設不€/?,則（/+2）+總的最小值為2

7.（25-26高三上?山東?月考）（%—：）（%—J的最小值為（）

A.-6B,-4C.2D.16

（多選）8.（25-26高一上?廣東?期中）下列命題中的真命題有（）

A.當%>1時，的最小值是3

x-l

B.離的最小值是2

VX2+4

C.當0cxV10時，Jx（10-幻的最大值是5

D.當％>0時，—3x—士的最大值是—

（多選）9.（25-26高一上?湖北武漢力考）已知a>0,6>0,a+6=1,則下列結論正確的有（）

A.他的最大值為:B.白+好的最小值為2

4ab

C.（?+/的最小值為:D.士+士的最小值為［

a+2o2a+b3

（多選）10.（25-26高一上?廣東佛山?月考）下列函數中，最小值為2的是（）

A.y=：+：+lB.y=V%2+44-rl——

z

JVx+4

C.y=x+六-3(x>1)D.y=y/2—x+y/2+x

題型五“1”的妙用

【例題精講】

1.（25-26高一下?江西贛州?期中）已知正數a,力滿足2a+：=l,則色+b的最小值為（）

ba

A.17B.21C.25D.29

2.（25-26高一上?上海?期中）若實數a,8滿足協>0,Q+28=6,則下列結論中錯誤的是（）

A.abB.a2+4b2>18

c.鴻的最小值為qD?1+2北的最小值卷

3.（2026寧夏銀川?一模）已知實數筋y滿足x+2y=l,則（）

A.Vx<l,y<0B.Vxy>0,-+->8

,xy

C.3x,yeR,\x\4-2\y\<1D.3x,yeR,x2+4y<1

4.（2026?甘肅酒泉?二模）已知%>0,y>0,且滿足3x+y=8,則的最小值為（）

A.—B.2C.\D.4

7

5.（2026?安徽滁州?二模）已知。+匕=13匕>0）,則工+:的最小值為（）

ab

A.1B.2C.4D.；

6.（2026?重慶沙坪壩?模擬預測）設正實數a,匕滿足a+b=l,則鴻的最小值為（）

A.7B.8C.9D.10

7.（25-26高一上?廣東廣州?期末）已知實數x>0,、>0滿足％+、=4/,則x+9y的最小值為（）

A.15B.16C.17D.18

（多選）8.（2S-26高一下.河南商丘?月考）下列結論正確的是（）

A.若％yw（O,十8）,x+y=Z,則匕1十2的最小值為7

xy

B.當x>2時，x+工的最小值是4

x-2

C.設3>0,y>0,且2x+y=2,則；的最小值是:

D.當％V；時，4%-2+的最小值是3

44X-3

（多選）9.（25-26高一上?湖南婁底?期末）下列選項正確的是（）

A.若Q>0,則a+2的最小值為2

a

B.若XER,則+的最小值為2

VX2+2

C.若abV0,則2+：的最大值為一2

ab

D.若正實數與y滿足x+2y=l,則白+工的最小值為8

xy

（多選）10.CS-26高一上.浙汀杭州?期中）若正實數〃，b滿足。+2人=1,則下列說法正確的是（）

A.2+，的最小值為9B."的最大值為:

ab8

C.2。+4b的最小值是2&D.小+非的最小值是:

4

題型六與基本不等式有關的恒（能）成立問題

分離參數，求參數范圍

“任意大，取最小，任意小，取最大；存在大，取最大，存在小，取最小”

土iWM,使得於巨a,等價于/U）maxNa；

3AGM,使得小：）9,等價于

VX6M,使得等價于y（X）max3z.

V尤M,使得用淪小等價于/（x）mi侖a.

【例題精講】

1.（25-26高一上?陜西西安?期末）已知實數匕y>0,§+；=2,且x+yN2m-1恒成立，則實數7幾的取

值范圍為（）

2.C25-26高一上?安徽?月考）已知正實數a,b滿足Q+b=匕若"言'1恒成立,則實數k的最大值為（）

A.8B.16C.24D.36

3.（25-26高一上?福建三明?月考〕若不等式表+高加-3對Vm<：｝恒成立，則實數a的

最大值為（）

A.12B.—C.6D.-6

2

4.（25-26高三上?河北衡水?期中）若不等式衍口笆Nk（a+占）對任意正數a,b恒成立，則實數k的最大

值為（）

A.?B.1C.2D.

22

5.（25-26高一上?天津南開?期中）已知%>0,y>0,若不等式^?+'NQ（X+y）恒成立，則a的最大值

為（）.

A.-B.—C.1D.V2

22

6.（25-26高一上?山東?期中）已知a,b為正實數，且3a2-2ab+4=0,若不等式b-呆工恒成立，則

實數m的取值范圍是（）

A.（—8,2]B.（—co,4]C.（-8,2&]D.（—co,472]

7.（25-26高一上?湖南長沙?月考）若不等式而不訴之&k（a+b）對任意正數a/恒成立，則實數k的最大

值為（）

A.-2B.1C.2D,—2

（多選）8.（25-26高一上?云南昭通?月考）若V%>0,恒成立，則實數m的取值可能是（）

A.-B.-C.-D.1

1694

（多選）9.（25-26高一上川1東日照?月考）已知m>0,xy>0,當x+y=2時，不等式恒成立，

則機的值可以是（）

A.V2B.2C.2V2D.4

（多選）10.（2025?浙江?三模）已知a>0,匕>0,則下列說法正確的是（）

A.若ab=a+/?+3,則abN9

B.小+島的最小值為1

C.若a+b=9,則變十三的最小值為8

ab

D.若a+y/5b<kVa+。恒成立,則k的最小值為百

題型七基本不等式的實際應用

利用基本不等式求解實際問題時，要根據實際問題設出變量，注意變量應滿足實際意義,

抽象出目標函數的表達式，建立數學模型，再利用基本不等式求得函數的最值.

【例題精講】

1.（2026?廣西南寧?一模）如圖，某社區要建一座八邊形的休閑場所，它的主體平面圖是由兩個相同的矩

形4ACQ和EFG〃構成的面積為200m2的十字形地域.計劃在正方形"NPQ上建一座花壇，造價為4200元

/m2；34在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為210元/m2；在四個空角（圖中四個

三角形）上鋪草坪，造價為80元/m2.設總造價為S（單位：元，則當總造價S最小時，的長度為（）

EF

A.2V10mB.VlOmC.10mD.10V2m

2.（25-26高一上?江蘇淮安?期中）若直角三角形的面積為32,則兩條直角邊的和的最小值是（）

A.4V2B.8C.16D.8或

3.（25?26高一上?安徽力考）如圖所示，某小區要建造一個一面靠墻的無蓋長方體垃圾池，垃圾池的容積

為50m3,為了合理利用地形，要求垃圾池靠墻一面的長為5m,如果池底每平方米的造價為200元，池壁

每平方米的造價為180元（不計靠墻一面的造價），設垃圾池的高為xm,墻高5m.當垃圾池的總造價最低

4.（25.26高一上?福建莆田?月考）某食品加工廠生產某種食品，第一年產量為5kg,第二年的增長率為Q,

第三年的增長率為b,這兩年的平均增長率為x（a,b,x均大于零），則（）

a+bc，a+b

A.x=B.x<——

-2

5.（25-26高一上?北京?月考）據市場調查，某超市的某種商品每月的銷售量y（單位：百件）與銷售價格匯

（單位：元/件）滿足關系式、=瑞+2,其中20cx<50.已知該商品的成本為10元/件，則該超市每月

銷售該商品所獲得利潤的最小值為（）

A.800元B.8000元C.900元D.9000元

6.（22-23高一上?安徽黃山?月考）《幾何原本》卷2的幾何代數法（以幾何方法研究代數問題）成了后世

西方數學家處理問題的重要依據，運用這?原理，很多代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱

之為無字證明.現有如圖所示圖形，點”在半圓。上，點C在直徑上，且。/_L48,設4C=a,8C=b,則

該國形可以完成的無字證明為（）

A.a2+b2>2ab(a>0,b>0)

B.>Vab(a>0,b>0)

C.x[ab>（a>0,b>0）

D.產尹W（a>0,/）>0）

7.（25-26高一上?河北邢臺?期末）某超市計劃租地建造倉庫儲存貨物，若倉庫每月月租刈（單位：萬元）

與倉庫到超市的距離％（x>0,單位：千米）的函數關系式為乃=胃，每月貨物運輸費力（單位：萬元）

與X的函數關系式為%=：%，則該超市應該把倉庫建在距離超市千米處，才能使這兩項費用之和最

少，最少費用為萬元.

8.（25-26高一上?陜西西安?期末）如圖，某社區要建一座八邊形的休閑場所，它的主體平面圖是由兩個相

同的矩形48。。和”GH構成的面積為200m2的十字形地域.計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為

4200元/nF；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為210元/m2；在四個空角（圖

中四個三角形）上鋪草坪，造價為80元/m2.設總造價為S（單位：元），則當總造價S最小時，40的長度

為m.

9.（25-26高一上?廣西桂林?期中）如圖，某廠有許多形狀為直角三角形的鐵皮邊角料?，為了降低損耗，現

要從這些邊角料上截取矩形鐵片CDE尸加以利用.己知4C=16,BC=20,"=90°,設DE=r,EF=y,

當截取的矩形鐵片COE尸的面積最大時，x=,y=

10.（25?26高一上?北京通州?月考）據市場調查，某超市的某種商品每月的銷售量y（單位：百件）與銷售

價格x（單位：元/件）滿足關系式y=《*+2,其中20cx<50.已知該商品的成本為10元/件，則

該超市每月銷售該商品所獲得利潤的最小值為元.

課時精練

一、單選題

1.（25-26高一下?貴州畢節?月考）函數/（%）=%+±0>1）的最小值為（）

A.1B.2C.3D,2V2+2

2.（25-26高一上?江蘇揚州?期末）設”,y為正實數，若：+/=1，則到的最小值是（）

A.2B.4C.6D.8

3.（25-26高一上?寧夏石嘴山?期末）若正實數a,b滿足Q+b=l,則三+：的最小值為（）

ab

A.4B.7C.9D.10

4.（2026?廣東江門?二模）已知a>l,b>1,月.ab=a+b+3,則4a+6的最小值為（）

A.11B.12C.13D.14

5.（2026?天津河東二模）〃明數理"數學興趣小組在綜合實踐過程中為某公司的一款明星科技產品提供漲價

方案，經過小組成員分析討論形成如下四個方案：

方案甲：第一次提價m%,第二次提價九%;方案乙：第一次提價九％,第二次提價m%;

方案丙：第一次和第二次均提價（等）％;

方案丁：第一次提價（2771+2九）%,第二次降價（m+〃）%：

其中0<n<m<50,則四個方案中提價最多的方案為（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

6.（25-26高三下?云南楚雄?月考）下列說法正確的是（）

A.函數y=套+?的最小值是2

B.函數fO）=cosx+號,%W（03）的最小值為4

C."%>0〃是9+->2"的充分不必要條件

X

D.不等式小+川豈2ab與早工夜有相同的成立條件

7.（25-26高二上?全國?月考）已知a,b都是正實數，若工+：=2,則a?+4的最小值為（）

ab

A.8B.6C.4D.2

8.125-26高三上?云南玉溪?期中）已知m>0,n>0,且m+3n=2.若關于TH,71的不等式3771?+4/n+12n>

2強八+51恒成立，則實數人的取值范圍為（）

A.（-oo,3V5+4]B.（-oo,3V5+6]C.(―oo,V65+4|D.(―co,V65+6]

二、多選題

（多選）9.（25-26高一下?海南海口?期中）已知a>0,b>0,a+2b=1,則下列結論正確的是（）

A.ab的最大值為: