函數的零點與方程的解（講義）學生版 -2027屆高三數學一輪復習

2.9函數的零點與方程的解

課標要求考情分析

◎考點考法：高考命題常以基本初等函

1.結合學過的函數圖象，了解函數零數及其圖象為載體，考查函數零點是否

點與方程解的關系.存在、存在的區間及個數，利用零點的

2.理解函數零點存在定理，并能簡單存在情況求參數是高考熱點，常以選擇

應用.題或填空題的形式出現.

3.了解二分法求方程的近似解.◎核心素養：數學抽象、邏輯推理、直

觀想象.

夯息固本主干知識整合'自主范?實

I體系構建I

函

數

的

零

函

點

數

的

零

點

與對于在區間［"」，］上圖象連續不斷11/(〃"⑹的函數B(x).通過不斷地把它的零點

方

程所在區間一分為二,使所存區間的兩個端點逐步逼近零點.進而得到零點近似值的

的定義方法叫做二分法

解―:---0---------------------------------------------------------------------------

⑴確定零點xM初始區間［",b］.驗證<㈤?用)<o；

求函數零(2)求區間(*6)的4點c;定區間.找中點.

I點近似值(3)計算〃<?),并進一步確定零點所在的區間：中值計算兩邊看;

記

的步驟①益的此時MK).則r就是函數的零點；問號去,異號算.

②若/⑷?危)<0(此時(?.c)),則令6H;零點落在異號間;

ik

③若/(「)?/⑹《)(此時(c./>)),則令"h.周而加始怎么辦"

(4)刊斷是否達到精確度￡：若1“-加<￡.則得到零點近似值梢確度上來判斷

“(或力；否則就復步驟(2)~(4)

牖惻結論］一

1.若連續不斷的函數K6在定義域上是單調函數，則7U)至多有一個零點.

2.若y=y&)在閉區間［〃，句上的圖象連續不斷，且有貝a)/(b)V0,則函數y=/U),定有

零點.

3.周期函數如果有零點，則必有無窮多個零點.

B獺自如一

1.下列函數圖象與A軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數零點的是()

ABCD

2

2.函數的零點所在區間是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,e)D.(e,3)

f+x—2,xWO,

3.函數yu)=,的零點個數為()

-1+lnx,,v>0

A.3B.2

C.7D.0

4.已知函數)，=/U)的圖象是連續不斷的曲線，且有如下的對應值表:

X123456

y124.433-7424.5-36.7-123.6

則函數y=yu)在區間［1,6］上的零點至少有個.

5.若函數人丫)=2加一工一1在(0,1)內恰有一個零點，則實數a的取值范圍是.

去優叱核心考點突破4米能培優

考點一函數零點所在區間的判定基礎考點自練自悟

1.函數7U)=10g3x+x—2的零點所在的區間為()

A.(0,I)B.(I,2)

C.(2,3)D.(3,4)

2.(多選)函數4r)=e*—x—2在下列哪個區間內必有零點()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

3.已知函數人工)=10&亦+1一伙a>0,且aHl).當2VaV3V》V4時，函數人處的零點

的￡(〃，〃+1),HGN+>則〃=.

練

函數零點所在區間的判斷方法及適用情形

⑴定理法：利用函數零點存在定理進行判斷.適用于容易判斷區間端點值所對應函數

值的正負的情形.

(2)圖象法：畫出函數圖象，通過觀察圖象與.r軸在給定區間上是否有交點來判斷.適

用于容易畫出函數圖象的情形.

考點二函數零點個數的判定重難考點師生共研

W—1,xWO

例修(1)函數4r)={「二、’八的零點個數為()

3一2十Inx,x>0

A.5B.4

C.3D.2

(2)已知函數yu)是定義在R上的偶函數，且yu-2)=/u),當owxwi時，./u)=x,設

函數g(.x)=fix)—\og7lx\,則函數g(.r)的零點個數為()

A.6B.8

C.12D.14

導I學

函數零點個數的判斷方法

(1)直接求零點：令{0=0,有幾個解就有幾個零點.

(2)零點存在定理：首先確定函數人幻在區間必，句上是連續不斷的曲線，且(份VO,

再結合函數的圖象與性質確定函數零點個數.

(3)利用圖象交點個數：作出兩函數圖象，觀察其交點個數即得零點個數.

F對點訓練

i.函數yu)=3斗(唱人一1的零點個數為()

A.0B.1

C.2D.3

2.函數J(x)=:36—Pcosx的零點個數為.

考點三函數零點的應用多維探究發散思維

角度I根據零點的個數求參數

已知A￡R，函數凡。=2:二'，當2=2時，不等式凡r)<0的解集是

x2—4x+3,x<z.

，若函數八r)恰有2個零點，則7的取值范圍是.

角度2根據函數的零點范圍求參數

已知函數次幻=1。82。+1)—《+〃?在區間(1，3］上有零點，則實數〃?的取值范圍

為()

A.(-/0)

B.(-8,一孤(0,+8)

C.(—8,—|U(0,+00)

5

-

D.3

導學

利用函數零點求參數(范圍)的方法

數形結先對解檸式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖

I合法

象，然后數形結合求解

F對點訓練

1.函數人工)=2'+%—5的零點1,〃)，a￡N*,則a=()

A.IR.2

C.3D.4

X2+2X,XWO,

2.己知函數yu)=《、若曲線y=/U)與直線y=如恰有2個公共點,

lln(l-x),0<x<i

則實數。的取值范圍是

課時作業知能達標訓練'？固梃生

A級基礎過關

1.對于函數7U),若一一1求3)VO,則()

A.方程”r)=()一定有實數解

B.方程?r)=O一定無實數解

C.方程./U)=0一定有兩實根

D.方程?v)=0可能無實數解

2.設函數的零點為功,則刈所在的區間是()

A.(-4,-2)B.(-2,-1)

C.(1,2)D.(2,4)

3.己知函數/(x)=k氏一2I+F與g(x)=4x,則兩函數圖象所有交點的橫坐標之和為

()

A.0B.2

C.3D.4

4.已知e是自然對數的底數，關于x的方程eM2l=)有兩個不同的解即，足3〈也)，則

()

A.A|<1>X2>3B.Xl>1>X2<3

C.xi>1,X2>3D.XIVI,X2<3

10g2(X—1),x>2,

5.(多選)設函數則以下結論正確的是()

2V—3,xW2,

A.人幻為R上的增函數

B.7U)有唯一零點xo，且l<roV2

C.若式加)=5,則m=33

D.人丫)的值域為R

x+a,xWa,

6.已知a>0,若函數yu)=有兩個不同的零點，則a的取值范圍為

InXi2,

7.若函數/(幻=^+戊2+云+。是奇函數，且有三個不同的零點，寫出一個符合條件的

函數：Av)=.

8.已知函數./U)=/+&+c的兩個零點為2,3.若函數g(x)=/(x)+〃氏的兩個零點分別

在區間(1,2),(2,4)內，則實數〃?的取值范圍為.

B級能力提升

9.定義在R上的奇函數7U)滿足,信+1)=/2，則,")在［-3,3］上的零點個數至少為

()

A.6B.7

C.12D.13

\y［x-t,x20,

10.已知函數人￥)=1若7U)有兩個零點為，X2(X|>X2)>則為一X2

I2(x+1)—x<0,

的最小值是()

A.1B.2

-3、15

C,4D.諱

11.已知x>0,函數兀i)=2，+x—5,g(x)=『+x—4,/?(x)=log2x+x—3的零點分別為

b,c,貝")

A.a<b<cB.a<c<h

C.b<a<cD.b<c<a

12.定義在R上的函數段)滿足?—幻+兀0=0,犬一%)=用:+2),且當x￡［0,1］時，段)

=/一9十x,則方程句。)一x+2=0所有的根之和為()

A.6B.12