2026高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：空間直線、平面的平行（附答案）

空間直線、平面的平行

（分值:66分）

（單選題每小題5分,多選題每小題6分,填空題每小題5分）

基礎(chǔ)鞏固練

1.己知直線4力,平面火給出下列四個(gè)命題：

①若則。〃火②若a//a,b//”,則a//b;③若力〃a,則〃〃a;④若則a

//b.

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.OB.lC.2D.3

2.如圖所示，在四棱錐尸人5co中,MN分別為PC/C上的點(diǎn)，且MN〃平面尸人。則下列說法

正確的是（）

3

AB

（第2題圖）

\.MN//PDB.MN//PAC.MN//ADD.以上均有可能

3.（2025?浙江強(qiáng)基聯(lián)盟模擬）在棱長為1的正方體A8CQ-A出GOi中，點(diǎn)P,。分別為棱

AA\,C\D\上的動(dòng)點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合），若PQ〃平面ABC,則線段PQ的長度為（）

A.yB.V2C.yD.V3

4.如圖所示，平面a〃平面伙PA=64B=2,8Q=12,則AC=.

（第4題圖）

5.在三棱錐A-BCD中,4B=C0=2,過BC中點(diǎn)E的截面與AB,CD都平行，則截面的周長

為.

6.（12分）（2025?上海,18）如圖,P是圓錐的頂點(diǎn)，。是底面圓圓心工8為底面圓直徑,AB=2.

（1）若PA與底面所成角大小為小求該圓錐的側(cè)面積；

（2）已知0是母線A/，的中點(diǎn)，點(diǎn)CQ在底面圓周上，公弧長為會(huì)且CD〃AB,點(diǎn)、T在OC上運(yùn)

動(dòng),求證:QT〃平面PBD.

綜合提升練

7.（2026?浙江溫州高二期中）球。是棱長為位的正方體/WCO-A山iGD的內(nèi)切球，點(diǎn)做為球

。表面上一動(dòng)點(diǎn),且滿足〃平面ADC,則MAj+M4的最大值為（）

A.1g4B.2C.6D假8

8.（多選題）（2025?江西贛州模擬）如圖，透明長方體A6cO-A山Ci"容器內(nèi)灌入了一些水，棱

3c固定在地面.若改變?nèi)萜鞯膬A斜度（水不溢出），則（）

A.水的體積不變

B.水的部分呈棱柱狀

C.水面四邊形EFGH的面積不變

D.當(dāng)E在棱A4］上時(shí)工E+BF是定值

9.如圖1,在梯形"CD中工8〃。）,。）二24伐￡：/分別為4/）,。）的中點(diǎn),以4尸為折痕把

△AQE折起，使點(diǎn)/）不落在平面ABCF內(nèi)（如圖2）,那么在以下3個(gè)結(jié)論中，正確的結(jié)論

是.

①C"〃平面ABQ;②BE〃平面CQF;③CQ〃平面BEF.

圖2

10.（13分）如圖，在三棱柱8CE-AOE中，若G,"分別是線段AC,。產(chǎn)的中點(diǎn).

（1）求證6〃〃平面BFC.

（2）在線段。。上是否存在一點(diǎn)P,使得平面GHP〃平面BC燈若存在，指出P的具體位置并證

明;若不存在，說明理由.

參考答案

空間直線、平面的平行

1.A解析對(duì)于①，若a//@UQ,則a//a或故①不是真命題;對(duì)于②，若a//a,〃〃夕，則a,b

可共面，也可異面，不一定得到故②不是真命題;對(duì)于③，若力〃氏則a//a或aua,故

③不是真命題;對(duì)于④，若a//a.〃ua,則a不一定平行于b,a也可以與b異面，故④不是真命題.

故選A.

2.B解析直線MNu平面PAC,MN〃平面PA。,平面P4CCI平面以。二左,所以MN〃尸4.故

選B.

3.B解析在正方體ABCD-A\B\C\D\中,ACi〃AC.

又ACu平面ABCACiQ平面ABC,所以AiC〃平面ABC

因?yàn)镻,Q分別為棱A/UGR上的動(dòng)點(diǎn),PQ〃平面ABC,折以PQ即為4G,因此|PQ|二夜.故

選B.

4.9解析因?yàn)槠矫鎍〃平面⑶平面加平面P8D=AC,平面陽平面PBD=BD,所以AC〃BD,

旦MACSMBD%=*導(dǎo)，貝啜=磊=萍得AC=9.

5.4解析設(shè)CAAD,DB的中點(diǎn)分別為AG,”,連接EF,FG,GH,HE.

由三角形中位線定理知,EF〃48,/G〃CDGH〃AB,”E〃CQ,且

所=〃6=/8=1/6=，七=#。=1,所以E/"G〃,FG〃”段因此四邊形ErG”是平行四邊形.

因?yàn)镋F〃48,EFu平面EFGH,AB@平面EFGH,

所以A8〃平面EFGH.

同理,CD〃平面E/G”,因此平行四邊形EFGH的周長為2x(1+1)=4.

6.(1)解如圖，連接P。,由題意知P0垂直底面,二PA與底面所成角大小為半

：.ZPAO=-,ZPOA=-,

3'2，

又0A=/B=1,，PA=2,

?1S自三兀0A/A=2兀.

(2)證明如圖,作出點(diǎn)CQ7連接CD,BD,QT,QC,QO,OD,PD,在APAB中,丁。,。分別是

A8,”的中點(diǎn),???OQ〃PB,又P8u平面P8Z),。如平面PBD,

.??0Q〃平面PBD.

二ZAOC=—=:且CD〃AB、："OCD=/AOC=1又是等邊三角形，

0A33

：.CD=\=OBX8〃。氏J四邊形088是平行四邊形,???OC〃A。,又平面PBD,BDu

平面PBD,，0C〃平面PBD,又。。0。。=。,。。=平面0CQ,0Qu平面0。0,，平面。。。〃

平面PBD.

???QTu平面OC0,???Q7〃平面PBD.

7.A解析正方體ABCD-ABGQi中，可得A由〃CZ)i,AC〃AC

因?yàn)锳歸Q平面ADCCDiu平面ADC,所以A山〃平面ADiC.

同理可證AiG〃平面AD\C.

又因?yàn)锳山rue尸Al,且A1BAGU平面A山G,所以平面45cl〃平面ADiC.

要使得〃平面AOiC,且點(diǎn)M為球。表面上一動(dòng)點(diǎn)，

所以點(diǎn)M在平面A\BC\與球。的截面圓上，且截面圓恰為△AIG的內(nèi)切圓.

因?yàn)檎襟w的棱長為0,可得正三角形48G的邊長為2,其內(nèi)切圓的半徑為T，

以4B所在直線為x軸，以4B的中垂線為,，軸,建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示,

可得A(1,0),8(1,0),內(nèi)切圓的方程為/+°[)24

設(shè)M(x,y),則MA]=(x+1)2+/+(x-1)2+^=2(^+/)+2,

=2(yjx2+y2)2+2

=2(J(x-0)2+(y-0)2)2+2.

因?yàn)镴(x?0)2+(y?0)2表示內(nèi)切圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，

可得內(nèi)切圓與)，軸的交點(diǎn)為(0,竽)時(shí)，距離最大，最大距蕾為公2片竽,

?5O

所以(K4；+MB2)max=2x(爭2+2嚀故選A.

8.ABD解析因?yàn)樗灰绯觯瑒t長方體中水的體積不變，故A正確;

因?yàn)樗鍱FG〃平行于地面，且棱BC固定在地面，即BC〃平面EFGH.

又平面BCGB￡平面EFGH=FG,BCu平面BCC向，則BC//FG.

因?yàn)樗倪呅蜤FGH恒為矩形，則BC//FG//EH.

又BCAD都垂直于平面

故均垂直于平面4884,

則水的部分呈棱柱狀，故B正確；

由題意，旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形EFG”恒為矩形，且8C=/G=而E尸二HG在傾斜過程中會(huì)發(fā)

生變化，故四邊形EFG”的面積也會(huì)發(fā)生變化，故C錯(cuò)誤；

當(dāng)￡在棱A4上時(shí)，由B可知，水的體積丫=1以4七+8斤).8。恒定不變.

又ABIC長度不變，故AE+"也為定值，故D正確.故選ABD.

9.①?解析對(duì)于①，因?yàn)镃尸〃A8C網(wǎng)平面48。1Bu平面ABD,

所以CF〃平面ABR所以①正確.

對(duì)于②，延長AB到G,使4B=BG,連接OG,如圖.

因?yàn)镋為A。的中點(diǎn)，所以BE//DG.

因?yàn)镈G與平面CDF交于裊D所以BE與平面CO/不平行，所以②不正確.

D

對(duì)于③，連接AC交3產(chǎn)于點(diǎn)O,連接。￡如圖.

因?yàn)镃D=2AB、F為8的中點(diǎn)，所以48=CF.

因?yàn)槿似ā！?gt;,所以四邊形A8CF為平行四邊形，即O為AC的中點(diǎn).

因?yàn)镋為A。的中點(diǎn)，所以。七〃CD.

又。比平面BERC8平面BEF,所以CQ〃平面BEF,所以③正確.

10.(1)證明連接8D.

???四邊形ABC。為平行四邊形,G是線段班)的中點(diǎn)，則G,”分別是線段B