2026年新高一數學暑假銜接專題《基本不等式》

預備新高一預備新高一數學專題09基本不等式一．選擇題（共10小題）1．（2025秋?銀川期末）已知，則的最小值為（）A．0 B．2 C．6 D．82．（2026?河西區模擬）已知，，且，則的最大值為（）A．1 B． C． D．3．（2026?杭錦后旗模擬）設計用的材料制造某種長方體車廂（無蓋），按交通規定車廂寬為，則車廂的最大容積是（）A． B． C． D．4．（2026春?香坊區月考）已知，，且，則的最小值為（）A． B．5 C．4 D．35．（2026春?信陽期中）的最小值為（）A．1 B．2 C．4 D．56．（2026?濟南模擬）已知，，且，則的最小值為（）A． B．2 C． D．37．（2026?河南模擬）若，則的最小值為（）A．3 B．6 C．9 D．128．（2026?宣威市模擬）設，，且，則的最小值為（）A．8 B． C．10 D．9．（2026?武邑縣模擬）已知正實數，滿足，則的最小值為（）A．1 B． C． D．210．（2026?天津）設，則的最小值為（）A．10 B．9 C．8 D．6二．多選題（共4小題）（多選）11．（2026?模擬）下列說法正確的有（）A．的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是2 D．的最小值是4（多選）12．（2026春?方城縣期末）下列命題中正確的是A．的最小值是2 B．當時，的最小值是4 C．當時，的最大值是5 D．若正數，滿足，則的最小值為3（多選）13．（2026春?讓胡路區期中）設正實數，滿足，則（）A．有最大值4 B．有最大值 C．有最大值 D．有最大值（多選）14．（2026春?朝陽區月考）設，，下列說法正確的是（）A．若，則的最小值為1 B．恒成立 C．，恒成立 D．若，，且，則三．填空題（共4小題）15．（2025秋?天津期末）已知，，若，則的最大值為．16．（2026?涪城區模擬）若，，且，則的最小值為；17．（2026春?南京期末）若正實數，滿足，則的最大值是．18．（2026春?深圳期中）已知，是正實數，且滿足，則的最小值是．四．解答題（共6小題）19．（2025秋?廣東期末）已知，，．（1）求的最大值；（2）求的最小值．20．（2026春?望都縣期中）已知，均為正數，．（1）求的最小值；（2）求的最小值；（3）求的最小值．21．（2025秋?晉城期末）（1）已知，求的最小值；（2）求的最大值．22．（2025秋?白銀期末）已知．（1）求的最大值；（2）求的最小值．23．（2025秋?共和縣期末）已知，，且．（1）求的最大值；（2）求的最小值．24．（2025秋?黔南州期末）（1）已知，求的最小值；（2）已知，且，求的最小值．一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案DCBCCDCDCB二．多選題（共4小題）題號11121314答案BDBCDBCBCD一．選擇題（共10小題）1．【答案】【分析】結合基本不等式即可求解．【解答】解：因為，則，當且僅當，即時取等號．故選：．2．【答案】【分析】直接利用基本不等式求解即可．【解答】解：，，且，由基本不等式得到，即，當且僅當，即時，等號成立．的最大值為．故選：．3．【答案】【分析】設長方體長為，高為，依題意，可求得，利用基本不等式可求得，從而可得車廂的最大容積．【解答】解：設長方體長為，高為，則有，即，，即，解得，，．車廂的最大容積是．故選：．4．【答案】【分析】結合基本不等式即可求解．【解答】解：，，且，則，當且僅當時取等號．故選：．5．【答案】【分析】根據基本不等式求解即可．【解答】解：因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，此時所求最小值為4．故選：．6．【答案】【分析】由已知結合基本不等式即可求解．【解答】解：因為，，且，由均值不等式可得，，當且僅當取等．故選：．7．【答案】【分析】先代數變形得，再利用基本不等式即可求解．【解答】解：因為，所以，，當，即時，等號成立，則的最小值為9．故選：．8．【答案】【分析】先通過已知條件用表示，再將目標函數轉化為關于的表達式，換元后利用基本不等式求最小值．【解答】解：由，及，得，且．目標函數可化為：令，則，代入得：由基本不等式，，當且僅當即時取等號．故，即最小值為．故選：．9．【答案】【分析】先根據條件，變形為，然后用常數代換思想，利用均值不等式求解最小值．【解答】解：已知，則，，當且僅當時，即時取等號，所以最小值為．故選：．10．【答案】【分析】展開算式，然后根據基本不等式求解最值即可．【解答】解：，當且僅當時，等號成立，，符合題意．故選：．二．多選題（共4小題）11．【答案】【分析】根據基本不等式逐項判斷．【解答】解：對，當時，錯誤；對，，，則，，當且僅當，即時取等號，正確；對，，當且僅當，即時等號成立，但無實數解，因此錯誤；對，，，，當且僅當時取等號，正確．故選：．12．【答案】【分析】利用基本不等式，并結合其取等條件依次判斷各個選項即可．【解答】解：對于，，當且僅當取等號，顯然取等條件不成立，錯誤；對于，當時，，，當且僅當，即時取等號，正確；對于，當時，，當且僅當，即時取等號，正確；對于，，，，，當且僅當，即時取等號，正確．故選：．13．【答案】【分析】結合的條件，利用基本不等式并明確等號成立條件，分析各代數式的最值，逐一驗證選項的正確性．【解答】解：由正實數，滿足，分析各選項：分析選項，由基本不等式得，等號成立當且僅當即，故，無最大值，錯誤．分析選項：由基本不等式得，等號成立當且僅當，故有最大值，正確．分析選項，由（等號成立當且僅當，得，故，等號成立當且僅當，正確．分析選項，由（等號成立當且僅當，得，無最大值，錯誤．故選：．14．【答案】【分析】根據不等式的性質逐項判斷即可．【解答】解：，則，當且僅當時取等號，故錯誤；，故正確；當時，，故正確；，，且，可得，即，解得，正確．故選：．三．填空題（共4小題）15．【答案】．【分析】根據基本不等式求解即可．【解答】解：因為，，所以，當且僅當，即時，等號成立．所以，故的最大值為．故答案為：．16．【分析】根據題意，分析可得，結合基本不等式的性質分析可得答案．【解答】解：根據題意，，，且，則，當且僅當時等號成立，則的最小值為8；故答案為：8．17．【答案】．【分析】利用基本不等式即可求最大值．【解答】解：因為正實數，滿足，則由基本不等式可得，當且僅當取等號，所以的最大值是．故答案為：．18．【答案】2．【分析】根據條件，由，結合基本不等式求解即可．【解答】解：因為，是正實數，且滿足，則，當且僅當且，即，時取等號，所以的最小值為2．故答案為：2．四．解答題（共6小題）19．【答案】（1）4；（2）．【分析】（1）根據基本不等式，即可求得答案．（2）根據基本不等式“1”的代換，即可求得答案．【解答】解：（1）因為，，所以，解得，當且僅當時取等號，所以的最大值為4．（2）因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為．20．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）由條件等式通分結合基本不等式即可求解；（2）由基本不等式常數“1”的等價代換法即可計算求解；（3）由重要不等式結合（1）即可計算求解．【解答】解：（1）因為，均為正數，，所以，即，當且僅當時等號成立，所以，即的最小值為；（2）由題可得，當且僅當時等號成立，的最小值為；（3）由（1）得，當且僅當時等號成立，所以的最小值．21．【答案】（1）7；（2）．【分析】（1）根據基本不等式求解即可．（2）求出的范圍，結合基本不等式求解即可．【解答】解：（1）因為，，當且僅當時，即時取等號，所以的最小值是7．（2）由題意知，解得，所以，當且僅當，即時取得等號，所以的最大值是．22．【答案】（1）；（2）12．【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；（2）利用“1”的代換，化簡得到，展開后再利用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）已知，根據基本不等式可得，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為；（2）因為，所以，當且僅當且，即時，等號成立，所以的最小值為12．23．【答案】（1）．（2）5．【分析】（1）利用基本不等式直接求解的最大值；（2）通過“1的代換”結合基本不等式求解分式和的最小值．【解答】解：（1）因為，，所以，．由基本不等式，且，得：．當且僅當時等號成立，結合，解得，（滿足，．故的最大值為．（2）由得，且，故．將變形為：由基本不等式，，當且僅當即時等號成立．結合，解得，（滿足，，此時．故的最小值為5．24．【答案】（1）；（2）4．【分析】（1）應用基本不等式計算求解；（2）化簡應用常值代換結合基本不等式計算求解．【解答】解：（1），．當且僅當，即時，等號成立，因此的最小值為．（2），，．當且僅當，且，即且時，等號成立，因此的最小值為4．

預備新高一預備新高一數學專題09基本不等式1．掌握重要不等式與基本不等式的公式形式、推導邏輯及適用條件．2．牢記基本不等式“一正、二定、三相等”核心使用準則及取等條件．3．熟練運用基本不等式完成大小比較、最值求解、不等式證明等基礎題型．4．掌握基本不等式的實際應用、恒成立與能成立問題、綜合難點題型的解題思路．一、重要不等式1．公式形式：對任意實數a,b，恒有．2．取等條件：當且僅當時，等號成立．3．適用范圍：無正負限制，全體實數均可使用，是基本不等式的推導基礎．4．核心變形：，常用于整式不等式放縮．二、基本不等式（均值不等式）1．公式形式：若，則．2．文字定義：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．3．取等條件：當且僅當時，等號成立．4．核心準則：一正、二定、三相等，是使用基本不等式的必要前提，缺一不可．三、三大使用準則深度解讀1．一正：參與運算的兩個代數式必須均為正數，負數、零均不能直接套用公式，負數需變號轉化后再使用．2．二定：求和的最小值需保證兩式積為定值，求積的最大值需保證兩式和為定值，無定值無法直接求解最值．3．三相等：在變量取值范圍內，必須能取到，若無法取等，僅可比較大小，不能求取最值．四、基本不等式常用變形公式（）1．和式變形：（積定求和最小）．2．積式變形：（和定求積最大）．3．均值鏈式關系：．五、高頻易錯點匯總1．忽略“正數”前提，直接對負數代數式使用基本不等式，導致結論錯誤．2．無和定、積定條件強行求最值，違背基本不等式核心使用規則．3．忽略取值范圍限制，無法取等卻直接套用最值公式，導致最值取不到．4．多次使用基本不等式時，前后取等條件沖突，無法同時成立．題型01基本不等式的辨析應用1．核心辨析維度：圍繞“一正、二定、三相等”三大條件逐一驗證，判定能否使用基本不等式．2．一正辨析：優先判斷參與運算的代數式正負，含負、含零均不可直接套用，需通過變形、提負號轉化為正數形式．3．二定辨析：觀察兩式和或積是否為固定常數，無定值則不能直接求最值，僅可用于大小比較，需通過配湊、拆分構造定值．4．三相等辨析：假設兩式相等求解變量，驗證解是否在題干取值范圍內，超出范圍則無法取等，不可求取最值．5．解題作用：規避基本不等式的基礎使用陷阱，是所有衍生題型的解題前提，適配選擇填空辨析題．學以致用學以致用【例1】（2023秋?蘇州期中）下列不等式中正確的是（）A． B． C． D．的最小值為【答案】【分析】舉出反例檢驗選項，；結合基本不等式檢驗選項；結合對勾函數單調性檢驗選項．【解答】解：當時，顯然錯誤；當，時，顯然錯誤；因為，當且僅當時取等號，正確；令，則時，則在，上單調遞增，故，即時，函數取得最小值，正確．故選：．【例2】（2024秋?安徽期中）下列說法中，正確的是（）A．若且，則 B．若，則的最小值為 C．對任意的實數和，總有，當且僅當時等號成立 D．對任意的實數和，總有，當且僅當時等號成立【答案】【分析】：舉反例即可判斷；：利用基本不等式化簡即可判斷；：利用恒成立思想化簡即可判斷求解．【解答】解：：當，，，時，，故錯誤；：當，則，當且僅當時取等號，此時的最大值為，故錯誤；：當時，，故錯誤；：因為任意，，滿足恒成立，則，當且僅當時取等號，故正確．故選：．【例3】（2024秋?駐馬店月考）給出下面三個推導過程：①因為，為正實數，所以；②因為，，所以；③因為，，，所以．其中正確的推導為（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】【分析】利用基本不等式的運算性質對①②③逐個分析可得答案．【解答】解：①因為，為正實數，所以（當且僅當時取等號），故①正確；②因為，，所以不成立，例如時，，故②錯誤；③因為，，，所以成立，故③正確．故選：．題型02利用基本不等式比較大小1．正數代數式比較：對于任意兩個正數，可直接利用算術平均與幾何平均的大小關系，快速判定代數式大小，無需作差、作商運算．2．多均值大小比較：依托均值鏈式不等式，可直接判定調和平均、幾何平均、算術平均、平方平均的固定大小順序．3．含負代數式比較：負數代數式不可直接套用公式，需提取負號轉化為正數，利用基本不等式比較后再反向還原大小關系．4．綜合比較技巧：結合不等式傳遞性，疊加多組均值結論，快速判定復雜代數式的大小關系．5．解題作用：簡化大小比較流程，替代繁瑣的作差配方，快速秒殺正數代數式大小比較題型．學以致用學以致用【例4】已知，，則，之間的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】【分析】利用基本不等式的性質求出的取值范圍，再作判斷．【解答】解：因為，所以，當且僅當時，等號成立，所以．故選：．【例5】（2021秋?同步）若，則與的大小關系是．【答案】．【分析】依據條件及基本不等式的性質即可得到結論．【解答】解：，，，當且僅當時取等號．故答案為：．【例6】（2022秋?武功縣期中）已知，，為互不相等的實數，，，則與的大小關系為．【答案】．【分析】根據條件可得出，根據基本不等式得出，然后作差即可得出，的大小關系．【解答】解：，為互不相等的實數，，且，，．故答案為：．題型03利用基本不等式求最值1．積定求和最小值：若兩個正數代數式乘積為定值，可利用，當且僅當兩式相等時，和取得最小值．2．和定求積最大值：若兩個正數代數式和為定值，可利用，當且僅當兩式相等時，積取得最大值．3．無定值配湊最值：對于和、積均非定值的式子，通過拆分、添項、減項、湊分母等配湊技巧，構造和定或積定模型，再套用公式求最值．4．核心要求：所有最值求解必須嚴格驗證三相等條件，無法取等時需改用函數單調性求解最值．5．解題作用：本節核心基礎題型，是后續值域、參數問題的核心解題工具．學以致用學以致用【例7】（2026?邵陽學業考試）若正數，滿足，則的最小值為（）A．2 B． C． D．3【答案】【分析】由，對進行化簡，再結合不等式，即可求解．【解答】解：已知正數，滿足，則，，，所以，當且僅當，即時等號成立，即取得最小值3．故選：．【例8】（2025秋?許昌期末）設，則函數的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】【分析】直接利用均值不等式求解和的最小值即可；【解答】解：因為，所以，當且僅當時，即時等號成立．故選：．【例9】（2026春?遵義期中）已知，，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】【分析】利用定值拆分分式構造可使用基本不等式的兩項，結合均值不等式求最小值并驗證等號可取條件．【解答】解：由得，代入目標式，，等號成立條件：，聯立，解得，滿足，．故選：．題型04基本不等式在生活中的應用1．解題通用流程：根據實際問題設正數變量（長度、面積、成本、產量等），結合題干約束條件，確定和定或積定關系．2．常見模型：固定面積求最小周長、固定用料長度求最大面積、固定成本求最大產量、固定產量求最低成本等最優解問題．3．條件適配：實際變量天然為正數，自動滿足“一正”條件，只需驗證二定、三相等即可求解最優最值．4．收尾要點：求出變量取值后，需還原實際問題場景，檢驗結果是否符合實際意義，舍去不合理取值．5．解題作用：對接實際應用題型，解決生活中的最優方案、最值優化類問題．學以致用學以致用【例10】（2026春?石景山區校級期中）湖北新冶鋼有限公司（簡稱為“新冶鋼”是中國現存最早的鋼鐵企業之一，素有中國“鋼鐵工業的搖籃”之稱．該公司今年年初用192萬元購進一臺機器投入生產，每年可以給公司帶來69萬元的收入，但該臺機器每年需要進行維護，第一年需要維護費12萬元，從第二年起每年的維護費用比上一年增加6萬元，則該臺機器購買若干年后的年平均利潤最大值是萬元．A．8 B．10 C．12 D．14【答案】【分析】根據題意先求出每年的盈利表達式，再計算年累計盈利及平均年盈利，最后運用基本不等式求解即可．【解答】解：第年盈利為：．年后的盈利，令，則，解得．設該臺機器購買年后的年平均利潤為萬元，則，當且僅當時取“”，該臺機器購買8年后的年平均利潤最大是12．故選：．【例11】（2025秋?黃驊市期末）單位時間內通過道路上指定斷面的車輛數被稱為“道路容量”，與道路設施、交通服務、環境、氣候等諸多條件相關．假設某條道路一小時通過的車輛數滿足關系，其中為安全距離，為車速．當安全距離取時，該道路一小時“道路容量”的最大值約為（）A．110 B．116 C．119 D．122【答案】【分析】利用基本不等式求解即可．【解答】解：當時，，當且僅當，即時，等號成立，所以該道路一小時“道路容量”的最大值約為116．故選：．【例12】（2025秋?興城市期末）“守護碧水藍天，共治污水之源”，重慶市某自來水廠決定對污水進行凈化再利用，以降低自來水的使用量．經測算，水廠擬安裝一種新的污水凈化設備．這種凈水設備的購置費（單位：萬元）與設備的占地面積（單位：平方米）成正比，比例系數為0.2，預計安裝后該水廠需繳納的總水費（單位：萬元）與設備占地面積之間的函數關系為，將該水廠的凈水設備購置費與安裝后需繳水費之和合計為（單位：萬元）．（1）要使不超過11.2萬元，求設備占地面積的取值范圍；（2）設備占地面積為多少平方米時，的值最小，并求出此最小值．【答案】（1），；（2）設備占地面積為25平方米時，的值最小，最小值為11萬元．【分析】（1）由題意得，解不等式即可；（2）將變形為，再利用基本不等式即可求解．【解答】解：（1）由題意得，令，即，，整理得，即，解得，所以設備占地面積的取值范圍為，；（2），當且僅當，即，時等號成立，所以設備占地面積為25平方米時，的值最小，且最小值為11萬元．題型05基本不等式中的恒成立問題1．恒成立核心轉化規則：不等式恒成立問題等價于參數與代數式最值的大小關系，核心是求出代數式最值．2．參數大于式恒成立：在定義域內恒成立，等價于．3．參數小于式恒成立：在定義域內恒成立，等價于．4．解題步驟：先用基本不等式求解代數式最值，再轉化為參數的不等關系，求解參數取值范圍．5．易錯提醒：必須保證最值可取，若最值取不到，需嚴格調整參數邊界范圍．學以致用學以致用【例13】（2025秋?寧波校級期末）已知，且．若恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】【分析】由已知等式可得，由，利用基本不等式可求得，根據恒成立的思想可得，解不等式即可求得結果．【解答】解：由，，得：，，當且僅當，時取等號，恒成立，，解得：，即實數的取值范圍為．故選：．【例14】（2025秋?金鳳區校級期末）正數，滿足，，若不等式對任意實數恒成立，則實數的取值范圍是（）A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】先通過“1的代換”結合基本不等式求出的最小值，再將恒成立不等式轉化為與二次函數最值的關系，求出的取值范圍．【解答】解：因正數，滿足，故由基本不等式，，因此，當且僅當且時取等號，解得，．不等式對任意實數恒成立，等價于對任意恒成立，整理得．將配方為，其最大值為10（當時取得），故．故選：．【例15】（2026?定安縣模擬）已知正數，滿足．若不等式恒成立，則實數的取值范圍是（）A．，， B．，， C． D．【答案】【分析】由基本不等式乘“1”法，求得的最小值，進而可求解．【解答】解：不等式恒成立，即，，即，，，，，，，，當且僅當，即，時等號成立，取得最小值為8，，即，解得．故選：．題型06基本不等式中的能成立問題1．能成立核心邏輯：存在定義域內的變量滿足不等式即可，無需全域成立，取值約束比恒成立更寬松．2．參數大于式能成立：能成立，等價于，只需大于式子最小值即可存在解．3．參數小于式能成立：能成立，等價于，只需小于式子最大值即可存在解．4．解題關鍵：區分恒成立與能成立的最值差異，避免參數范圍求解混淆出錯．5．解題作用：解決含參數存在性問題，是月考、期末高頻重難點題型．學以致用學以致用【例16】（2026春?臨河區校級期中）若存在，，且，使不等式能成立，則實數的取值范圍是（）A． B．，， C． D．，，【答案】【分析】由已知結合基本不等式及不等式成立由最值關系的轉化即可求解．【解答】解：因為能成立，所以．又因為，，，所以．所以，當且僅當，即，時等號成立，所以，即，所以或．故選：．【例17】（2025秋?遵義月考）若存在，，且．使不等式能成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C．，， D．，，【答案】【分析】結合乘1法及基本不等式先求出的最小值，然后結合存在性問題與最值關系的轉化即可求解．【解答】解：當，，且時，，則，當且僅當，即，時取等號，若存在，，使不等式能成立，則，解得或．故選：．【例18】（2024秋?東湖區校級期中）存在，，使得不等式能成立，則的最小值等于（）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】【分析】依題意可將化為，利用基本不等式即可得到答案．【解答】解：因為，，所以，存在，，使得不等式能成立，又，當且僅當，即時取等號，因為存在，，使得不等式能成立，所以．所以的最小值等于9．故選：．題型07利用基本不等式證明不等式1．基礎證明思路：結合基本不等式及變形公式，對不等式一側的代數式進行放縮，逐步推導得出目標不等關系．2．多式疊加證明：對于多變量不等式，多次套用基本不等式，統一放縮方向（全部放大或全部縮小），疊加化簡完成證明．3．取等條件驗證：多次放縮證明時，需保證所有取等條件可以同時成立，避免條件沖突導致證明失效．4．適配場景：適用于正數整式、分式不等式的簡單證明，規避復雜的作差配方運算．5．解題作用：掌握不等式放縮核心思維，適配解答題基礎證明題型．學以致用學以致用【例19】（2025秋?大同期末）設，，均為正數，且．（1）求的最小值；（2）證明：．【答案】（1）．（2）詳見解答過程．【分析】（1）由已知結合乘1法及基本不等式即可求解；（2）法一：證明：由柯西不等式即可直接證明，法二：結合分析法，要證明，只需證明，只需證明，只需證明，然后結合基本不等式即可求證．【解答】解：（1），均為正數，且，，當且僅當，