2026年新高一數(shù)學(xué)暑假銜接專題《單調(diào)性與最大(小)值》

預(yù)備新高一預(yù)備新高一數(shù)學(xué)專題13單調(diào)性與最大（小）值一．選擇題（共10小題）1．（2025秋?張家川縣期末）在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）A． B． C． D．2．（2026?云南模擬）函數(shù)是上的嚴(yán)格減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．， C．， D．3．（2026?長沙模擬）已知函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A． B． C．， D．，4．（2025秋?西安期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．（2026?高州市模擬）已知函數(shù)在定義域內(nèi)有最大值，則實數(shù)的取值范圍是（）A．， B．， C．， D．，6．（2026春?順義區(qū)期中）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．（2026春?羅湖區(qū)期中）函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．8．（2025秋?榆林期末）已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）A． B． C． D．9．（2025秋?張家口期末）函數(shù)在區(qū)間，上的最大值、最小值分別為（）A．， B．， C．， D．，10．（2025秋?臨川區(qū)期末）已知函數(shù)滿足對定義域內(nèi)任意實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A．， B．， C．， D．，二．多選題（共4小題）（多選）11．（2026春?雁塔區(qū)期中）函數(shù)在下列區(qū)間上單調(diào)遞減A． B． C．， D．（多選）12．（2026春?大通縣月考）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增 C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增（多選）13．（2025秋?莆田期中）下列的取值中，能使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A． B． C．， D．，（多選）14．（2025秋?邵陽期中）已知是上的增函數(shù)，那么實數(shù)的值可以是（）A． B． C． D．三．填空題（共4小題）15．（2025秋?延安期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．16．（2026春?東麗區(qū)月考）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍為．17．（2025秋?睢寧縣期末）已知在上是增函數(shù)，且（2），則使成立的的取值范圍是．18．（2025秋?綏棱縣期中）已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍為．四．解答題（共6小題）19．（2025秋?儋州期中）已知函數(shù)，（1）用定義法判斷在區(qū)間上的單調(diào)性．（2）求出該函數(shù)在區(qū)間，上的最大值和最小值．20．（2025秋?綏棱縣期中）利用定義判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．21．（2026春?紅橋區(qū)期中）已知函數(shù)．（1）當(dāng)，，時，求函數(shù)的最小值和最大值；（2）若函數(shù)在，上的最小值為2，求實數(shù)的值．22．（2025秋?宜興市期末）已知函數(shù)，，．（1）證明：是增函數(shù)；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．23．（2025秋?瀘州期末）已知函數(shù)．（1）若在，上單調(diào)遞增，求實數(shù)的最大值；（2）當(dāng)時．求不等式的解集；若在，上的值域為，，求實數(shù)的取值范圍．24．（2025秋?揭陽期末）已知函數(shù)．（1）證明：在上的單調(diào)遞減．（2）設(shè)，解不等式：．

一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CCABBCCABB二．多選題（共4小題）題號11121314答案ACADBDAC一．選擇題（共10小題）1．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象可直接判斷它們的單調(diào)性，從而可得答案．【解答】解：在區(qū)間上是增函數(shù)，排除；在區(qū)間上是增函數(shù)，排除；在區(qū)間上是增函數(shù)，排除；在區(qū)間上是減函數(shù)，故選：．2．【答案】【分析】分段函數(shù)是上的減函數(shù)，需要保證在各個區(qū)間段是減函數(shù)，并且滿足在分段點處，斷點左邊在斷點處的函數(shù)值要不小于右支函數(shù)在斷點處的極限值．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)是上的嚴(yán)格減函數(shù)，則有，解可得，即的取值范圍是，．故選：．3．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)在每一段上單調(diào)遞增，且，列不等式求的取值范圍．【解答】解：根據(jù)題意，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解可得，即的取值范圍為，．故選：．4．【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式求解即可【解答】解；依題意，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．故選：．5．【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)在定義域內(nèi)有最大值時的取值范圍．【解答】解：當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．由對勾函數(shù)的性質(zhì)得，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，．因為在定義域內(nèi)有最大值，所以，即實數(shù)的取值范圍是，．故選：．6．【答案】【分析】結(jié)合函數(shù)單調(diào)性對的范圍進行分類討論即可求解．【解答】解：當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，故的范圍為，．故選：．7．【答案】【分析】令得，，，進而轉(zhuǎn)化為的最小值問題，再結(jié)合基本不等式求解即可．【解答】解：令，，，則，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以函數(shù)的最小值為．故選：．8．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的定義域列出不等式求解即可．【解答】解：因為是定義在上的減函數(shù)，所以不等式化為，即，解得．故選：．9．【答案】【分析】根據(jù)分式型函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．【解答】解：在，上單調(diào)遞增，所以時，函數(shù)取得最大值，時，函數(shù)取得最小值．故選：．10．【答案】【分析】題意等價于在上遞增，根據(jù)二次函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性，列出關(guān)于的不等式組，可得的取值范圍．【解答】解：由已知，，且在上遞增，所以，即，解得，．故選：．二．多選題（共4小題）11．【答案】【分析】結(jié)合函數(shù)的圖象，求出函數(shù)的遞減區(qū)間即可．【解答】解：畫出函數(shù)的圖象，如圖示：，顯然在遞減，在遞增，在遞減，在遞增，故選：．12．【答案】【分析】利用數(shù)形結(jié)合思想即可判斷．【解答】解：函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．故選：．13．【答案】【分析】分和兩種情況，由二次函數(shù)的性質(zhì)分析求解即可．【解答】解：函數(shù)，當(dāng)時，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，符合題意；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得．綜上所述，實數(shù)的取值范圍為或．故選：．14．【答案】【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性，再借助一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【解答】解：因為是上的增函數(shù)，所以，即，解得．故選：．三．填空題（共4小題）15．【答案】，，，．【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)作出函數(shù)圖象，即可得函數(shù)單調(diào)區(qū)間．【解答】解：先作出函數(shù)的圖象，由圖可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，，．故答案為：，，，．16．【答案】，．【分析】先求解函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的單調(diào)性規(guī)則，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)確定的取值范圍．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，有，解得或，即該函數(shù)的定義域為，，，令，其對稱軸為，則在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，因為在，上單調(diào)遞增，要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則函數(shù)也要在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以，，，所以，即的取值范圍為，．故答案為：，．17．【分析】由條件利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可得，由此求得的取值范圍．【解答】解：在上是增函數(shù)，且（2），要使，則有，即，成立的的取值范圍是，故答案為：．18．【分析】利用函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且，轉(zhuǎn)化為具體不等式，即可求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且，實數(shù)的取值范圍為，故答案為：，．四．解答題（共6小題）19．【答案】（1）函數(shù)，設(shè)，則因，則，，，則，即，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）最小值為1，最大值為．【分析】（1）利用定義法，設(shè)，再化簡求得即可判斷；（2）由的單調(diào)性即可判斷最值．【解答】解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)，設(shè)，則，因，則，，，則，即，則在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）由（1）可知在區(qū)間，上單調(diào)遞增，則的最小值為（1），最大值為．20．【答案】函數(shù)在上遞增．【分析】任取，且，然后利用單調(diào)性的定義，證明函數(shù)在上遞增．【解答】解：函數(shù)在上遞增，證明如下：任取，且，則，，，則，故，即，所以函數(shù)在上遞增．21．【答案】（1）函數(shù)的最小值為（2），最大值為；（2）．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)在，的單調(diào)性討論求解即可；（2）分，，三種情況討論求解即可．【解答】解：（1）時，，當(dāng)，時，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以時取得最小值為（2），時取得最大值為．（2），開口向上，對稱軸為，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，所以（1），解得，滿足；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以（a），即，方程無解；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞減，所以（3），解得，不滿足；綜上，當(dāng)時，函數(shù)在，上的最小值為2．22．【答案】（1）證明：任取，且，，，則，又，且，，，則；，，，，得到，即，所以函數(shù)在區(qū)間，上是增函數(shù)．（2），，．【分析】（1）由函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及定義域，列出不等式組求解即可．【解答】解：（1）證明：任取，且，，，則，又，且，，，則；，，，，得到，即，所以函數(shù)在區(qū)間，上是增函數(shù)．（2）因為函數(shù)是定義在區(qū)間，上的增函數(shù)，由，得到，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為，，．23．【答案】（1）2；（2），；，．【分析】（1）求得函數(shù)的對稱軸，分析其單調(diào)性，由在，上單調(diào)遞增，得到實數(shù)的取值范圍，從而求得實數(shù)的最大值；（2）當(dāng)時．直接求解求不等式，可得其解集；分析在，上的單調(diào)性，結(jié)合其值域為，，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸為．所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．若在，上單調(diào)遞增，則，解得，所以實數(shù)的最大值為2；（2）當(dāng)時，．令，則，即，解得．所以不等式的解集為；因為，開口向上，對稱軸為，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且（2），．若在，上的值域為，，則，．當(dāng)時，（2）；在，上單調(diào)遞減，所以在，上的最小值為（2），最大值為，所以值域為，，符合題意；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．若在，上的值域為，，則，即，即，，解得．綜上所述，實數(shù)的取值范圍為，．24．【答案】（1）證明：任取，則，因為，則，，所以，即，所以，又，所以在上的單調(diào)遞減；（2）．【分析】（1）利用單調(diào)性的定義即可得證；（2）由單調(diào)性可將不等式化為即可得解．【解答】解：（1）證明：任取，則，因為，則，，所以，即，所以，又，所以在上的單調(diào)遞減；（2）因為，則，，又，在上的單調(diào)遞減，所以，又，解得：，即不等式的解集為．

預(yù)備新高一預(yù)備新高一數(shù)學(xué)專題13單調(diào)性與最大（小）值1．理解函數(shù)單調(diào)性的定義、幾何意義，掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明的規(guī)范步驟．2．熟練求解各類函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，明確單調(diào)區(qū)間書寫規(guī)范與易錯禁忌．3．掌握函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)應(yīng)用與綜合應(yīng)用方法，能利用單調(diào)性比較大小、解不等式、判斷參數(shù)范圍．4．深刻理解函數(shù)最值的定義與本質(zhì)，熟練求解函數(shù)最值與值域，能依據(jù)最值逆向求解參數(shù)．5．掌握實際問題與綜合題型中的函數(shù)最值求解思路，構(gòu)建完整的單調(diào)性與最值解題體系．一、函數(shù)單調(diào)性的定義設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間：1．增函數(shù)：任意，當(dāng)時，都有，則稱在區(qū)間上單調(diào)遞增。2．減函數(shù)：任意，當(dāng)時，都有，則稱在區(qū)間D上單調(diào)遞減。3．單調(diào)區(qū)間：函數(shù)單調(diào)遞增、單調(diào)遞減對應(yīng)的自變量區(qū)間，統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間。4．核心前提：單調(diào)性是區(qū)間性質(zhì)，必須限定區(qū)間討論，脫離區(qū)間無法判定單調(diào)性。二、單調(diào)性常用判定方法1．定義法（作差法）：取值→作差→變形→判號→下結(jié)論，是單調(diào)性證明的唯一標(biāo)準(zhǔn)方法。2．圖象法：圖象上升區(qū)間為增區(qū)間，圖象下降區(qū)間為減區(qū)間，適用于快速判斷簡單函數(shù)單調(diào)性。3．四則運算法：增+增=增、減+減=減、增-減=增、減-增=增；正系數(shù)不改變單調(diào)性，負系數(shù)反轉(zhuǎn)單調(diào)性。4．復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增異減，內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性一致則整體遞增，奇偶相反則整體遞減。三、函數(shù)最大（小）值定義1．最大值：設(shè)函數(shù)定義域為，若存在，使得對任意，都有，則為函數(shù)最大值。2．最小值：若存在，使得對任意，都有，則為函數(shù)最小值。3．最值與值域關(guān)系：最值是值域的端點，值域是函數(shù)所有取值的集合，有最值可直接確定值域邊界，無最值則值域延伸至無窮。四、單調(diào)性與最值核心結(jié)論1．單調(diào)函數(shù)區(qū)間最值：函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)，最值在區(qū)間端點處取得；開區(qū)間單調(diào)函數(shù)無最值。2．二次函數(shù)最值：開口向上頂點取最小，開口向下頂點取最大，區(qū)間最值需結(jié)合對稱軸與區(qū)間位置判斷。3．單調(diào)性核心用途：比較函數(shù)值大小、脫去函數(shù)不等式外層符號、鎖定函數(shù)最值、約束參數(shù)范圍。題型01函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明1．定義法標(biāo)準(zhǔn)五步法：任取區(qū)間內(nèi)兩自變量→作差→因式分解、配方變形→判斷差值正負→根據(jù)定義得出增減結(jié)論。2．判斷技巧：簡單初等函數(shù)可通過圖象、四則運算、復(fù)合函數(shù)“同增異減”快速判斷單調(diào)性；解答題嚴(yán)格使用定義法證明，不可直接看圖下結(jié)論。3．易錯要點：取值必須“任意”，不能取特殊值驗證；變形必須徹底，能清晰判斷正負，避免模糊判號．4．解題作用：本章基礎(chǔ)必考題型，是所有單調(diào)性應(yīng)用、最值求解題型的根本依據(jù)．學(xué)以致用學(xué)以致用【例1】（2024秋?中牟縣期中）根據(jù)定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)題意，由作差法證明可得結(jié)論．【解答】證明：函數(shù)，設(shè)，則，又由，則，，則有，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．【例2】（2023?太原開學(xué)）利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性．【答案】在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，證明見解析．【分析】根據(jù)題意，利用作差法分析可得結(jié)論．【解答】解：在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，證明：，其定義域為，，，且，則，．當(dāng)時，，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．當(dāng)時，，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．綜上可知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．【例3】（2023春?同步）寫出下列函數(shù)的單調(diào)性，并證明：（1）；（2）．【答案】（1）在區(qū)間和上是減函數(shù)，證明見解析；（2）在區(qū)間上為減函數(shù)，證明見解析．【分析】（1）根據(jù)題意，利用作差法分析可得結(jié)論；（2）根據(jù)題意，利用作差法分析可得結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)，在區(qū)間和上是減函數(shù)，證明：設(shè)，則，由于，則，，，則有，則在區(qū)間上是減函數(shù)，設(shè)，則，由于，則，，，則有，則在區(qū)間上是減函數(shù)；（2）根據(jù)題意，設(shè)，在區(qū)間，上為減函數(shù)，證明：設(shè)，則，又由，則，則有，故在區(qū)間上為減函數(shù)．題型02求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1．基礎(chǔ)求解流程：先求函數(shù)定義域（單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集）→結(jié)合圖象、性質(zhì)、定義判斷增減范圍→規(guī)范書寫單調(diào)區(qū)間．2．常見函數(shù)區(qū)間規(guī)律：一次函數(shù)全域單調(diào)；二次函數(shù)以對稱軸為分界，分兩段單調(diào)；分式、根式函數(shù)結(jié)合定義域分段判斷．3．書寫規(guī)范：多個單調(diào)區(qū)間不能用并集符號連接，只能用“和”“或”隔開；區(qū)間端點開閉不影響單調(diào)性，優(yōu)先貼合定義域書寫．4．高頻易錯：忽略定義域直接求區(qū)間、誤用并集連接多個區(qū)間、區(qū)間范圍超出定義域．學(xué)以致用學(xué)以致用【例4】（2025秋?銅梁區(qū)校級期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B．， C．， D．【答案】【分析】將函數(shù)化為分段函數(shù)，作圖即可求解．【解答】解：作出的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．故選：．【例5】（2025秋?塔城地區(qū)校級月考）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和．【答案】和．【分析】先求出函數(shù)定義域，構(gòu)造反比例函數(shù)，利用反比例函數(shù)性質(zhì)得出的單調(diào)性，進而得出的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間．【解答】解：函數(shù)，，令，在定義域和內(nèi)單調(diào)遞減，在定義域和內(nèi)單調(diào)遞增，的單調(diào)遞增區(qū)間為和．故答案為：和．【例6】（2025秋?濱海新區(qū)校級月考）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，，．【答案】，，，．【分析】將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解結(jié)果．【解答】解：因為，所以函數(shù)圖象如下所示：由函數(shù)圖象可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，，．故答案為：，，，．題型03函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用1．比較函數(shù)值大小：同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，增函數(shù)自變量大則函數(shù)值大，減函數(shù)自變量大則函數(shù)值小，利用單調(diào)性直接比大小．2．解抽象函數(shù)不等式：利用單調(diào)性脫去f符號，將轉(zhuǎn)化為普通自變量不等式，同時必須附帶定義域約束．3．判斷函數(shù)趨勢：根據(jù)單調(diào)性快速判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的增減變化，預(yù)判最值、零點變化規(guī)律．4．解題核心：單調(diào)性的本質(zhì)是“自變量大小與函數(shù)值大小的對應(yīng)關(guān)系”，所有基礎(chǔ)應(yīng)用均圍繞該核心展開．學(xué)以致用學(xué)以致用【例7】（2026?崇左二模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可．【解答】解：因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，解得，所以的取值范圍為．故選：．【例8】（2025秋?獨山子區(qū)校級期末）已知是上的單調(diào)遞增函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．【解答】解：因為是上的單調(diào)遞增函數(shù)，由可得，解得．故選：．【例9】（2024秋?同步）若函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞減，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)題意，由不等式的性質(zhì)可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析選項可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，，又由函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞減，則有；故選：．題型04函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用1．含參單調(diào)性分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間，反向約束對稱軸、系數(shù)、參數(shù)取值范圍，保證函數(shù)在指定區(qū)間恒增或恒減．2．分段函數(shù)單調(diào)性綜合：分段函數(shù)整體單調(diào)，需同時滿足每一段自身單調(diào)、分段端點處滿足增減銜接條件，雙重約束求解參數(shù)．3．復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：先判斷內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性，依據(jù)“同增異減”判定整體單調(diào)區(qū)間，結(jié)合定義域篩選有效區(qū)間．4．綜合解題邏輯：先定定義域、再定單調(diào)性質(zhì)、最后結(jié)合題干條件列不等式求解參數(shù)與范圍．學(xué)以致用學(xué)以致用【例10】（2025秋?思明區(qū)校級期末）已知函數(shù)，若在區(qū)間上恒負，且是減函數(shù)，則區(qū)間可以是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)題意，分析函數(shù)中函數(shù)恒負，且是減函數(shù)的區(qū)間，由此分析選項，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，當(dāng)時，，為減函數(shù)，若，則有，即在區(qū)間上，恒負，且是減函數(shù)，當(dāng)時，，在區(qū)間上，滿足恒負，且是減函數(shù)，若在區(qū)間上恒負，且是減函數(shù)，則是或的子集，分析選項：符合．故選：．【例11】（2026春?寧波校級期中）已知函數(shù)在單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域為，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，必有，其導(dǎo)數(shù)，因為函數(shù)在單調(diào)遞減，所以在恒成立，所以，解得，但時，為常函數(shù)，不滿足題設(shè)單調(diào)遞減的要求，故應(yīng)舍去，因此，實數(shù)的取值范圍為，．故選：．【例12】（2024秋?信州區(qū)校級期中）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的單調(diào)性分析可得，解可得的取值范圍，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)是上的增函數(shù)，則有，解可得，即的取值范圍是；故選：．題型05求函數(shù)的最值（值域）1．單調(diào)函數(shù)最值：閉區(qū)間單調(diào)函數(shù)，最值直接在區(qū)間左右端點取得，代入計算即可；開區(qū)間單調(diào)無最值．2．二次函數(shù)區(qū)間最值：分對稱軸在區(qū)間左側(cè)、區(qū)間內(nèi)、區(qū)間右側(cè)三種情況，結(jié)合單調(diào)性比較端點與頂點函數(shù)值，確定最大、最小值．3．分式、根式函數(shù)最值：先求內(nèi)層取值范圍，結(jié)合單調(diào)性逐層推導(dǎo)整體取值范圍，鎖定最值與值域．4．通用步驟：定定義域→判單調(diào)性→找最值點→計算最值→寫出完整值域．學(xué)以致用學(xué)以致用【例13】（2019秋?北海期末）函數(shù)在，上的最小值為（）A． B． C． D．2【答案】【分析】根據(jù)題目給出的的范圍，求出的范圍，取倒數(shù)后可得函數(shù)的值域，則最小值可求，也可借助于函數(shù)的單調(diào)性求最小值．【解答】解：法一：，，則，所以，函數(shù)在，上的最小值為．故選．法二：函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象向右平移一個單位得到的，圖象如圖，所以函數(shù)在，上為減函數(shù)，所以，函數(shù)在，上的最小值為．故選：．【例14】（2026?巧家縣校級模擬）函數(shù)的最小值是（）A． B． C．0 D．2【答案】【分析】根據(jù)題意可利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值相關(guān)知識可解．【解答】解：已知函數(shù)，則，令時，則，當(dāng)時，即，單調(diào)遞增；當(dāng)時，即，單調(diào)遞減；則的最小值為．故選：．【例15】（2026春?集美區(qū)校級月考）在區(qū)間，上的最小值為1．【答案】1．【分析】求得二次函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最小值．【解答】解：函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，又由于，則在區(qū)間，上的最小值為（5）．故答案為：1．題型06根據(jù)函數(shù)的最值（值域）求參數(shù)的值或范圍1．逆向解題邏輯：已知函數(shù)最值或值域，反向鎖定函數(shù)單調(diào)性、最值點位置，建立關(guān)于參數(shù)的等式或不等式．2．二次函數(shù)求參：根據(jù)最值固定、值域區(qū)間固定，約束對稱軸位置、開口范圍、區(qū)間包含關(guān)系，求解參數(shù)．3．單調(diào)函數(shù)求參：已知區(qū)間最值，說明函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，約束參數(shù)保證區(qū)間整體遞增或遞減．4．易錯要點：值域包含邊界對應(yīng)可取最值，值域不包含邊界對應(yīng)無最值，嚴(yán)格區(qū)分開閉區(qū)間對參數(shù)的約束．學(xué)以致用學(xué)以致用【例16】（2025秋?黃浦區(qū)校級期末）已知函數(shù)，，的最小值為，則或3．【答案】或3．【分析】根據(jù)給定條件，按，，分類討論求出最小值即可得解．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，，的最小值為，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，解得，故，當(dāng)時，，，解得或，無解，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，解得，因此，則或．故答案為：或3．【例17】（2025秋?自流井區(qū)校級期中）已知函數(shù)在閉區(qū)間，上有最大值3，最小值2，則的取值范圍是（）A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】作出二次函數(shù)圖象，由圖象分析即可得解．【解答】解：，作函數(shù)圖象如圖所示，由圖可得，若在閉區(qū)間，上有最大值3，最小值2，則的取值范圍是，．故選：．【例18】（2019秋?新吳區(qū)校級期中）已知函數(shù)，，，若的最小值為，則實數(shù)的值為（）A． B． C．3 D．或3【答案】【分析】函數(shù)，，，討論，和，運用單調(diào)性可得最小值，解方程即可得到所求值．【解答】解：函數(shù)，即，，，當(dāng)時，不成立；當(dāng)，即時，在，遞減，可得（1）取得最小值，且，解得成立；當(dāng)，即時，在，遞增，可得取得最小值，且，不成立；綜上可得．故選：．題型07實際問題中的函數(shù)的最值1．建模解題步驟：設(shè)自變量、梳理實際變量關(guān)系→建立函數(shù)解析式→限定實際定義域（正數(shù)、整數(shù)、有效區(qū)間）→判斷單調(diào)性求最值→結(jié)合實際作答．2．常見模型：利潤最大、成本最小、面積最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題．3．核心要點：實際問題定義域多為有限區(qū)間，最值一定存在，求解后必須驗證是否符合實際場景．4．解題關(guān)鍵：優(yōu)先利用單調(diào)性判斷最值位置，簡化復(fù)雜計算，快速求解最優(yōu)方案．學(xué)以致用學(xué)以致用【例19】（2019秋?濰坊期中）我國的煙花名目繁多，其中“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一．制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂．如果煙花距地面的高度（單位：與時間（單位：之間的關(guān)系為，那么煙花沖出后在爆裂的最佳時刻距地面高度約為A．26米 B．28米 C．30米 D．32米【答案】【分析】因為煙花沖出后在爆裂的最佳時刻為高度最大時，所以最佳時刻為對稱軸處，從而求出最佳時刻距地面高度．【解答】解：，煙花沖出后在爆裂的最佳時刻為，此時，故選：．【例20】（2025秋?黃梅縣校級期中）隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及，網(wǎng)絡(luò)購物得到了很好的發(fā)展．雙十一期間，某服裝公司在各大網(wǎng)絡(luò)平臺銷售運動衣，經(jīng)調(diào)研，每件衣服的售價（單位：元）與銷量（單位：萬件）之間滿足關(guān)系式已知公司每年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1萬件衣服需要再投入4萬元．設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)的衣服全部銷售完．當(dāng)公司銷售8萬件衣服時，年利潤為990萬元；當(dāng)公司銷售20萬件衣服時，年利潤為1145萬元．（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年銷量（萬件）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬件時，公司利潤最大？并求出最大利潤．【分析】（1）依題意可求得參數(shù)，的值，再根據(jù)利潤與年銷量間的關(guān)系即可求得解析式；（2）根據(jù)相應(yīng)解析式利用基本不等式計算可得結(jié)果．【解答】解：（1）因為當(dāng)銷售8萬件衣服時，年利潤為990萬元，所以，解得．當(dāng)銷售20萬件衣服時，年利潤為1145萬元，所以，解得．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以；（2）當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時的最大值為1150．綜上可知，當(dāng)時，取得最大值為1150萬元．【例21】（2020秋?梅江區(qū)校級月考）某商場經(jīng)銷一批進價為每件30元的商品，在市場試銷中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價（元與日銷售量（件之間有如下表所示的關(guān)系（其中，且304045506030150（1）在所給的坐標(biāo)圖紙中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，描出實數(shù)對的對應(yīng)點，并確定與的一個函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為元，根據(jù)上述關(guān)系，寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出銷售單價為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤．【答案】（1）圖象詳見解析，．