2025-2026學年高一數學下學期第三次月考卷【測試范圍：人教B版必修第三冊+第四冊第九、十章】（全解全析）

高一數學下學期第三次月考卷(人教B版)

全解全析

(考試時間：120分鐘，分值：150分)

注意事項：

1.答卷前.考牛務必將自己的姓名、準考訐號填寫在答題卡卜C

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：人教B版必修第三冊+第四冊第九、十章。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知復數z則目=()

A.1B.6C.2D.75

【答案】D

【詳解】因為i"=—l,i3=T1=l,F=i,

所以產26=產506+2=,=_]

rr1,12+12+ir

所以Z=K=R=2+I'

所以忖=42?+F=yf5.

2.為得到函數g")=cos03x+]J的圖象,只需將函數/(x)=cosl3x的圖象向()

A.左平移。個單位長度B.右平移三個單位長度

C.左平移盤個單位長度D.右平移點個單位長度

【答案】C

【詳解】由以”=85(13人后卜05131+劫，故只需將函數/(x)=cosl3x的圖象向左平移點個單位長

度得到.

1/15

3.已知非零向量詞的夾角為且滿足僅-2可則2”與與坂的夾角為（）

7Tc兀一兀f兀

A.-B.-C.-D.一

6432

【答案】D

［詳解］由（1_2石從不，得（1_2孫3=0,化簡得:同2=2存5=2同網9同.阿，即同'I司卡|,有a=b

儂4）小班石心2二W［0__0

設立與書的夾角為。，cos6=所以

悔叫似犧-孫颯庖可卡|如-孫何

4.在△力8。中，ta"、tan8是方程/+島-2=0的兩個實根，則tanC的值為（）

A.-45B.拒C.--D.B

33

【答案】D

【詳解】??/!!/、tan8是方程/+612=0的兩個實根,

???tanA+tanB=一J5,tanA-tanB=-2,

tan4+tan8-、3

tan(N+8)==_75

1-tan/ItanB\-(-2)丁'

Fi

△ABC中lanC=-tan(4+E)=—.

5.圣?索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美.某同

學為了估算索菲亞教堂的高度，在教堂的正東方找到一座建筑物48,高為36m,在它們之間的地面上的

點M（5,M,。三點共線）處測得樓頂4、教堂塔尖C的仰角分別是45。和60"，在樓頂4處測得教堂塔

尖。的仰角為15。，則該同學計算索菲亞教堂的高度。。為（)

D.58m

【答案】B

2/15

【詳解】在中，N力BM=9(y,4M8=45°,

故8M=/!B=36m,AM=*-=36立,

Sin45

在ZUCM中，//MC=1800-60-450=75',NC4”=150+45°=60。,

ZACM=180-75°-60=45°,

CMAM,CM=4W?竺竺=36拒f=36VJ,

由正弦定理得

sin60sin45sin45正

所以CO=CM?sin60=366x—=54m.

2

6.三國時期的數學家劉徽在對《九章算術》作注時，給出了“割圓術'’求圓周率的方法：魏晉西北朝時期,

祖沖之利用割圓術求出圓周率.兀約為然，這一數值與兀的誤差小于八億分之一.現已知兀的近似值還可表示

為—則號署的值為()

A.B.-4C.4D.45/3

【答案】C

兀J16—兀2-4sin44

【詳解】由題意，將4sin52。代入

>/3-2V3sin222^

可用4sin52°J16—(4sin52呼—4sin4404sin52°J(4cos52°y—4sin44。

石-26sin?22。-6-2限1?22°

16sin520cos520-4sin44。_8sin104。-4sin44°_8sin(600+44°)-4sin440

V3-273sin222°-V3-2^sin222°-V5-25/3sin2220

2

(45/3cos440+4sin44°)-4sin44°4后cos44。473(i-2sin22°)

V3-25/3sin222°-VJ-2>/3sin222°-VJ(1-2sin2220)-

7.在RtZ\48C.中，C=90u,JC=3,8C=4,。為力B的中點，點尸在線段C。上，則⑸.方的取值范

圍為()

A.仔

B.吟C.[-4,0]D.[0,4]

【答案】A

【詳解】以C為坐標原點，而，黃分別為'J軸的正方向建立平面直角坐標系,

3/15

所以8（4,0）,4（0,3）,C（0,0）,因為。為48的中點，所以。（2,4

,設麗二九函所以方=//2,|）二（22弓4、

所以「「人:],可得用=（0,3）-（241%）=，243-,/1）,PB=（4,0）-（22,12

-------2525、

同?以P8W=—一-2+—22

24

8.設,°）=i_2siii23+如1+）1若對任意xc3，；，都有尸⑴4八54恒成立，則。的取值范圍

為（）

(-3-V20I1.,[-3+7201]

A.-8,——-——U——-——收B.(f-3]U[2,~KO)

I6JL6)

C.(-co,-l]u[6,+x)D.(-oo,-6]kj[1,+?)

【答案】C

cosa?cos/?=g[cos(a+夕)+cos(a-A)])

4/15

瓜,

也—

\_

cos

6)4\

71

X----

6J

因為xeV712'4Tl'所以x-短卡兀'71

1241212

因為y=cosx在4K,0上單調遞增，在(0*上單調遞減,

12

n7T7t

又coscos—=cos

12<3~4>

兀

所以cosX--e

\6)

'V6+V2-

人I冗

令/=85X----，/G

I6J

_1_

則。小用----1

X

71

7cosX——

6)

上單調遞增,且

易知尸T在/e“+&,1V6+V2I13

<t——<-,

4-V6+V24t4

1

4<2

所以工一WcosZ、-4，

兀4

cosX—

I6/

產“⑺

n

cosx—

I6卜

cosx——

I6J

H逅段時，/")取得最大值后,

所以當cosX----

6)

因為對任意的XW—,都有/2(X)W/-5Q恒成立，所以(遙

1乙I

解得〃W—1或〃26,即。的取值范圍是(YO,-1]U[6,+8).

故選:C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

5/15

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得()分.

9.若1=(2,T),右=(3,1),則()

A.a-h=5B.(〃+族)1(〃

C.￡與》的夾角為5D.丐在￡方向上的投影向量為2"

4

【答案】AC

【詳解】對于選項A,^=(2,-l)(3,l)=2x3+(-l)xl=6-l=5,故選項A正確；

對于選項B,1+r=(2,-1)+(3,1)=(5,0),a-^=(2,-l)-(3,l)=(-l,-2),

(a+S)?(a-b)=(5,0).(-1,-2)=5x(-1)+0x(-2)=-5*0,故選項B錯誤；

-7ab(2,-l)(3,l)55y/2

對于選項C,8s<〃/>=麗=再不行丁=不而"達=7,結合［與石的夾角范圍為［0,江

故Z與刃的夾角為5,選項c正確；

4

對于選項D,皿方向上的投影向量為|料<"［>前右x*x笳f,故選項D錯誤.

故答案為：AC.

10.已知i為虛數單位，以下四個說法中正確的是()

A.i+i2+i3+i4=0

B.2+i的虛部為1

C.若忖=1,則|z+i|的最大值為2

D.若1+i是關于式的方程f+px+g=0(p,qeR)的根，則的=4

【答案】ABC

【詳解】對于A,i+i2+i3+/=i_l_i+l=0，故A正確；

對于B,對于復數z=o+萬(4/eR),。叫做復數z的實部，力叫做復數z的虛部；則復數2+i的虛部為1,

故B正確；

對于C,設z=x+yi(x,y€R)

v|z|=I,.-.x2+r=l,即z的軌跡是以(0,0)為圓心，1為半徑的圓；

6/15

.?.卜+“=卜+(?+1川=6+"廣，其幾何意義是圓上的點到(0，-1)的距離.

???圓心(0,0)到點(0，-1)的距離為1,圓的半徑為1,

???圓上的點到點(0，-1)的最大距離為1+1=2,即|z+i|的最大值為2,故C正確；

對于D,G+i是關于x的方程x?+px+q=O(p,”R)的根，.?.(l+i『+〃(l+i)+q=O,整理得

(p+q)+(p+2)i=o；

〃+g=0

?J。C，解得〃二-2,夕=2：

p+2=0

「.pg=(—2)x2=-4,故D偌誤.

II.關于函數/(x)=sinW+|cosx,有下述四個結論，則正確的有()

A.27r是/(x)的一個周期

B./(%)的最小值為-1

C.小)在區間與引上單調遞減

D.在(-2026兀,2026兀)上有4052個零點

【答案】BD

【詳解】A選項，/L=sin+cos(-；]=sin；+8s[=75,

I4j4V4j44

/兀c1.7兀'7n

j——+2兀=sin—+cos—=----+——=0n,

(4)4422

故2兀不是〃x)的一個周期,A錯誤;

B選項，因為TVsinW41,04|cosx|。1,所以sin|x|+|cosx|2-1,

當％=時，sin—+cos—=-1+0=-1,故/(x)的最小值為一1,B正確;

N乙乙

C選項，當xe—JIbf,/(J)=sin|x|+|cosx\=sinx-cosx=&sinx--

..n

故x丁

由于尸必inz在zw(苦)上單調遞增，故小)在區間6寺)上單調遞增，C錯誤;

D選項，/⑺=sin國+|cosR的定義域為R,

7/15

且f(-X)=sin|(-X)卜|cos(-x)|=sin|x|+|cosx|=/(x),

故/(x)=sin|x|+|cosx|為偶函數,

當工20時，/(x)=sinx+|cosx|,

由于/(x+2n)=sin(x+27t)+|cos(x4-2;i)|=sinx+|cosx|=/(.r),

所以xNO時，/(x)=sinx+|cosx|的?個周期為2幾，

先考慮xw[0,2可,

sin.r+cosx,0<x<—

2

.n,3兀

此時sinx-cosx,—<x<一,

22

.37r-

sinx+cos.v,-<x<2n

令小）=。，可得于

故xe[0,20267：）」:有2026個零點，同理“得xe（-2026兀,0）上有2026個零點,

綜上，/（可在（-2026兀,2026動上有4052個零點,D正確.

故選:BD

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知復數z滿足z^+2z=8+6i,則2=

【答案】-l+3i

【詳解】設z=Q+萬,a,beR,則=a—

/.z-z=a2+b2,

代入原式得/+〃+2〃+2〃=8+6i,

i/2+/>2+2tz=8\a2+2a+\=0

，叫解得

2b=6匠3b=3

z=a+b\=-\+3i.

13.如圖，在正方形月8c。中，分別以48為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧交于點￡若應的長為

8/15

則圖中陰影部分的面積為

【詳解】連接AE,BE,因為在正方形48CD中，分別以48為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧交于點

設NE=5E=/14=r,則/E<8=!，所以NZX4E==,

-兀

23

因為阮的長為所以一--

兀即正方形的邊長為3,

6-

所以女的面積S邛處=哈扇形3的面積為邑小?哼,

由圖形的對稱性知，扇形￡力4與扇形項〃的面積相等,

所以圖中陰影部分的面積S=2S'=3L乎=回泮

127c-9石

故答案為:

丁

14.當（）<x苫時，sin2x-2cos22x+11>ysin2.r,則〃?的取值范圍是.

【答案】（―,24]

【詳解】因為Oc<],所以0<sin2x41.

rs-r-A^-ix—r/iusin2x-2cos~2x+l1m

原不等式可化z為----------------->—成立，

sin2.r2

2sin22x+sin2x+9m~,9,1、，〃

即nil---------------->—,即nil2nsin2x+-----+1>—.

sin2x2sin2x2

令/=sin2x€(0,1]

9/15

因為關于f的函數y=2/+2在（0』上單調遞減，

所以2sin2x+-9^+l的最小值為12,所以m2K12,

sinzx2

解得加424,即加的取值范圍是（一%24].

故答案為：（-%24].

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）已知△48C是邊長為6的等邊三角形，。是4c上靠近力的三等分點，點E在邊BC上.

⑴用成、阮表示南5；

（2）若BE=4,求而.荏的值;

（3）設立與8。交于點尸，且"=/1布+：前，求網.

【詳解】（1）

1]G]

BDDABACABBCBABABABC................2分

=J-=3--=-3(、'-,}+=-3+3-

(2)因為8E=4,

，一一,.一，一.,-?6-4■■一.，一?(

故/E=4C+CE=4C+——CB=AC+^-CB=AC+-AB-AC}=-AB+^AC,4分

633、J33

所以荏.而二（；刀+：刀）刀二;希+：就方=；X62+|X6X6C0S600=24

7分

（3）由。，尸,8三點共線，可設"=/而+（1一）荔.

由。是力C上靠近A的三等分點，

可得萬=；尼+0_/）布=,布+珂+0T）荔=（1.'拓+：冊.........................9分

所以2=1—解得4=：,

一5一2一

所以力尸=§/B+34c.....................................................................11分

又畫二|罔=6,福證=120°,

J-x62+-x62cosl20°+—x62

\8I8181

10/15

2M

13分

~T~

16.(15分)已知/(x)=sin2x+—+sin2x-—2cos~x+l.

[6)[6)

(1)求函數/(x)的最小正周期和單調遞增區間;

⑵求函數/(X)在區間哈工上的最大值和最小值以及相應的X的取值;

⑶若e為銳角，/(?一名)=?，求cose.

【詳解】(1)/(x)=sin2x+—14-sin2x~--2cos2x+l

I6)I6)

=sm2x+—+sin2x--I-cos2x

[6[6

=sin2xcos—+cos2xsin—+sin2xcos——cos2.rsin——cos2x

令2履一四42x-工W2kn+—,keZ,^^/ai--<>x<kii+—,keZ,

26263

所以函數/(x)的單調遞增區間為質4，尿+：(ZreZ)...............................................................................5分

63J

?一■7T5兀--,-7t兀2兀

(2)因為xe,所以23一工￡一不二"，

1212」

根據正弦函數的圖象可知，

當2x—5=5時，即x=g時，/(?')取最大值，/(x)z=2sinf=2,.......................................................6分

6232

當2xJ=—?時，即.“一二時，/(力取最小值，/(x)min=2sinf-^=-V3.

63121”

綜上，當Y時，/(力最大值為2,當X=*時，/(X)最小值為—G...............................................8分

兀3

則sin0一―=10分

<4，

12分

11/15

所以cos°=cos(0一色+']=^^cos6?--1-^-sinf^--1=2^ZX---x-=-^..............15分

144yl2I4j2V4j252510

17.(15分)在△力AC中，內角4，C對應的邊分別是。也c,且bcosC+ccos4=2"Cos4

(1)求角力的大小：

(2)若。=拒力=3,求△力8c的面積；

（3）若△/"。為銳角三角形，求sinB+sinC的取值范圍.

【詳解】(1)因為△45。中,〃8sC+ccos8=2acos4,由正弦定理得sin8cosC+sinCeos8=2sin4cos4,

...........................................................................................2分

所以sin(8+C)=2sin4cos4,即sin/=2sin/cos/1,.........................................3分

乂Ne(0,7r),sin力工0,貝ijcos力=3,所以力=1；...........................................4分

(2)由余弦定理/=/+。2一2加cos/得13=9+C2-6CCOS],即/一3右一4=(),

解得。=4(。=一1舍去).....................................................................6分

所以,面=—Z>c?sinA=—x3x4xsin—=3-J3:..............................8分

223

(3)sinC=sin(n--5)=sin(J+5)=sinfy+,

sinB+sinC=sin8+sin(—+8)=sinB+—cos5+—sin5=—sin5+—cosB

32222

=E咚sin8+gcos8)=VJsin(8+$，...............................

II分

0<B<-

因為△48。是銳角三角形，所以，2,解得

八27r兀62

0<----B<—

32

LL,,兀_兀2兀-v/37t..

月r以；<8+工^-<sin(^-F-)<l?...................................................13分

36326

所以sin8+sinCe(|,6]...................................................................15分

18.（17分）已知函數/（加限由5+?）+25后（學+3卜（口>0）的兩條相鄰對稱軸的距離為安

⑴求/（力的解析式;

（2）珞函數/（》）的圖象向右平移$個單位長度，再將所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），得到

6

函數J=g（x）的圖象.

12/15

①若g(*=￡，且與《0，力，求C0S2%的值；

②若關于x的方程g(x)=&+l在區間0,|上恰有兩個不同的實數解，求實數k的取值范圍.

/X/,\/\/\

【詳解】(1)由/(x)=VJsinox+色+2sin2—+--I=>/3sincox+--cos+-I

k3J126Jk3Jk3/

c?，冗兀、c.(冗'

=2sin(t)x+-------=2sina)x+—,.2

I36；I6；

因為函數/")的相鄰兩條對稱軸的距離為曰，

所以函數/(%)的周期7=2x5=，,則/=§=2,即/(x)=2sin(2x+m］.......................................3分

2T\6；

(2)將函數/(X)的圖象向右平移?個單位長度，得歹=2sin|~21一如+』=2sinhx-外，.....5分

6L<6Jvo；

再將所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，得到g(x)=4sin(2x-R.............................6分

①因為g(xo)=4sin(2x0-,所以sin(2x。-,

②由題知，方程8(》)=4+1在［。胃］上恰有兩個不1司的實數解，

可轉化為函數g(x)=4sin(2x用和函數尸〃+1的圖象在區間0卷上有且只有2個交點，

令，=2*-1，XW(),￡,貝|J，€一?，=兀，g(x)=〃(/)=4sin/,

6L2」L66_

則可轉化為函數〃(/)=4sin/和函數y=〃+l的圖象在區間-空兀上有且只有2個交點，......12分

_o6

當，=-楙時，g(XL=〃⑺min=4^=~2:

TT7T

當仁弓時，g(x)2=〃⑺皿=4孤3=4；

、1,57tL1(57r?..57c5..

當l=L時，/q—=4sin—=2,.......................................................................................................14分

6\6/6

作出函數/()=4shU在上的圖象如圖：

66

13/15

由圖可知,2<k+\<4f則14k<3,

所以實數A的取值范圍是［，3).................................................................................................................17分

&sinC-sinA

19.(17分)已知△/必。中，角48,C的對邊分別是a,b,c,且tanB=

V2cosC-cosA

⑴若吟,求sinA；

(2)若。=］且8為鈍角.

(i)若a=2,求△48。的面積.

求券的直

(ii)若。為線段44上一點，且滿足C4C8=2CZ)2

八,V2sinC-sinA

【詳解】⑴"三時,tan￡?=1=—j=----------------

V2cosC-cosA

即41sinC-sinJ=V2cosC-cosA=&(sinC-cosC)=sincosA,................................................1分

由輔助角公式，2sin(C-^)=sin,1-cosJ,

結合C=，_/可得,2sin(C--)=2sin(--A)=2cosA=sinC-cos4