三角恒等變換-高考數學復習之重難點題型講義（新高考地區專用）原卷版

專題4.5三角恒等變換.重難點題型精講

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1.兩角差的余弦公式

對于任意角a，pWcos(a-6)=cosacosfi+sinasin日.

此公式給出了任意角a,夕的止弦、余弦與其差角a-。的余弦之間的關系，稱為差角的余弦公式，簡記

作

公式巧記為：兩角差的余弦值等于兩角的同名三角函數值乘積的和.

2.兩角和的余弦公式

(1)公式的結構特征

同-6的余弦、正弦

co?(a+0)=CORacot*fl-sina?inB

TT

同角a的余弦、正弦

(2)兩角和與差的余弦公式的記憶技巧

兩角和與差的余弦公式可以記憶為“余余正正，符號相反”.

①“余余正正''表示展開后的兩項分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；

②"符號相反''表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相反，即兩角和時用“」，

兩角差時用“十”.

3.兩角和與差的正弦公式

(1)兩角和與差的正弦公式的結構特征

同角。的余弦、正弦

sin(a±P)=sinacos0±cosasin。

TT

同角a的正弦、余弦

(2)兩角和與差的正弦公式的記憶技巧

兩角和與差的正弦公式可以記憶為“正余余正，符號相同

①“正余余正”表示展開后的兩項分別為兩角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；

②“符號相同”表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩柏之間的連接符號相同，即兩角和時用

兩角差時用

4.兩角和與差的正切公式

兩角和與差的正切公式的結構特征

同號同號

III

tan(a+/3)二加11。,Btan(a-/?)=lana-tanB

1-tanatanp

I---1I1+tanatanp

異號異號

符號變化規律可簡記為“分子同，分母反

5.三角恒等變換思想一一角的代換、常值代換、輔助角公式

(1)角的代換

代換法是一種常用的思想方法，也是數學中一種重要的解題方法，在解決三角問題時，角的代換作用

尤為突出.

常用的角的代換形式：

?a=(a+fl)-p；

②a二人-(夕-a)：

③a=g[(a+/，)+(〃一/，)];

專)-(下￡)；

@?-y=(?-6)+(少-y).

(2)常值代換

用某些三角函數值代換某些常數，使之代換后能運用相關的公式，我們把這種代換稱為常值代換，其

中要特別注意的是“1”的代換.

(3)輔助角公式

通過應用公式asina+〃cosa=\/a2Z>2sin(a+域asina+6cos?=76+//cos(a—9)將形如

?sina+/?cosa(〃力都不為零)的三角函數式收縮為一個三角函數x/?T后sin(a+s)［或

"T"cos(a—3)J.這種恒等變形實質上是將同角的正弦和余弦函數值與其他常數積的和收縮為一個

三角函數，這種恒等變換稱為收縮變換，上述公式也稱為輔助角公式.

6.二倍角公式

二倍角的正弦、余弦、正切公式

函數公式fi-a簡記符號

正弦sin2a=2sinacosaS(a?6)Si.

2?

余弦cos2a=cosa-sirra=2casa-1=1-2sirTac(..,)C2a

c2tana

正切Ian2a=,Tk

1-tana

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【題型1兩角和與差的三角函數公式的應用】

【方法點撥】

（1）使用兩角和與差的三角函數公式，首先要記住公式的結構特征.

⑵使用公式求值,應先求出相關角的函數值，再代入公式求值.

【例1】（2022春?巴宜區校級期末）已知。€（今，〃），cosp="*0是第三象限角，則cos（a

-p）=（）

【變式1?1】（2022春?富平縣期末）化簡山九。+編一加九4—4）=（）

A.2taDi4B.-2tan>4C.2tan2AD.-2tan2A

_si?i（a一三）

【變式1-2]（2022?香坊區校級模擬）已知mna=-3m九/，則-------薩一的值為（）

1ZC0S（a~—7T）

JL/

A.-4B.-2C.2D.4

【變式1-3]（2022春?漢中期末）已知s仇8+sin（6+$=l,則1即（。+看）=（）

V6V3C.±V2D.土乎

A.—B.一

33

【題型2兩角和與差的三角函數公式的逆用】

【方法點撥】

⑴運用兩角和與差的三角函數公式時，不但要熟悉公式的正用，還要熟悉公式的逆用及變形應用.公式的逆

用和變形應用更能拓展思路，培養從正向思維向逆向思維轉化的能力.

（2）對asinx+bcosx化簡時，輔助角3的值如何求要清楚.

【例2】（2022春?富縣校級期末）cos125°cos5°+cos35°sin5°=（）

A.-B.—J73

C.yD.丁

22

八

【變式2-1]（2022春?成都期末）tan45°-Uinl5°--3-tan45°tan15°=()

C.-*D.—

A.V3B.V3-2

33

【變式2-2](2022春?安徽期末)<t?(sin50+cos5°)(l+V3tanl0°)=()

A.—B.2V2C.2D.V2

2

【變式2-3](2022春,濰坊月考)已知;Va<7?v],且s出2asi嗎一cos2asi7i37r=<，sin2pcos^4-

cos2Bsln^=號,則cos(20-2a)的值為()

【題型3二倍角公式及其應用】

【方法點撥】

對于與二倍角公式有關的化簡、求值問題，需觀察題中角之同的關系，并能根據式子的特點構造出二倍角

的形式，正用、逆用、變形用二倍角公式化簡、求值，注意利用誘導公式和同角三角函數的基本關系等知

識對已知式進行轉化.

【例3】（2022?貴陽開學）已知sin（a+3）=空，則sE（2a—6）=（）

5533

---c---

A.8B.88D.8

3

9\bit

7_r-7=-

【變式3-1］（2022?成都開學）若sin(-74則.5―的值為（）

33C

---c747a4

A.4B.4

【變式3-2］（2022春?湖南期末）若5出（卷一。）=2，則cosg-2a）=（）

D.一堂

【變式3-3］（2021秋?云南期末）己知sin=2sEg+a）,則cos2a=（）

【題型4三角函數式的化簡】

【方法點撥】

⑴三角函數式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結構與特征.

⑵三角函數式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯系（和、差、倍、互余、互補等），尋找式子和三角函數

公式之間的共同點.

4si?l24°cos24°

［例4］（2022春?南陽期末）化簡------------+tanl2°=（）

cosl20

A.1B.V2C.V3D.2

cos2a

【變式4-1］（2021秋?沙坪壩區校級月考）化簡)

4sin2(^+a)tan(-a)

A.cosaB.sinaC.1-I

【變式4-2］（2022春?南陽月考）下列化簡結果正確的個數為（）

①cos220sin52°-sin22°cos52°=今

，一tan240+tan36°/-

②-----------------------=73；

l-tan24°tan36°

、方

③cosl50—sinlS°=-y；

?sin150sE30"sin75"=

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式4-3］（2022春?集寧區校級月考）下列化簡正確的是（）

A.cos82°sin52°-sin82°cos52°=5

B.sinl5°sin300cos75°

tan480+tan72°

C.

l-tan48°tan72°

cos215°-sin215°=空

D.

【題型5三角函數求值問題】

【方法點撥】

⑴給值求值問題一般是將待求式子化簡整理，看需要求相關角的哪些三角函數值，然后根據角的范圍求出

相應角的三角函數值，代入即可.

⑵給角求值問題一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角之

間總有一定的關系，解題時，要利用觀察得到的關系，結合公式轉化為特殊角并且消除特殊角三角函數而

得解.

（3）給值求角問題一般先求角的某一三角函數值，再求角的范圍，最后確定角.

【例5】（2022春?江西期末）若加幾檄―a）=］,則受竺上學的值是______.

45sin2a-cos2a

rEyj2sin（a-^）

【變式5-1］（2021秋?廣東月考）已知a為第二象限角，且cosa=-浮，則一;——十=

5cosza-sinza

【變式5?2】（2022春?憑祥市校級月考）求下列各式的值：

2sin47°-V3sinl7°

(1)--------------------------

2cos17。

(2)tan250+tan350+V3tan25°tan35°=.

【變式5-3](2021秋?涪陵區校級期中)若sin2a=唱，sin(p-a)=且aE。，=],