2025-2026學年高一數學下學期期中模擬卷（提高）（人教A必修二）解析版

2025-2026學年高一數學下學期期中模擬卷(提高篇)

參考答案與試題解析

第I卷(選擇題)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.(5分)若復數2滿足5+2=-3+3貝”的共規復數在復平面內對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解題思路】根據復數運算得z=-3-3i,利用共規復數的定義和幾何意義得解.

【解答過程】由4i+z=-3+i,可得z=-3-3i,Mz=-3+3i,

所以5在復平面內對應的點在第二象限.

故選：B.

2.(5分)已知向量五=(1,2),b=(2,0),c=(0,1),若G〃(5+41),則4=()

A.--B.-C.4D.2

22

【答案】C

【解題思路】本題可先求出b'+我的坐標，再根據兩向最平行的坐標關系列出方程，進而求解;I的值.

【解答過程】已知3=(2,0),c=(0,l),

可得。+Ac=(2,0)+(0,A)=(2fA).

已知3=(1,2),且蒼〃@+「引,所以1x4-2x2=0,

即4—4=0,解得4=4.

故選：C.

3.(5分)已知正三棱柱48。-必生。1的底面邊長為2,高為5,一質點從4點出發，沿著三棱柱的側面繞

行兩周到達4點的最短路線長為()

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A.屈B.10C.5V5D.13

【答案】D

(解題思路】根據側面展開圖可得最短距離.

【解答過程】由己知，需繞三棱柱的側面繞行兩周，

則將三棱柱沿展開，并沿底邊擴大2倍，

如圖所示，

444

則展開圖是以2x3x2=12為底，5為高的矩形，

則最短路徑即為其對角線長為VIN彳手=13,

故選：D.

4.(5分)已知復數Zi=1-2i是關于x的方程%2+p%+q=0(p,qwR)的一個根，則z?=p+qi在復

平面內對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解題思路】根據復數的乘法、加法運算化簡復數，結合復數相等列方程組得p,q的值，確定復數Z2,由復數

的幾何意義確定象限即可.

【解答過程】由題知(l-2i)2+p(l-2i)+q=0,

整理得(p+q-3)-(2p+4)i=0,即-溫；7d解得Fq：；'

所以Z2=p+qi=-2+5i在復平面內的對應點為(一2,5),位于第二象限.

故選；B.

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5.(5分)△ABC外接圓半徑為2&,sinA+sinC=￥，2b=a+c,則△ABC的面積為()

4a

A.5aRC.V3-1D.6V2-3V7

【答案】D

【解題思路】根據題設及正弦定理易得sinB=f,b=2,Q+C=4,結合平方關系可得cosB二手，進而結

44

合余弦定理求得知=12(4-714),再根據三角形的面積公式求解即可.

【解答過程】由28=Q+C,根據正弦定理得2sin8=sin/1+sinC=/,

則sin8=—?又b=2RsinB=4V2x—=2,則a+c=2b=4,

44

顯然Q<bV。或a>b>c,則8為銳角，

所以cosb=V1—sin2B=

又/=a2+c2-2accosB,則4=a2+c2-^-ac,

則4=(a+c)2一當QC—2ac,

貝M?+2)川=12,即如=日=就=12(4—g),

所以△力BC的面積為^acsinB=1x12(4-x(14)x曰=6\[2-3收

故選:D.

6.(5分)如圖，在楂長為3+5的正方體內有兩個球。1、。2相外切，兩球又分別與正方體內切，則兩球

體積之和的最小值為()

A.9nB.8nC.12nD.6TT

【答案】A

【解題思路】做出對角面，設兩球半徑分別為RI,過。1，%分別作A。,8c的垂線，垂足分別為邑F,結合

A01+。1。2+02c=AC求得R+r=3,再結合體積公式即可求解.

【解答過程】如圖，設兩球半徑分別為R,r,球心0】和。2在正方體體對角線AC上，

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過01，。2分別作4。,8。的垂線，垂足分別為E,F，

B'----------

由圖可得4。1+。1。2+O2C=AC

即信+(r+/?)+V3/?=V3(3+V3)

(V3+l)(/?+r)=3V3+3,所以R+r=3,

故兩球體積之和為V=-7t(/?3+r3)=-Tt(r+R)(R2-Rr+r2)

33

=4n[(R+r)2-3rR]=4n[32-3R(3-R)]=4ir(3/?2-9R+9)

由二次函數性質可知：

當且僅當R=r=%寸，P有最小值9m

故選：A.

7.(5分)已知P是邊長為2的正八邊形/8CDEFG”內的一點，。為其中心，則方?麗+布?布的取值范

圍是()

A.(一2或,4+2或)B.(-4,4+2&)

C.(-2,4)D.(-4,4)

【答案】A

【解題思路】先由正八邊形的對稱性和向量的運算法則將麗?麗+麗?而轉化為而?萬，然后求出正八邊

形的內角大小，根據數量積而?萬的幾何意義，將問題轉化為求解I而|cose的最值，結合圖形可得取得最

值時P的位置，最后結合平面幾何知識求得結果.

【解答過程】由正八邊形的對稱性可知，

OE-AP+OB-AP=-OA?而+方?Q=?(而-07)=而?超，

易知正八邊形的每個內角為(8一2)廣8。。=135。，

O

設而與刀的夾角為0,則而?AB=[AP\[AB\cos0,

所以當|而|cosJ最大時，麗而取得最大值，當|而|cos。最小時，麗?而取得最小值.

如圖，過點C作CT垂直48的延長線于點T,過點H作HS垂直84的延長線于點S,

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可知當P在線段CD上時，|而|cos。取得最大值，|而|cos6=HB+BCcos45o=2+&,

此時而-45=2x（24-72）=44-272.

當P在線段GH上時，|而|cosJ取得最小值，此時|而|cose=AHcosl35o=-VI

此時而?麗=2x（一&）=-2a

故而?松的取值范圍為（一2企,4+2V2）.

故選：A.

8.（5分）在中，角4從C所對的邊分別為a,b,c,若訴』=胃胃,邊BC卜一點Q

滿足｛0=1,b-BD=c-CD,貝!4c+b的最小值為()

A.5+&B.7C.9D.5+2式

【答案】C

【解題思路】先由余弦定理和正弦定理結合題設可得力=g,由小80=「CD可得4。為角4的平分線，再利

用等面積法S△做=S.ABD+可得3+”1，進而利用基本不等式求解即可.

b+c-a

【解答過程】由

sin/1+sinB+sinCsind

cb+c-a

根據正弦定理得,

a+b+cb

則(b+c)2-a2=be,即Z)2+c2-d2=-be,

所以COS/=b當—"=

又＜6（0m）,所以

因為b-BO=c-CD,即士=黑，故力D為角力的平分線，且4。=1,

cBD

由Sg8C=S^ABD+S^ACD，貝葉bcs[ng=；c-AD?s嗎+》b?40?sin

CD/D/D

故即

Z?+c=Z?c,bc

所以4c+b=(4c4-b)Q+^=54-y+^>5+2J募.，=9.

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當且僅舞.即b=2c=3時等號成立,

則4c+b的最小值為9.

故選:C.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.(6分)已知向量d=(1,2),b=(-1,1),則()

A.b(a+b)=3B.(2a+b)//(a+2b)

C.向量2五一B與值一2石的夾角為：D.向曷五在方方向上的投影向量為

43

【答案】AC

【解題思路】對于ABC,根據平面向量的基本知識即可求解；對于D,求出五在3方向上的投影向量表達式,

再根據表達式求解即可.

【解答過程】對于A,a+5=(1-1,24-1)=(0,3),

S-{a+S)=(―1)X04-1x3=3,故A正確；

對于B,2a+h=2(1,2)+(-1,1)=(1,5),

a+2b=(1,2)+2(-1,1)=(-1,4),

因為1x4-(-1)x5=4+5=9w0,

所以2日+3與G+2石不平行，故E錯誤；

對于C,設向量2d與五-23的夾角為。,

2a-5=2(1,2)-(-1,1)=(3,3),

a-2b=(1,2)-2(-1,1)=(3,0).

rcS-(2d-」)?伍-2b)_3X3_巫

C0Sy-\2a-b\\a-2b\~3^3~

又ew[o,n],所以。=%故c正確；

對于D,設G和B的夾角為例

則問量d在B方向上的投影向量為-|a|cos^=i|i*|a|，＜存=器3,

Pl\b\同曲1\b\

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d-5=1x(-1)+2x1=1,\b\=(-I)2+I2=2,

則萼3故D錯誤.

kl2

故選：AC.

10.(6分)如圖，該幾何體是高相等的正四棱柱和正四棱錐組成的幾何體，若該幾何體底面邊長和上面正

四棱錐的側棱長均為10cm,則卜.列選項中正確的是()

A.正四棱錐的高為5&cm

B.該幾何體的表面積為(100V5+200或)cm?

C.該兒何體的體積為空警cm?

D.一只小螞蟻從點七爬行到點S,它所經過的最短路程為、/150+50乃cm

【答案】ACD

【解題思路】求出四棱錐的高判斷A；求出表面積判斷B；求出體積判斷C：將長方形"ZM及正力8置于

同一平面,求出SE判斷D.

【解答過程】對于A,正四棱錐S-ABCD底面半徑。4=5或，高SO=心不一。爐=5vL故A正確：

對于B,幾何體的表面積為lO2+4Ox5&+4x^xl()2=ioD+2ooV^+ioobcm2,故B錯誤：

4

對于C,該幾何體的體積為102x5或+：xio2x5魚=空警地3,故C正確；

對于D,觀察圖形知，小螞蟻從點E爬行到點S的最短路徑為沿表面越過棱48或4D,

由對稱性，不妨取長方形力及正△S48,將它們置于同一平面內，連接SE,如圖，

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取EF中點M,連接SM,則SM=5^+5vL而EM=5,

所以最短路程為SE=VFM2+SM2=J52+（5V2+5V3）2=V150+50V6cm,故D正確.

故選：ACD.

li.（6分）已知△4BC,內角48,C分別對應邊Q,Ac則下列命題中正確的是（）

A.若siM/l+siMB+cos2c<1,則△ABC為鈍角三角形

B.在銳角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立

C.若力8=，5,力。=1,8=30°,則448。的面積為日

D.若8話,a=2百，且△4BC有兩解，則b的取值范圍是（3,26）

【答案】ABD

【解題思路】根據正弦定理和余弦定理邊角互化判斷A,利用銳角三角形角的關系結合誘導公式判斷B,利

用正弦定理求C,結合內角和公式求4根據三角形面枳公式求則△力8c的面枳判斷C,結合圖象，根據邊

角的關系與解的數量判斷D.

【解答過程】選項A：△ABC中,若siMn+siMB+cos?。=sin?4+siMB+1—siMCv1,

即siMA+sin2F-sin2c<0,所以由正弦定理得a24-b2—c2<0,

又由余弦定理得cosC=<。所以。6《刀），△ABC為鈍角三角形，A正確；

選項R：因為是銳角三角形，所以Ovcv],所以=/+BVTC,

乂A,BE（of,所以>8<0弓），

又因為y=sin%在（0,；）單調遞增，所以sin4>sin傅-8）=cosB,B止確；

選項C：△力BC中，若A8=V5/C=1,B=3O。，則由正弦定理得冬=1解得sinC=￡

sinBsinC2

所以C=60。或C=120°,

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若C=60。，則心力=90。，△力8c的面積S=?力C?sinA=g

2z

若C=120。，則/A=30。，△48。的面積5=；48?4。7也力=漁，C錯誤;

24

選項D：如圖所示，

若△48。有兩解，則asinB<b<Q,

所以2d5xsinW〈b<2b，故3VbV2b，D正確；

故選：ABD.

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）己知復數z的共規復數5在復平面內對應的點為（2,-4）,則|捻卜.

【答案】付

【解題思路】根據題意先求出復數z，然后代入息|中計算即可.

【解答過程】由題意：z=2+4i,

所CH煞=IS?I=1等卜|3+“=E=m.

故答案為：m.

13.（5分）在A4BC中，點P是中線4D上一點（不包含端點），且加=x瓦？+y近，則二+2的最小值是

xy

【答案】25

【解題思路】利用向量的共線定理即可得出x+2y=1,再利用基本不等式的乘“1”法，即可求解.

【解答過程】點P是中線40上一點（不包含端點），且前=工而+、前，

BP=xBA4-yBC=xBA+2yBD.

因為4P,。三點共線，故X+2y=l,

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-+-=(-+-)(x+2y)=17+^+—>17+2l^x—=25,

xy\xy/v/xyyjxy

當且僅當§=崇即2%=y1時，等號成立.

故答案為：25.

14.(5分)多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規律的立體結構，其所有面都只由一種正多邊形構成的多

面體(各面都是全等的正多邊形，且每一個頂點所接的面數都一樣，各相鄰面所成二面角都相等).數學

家已經證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體，正八面體、正十二面體、正二十面體,

如圖所示為正八面體，則該正八面體的外接球與內切球的表面積的比為.

【解題思路】根據正八面體的結構特征確定球心位置，令正八面體的棱長為2,有外接球半徑/?=&,再由

等體積法求得內切球的半徑r二4,即可得.

【解答過程】由正八面體的結構特征易知，其外接球和內切球的球心重合，旦為體對角線的交點，

令正八面體的棱長為2,外接球和內切球的半徑分別為R,r,則外接球半徑R=&,

各側面積S=：x2X2xsin60°=瓜構成正八面體的兩個正四棱錐的高為企，

所以正八面體的體積V=8xi-r5=2x1xV2x2x2,可得r=

所以外接球和內切球的表面積比為陵：產=2：1=3:1.

故答案為:3:1.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.(13分)已知復數Zi=3-4i,z2=2+ai,其中Q￡R.

(1)當Q=1時,求黃：

(2)若復數z1Z2在復平面內所對應的點位于第三象限，求a的取值范圍.

【答案】(正一爭

⑵(-8,母

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【解題思路】(1)根據復數的除法運算求解；

(2)可以復數的乘法運算求解Z/2,再根據復數的幾何意義列式求解.

【解答過程】(1)當。=1時，Z2=2+i,

lilll幺-3-4i_(3-4i)(2T)_6-3i-8i+4i2_2_11.

人與=TH=(2+i)(2-i)=-4^2-=5-TL

(2)因為Zi=3-4i,z2=2+a\,所以2隹2=(3-4i)(2+ai)=6+4a+(3a—8)i.

因為Z】Z2在復平面內所對應的點位于第三象限，所以得十黑：,

解得”一方即〃的取值范圍是(一8,—|).

16.(15分)已知向量五=(1,2),b=(3,-2).

⑴求|五-同；

(2)若n=VTU,且(2d+=l。求向量d與向量1的夾角;

(3)^|c|=V29,且(2日十方)〃3求向量^的坐標.

【答案】⑴2遍

(2嚀

(3)3=(5,2)或^二(-5,—2)

【解題思路】(1)利用向量的坐標表示，再借助坐標計算向量的模作答.

(2)由向最的模，結合向最的數量積運算律轉化求出向最的數量積，再求出夾角作答.

(3)運用向量平行的坐標結論計算即可.

【解答過程】⑴因為五=(1,2),3=(3,-2),所以五一3=(-2,4).

所以怔-b\=〃-2)2+42=2V5.

(2)因為(2五+5)1.總所以(2五+63=0.即2d々+產=0.

所以2|d||3|cos(d,。+\c\2=0.即2xV5xVToxcos(d,c)+10=0,

所以cos〈d,K)=-，.

因為＜d?€[0m],所以

4

(3)因為,=(1,2),b=(3,-2),所以22+3=(5,2).

因為(2G+B)〃3設5=4(26+3)=(5九2/1),

則同=再＞=a，.

解得入=±1,

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故Z=(5,2)或3=(-5,-2).

17.(15分)圓錐P。的底面直徑是2,其側面展開圖是一個頂角為120。的扇形.

(I)一只螞蟻從點A出發，沿圓錐惻面爬行一圈回到點A,求爬行的最短路程；

(2)過P。的中點名作平行于底面的截面，以該截面為底面在圓錐中挖去一個圓柱(如圖所示)，求剩下幾何

體的表面積和體積.

【答案】(1)375

(2)5=(4+V2)n,U=M

【解題思路】(I)作出側面的展開圖，最短路程即為44的長，由余弦定理可求解；

(2)求得圓錐的高，進而計算剩下幾何體的表面積和體積.

【解答過程】(I)由題意，側面展開圖如圖所示，最短路程即為A4'的長，設[為圓錐的母線長，

由2n可得，=3,即母線4P=3,

在△4P4中，由余弦定理可得44=J32+(3)2-2x3x3xcosy=3>/3

所以爬行的最短路程為3遮：

(2)因為圓錐的母線長為4P=3,所以圓錐的高為九二不二于二2企，

從而挖去的圓柱的高為企，從而挖去的圓柱的側面積為2n*?夜=V2n,

又圓錐的表面積為IT-I2+x2n?1-3=4m

所以剩下幾何體的表面積S=4n+\[2n=(44-

剩下幾何體的體積為V=[IT?1-2\/2—TT-(，?>/2=

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18.(17分)在①(sinH-sinC)sin(i4+B)=sin2/1—s\n2B,(2V5sin8cos8--cos2^=1,③bcosC=a-

2

號csinB這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答問題.

已知a,b,c是△ABC的三個內角的對邊，且.

⑴求從

(2)若匕=2,求銳角A/IBC的周長的取值范圍.

【答案】(I)選①?③，答案均為;

⑵(2+273,6]

【解題思路】(1)選①，由正弦定理得到。2+/-爐=。的利用余弦定理得到8=3選②，利用恒等變

換得到sin(28-9=1,結合0<8<n,求出8=去選③，由正弦定理和三角恒等變換得到tanB=b，

求出答案；

(2)由正弦定理得到a==拶sinC,變形得到△48C的周長以詆=2+4s\n(A+力，利用△48C

33\6/

是銳角三角形，所以5<力<￡結合正弦曲線求出取值范圍.

62

【解答過程】(I)選①，由(sin/1—sinC)sinG4+B)=siM/l—siMB,

可得(siru4—sinC)sin(4+B)=(sin/1—sinB)(sir)i4+sing),

因為4+B+C=五及正弦定理，可得(a-c)sinC=(a-b)(sia4+sinfi),

所以(a—c)c=(a—b)(a+b),整理得a?+c2-b2=ac,

則cosB=°-"=L,因為OvBvm所以B=E；

2ac23

選②，由VSsin8cos8-]cos2B=1,可得V5sin2B-cos2B=2,

即sin(28—§=1,

因為0<B<n,可得一？v2B—?v2n,所以28一3=;即B=%

666623

選③，由bcosC=a——csinB,由正弦定理得sin8cosc=sinA--sinCsinB,

33

即sin8cosc=sin(8+C)-gsinCsinB,

UPsinBcosC=sin8cosc+cosBsinC-"sinCsinB,

整理得sinC(cosB一號sin8)=0,

第13頁共15頁

因為0<C<n,sinC>0,可得cos8一:sinB=0,

即tanB=J5,因為0VB<TT,所以8二二

3

(2)由B=pb=2,可得，_=上==這

sin4sinCsinB3

故a=竽sinA,c=竽sinC,

所以周長[△48c=a+b+c=2+：(sin/l+sinC),

又由/l+8+C=n,可得力+。二不,

4V3475c”)]

I^ABC=2+—(sin力+sinC)=2+sin/l+sin

o3

4返/x/31\4A/3/3V3

=2+——Isin?l+—cos4+-sin/lI=2+——I-sin/14-—cosA

o\乙乙/?、乙乙

=2+殍?代sin(4+勺=2+4sin(4+已)，

又因為△/18C是銳角三角形，所以0V/1V；,0<c<

即OVAV(0<y-^<p解得汴4<會

可得；VA+汴手所以日vsin(4+JW1,

所以2+2V5V2+4sin(4+JW6,

所以△48C的周長的取值范圍為(2+2V3,6],

19.(17分)設平面內兩個非零向量而，五的夾角為氏定義一種運算“區T：萬⑥元=|訪||宿sin。.試求解下

列問題：

⑴已知向量落百帝足五=(1,2),向=1,a-b=2,求五G)B的值；

(2)①若石=b=(x2>y2)?用坐標%i，%，%2,均表示&區)9；

②在平面直角坐標系中，已知點4(2,1),夕(一1,2),C(0,t),△旗。的面積為(求t.

⑶，知向量日=(焉