直線與圓的新定義問題（原卷版）

2.9專題：直線與因的新定義問題

模塊一：題型分類...................................................2

題型一：阿波羅尼斯閱............................................2

題型二：歐拉線..................................................3

題型三：歐式距離................................................4

題型四：切比雪夫距離............................................4

題型五：費馬距離................................................6

題型六：閔可夫斯基距離..........................................7

題型七：曼哈頓距離..............................................8

2.9專題：直線與因的新定義問題

模塊一：題型分類

題型一：阿波羅尼斯圓

1.阿波羅尼斯是古希臘數學家，與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時期數學三巨匠.”阿波羅尼斯圓”

是他的代表成果之一：平面內到兩個定點的距離之比為常數MA=1)的點的軌跡是“阿波羅尼斯圓〃.已知曲

線C是平面內到兩個定點(-1,0)和。0)的距離之比等于常數朝勺隼可波羅尼斯圓〃，則下列結論中正確的是

()

A.曲線C關于％軸對稱B.曲線。關于'軸對稱

C.曲線。關于坐標原點對稱D.曲線C經過坐標原點

2.古希臘數學家阿波羅尼斯(約公元前262?公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代數學的重要成

果，其中有這樣一個結論：平面內與兩點距離的比為常數/IQ工1)的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波

羅尼斯圓，已知點。(0,0),4(3,0),動點2(工))滿足瞿=；,則點。的軌跡與圓。:(％-1)2+y=1的公切

線的條數為.

3.占希臘著名數學家阿波羅尼好與歐幾里得、阿基米德齊名，他發現：平面內到兩個定點4B的距離之

比為定值入(入>0且入。1)的點所形成的圖形是圓，后來，人們把這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅

尼斯圓，簡稱阿氏圓.己知點M(x,y)到兩個定點71(1,0),8(-2,0)的距離之比為2,則七■的取值范圍為.

4.公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中證明了平面內到兩定點距離之比為常

數k(k>0,kw1)的點的軌跡是圓，這個圓被稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標系xOy中，N(0,0),M(3,0),

動點。滿足第=2,設動點Q的軟跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

⑵直線+my+m=0(m6R)與曲線C交于力,B兩點，若mW{-1,0,1},從中任選一個m值，求此時相

應的弦長

題型二：歐拉線

1.歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這

條線稱之為三角形的歐拉線.已知4(0,2),8(4,2),。(。,一1),且448。為圓式2+、2+&+口=0內接三

角形，則△4BC的歐拉線方程為.

2.數學家歐拉1765年在其所著的《三角形兒何學》一書中提出：任意三角形的外心、垂心、重心在同一條

直線上，后人稱這條直線為歐拉線.己知△A8C的頂點力(2,0),8(0,4),若其歐拉線的方程為％-y+2=0,

⑴求三角形ABC外心。的坐標；

(2)求頂點C的坐標.

3.瑞士著名數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位J?同一直線上，這條直線被后

人稱為三角形的“歐拉線〃.在平面直角坐標系中，△ABC滿足4。=8酊頂點力(-1,0)、8(1,2),且其“歐拉

線"與圓M：(x+5)2+y2=r2(r>0)相切.

⑴求△力BC的“歐拉線”方程；

⑵若圓M與圓“2+(y-a)2=2有公共點，求a的范圍.

4.平面幾何中有一個著名的定理：△4BC的三條高線的垂足、三邊中點及三個頂點與垂心連線段的中點

共圓，該惻稱為△ABC的九點圓或歐拉圓，若力(一2,1),8(4,1).△ABC的垂心為G(3,3),則△48C的九點

圓的標準方程為.

題型三：歐式距離

1.函數/(x)=Jx?+2x+5+Vx2-6x+IO的最小值是.

2./(x)=VX2+2X+2+Vx2-4.r+8的最小值為.

3.4X,刃=&+),2+J(x+])2+y+J(27)2+(…)2+商+(2+?,其中一14x?2,-4<^<0,貝IJ

二元函數/(XJ)的最小值為

4.函數/(x)=J(x_iy+9+J(X-5)2+4的最小值為.

5.求函數/(X)=’(人_1)2十9_J(1_5)2+4的最大值,

6.求函數/(x)=—+9+J(x-5『+4的最小值.

題型四：切比雪夫距離

1.我們知道距離是衡量兩點之間的遠近程度的一個概念.數學中根據不同定義有好多種距離.平面上，歐幾里

得距離是力(演,乂)與雙孫必)兩點間的直線距離，即dAB="理f+Sf)2?切比雪夫距離是力(演，乂)

與4(/，為)兩點中橫坐標差的絕對值和縱坐標差的絕對值中的最大值，即乙夕=max｛卜-XZIJX-JAI｝.已知

產是直線/：2x+)，-15=0上的動點，當尸與O(O為坐標原點)兩點之間的歐幾里得距離最小時，其切比

雪夫距離為.

2.在平面直角坐標系中，定義"(匕A)=max｛卜-X2|，|必-必|｝為兩點租不,)、鳥(馬，必)的"切比雪夫距

離”.若點P到點(2014,2015)的切比雪夫距離為2,則點尸的軌跡長度之和為.

3.在平面直角坐標系也定義d(43)=max｛,一與卜,「乃1｝為兩點力(西,必)、/々,外)的“切比雪夫距離”，

又設點P及/上任意一點。，稱"(P，。)的最小值為點P到直線/的“切比雪夫距離"記作"尸，/)，給出下列四個

命題：

①對任意三點4民。，都有d(GQ+d(C5"d(有B'

②已知點尸(3,1)和直線/:2工—)，-1=0,則"(P,/)=1；

③到原點的“切比雪夫距離”等于1的點的軌跡是正方形；

其中真命題的是()

A.①②B.②③C.①③D.①②③

4.在平面直角坐標系中，定義"(48)=max｛|再一電|,|乂-乃1｝為兩點直演，必)、

8(孫力)的“切比雪夫距離”，又設點尸及/上任意一點。,稱或尸，。)的最小值為點尸到

直線/的“切比雪夫距離〃，記作刈PJ),給出下列三個命題：

①，對任意三點A、B、C,都有八C,/0+"(C,A)之"(44)：

-4

②己知點？(3,1)和直線/:2x-y-l=0,則"(P,/)=!；

③定點￡(一。,0)、居9,0),動點P(x,P)滿足|d(R￡)-d(P，K)l=2a(2c>2a>0),

則點P的軌跡與直線N=Z(%為常數)有且僅有2個公共點；

其中真命題的個數是

A.0B.1C.2D.3

5.在平面直角坐標系中，定義d(4,8)=max｛區-乂-必1｝為兩點4%，必)，仇憶，乃)的"切比雪夫距

離”.又設點夕及/上任意一點0,稱，(P,(?)的最小值為點P到直線/的“切比雪夫距離〃，記作d(P,

/).給出下列四個命題：①對任意三點4B,C,都有d(CM)+d(C,8)24(48)；②已知點尸(3,1)

和直線八2%-)，-1=0,則d(P,/)=g；③到原點的“切比雪夫距離〃等于1的點的軌跡是正方形.其中正

確的序號為.

6.在平面直角坐標系中，稱d5、Q)為點P、。兩點間的距離，若d(P,0)滿足下列三個性質；(1)

非負性：d(P,0"O;(2)對稱性：d(P,Q)=d(Q,P)；(3)三角不等式:d(R,性)+d但,〃)Nd(4,切.設

點A值,必)、￡(卬力)、AG3M，則下列能夠作為距離公式的有.

22

?</(/>,/>)=7(X,-X2)4-(^,-J；2)；

②d化，2)=歸一百+|乂一刑|；

③"(耳閭=max｛卜-司,|凹-乃|｝；

④"(％2)=min｛卜一與|，|乂一必1｝.

7.在平面直角坐標系中,定義d(46)=max｛|x-占乂-%|｝為兩點彳(和必)、B(x29y2)的“切比雪夫距離"，

又設點P及直線/上任一點Q,稱"(尸，。)的最小值為點P到直線/的“切比雪夫距離"，記作d(P,l).

(1)求證：對任意三點A、8、C,都有d(4C)+d(C,8)Nd(,4,8)；

(2)已知點尸(3,1)和直線/:2x-y-l=0,求d(PJ)；

(3)定點C(Xo，N),動點PQ,y)滿足d(GP)=r(廠>0),請求出點P所在的曲線所圍成圖形的面積.

題型五：費馬距離

1.以三角形邊〃C,CA,48為邊向形外作正三角形4CH,CAB',ABC,則力H,BB',CC'三線共點，

該點稱為ABC的正等角中心.當小4。的每個內角都小于120例，正等角中心點尸滿足以下性質：

(1)LAPB=LAPC=ABPC=120°；(2)正等角中心是到該三角形三個頂點距離之和最小的點(也即費

馬點).由以上性質得，性+(y-始+5+3++*-2『+J，？的最小值為

2.點M是\ABC內部或邊界上的點，若M到A48C1三個頂點距離之和最小，則稱點V是MBC的費馬點(該

問題是十七世紀法國數學家費馬提出).若力(0,2),5(-1,0),。(1,0)時，點％是A48C的費馬點，且已

知％在V軸上，則|4%|+忸%卜|。%|的大小等于.

3.以三角形邊AC,CA,*3為邊向形外作正三角形4cH,CAB',ABC1,貝。H，BB\CC'三線共點,

該點稱為的正等角中心.當力8C的每個內角都小于120的，正等角中心點。滿足以下性質：

（1）Z.APB=Z.APC=Z.BPC=120°：

（2）正等角中心是到該三角形三個頂點距離之和最小的點（也即費馬點）.

由以上性質求y]x2+（^-1）2+Jx?+（y+l）2+yl（x-2）2+y2的最小值.

4.費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點，當三角形三個內角均小120。時，費馬點與三

個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對三角形三邊的張角相等，均為120。.根據以上性質，

已知4—2,0）,8（2,0）,C（0,4）,P為8c內一點，記/（P）=|P/|+|P8|+|PC|,則/（尸）的最小值為（）

A.2x/3B.4+2有

C.4+GD.2+V3

題型六：閔可夫斯基距離

1.（多選）閔可夫斯基距離又稱為司氏距離，是兩組數據間距離的定義.設兩組數據分別為/=（4,生，…，牝）

1

和8=（%也，…也），這兩組數據間的閔氏距離定義為九何）=恪?_/城"，其中夕表示階數.下列命題

中為真命題的是（）

A.若力=（1,2,3,4）,3=（0,3,4,5）,則“⑴=4

B.若4=（a,a+l）,3=（6-若）,其中a,beR,則%。）=力42）

C.若A=（a.b）,B=（c,d）,其中a,h.c,dGR.則“田⑴之⑵

D.若力=（凡"），B=其中小heR,則"伯（2）的最小值為書

8

2.閔可夫斯基距離又稱為閔氏距離，是兩組數據間距離的定義.設兩組數據分別為/=（%,%，…4）和

8=（4也,…也），這兩組數據間的閔氏距離定義為"其中9表示階數.現有下列四

個命題：

①若A=（1,2,3,4）,8=（0,3,4,5）,則dAB（\）=4；

②弟/=（〃,〃+1）,/?=（〃-1/），其中sR,貝心〃"⑴二血式?）：

③若力=（a,b）,8=（c,d）,其中a,b,c/eR,則".0）2%式2）：

④若4=（j2"=（力力—1）,其中q/cR,則“（2）的最小值為逆.

8

其中所有真命題的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

3.在直角坐標系X0F中，已知點力（須,必），B（x2,y2）,記4，（46）=佃-.寸+|必-乃「），其中〃為正整數,

稱0（48）為點A,8間的M距離.下列說法正確的是（）.

A.若4（0,力=1,則點A的軌跡是正方形

B.若4（48）=4（48）,貝JA與8重合

C.4（48”?（48）

D.出（48）?4（48）

題型七：曼哈頓距離

1.”曼哈頓距離”是十九世紀的赫爾曼?閔可夫斯基所創，定義如下：在直角坐標平面上任意兩點力（“i，y］）,

8（切,丫2）的“曼哈頓距離”為d（48）=I%1-X2I+卜1一%1，己知動點N在圓％2+y2=16上，定點M（4,5）,

則M,N兩點的“曼哈頓距離”的最大值為.

2.十九世紀著名德國猶太人數學家赫爾曼閔可夫斯基給出了兩點。（工2，月）的曼哈頓距離為

。1：尸,。）=,「々|+瓦-村.我們把到三角形三個頂點的曼哈頓距離相等的點叫“好點〃，已知三角形

的三個頂點坐標為4（2,4）,8（8,2）,。（12,10）,則的“好點”的坐標為（）

A.（2,4）B.（6,8）C.（0,0）D.（5,1）

3「每哈頓距離”是卜九世紀的赫爾屈?閔可夫斯基所創詞匯?其定義如下：在苜角坐標平面卜仔意兩點

力（七,必）,8（9,乃）的曼哈頓距離“44）=四-即+|凹-為|，則下列結論正確的是（）

A.若點尸（2,4）,0（—2,1）,則“P,0）=6

B.若點M（TO）,N（1,O）,則在x軸上存在點尸，使得d（P,M）+d（P,N）=l

C.若點M（2,l）,點尸在直線x-2y+6=0上，則d（P,M）的最小值是5

D.若點M在圓/+/=4上，點N在直線2x-y+8=（）上，則“M,N）的值可能是4

4.人臉識別，是基于人的臉部特征信息進行身份識別的--種生物識別技術.在人臉識別中，主要應用距離

測試檢測樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.設力a，必），川吃,外）,則

曼哈頓距離d（48）=ki-到+|乂一凹|，余弦距離e（48）=l-cos（48）,其中cos（48）=cos（O4。@（。

為坐標原點）.已知"（2』），d（%N）=l,則e（",N）的最大值近似等于（）

（參考數據：夜之1.41，石=2.24.）

A.0.052B.0.104C.0.896D,0.948

5.對于平面直角坐標系內任意兩點4（.盯,〃），8（.丫2,》2）,定義它們之間的一種“新距離":||力8||=|x?-x/|+|y2-y/|.

給出下列三個命題：

①若點C在線段AB上，則||/C||+||CA||=||；

②在△44c中，若NC=90。,則||EC||2+||C8||2=||C5||2；

③在△力8c上，|HC||+||C5||>||J5||.

其中的真命題為（）

A.①③B.①②C.①D.③

6.在平面直角坐標系中，定義"（48）=|$721+1%-先1為兩點4（外方）、8（孫力）的"切比雪天距離"，又

設點尸及直線/上任意一點Q,稱"（尸，。）的最小值為點P到直線/的"切比雪夫距離"，記作d（及/）,給出下

列三個命題：

①對任意三點