高中數學必修第2冊期中測試卷（解析版）

期中測試卷

姓名：考號：分數：

(考試時間：120分鐘滿分：節。分)

一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的)

I.己知向量〃=(1,2x),B=(0,2),則竽的最大值為()

a

A.2>/2B.2C.V2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】

根據題意可得J=分xWO和x>0兩種情況討論，結合基本不等式即可得出答案.

a4廠十1

【詳解】

解：由向量。=(1,2])，/?=(0,2),

當xK()時，一？—0?

a

-a-b-=--4-.-v-=---4--,<-4-,—=,I

當4>0時，74/+14舊2卜.「'

當且僅當4x=,，即x時，取等號，

XZ

綜上4g的最大值為1.

故選：D.

2.已知在△ABC中，a、b、。分別為角A、B、C的對邊，則根據條件解三角形時恰有一

解的一組條件是()

A.a=3,Z?=4,A=gB.a=4,b=3,A=—

63

2〃

C.a=\,b=2,A=—D.a=2,0=3,A=—

43

【答案】B

【解析】

【分析】

利用正弦定理求出sinB的值，結合大邊對大角定理可判斷各選項.

【詳解】

對于A選項，由正弦定理可得inA_4x±_2且人“，故△48C有兩解；

a33

2&L

對丁B選項，由正弦定理可得.AsinAx23&,且入va,故aABC只有

sinB=-----=-----=---<sinA

a48

一解：

2XV2

對于C選項，由正弦定理可得.?bsinAn1，故△A8C無解；

sinB=------=-----=v2>1

a1

對于D選項，因為A=?，則角A為△AfiC的最大內角，且avb,故無解.

故選:B.

3.△A5C中，AB=26，AC=5,過點A作邊3C的垂線:垂足為〃，若A〃=4,則4分.K=

()

A.10B.12C.-10D.-12

【答案】A

【解析】

【分析】

以“為原點，建立平面直角坐標系，分別求出A8,C三點的坐標，從而可得而，正的坐標,

再根據數量積的坐標表示即可得解.

【詳解】

解：以〃為原點，建立平面直角坐標系，可知4(0,4),由：

HB=>1AB2-AH1=2?HC=\lAC2-AH2=3-

所以8(—2,0),C(3,O),又4(0,4),故池=(—2,-4),AC=(3,-4),

所以八月前=-6+16=10.

故選:A.

)

A.實軸上B.虛軸上C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分^5】

利用復數的乘法及除法運算可得三m=-2i,即得.

z

【詳解】

;復數z=l+i,

.zz-2i_(l+i)(l-i)-2i_2-2i_2(l-i)2_

??一==~7"?r=-21,

z1+i1+i(l+i)(l-i)

工在復平面內表示復數三二的點位于虛軸上.

z

故選：B.

5.軍的共規復數為()

1+21

【答案】C

【解析】

【分析】

先用復數除法公式求出涪=士之，進而求出目的共挽復數.

1+2151+21

【詳解】

2-5i(2-5i)(l-2i)2-4i-5i-10-8-9i皿2-5i)"十…”“89.

.~~衣~7~一；一，則~——的共規復數為一彳+：.

1+21(1+21)(1-21)551+2155

故選：C

6.三棱錐P-/WC的底面48C是邊長為3的正三角形，E4=3,P8=4,PC=5,則三棱錐

P-A8C的體積等于()

A.>/nB.2X/F7c.—\/HD.—VTI

【答案】A

【解析】

【分析】

將三棱錐尸-A3C翻轉為A-BC尸,確定頂點A在底面PBC的射影為△P3C斜邊PC的中點,

利用勾股定理求出4”，然后由三棱錐的體積公式即可求解.

【詳解】

解：將三棱錐尸-A8C翻轉一下，如圖所示，

因為8C=3,P8=4,PC=5,所以8c2+依2=八72,所以△國。為直角三角形,

由斜線長八代AC,人及相等，則射影長相等，可得點A在平面P8C內的射影〃為直角三角形

P8C的外心，

所以〃為直角△依C斜邊CP的中點，且Ah_L平面P8C,則A"為三棱錐的高，

由勾股定理可得AH=百一爭=浮，

所以三棱錐P-ABC的體積匕>_樹=匕-形=^5次「，AH=gx/x3x4x=VTT.

故選：A.

7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()

2

21

正視圖惻視圖

a

俯視圖

421

A.-7iB.nC.-7TD.-n

333

【答案】C

【解析】

【分析】

根據三視圖還原幾何體的結構，由此計算出幾何體的體枳.

【詳解】

由三視圖可知，該幾何體是由半個I員I柱，挖掉半個圓錐所得，如圖，

所以幾何體的體積為:兀x/x2X：7TX/X2=?.

44JJ

故選：C.

8.如圖，矩形ABC。是圓柱的軸截面，若E,產分別為A3與線段8c的中點，圓柱的母線

為4,側面積為8房,則異面直線即與AC所成角的余弦值為（)

9x/30

A.-r

36D?i

【答案】C

【解析】

【分析】

如圖，取48的中點。，連接。￡。尸，則可得NO總是異面直線￡7：與AC所成角，然后在

△。莊中求解

【詳解】

如圖，取A8的中點0,連接。旦。尸，

因為尸是4C的中點，

所以OP//AC,

所以NO正是異面直線EF與AC所成角，

因為圓柱的母線為4,側面積為8萬，

所以4x乃?A8=8/r,所以A4=2,

所以。尸=而否薩=?^=石，

因為4c垂直于底面，0E在底面內，所以4C_LO￡,

因為石為AB的中點，所以OEJ?人4，

因為8nBe=8,所以OE_L平面ABCO,

因為OFu平面A8CD,所以O/_LOE,

所以EFZOE;OF?=4^=瓜

所以85/。左="=岑=叵，

EF766

所以異面直線EF與AC所成角的余弦值為邈,

6

二、多選題(本大題共4小題，每小題5分，部分選對得3分，有選錯得。分，共20分)

9.已知平面向量1=(1.2),/；=(-2,-1),則下列命題中正確的有()

血

A.a>bB.k+4=

C.aLbD.cos(a,〃)=——

5

【答案】BD

【解析】

【分析】

由向量的定義判斷A,由碳的坐標表示求出模判斷B,根據垂直的坐標表示判斷C,由數量

枳求得向量的夾角余弦判斷D.

【詳解】

對于A,由于向量不能比較大小，故A錯誤；

對于B,+6=Ap+S|=7(-l)2+l2=>/2,故B正確；

對于C,???"B=lx(—2)+2x(—l)=-4。。，不成立，故C錯誤；

ab1x(—2)+2x(-1)4

R=雨=一逐—―二一丁故口正確?

故選：BD.

10.關于復數z=-(i為虛數單位)，下列說法正確的是()

22

A.|z|=1B.z+z2=-1C.r?=-1D.(z+l)3=i

【答案】AB

【解析】

【分析】

根據復數模的計算公式求得復數的模，可判斷A;根據復數的乘方運算可判斷B,C,D.

【詳解】

由復數z=—g+^i,可得|z|=J(—g)2+(￥)2=l,故A正確：

z+z、」+正i+（」+爭T+孚-巖i=「故B正確:

222

Z=（十爭）（手亭）*）2—（爭產=1,

故C情誤;

(Z+l)3=(Z+l)2(Z+l)=(g+*i)2(；+李i)=(-g+乎i)g+與=-1,故D錯誤，

\/

故選：AB.

11.如圖，在直四棱柱人8。力-人蜴如。中，底面A3c。是正方形，AB=\,M=g，若

>4P=AAG2G[()J],貝lj()

A.當時，RPLAGB.四棱錐尸-8BCC體積的最大值為6

C.當平面截直四棱柱所得截面面積為?15時元=33D.四面體

84

4G。。的體積為定值

【答案】AD

【解析】

【分析】

根據給定條件逐一分析各個選項，再推理、計算并判斷作答.

【詳解】

在直四棱柱ABC。一AjBCA中，底面48CD是正方形，AB=\.人4=石，

對于A,當％=；時，點尸為線段4C中點，連。P,AG，如圖，

DPIAC,而。。，平面A8CD,ACu平面ABC。，則AC_L。2,又DD、cDP=D,

DD「DPu平面DRP,

則有AC_L平面。力/，而O/u平面DRP,于是得。/1AC,又對角面ACGA是矩形，

即AC/M1G,所以〃P_LAG，A正確；

依題意，平面BCC4,而點P在ACI-.,則點尸到平面8CC4距離的最大值為加=1,

而矩形BCGe面積為BCBBI=6,所以四棱錐尸體積的最大值為亭，B不正確;

對于C,當義二：時，點P在AC上靠近點C的四等分點，平面尸與口截直四棱柱

4

48C。-44Goi所得截面為等腰梯形4RE?，如圖，

私然EFHB\D\HBD,則E產=380=字，與尸=8乃?+8F?=(6尸+二?,

等腰梯形4AE廠的高仁也產（B\D「EF）2

等腰梯形BQIEF的面積3=EF+BR.4=述、逑=生，

2448

isI3

由幾何體的對稱性知，當平面，42截直四楂柱所得截面面積為?時，％=:或義=7.c

844

因AC〃平面AG。，則點尸到平面ACQ的距離等于點A到平面AG。的距離,為定值,乂

△AG。的面枳為定值，

所以四面體AGOP的體積為定值，D正確.

故選：AD

【點睛】

方法點睛：作多面體截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法,

截面與幾何體的兩個平行平面相交，

或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個

點在幾何體的同一平面上.

12.已知〃?，〃是兩條不同的直線，。，夕，7是三個不同的平面.下列說法中正確的是

()

A.若〃mu。，a(\p=n,則6〃〃

B.若，〃〃〃，tn//a>則nIIa

C.若ac0=n,aly,,則

D.若〃?_La,m上R,a〃y,則尸〃7

【答案】ACD

【解析】

【分析】

對A,由線面平行的性質可判斷正確；對B,可能存在〃ua,對C,由面面垂直的性質可

判斷正確；對D,由垂直和平行的性質可判斷正確.

【詳解】

對A,由線面平行的性質可知，直線平行于已知平面，則直線平行于過該直線的平面與己知

平面的交線，故A正確；

對B,當〃ua,不滿足命題，故B錯誤；

對C,如圖所示，Puy,作PMiOM、PN工ON,

因為a_Ly,pVy,aC\y=OM^r\r=ON,所以/W_L°,PN_L￡,

又因為〃c/?=〃，所以〃例因為PMcPN=P,所以〃_Ly,故C正確：

X'JD,因為m_La,triA.p,所以“〃又a〃7,則［〃7,故D正確.

故選：ACD

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知菱形A8c。的邊長為2,E是8C的中點，則荏.雨=.

【答案】-3

【解析】

【分析】

利用平面向晟的線性運算，將其上質轉化為進而求得答案.

【詳解】

依題意=ED=EC+CD=-BC+BA=-AB+-AD因為菱形

2222t

22

A3CO的邊長為2.所以4方=-AB=-X22-22=-3.

44

故答案為：-3.

14.已知平面向量ZB的夾角為?，滿足口+4=1.平面向量之?在上的投影之和為2,則

r1rir

c_6的最小值是

4J

［答案］4、-二

6

【解析】

【分析】

設向量Z,坂的單位方向向量，用所設的單位向量作為基底，表示出已知條件，進而表示出

r1rir

c--a--b,繼而求得答案.

【詳解】

設與￡方向相同的單位向量是"，且3=241,4>0，

設與否方向相同的單位向量是工，且5=34匕4>0,

XC=/Z1M+XZ2V.注意到<〃/>=?.

1=口+邛=（24￡+34］=>4#+9#+6/4=1,

4

2=C-M+C-V=<??(?+vj=+vj=M+〃2=3,

v|c-1a-拘=|(M+42萬)-人/-入2訓=13-A1)U+伽2-入2)訃

442+9#+644-1=0

4

???伊+〃2_§=0

=」(〃|-4)~+(〃2一否)2+(4-4)(〃2一4)

設丁=(4-4)+(外-4)+(必一4)(4一小)+4(4年+9/+644-1)+4(M+〃2-g

,內=2QI—入1)+3-a2)+匹=o(1)

[九2=23—入2)+3-入1)+^2=0(2)

4=-2(A|)-(^2-Aj)+^1(8A+6/?2)=0⑶

y\=-23-4)-(4-為+①(184+64)=0(4)

442+9后+644=1(5)

4+〃2=§⑹

(1)與(2)聯立得：〃[-4=〃2-4(7)

(3)與(4)聯立得:4=64⑻

將⑻代入⑸中得:

_5+4何_4X/2T-5

-42二入1一入2二與(6)聯立得:

2VF89，//2-2x/189

對應廣整包,-1-1J45/3-5/7

c——a——b\=------------

23I6

故答案為：4

15.已知兔數〈人滿足㈤=3,同=1,若4和人的幅角之差為A，則

【答案】典

13

【解^5]

【分析】

分別設馬=3(cosq+isin，J,z2=cos6>2+isin^,,可得'=3[cos(4-a)+isin(a-2)]，

由題意可得a-a=弓或a-a=-g,即可得且，再代入計算即可

3322ZE

求解.

【詳解】

因為團=3,優|=1,設4=3(cos〃]+isin〃J,z2=cos6^2-isin6^2,

43(cosq+isin〃J3(cos^1+isin^)(cos^2-isin0>)

所以z2cos02+isin^2(cos+isin^2)(cos02-isin^2)

3[cos8]cos%+sin^sin^:+i(sin^cos^2-cos^sin^2)]

cos2a+sin2a

=3[cos(q-q)+isin(a-幻]

4—2

Z1+Z2

由題意可知a-4=5或a一名=一方，

xizcc九nI-Z[CIt??713315/3.

時，_=3^-+^-^=-+—1,

綜卜.所述:

Zi+z213

故答案為：回.

13

16.如圖，矩形。A9C'是平面圖形OMC斜二測畫法的直觀圖，且該直觀圖的面積為8,

則平面圖形OABC的面積為.

【解析】

【分析】

根據直觀圖形和原圖形面積之間的比例關系求解即可.

【詳解】

根據直觀圖與原圖的面積比值為定值正，可得平面圖形。"。的面枳為Q=16立

4T

故答案為：16&.

四、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程)

17.已知△/"(?的內角A,B,。的對邊分別為。，b,c,向量4=(G〃)，

.{cosC-^,sin/lj,且,區.

⑴求角C;

(2)若ccosB+〃cosC=I,且A=[,求8c面積S.

4

【答案】(嗚

⑵

8

【解析】

【分析】

(1)利用]||不及正弦定理得到sinC=75cosC,直接求出角C；

(2)先由余弦定理求出。=1,再由正弦定理求得。=坐，直接利用三角形的面積公式即可

2

求解.

(1)

，(、\

因為向量弓二(c,4)，4=COSC--,sinA,且力伍.

\I。/

所以，csinA=acos不

6

由正弦定理得：sinCsinA=sinAcos^C--^1,

VsinA0,sinC=cos!C--cosC+-sinC,

I62

sinC=>/3cosC>tarC=V5?

V()<C<^,:.c=~.

3

(2)

2:2222

D.「a+c-b.a+b-c..1

ccosB+/7cosC-c----------+b-----------=1????=!,

Iciclab

c_兀.冗n57r

又C=TA="得人可

R

.4.乃得c

由正弦定理;sin—sin—

432

,1,.5乃.7171.7171力■.乃>/6+N/2

由sin——=sin—+—=sin—cos—4-cos—sin—=

12146J4646~1~

所以S=Ocsimklx?旦=源.

22248

18.已知在AABC1中,角A,己C所對的邊分別為a,b,c,且。=1,

cos8sinC+(2sinA-sinB)cos(^-C)=0.

⑴求角。的大小：

(2)若b=求tan8的值.

【答案】(l)C=g

(2)tanB=

【解析】

【分析】

(1)利用誘導公式和兩角和的正弦公式可得cosC=；,從而可求。=5.

(2)利用正弦定理可得sin(亨-B)=3sin/3,利用兩角差的正弦化簡后可得tan8=].

(I)

因為cos8sinC+(2sinA-sin8)8s(乃一C)=0,

所以cos8sinC+sin88sC-2sin4cosc=0,

所以sinA-2sinAcosC=0,而A為三角形內角,所以sinA>0,

所以cosC=g,二。是三角形內角，??.C=!\

(2)

b_a_3b

C=-.a=3b,由正弦定理可得sinB-sinA一.(2兀心,

5I3)

可得sinfj■-8=3sinB,所以正■cosB+'sin8=3sin8,即tan5=3.

I3J225

19.已知復數馬=-'-五i,復數Z2的實部等于馬的虛部，Z2的虛部等于Z1的實部，求復

22

數4

【答案】Z,二-直二i

?22

【解析】

【分析】

由復數Z|=-g-#i,寫出實部，虛部，即可得復數Z2.

【詳解】

由復數4=」-且i,實部為-!，虛部為-當，設復數Z2=〃+*所以4=_且力=二

222222

所以z,=-正—』i.

-22

20.(1)己知4=4,z2=4i,23=-2+4i,4=-4+3i.問以上4個復數對應的點是否在同一

個圓上？

(2)設/=一,一正i.

22

(i)求〃，1；

(ii)I+ft?+'+???+(o~~?

【答案】(1)四點不共圓；⑵(i)1=」+且j,加=1;(ii)1-^i.

2222

【解析】

【分析】

(1)根據復數的幾何意義，求得四個復數對應的點的坐標，結合圓的方程，即可求解;

(2)(i)根據復數的運算，準確運算，即可求解；(ii)根據”的周期性，即可求解.

【詳解】

(1)由題意，復數Z1=4,z2=4i,z、=-2+4i,z]=-4+3i,

根據更數的幾何意義，可得復數對應的分別為Z.(4,0),4(0.4),4(-2,4),Z4(-4,3),

設經過三點Z,(4.0),Z2(0,4),Z3(-2,4)的圓的方程為犬++/%+砂+尸=(),

16+4x+/=0

可得《16+4y+F=0,解得￡>=1,E=1,/=-24,

4+16-2x+4y+F=0

所以圓的方程為/++2刀+2)，-24=0,即(x+1/+()：+1)2=26,

其中點Z,(-4,3)不適合圓的方程，即點Zj不在圓上，

所以四點Z“Z2，Z3,4不共圓.

22

(2)由/=一>!--直i,可得32=(一_L-^i)=_L_2j_2x—i=---+—i,

222244422

,2,?>/3.vi6、i75.73.3.2.

22224444

貝lj啰卜士=0,

乂由(j/=—―---i,695=--H——i,<y6=1,???>

2222

可得蘇川+蘇"2+濟“+3=0,且“是以」一走入」+且i』為周期的循環，

2222

所以1+3+3?++…+療2=1+0x7+勿=1一'一3i二：一走i.

2222

21.在直棱柱48co-AQCR中，AAI八力,4/)/〃?右,其中人8===2,

12

4A=2及，點”在。。上，且。加=2加0,延長8M至E使得8M

⑴求證：CD1BE；

(2)求B到平面CDE距離.

【答案】(1)證明見解析

⑵2

【解析】

【分析】

（1）在直角梯形A8CD中，求得OC=2上,得到。力_L8。，再由。〃，平面A8C。，證得

DDJCD,利用線面垂亙的判定定理證得CQ_L平面4DR,進而證得CQ_L8E；

（2）由（1）得CO_L平面得到點E到直線8Z）距離為求得匕“/%，設點3到

平面8E距離為人,結合VB_CDE—VJBDE，即可求解.

（1）

證明：在百.角梯形A8CD中，有BD=2衣BC=4,NDBC=45’,

py

所以OC?=BD2+BC2-2BD-BCcos45°=（2夜）？42-2x2x/2x4x—=8,

+2

所以。C=2上，

可得/+5=8。2,所以CQ_LBO,

又因為DRJ.平面A6CZZ且COU平面AHC。，所以。自_LC。，

乂由。RIBD=D,所以CQ_L平面BOR,

因為BEu平面8。已，所以CD上BE.

（2）

12

由（1）得COJL平面4OE,且。

所以點E到直線3。距而為近，且5△皿=宗2&*&=2,

所以％-初￡=gx2x2a='^^

在△/?/）￡中，因為BD=,lanNMBD=^=；,可得cos/MBO=^^,

BE=15M=|^（2V2）2+（^^7=V20，

DE=JBD?+BE?-2BD8￡cos4MBD=2,

由（1）知C￡）_L4￡,故$8E=-XDEXCD='X2必2=2叵,

AL“a

設點。到平面CDE距離為/?,則％_4把=謔=工、27^,解得〃=2,

V-OIxo

所以點B到平面CDE距離為2.

22.如圖，三棱柱ABC—A4G中，底面為正三角形，AAJ平面4&7,且9=46=2,D

是8c的中點.

（1）求證：平面AOG_L平面。CG；

⑵在側棱CG上是否存在一點E，使得三棱錐C-AOE的體枳是:，若存在，求C石長；若

4

不存在，說明理由.

【答案】（1）證明見解析

⑵存在，正

2

【解析】

【分析】

（1）由線面垂直的判定定理得到AO_L平面。CG再由面面垂直的判定定理可得答案；

（2）利用等體積轉換％_皿=/_皿可得答案.

（I）

三棱柱48C—A片G中，AA_L平面48C,則AO_LCG，

???底面為正三角形，且。是3c的中點，則AO_L8C,

Q8CICG=。，則AO_L平面OCG，

（5人。<=平面人。。|,「.平面/\。。］，平面。。。］.

（2）

^C-ADE=^E-ADC，

???底面為邊長為2的正三角形，。是3c的中點，.?.AO=6，

.2AM=；X1X>/5=等，.,.VE-ADC=3XS&AOCXCE="解得CE=^^，

即CEvCG=2,

???在側棱CG上是存在一點￡,旦。石=立，使得三棱隹C-AOE的體積是!.

24

綜合測評

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中.只有一項是符合

題目要求的.

1.己知a=（l「2）,b=（-2,〃?）,若a_L（a+2b）,則實數m的值為（）

11

A.GB.oC.lD.2

2.若|z-l|=|z+1|,則復數z在復平面內對應的點在（）

A.實軸上B.虛軸上

C.第一象限D.第二象限

3.如圖，在三棱錐D-ABC中/。=皿,且ACLBD^F分別是棱DC.AB的中點，則EF和AC所

成的角等于（）

A.30°B.45c

C.60°D.90°

4.已知平面向量近,麗蔭足|可=|麗=1,曲瓦=若配=1,則|函的最大值為（）

A.a1B.A/3-I

C.&+ID,V3+I

5.某射箭運動員進行射箭訓練，射箭60次，統計結果如表:

環數012345678910

擊中的次數00124461012138

則估計他擊中的環數不小于8的概率為（）

A.0.46B.O.55

C.0.57D.0.63

6.甲、乙兩人玩“石頭、剪刀、布''游戲（石頭贏剪刀，剪刀贏布，布扁石頭），現兩人同時隨機出

拳，則游戲只進行一回合就分出勝負的概率是（）

112E

AWB5CND7

7.國際上通用的茶葉分類法，是按發酵程度把茶葉分為不發酵茶（如:龍井、碧螺春）和發酵茶

（如:茉莉花茶、鐵觀音、烏龍茶、普洱茶）兩大類，現有6個完全相同的紙盒，里面分別裝有龍

井、碧螺春、茉莉花茶、鐵觀音、烏龍茶和普洱茶,從中任取一盒，判斷下列兩個事件既是互

斥事件乂是對立事件的是］）

A.“取出碧螺春”和“取出茉莉花茶”

B.“取出不發酵茶”和“取出龍井”

C.“取出烏龍茶”和“取出鐵觀音”

D.“取出不發酵茶”和“取出發酵茶”

8.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四楂錐，以該四棱錐的高

為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底

面正方形的邊長的比值為］）

A.4B.9

C.4D.~2-

二、選擇題:本題共4小題.每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中.有多項符合題目要求.

全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.設P是△A8C所在平面內的一點+/4（=乂上則（）

A.P/4+P石=0BPB+PC=o

C.P4+4B=PBD.方+麗+瓦=0

10.下列說法中，正確的是（）

A.概率是頻率的穩定值，頻率是概率的近似值

m

B.做n次隨機試驗，事件發生m次，則事件發生的頻率;就是事件的概率

C.頻率是不能脫離〃次試驗的試驗值，而概率是具有確定性的不依賴「試驗次數的理論值

D.任意事件4發生的概率P（A）總滿足0<P（A）<l

11.下列說法正確的是（）

A.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位數是6

B.己知一組數據235”,8的平均數為5,則這組數據的方差是5.2

C.用分層隨機抽樣時，個體數最多的層里的個體被抽到的概率最大

D.若xiK2,…Kio的標準差為2,則3乃+1,3也+1,…,3xio+l的標準差是6

12.如圖，正方體4BCD-A而GG的棱長為1,E是。。的中點，則（）

A.直線8C〃平面4BD

B.%C_Lg

1

C.三棱錐G?8CE的體積為三

D.異面直線BC與BD所成的角為90°

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.復數z=l-i（其中i為虛數單位），則|z+3i|=.

14.有下列數據:

1.53.25.25.65.67.18.79.2

10.011.213.213.713.814.515.215.716.518.819.223.9272728.9

28.933.133.834.8

40.641.650.1

這組數據的第70百分位數是.

15.在水流速度為4km/h的河流中，有一艘船沿與水流垂直的方向以8km/h的速度（船在靜水

中的速度）航行，則船實際航行的速度的大小為km/h.

2

16.如圖是某個閉合電路的?部分，每個元件的可靠性是三則從A到3這部分電路暢通的概率

為.

A--B

--------□----------

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知復數z滿足z+4為純虛數，且三為實數.若復數（z+加產在復平面上對應的點位于

第四象限,求實數m的取值范圍.

18.（12分）已知平面上點44,1）,B（3,6）,￡＞（2,0）,且8c=AL.

⑴求前I；__

（2）若點M的坐標為（-1,4）,用基底｛而，而｝表示QI

19(12分)為了了解學生參加體育活動的情況，學校對學生進行隨機抽樣調查，其中一個問題是

“你平均每天參加體育活動的時間是多少?”，共有4個選項:A.1.5小時以上,B.1?1.5小

時,C.0.5~l小時,D.0.5小時以下.圖①②是根據調查結果繪制的兩幅不完整的統計圖,請你根

據統計圖提供的信息，解答以下問題：

(1)本次一共調查了多少名學生？

(2)在圖①中將B對應的部分補充完整.

(3)若該校有3000名學生，估計全校有多少名學生平均每天參加體育活動的時間在().5小時以

下.

20.(12分)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元,

未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗，每天需求量與

當天最高氣溫(單位:℃)有關.如果最高氣溫不低于25℃,需求量為5(X)瓶;如果最高氣溫位于

區間［20.25)內，需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20℃.需求量為200瓶.為了確定六月份的

訂購計劃,統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：

取局

110.15)115.20)120.25)125.30)130,35)135.40)

與潟

V/nn

天數216362574

以最高氣溫位于各區間的頻率估計最高氣溫位于該區間的概率.

(1)求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；

(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為“單位:元)，當六月份這種酸奶一天的進貨后為450

瓶時，寫出y的所有可能值，并估計丫大于零的概率.

21.(12分)在三棱錐244C中，以二P4=PC=AC=24,84=BC=2,。是線段AC的中點,M是線段

8c的中點.

(I)求證:PO_L平面/WC;

(2)求直線PM與平面PBO所成角的正弦值.

22.(12分)如圖,四邊形ABCD是矩形.BC_L平面ABE,且AE=gEB=BC=2、F為CE上一點,

且8F_L平面ACE

⑴求三棱錐4-Q8E的體積；

(2)求二面角D-BE-A的大小.

參考答案

綜合測評

1.Aa=(1,-2),b=(-2,//0,ab=-2-2///.又a_L(a+2b),「?a(a+2b)=a2+2ab=5-4-4〃7=0,解

]

得機=二.故選A.

2.B由于|z?l|=|z+l|,故復數z在復平面內對應的點到(?1,0)的距離等于它到(1,0)的苑禹,

故復數z對應的點在虛軸上.故選B.

3.B

如圖所示，取3C的中點G,連接FG,EG

???E,尸分別為CD/8的中點，

：.FG//AC,EG//BD.

11

且FG=^AC,EG=^BD.

?；AC=BD,；?FG=EG,

???NE/G(或其補角)為EF與AC所成的角.

???AC_LBD,FG±EG,ZFGE=90°,

???△EFG為等腰直角三角形.

；?NE/G=45°,即EF與AC所成的角為45°.

———>—1-12

4.D???|P4|=|P向=1,P4PB=三???cosN4PB二力PB="N4P3與兀

由余弦定理，得AB2=PA2-iPB2-2PAPBcos/APB=1+1+1=3.

??.A8=H,則而|二心.

.??當48與8(同向共線時有最大值+1.

故選D.

12+13+8

5.B根據題意,該運動員擊中的環數不小于8的頻率為-右—二0.55,因此估計相應概率

為().55.

6.C甲、乙兩人同時隨機出拳一次的可能結果共有9種，其中游戲只進行一回合就分出

6_2

勝負的可能結果共有6種,故所求概率為PV=:

7.D對于A,事件“取出碧螺春和事件"取出茉莉花茶''不可能同時發生，也有可能都不發

生，所以是互斥事件而不是對立事件，故A錯誤；

對于B,事件“取出不發酵茶”和事件“取出龍井”不是互斥事件，因為“取出龍井''時，事件"取

出不發酵茶''也發生了，故B錯誤；

對于C,事件“取出烏龍茶”和事件“取出鐵觀音”不可能同時發生，也有可能都不發生，所以

是互斥事件而不是對立事件，故C錯誤；

對于D,事件“取出不發酵茶”和事件“取出發酵茶”不可能同時發生，但必有一個發生，所以

既是互斥事件又是對立事件，故D正確.

8.C設正四棱維的高為底而邊長為小側而三角形底邊上的高為/匚則依題意有

"nN"'、l「

"=產罟)2咽此有力明卷,上次印⑵2一2(=)-1=0上二號(負值與舍去).故

選C.

9.CD因為AB+AC=3的所以P8-P4+PC-PA3AF=0,即P4+P8+P(=o,故D正

確,A,B錯誤;易知C正確.故選CD.

10.AC根據題意,依次分析選項:對于A,由概率與頻率的關系,A正確；

對于B,概率是頻率的穩定值,B錯誤；

對于C,由概率與頻率的關系,C正確；

對于D,任意事件A發生的概率P(A)總滿足0<P(>4)<LD錯誤.

11.BDV10x60%=6,A1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位數為第六位和第七位的平均數,

6+7

即丁=6.5,故A選項錯誤；

???數據2,3,548的平均數為5,；?2+3+5+x+8=5x5,即x=7,??.數據2,35,7,8的方差是

(2-5)2+(3-5)2+<5-5)2+(7-5)2+(8-5)2

=5.2,故B選項正確；

用分層隨機抽樣時，每層的個體被抽到的概率相同，故C選項錯誤；

???汨/2,…川。的標準差為2,方差為4,???3AI+1,3及+13xio+1的方差為3米4=36,即標準差

為6,故D選項正確.

12.AB選項A,如圖，連接在正方體