一元一次方程 全章專項復習【3大考點11大題型】（人教版）解析版

專題5.6一元一次方程全章專項復習【3大考點11大題型)

【人教版2024]

＞題型梳理

【考點I從算式到方程】........................................................................1

【題型I利用一元一次方程的定義求字母系數的值】...............................................1

【題型2利用方程的解求字母系數或代數式的值】.................................................3

【題型3利用等式的性質解方程】...............................................................5

【題型4根據實際問題列一元一次方程】.........................................................8

【考點2解一元一次方程】.....................................................................10

【題型5一元一次方程的一般解法】...........................................................10

【題型6含字母系數的一元一次方程的解法】....................................................13

【題型7整體思想在解方程中的應用】...........................................................16

【題型8同解方程】...........................................................................19

【題型9方程的“錯解”“遮擋”問題】........................................................22

【考點3實際問題與一元一次方程】............................................................24

【題型10配套、調配、工程問題】..............................................................24

【題型II比賽、行程、分段問題】...............................................................28

院舉一反三

【考點1從算式到方程】

1、方程

定義：含有未知數的等式叫做方程。

2、方程的解

定義：能使方程兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。

3、等式的性質

(1)等式的兩邊都加上(或減去)同一個數或式子，所得結果仍是等式。

(2)等式的兩邊都乘以(或除以[同一個不為零的數，所得結果仍是等式。

4、一元一次方程

定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程

辦+〃=(Xx為未知數，aw0)叫做一元一次方程的標準形式，a是未知數x的系數，b是常數項。

【題型1利用一元一次方程的定義求字母系數的值】

【方法總結】一元一次方程的概念主要有兩種考直方式：(1)識別一元一次方程；(2)已知方程是一元一次方程,

求方程中除未知數外的字母的值.兩種考查方式都要注意"未知數的系數不為0"這一關鍵條件.

【例1】（23-24七年級?河南》紫河?期中）已知關于工的方程（m-3）%lm-2|+3=是一元一次方程,則m

的值為.

【答案】1

【分析】此題考查了一元一次方程的概念，解題的關鍵是掌握一元一次方程的概念，只含有一個未知數且

木知數最高次數為1的整式方程.

根據一元一次方程的概念，可得m-且-2|=1,求解即可.

【詳解】解：由題意可得m-3w0且|7幾一2|=1,

由m—3工0可得m*3,

由|加一2|=1可得m=1或m=3

綜上：m=1

故答案為：1

【變式1-1]（23-24七年級?黑龍江哈爾濱?階段練習）若關于x的方程伍-1）/人】+3=0是一元一次方程,

則。，力應滿足條件（）

A.QH1,b=0.5B.QH1,b=1

C.QH1,b=0D.a=1,b=1

【答案】B

【分析】本題考查了一元一次方程的定義，含有一個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的整式方

程叫做一元一次方程.根據一元一次方程的定義即可得到a-1=0,2b-1=1,進行計算即可得到答案.

【詳解】解：???關于％的方程（。一1）/匕7+3=0是一元一次方程，

???Q-1H0,2b-1=1,

???aH1,b=1,

故選：B.

【變式1-2]（23-24七年級?湖北隨州?期中）若方程（m2一1）/一（m-1）工+2=0是關于x的一元一次方

程，則代數式|血-1|的值為.

【答案】2

【分析】本題主要考查一元一次方程的定義和絕對值的意義，保證/的系數為0、%的系數不為。求解即可.

【洋解】解：由題意得：|了一Un，

（-（m-1）H0

解得：771=-1,

0|m-1|=|-1-1|=2

故答案為：2.

【變式1-3](23-24七年級?全國?單元測試)若關于％的方程+(m-l)x-2=0是一元一次方程，

則戊的值為一.

【答案】1或0

【分析】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數，且未知數的指數是1,一次項系數

不是0,這是這類題目考查的重點.根據一元一次方程的一般形式即可判定有3種情況，分別討論①當m*0

且加一1H0時，②當m=0且血一1H0時，③當m-1=0時是否滿足該方程為一元一次方程即可.

【詳解】解：???關于%的方程加/時1+(m-1)X-2=0是一元一次方程，

可考慮三種情況，

①當771*0且7n—140時，

即mH0H.mH1,

貝！J2m—1=1,解得：m=1,

此時m=l,故排除；

②當m=0且m—1H0時，

即加=。且znH1,

???7n=0,符合條件；

③當m—1=0即TH=1時，

2m-1=1,符合條件；

綜上：m的值為1或0,

故答案為：1或0.

【題型2利用方程的解求字母系數或代i的值】

【方法總結】命題形式常常為已知方程的解，求方程中字母系數的值或代數式的值.解題方法是將已知的解代

入方程中,得到另一個關于字母系數的一元一次方程，再解這個方程.

【例2】(23-24七年級?廣東廣州期末)己知％=3是關于x的方程仔+1)+若3=1的解，〃滿足關系式

\m+n\=2,則nm的值是.

【答案】一3或1

【分析】此題考查了一元一次方程的解，本題求e、九的思路是根據某數是方程的解，把“=3代入方程

售+1）+若生=1,求出m的值，把？n的值代入關系式|m+n|=2,求出n的值，進而求出mn的值.

【詳解】解：將x=3代入方程停+1）+四尸=1中，

%+】）+若j

解得?n=-1.

將m=-1代入關系式|m+n|=2中，得|九一1|=2.

解得n=3或〃=-1.

所以mn的值為一3或1.

【變式2-1］（23-24七年級?福建廈門?階段練習）已知。為整數，關于x的方程/%-20=0的根是質數，且滿

足|也?7|＞。2,則a等于（）

A.2B.2或5C.±2D.-2

【答案】D

【分析】根據各個選項的值，分別將。=2、詔5、。=-2分別代入小片20=0求得x的值，再進行判斷即可.

【詳解】解：當a=2時,工=5是質數,但|ax-7|=|2x5-7|=3V4,所以不選A,C.

當a=5時，＞=（不是質數，所以不選B.

當a=-2時,x=5是質數，同時滿足|一-7|=卜2x5?7|=17＞4,所以選D.

故選:D.

【點睛】本題考查方程的根，解決本題的關鍵是準確理解質數的概念.

【變式2-2］（23-24七年級?福建福州?期末）若關于％的一元一次方程2入=3%-（8-X）有非負整數解，則

符合條件的所有整數k的值和為—.

【答案】-1

【分析】此題考查了此題考查了一元一次方程的解，先求出方程的解，根據解為整數，k為整數，求出值，

進行計算即可，正確的求出方程的解是解題的關鍵.

【詳解】解：2kx=3%-（8-久），

2kx=3x-8+x,

2kx-4x=-8,

（k-2）x=-4,

團方程有非負整數解，且k為整數，

0/c-2=-1或k-2=-2或A-2=-4,

解得：k為1或0或-2,

齦的值和為1+0+（-2）=-1,

故答案為：—1.

【變式2-3］（23-24七年級?江蘇蘇州?階段練習）已知〃，〃為定值，x的方程卓=1一二蛆，無論々為何

值，它的解總是2.貝bb=.

【答案】-4

【分析】本題考查了方程的解，方程無數解的條件，求代數式的值，熟練掌握解是解題的關鍵.

【詳解】團方程平=1一笥些的解總是2,

嚀二一哈

團4〃-2a=6-12-3版，

0（4+3b）k=2a—6,

02a-6=0,4+3b=0,

解得Q=3,b=-p

團a力=3x（-g）=-4

故答案為：-4.

【題型3利用等式的性質解方程】

【方法總結】利用等式的性質解方程的目的是將方程一步一步地變形為x=a的形式，步驟是Q）方程兩邊同時

加（或減）同一個數（或式子），使一元一次方程左邊是含未知數的項，右邊是常數項；（2）方程兩邊同時乘同一個

數或除以同一個不為0的數,使未知數的系數化為1,從而得出方程的解.

【例3】（23-24七年級?貴州六盤水?期末）等式的基本性質是解方程的基礎，很多方程的解法都運用到等式

的基本性質，下列根據等式的基本性質變形錯誤的是（）

A.由x—2=y—2,得到％=yB.由2a+3=b+3,得到2a=b

C.由7nx=my,得到％=yD.由％=y,得到;=：

【答案】C

【分析】本題考查了等式的性質，根據等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數（或字母），等式仍成立；等式

的兩邊同時乘以（或除以）同一個不為。數（或字母），等式仍成立.根據等式的性質求解即可.

【詳解】解：A、%-2=丫一2兩邊都加2,得到％=y,故A正確，不符合題意；

B、2a+3=b+3兩邊都減3,得到2a=匕，故B正確，不符合題意；

C、當m=0,rtlmx=my,不一定能得出％=y,也可能故C錯誤，符合題意;

D、x=y兩邊都乘點得故D正確，不符合題意.

故選：C.

【變式3-1]（23-24七年級?北京延慶?期末）下面的框圖是解方程鋁+『=2-等的流程:

341Z

在上述五個步驟中，依據是"等式的基本性質2〃的步驟有.（只填序號）

【答案】①⑤/⑤①

【分析】本題主要考查了等式的基本性質，解題的關鍵是熟練掌握等式基本性質.

【詳解】解：等式的性質2：等式兩邊同時乘（或除）相等的數或式，兩邊依然相等；

若a=b,

那么有ac=be,

或/二g（c00）,

所以依據等式的性質2的步驟是①⑤.

故答案為：①⑤.

【變式3-2]（23-24七年級?全國?假期作業）利用等式的性質解下列方程，并寫出檢驗過程;

（l）-^=-|x+2；

（2）2x+1=7.

【答案】⑴x=2；（2）x=3.

【分析】（1）根據等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數（或字母），等式仍成立，可得答案；

（2）根據等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數（或字母），等式仍成立；等式的兩邊同時乘以（或除

以）同一個不為。數（或字母），等式仍成立，可得答案.

【詳解】解：⑴兩邊同力噌得：x=2.

檢驗：當％=2時，

左邊=—1?右邊=-1>

左=右，

0%=2是方程的解；

⑵兩邊都減去1,得2%=6,

兩邊都除以2,得x=3.

檢驗：當％=3時，左邊=7=右邊，

???X=3是方程的解.

【點睛】本題考查等式的性質，熟知等式的基本性質是解題的關健.

【變式3-3】（23-24七年級?北京房山?期末）閱讀下面解方程個=辭的步驟，在后面的橫線上填寫此步

驟的依據：

解：去分母，得3（3%+1）=2（%-2）.①依據：

去括號，得9x+3=2x-4.

移項，得%-2%=-4一3.（2）依據：

合并同類項，得7%=-7.

系數化為1,得％=-1.

歐=-1是原方程的解.

【答案】①等式的基本性質2：等式的兩邊都乘以同一個數，所得的等式仍然成立；②等式的

基本性質1：等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或整式，所得的等式仍然成立

【分析】利用等式的基本性質判斷即可.

【詳解】解：去分母，得3（3x+l）=2（x-2）.①依據等式的基本性質2：等式的兩邊都乘以同一個數，

所得的等式仍然成立,

去括號，得9x+3=2x-4.

移項，得9x-2x=-4-3.②依據等式的基本性質1：等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或整式，所得的等

式仍然成立，

合并同類項，得7x=-7.

系數化為1,得x=-l.

0x=-l是原方程的解.

故答案為：①等式的基本性質2：等式的兩邊都乘以同一個數，所得的等式仍然成立；②等式的基本性質

1：等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或整式，所得的等式仍然成立.

【點睛】此題考查了解一元一-次方程，解方程去分母時注意各項都乘以各分母的最小公倍數.

【題型4根據實際問題列一元一次方程】

【方法總結】列方程就是用已知量與未知量建立一種相等關系冽方程時要先設字母表示未知數，然后根據題

目中的相等關系寫出含未知數的等式，即方程.在實際問題中，常用一些關鍵詞語表示相等關系，如"和、差、

積、商、大多少、小多少、幾倍、幾分之幾”等,另外，"是""等于"等也是表明相等關系的關鍵詞語.

【例4】（23-24七年級?河南鄭州,期末）新學年，濱河初中籃球社團和音樂社團進行了招募活動.七年級一

班共有30位同學報名加入了社團.一知加入籃球社團的人數比加入音樂社團的人數多4人，兩個社團都加

入的有8人，設加入籃球社團有x人，根據題意列方程，正確的是（）

音

加

加

籃

入

入

團

團

樂

球

社

社

人

人

數

數

A.x+（%-4）+8=30B.x+（X-4）-8=30

C.x+（x-4）+16=30D.x+（%-4）-16=30

【答案】B

【分析】本題考杳根據實際問題列方程，設加入籃球社團有工人，得到加入音樂社團有（工-4）人，結合七年

級一班共有30位同學報名加入了社團，且兩個社團都加入的有8人，即可得到答案，讀懂題意，準確根據

等量關系列方程是解決問題的關鍵.

【詳解】解：設加入籃球社團有工人，根據題意列方程為％+（%-4）-8=30,

故選:B.

【變式4-1］（23-24七年級?遼寧鞍山?階段練習）一項工程甲單獨做要20小時，乙單獨做要12小時.現在先

由甲單獨做5小時，然后乙加入進來合做完成了整個工程.完成整個工程其中乙一共用了多少小時？若設乙

一共用了％小時，則所列的方程為—.

【答案】/X5+G+￡）“1

【分析】本題考查了一元一次方程的實際應用，由甲乙合作的時間為％小時，甲乙合作的工作效率為（4+5,

根據“甲的工作效率+甲乙合作的工作效率x合作的時間=工作總最〃可得方程，解題的關鍵是根據題意找出

等量關系，列出方程.

【詳解】根據題意可得：甲乙合作的時間為為小時，甲乙合作的工作效率為（或+*）,根據“甲的工作效率+

甲乙合作的工作效率x合作的時間=工作總量"可得方程：^x5+（^+^）x=l,

故答案為:/x5+（表+專卜=1.

【變式4-2］（23-24七年級?全國?單元測試）我國古代數學名著《孫子算經》中記載：“今有木，不知長短,

引純度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木條，繩子還

剩余4.5尺；將繩子對折再量木條，木條剩余1尺.問木條長幾尺？如果設木條長無尺，那么可列方程為（）

A.14.5=殲1B.、+4.5=；-1

C.x+4.5=2（x+1）D.%+4.5=2（%-1）

【答案】D

【分析】本題主要考查了?元一次方程的應用，審清題意、明確量之間的關系成為解題的關鍵.

設木條長工尺，根據繩子比木條長4.5尺可得繩子長為％+4.5；再根據將繩子對折再量木條，木條剩余1尺

可得2（%-1）,最后根據繩子的長度不變列出方程即可.

【詳解】解：設木條長x尺，

根據題意可得：%4-4.5=2（x-1）.

故選：D.

【變式4-3］（23-24七年級?全國?課后作業）如圖，在大長方形4BC。（CD是寬）中放入6個長、寬都相同

的小長方形，尺寸如圖所示，求小長方形的寬力￡設力E=%,有下列分析思路：①以小長方形的長作相等

關系可得方程6+2x-x=14-3柒②以大長方形的長作相等關系可得方程6+2x=x+（14-3%）.其中，

正確的是（）.

A.①正確，②不完全正確B.①不完全正確，②正確

C.①②都正確D.①②都不正確

【答案】C

【分析】根據小長方形的長相等或大長方形的寬相等，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解.本題考

杳了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵.

【洋解】解：依題意找小長方形的長作為相等關系得：6+2x-x=14-3x

或找大長方形的長做相等關系得：6+2x=x+（14-3x）.

團①②都正確，

故選：C.

【考點2解一元一次方程】

解一元一次方程的一般步驟：

①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數化為1.

【題型5一元一次方程的一般解法】

【例5】（23-24七年級?寧夏銀川?期末）下面是小彬同學解一元一次方程的過程，請認真閱讀并完成相應任

務.

x-32X-3V

V--=1-

4G-3）-3（2x-3）=24,（第一步）

4%-12-6x-9=24,（第二步）

4x-6x=24+12+9,（第三步）

-2x=45,（第四步）

%=-y.（第五步）

⑴任務一：填空.

①以上求解步驟中，第一步的依據是.

②第步開始出現錯誤，這一步錯誤的原因是.

⑵任務二：請直接寫出該方程的解.

【答案】⑴①等式的基本性質(等式兩邊同時乘以一個不為0的數，等式仍然成立)；②二；括號前是負

號，去掉括號后，括號里的第二項沒有變號

27

(2)X=--

【分析】本題考查的是解方程，熟練掌握解方程的步驟是解題關鍵.

(1)①根據去分母的步驟進行分析，即可得到答案：

②根據解方程的步驟進行分析，即可得到答案；

(2)依次去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化1,即可解方程.

【洋解】(1)解：①第一步為去分母，依據是等式兩邊同時乘以一個不為0的數，等式仍然成立,

故答案為：等式兩邊同時乘以一個不為0的數，等式仍然成立；

②第二步開始出現錯誤，

原因是：括號前是負號，去掉括號后，括號里的第二項沒有變號，

故答案為：二；括號前是負號，去掠括號后，括號里的第二項沒有變號；

(2)解：與一等二1

68

去分母，得：4(x-3)-3(2x-3)=24.

去括號，得：4x-12-6x4-9=24,

移頂，得：6x-4x=-12+9-24,

合并同類項，得：2x=-27,

系數化1，得：x=-y.

【變式5-1](23-24七年級?四川瀘州?期末)解方程

(1)3-(5-2x)=x

G\X+11

1=°2+,丁2-X

【答案】⑴%=2

(2)x=4

【分析】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解方程的步驟和方法是解題的關鍵.

（1）分別去括號、移項并合并同類項即可；

（2）分別去分母、去括號、移項并合并同類項即可.

【詳解】（1）去括號得：3-54-2x=x,

移項合并得：x=2；

（2）去分母得：2x+2-4=8+2-力

移項合并得：3%=12,

解得：x=4.

【變式5-2]（23-24七年級?四川達州?期末）（1）解方程：與1=1一二.

24

（2）當X為何值時，代數式-陪的值比代數式震-工的值大3.

【答案】（1）x=1;（2）x=-^

4

【分析】本題考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步驟是解題的關鍵.

（1）根據去分母，去括號，移項，合并同類項，化系數為1的步驟解一元一次方程即可求解；

（2）根據題意列出方程解方程即可.

【詳解】（1）解：笞=1一字，

24

去分母得，2（2%-1）=4-（3-x）,

去括號得，4x-2=4-3+%,

移項得，4%-%=4-3+2,

合并同類項得，3%=3,

化系數為1，得：x=l;

（2）由題意得：一?=矍一%+3,

0.20.5

:.-15%-15=2x+2—x+3,

5

AX=--4?

【變式5-3]（23-24七年級?上海,期末）解方程：7%%一左二13%無一絲詈把.

【答案】x=-9

【分析】本題考查解一元一次方程，去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1即可得到答案.

【詳解】解：

7%%-4n13%%-*U?等J

13+2x

7%x--=13%x-

30

21X-12=39x-30-20x

21x—39%+2Ox=-30+12

2x=-18

x=-9.

【題型6含字母系數的一元一次方程的解法】

【例61(23-24七年級?河南洛陽?期末)關于x的方程4x-(3a+1)=6x+2a-1的解與5a-3)=4%-10

的解互為相反數.

⑴求一3a7a-1的值；

(2)根據方程解的定義試說明關于/的方程Q￡=2t有無數解.

【答案】⑴1

(2)見解析

【分析】本題考查一元一次方程的解，結合已知條件求得a的值是解題的關鍵.

(1)根據一元一次方程解的意義求得Q的值后代入一3a2+7a-1中計算即可；

(2)結合(1)中所求，根據一元一次方程解的意義即可得出結論.

【詳解】(1)解：解方程50—3)=4工一10得：x=5.

團兩個方程的根互為相反數，

回另一個方程的根為之=-5,

把x=-5代入方程4%—(3a+1)=6x+2a—1,

得：4x(—5)—(3a+1)=6x(-5)+2Q—1,

解這個方程得：a=2,

l3-3a2+7a-1=1.

(2)解:加=2,

Eat=2t可化為2t=23

回任何數代入2t=2t均成立，

團關于，的方程at=2t有無數解.

【變式6-1](23-24七年級?四川巴中?期中)已知x=2是方程2-；(a-%)=2%的解，求關于y的方程a(y-

■5

5)-2=a(2y-3)的解.

【答案】y=

【分析】此題考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，把％=2代入方程計算求出a的值，代入所求方

程求出解即可.熟知一元一次方程的解的定義是關鍵.

【詳解】解：把x=2代入方程得：2-1(a-2)=4,

解得：Q=-4,

代入方程Q(y-5)-2=a(2y-3)得：-4(y-5)-2=-4(2y-3),

解得：y=~l

【變式6-2](23-24七年級?浙江金華?階段練習)己知關于x的方程竽=亭1一1,解答下列問題：

⑴如果方程的解是％=-11時，求字母。的值.

⑵如果某同學在解此方程去分母時，方程右邊的-1沒有乘以6,結果求得解是％=-2,求字母。的值.

⑶如果方程無解，請你直接寫出字母。的值.

【答案】⑴Q=1

(2)Q=1

⑶Q=3

【分析】本題考查的是一元一次方程的解的含義，及方程的解法，理解題意，正確運算是解本題的關鍵；

(1)把％=-11代入第=毛-1,再解方程即可；

(2)按題意原方程去分母可得2(2%+1)=3(。%一1)-1,把％=-2代入再解方程即可；

(3)先把方程去分母整理為(3Q-4)X=11,由方程無解可得3a-4=0,再解方程即可.

【詳解】(1)解：把工一一11代入方程竽一寫一1,得：

2x(-ll)+l_-lla-11

3?2，

團-11Q=-11,

解得，a=1;

(2)0^=—-1,

32

02(2%+1)=3(ax-1)-1(去分母時一1漏乘)，

把無=-2代入可得：

2x(-2x2+1)=3(-2a-1)-1,

整理得：6a=2,

解得：。=也

(3)穿=毛一1,

32

02(2x+l)=3(ax-l)-6,

整理得：(3cz-4)x=11,

當弘一4=0時，方程無解，

團a=g

【變式6-31(23-24七年級?河南周口?階段練習)已知關于x的整式A=x2+px+2,整式8=-2/-2%+1,

若〃是常數，且2月十。的值與x無關.

⑴求〃的值；

⑵若，/為整數，關于x的一元一次方程%—q—3=0的解是正整數，求qP的值.

【答案】(Dp=1

(2)qP=3或1

【分析】本題考查了整式加減中的無關型問題、解一元一次方程等知識，掌握相關運算法則是解題關鍵.

(1)將48代入24+8,化簡后根據無關項，得到2p-2=0,即可求出〃的值；

(2)先解一元一次方程，進而得出q的值，即可計算求值.

【詳解】(1)解：A=x2+px+2,B=-2x2-2x+1,

:.2A+B=2(x2+px+2)+(-2x2-2x+1)

=2x2+2px+4-2x2-2x+l

=(2p—2)x+5,

???2A+B的值與工無關，

???2p—2=0,

???p=1；

(2)解：qx-q-3=0,

q+3t,3

???x=—=1+一,

qq

?%為整數，X是正整數，且qHO,

???x=2,q=3或％=4,q=1,

???qp=3或1

【題型7整體思想在解方程中的應用】

【例71（23-24七年級?云南昆明?期中）在解一元一次方程時，巧妙利用整體法，可以達到簡化計算的效果.例

如，在解方程3{次一1一[3（次-1）+3]}=5時，把2X一1看作一個整體.

令a=2%—1,得：3[a-（3Q+3）]=5,

去括號，得：3Q—9Q—9=5,

合并同類項，得：-6a=14,

系數化為1，得：。=一（，

故2%—1=—"解得”二一：.

閱讀以上材料，請用同樣的方法解方程：4{2（x+2）-[|（2x+4）+5]]=l.

【答案"小

4

【分析】把x+2看作一個整體，再按照解一元一次方程的方法求解即可.

【詳解】解：令，E+2,則2〃=2壯4,

原方程得：4[2a-（1x2a+5）]=1,

去括號,得:4。-20=1,

移頂，得：4a=21,

系數化為1，得：

4

故.r+2=^,

4

解得

4

【點睛】本題考查了解一元一次方程，能正確換元是解此題的關鍵.

【變式7-1]（23-24七年級?山東濰坊?期末）數學李老師讓同學們解方程式10-2x）=6-92%-10）.小

亮認為“方程兩邊有分母，應該先去分母"，小穎認為“方程中有10-2%及2%-10,且互為相反數，應該用

整體思想求解〃.請你分別用小亮、小穎的方法求解該方程.

【答案】見解析

【分析】本題考查解一元一次方程.按照兩人的方法，逐一進行求解即可.解題的關健是掌握解一元一次

方程的步驟，正確的進行計算.

【詳解】解：小亮：原方程可化為10-2%=18-4(2%—10)

10-2x=18-8%+40

-2x4-8x=184-40-10

6x=48

x=8；

小穎：原方程可化為/10-2幻+算2%一10)=6

14

--(2x-10)+-(2x-10)=6

2x-10=6

2x=16

%=8.

【變式7-2】用整體思想解方程(3y—2)-絲尹二2-空子2

【答案】y=l

【分析】本題考查的是利用換7匕的思想解方程，以及解一元一次方程，解題的關鍵是掌握換元思想將復雜

的問題轉化為簡單的問題，

利用換元的思想解答即可；

【詳解】解：(3y—2)—"尹=2—也衿，

設A=3y-2,則原方程可變形為=2-警，

6k-3(k-1)=12-2(k+2),

6k-3k+3=12-Z/C-4,

3k+3=8-2k,

3k+2k=8-3,

5k=5,

k=1,

啊-2=1,

解得y=l.

【變式7-3]（23-24七年級?湖南湘西?階段練習）閱讀理解：在解形如3氏一2|=氏一2|+4這類含有絕對

值的方程時，

解法一：我們可以運用整體思想來解.移項得3|%-2|一反一2|=4,2|x-2|=4,

\x-2\=2,x-2=±2,%=4或x=0.

解法二：運用分類討論的思想，根據絕對值的意義分XV2和X?2兩種情況討論：

①當XV2時，原方程可化為-30-2）=-（工一2）+4,解得％=0,符合XV2；

②當無二2時，原方程可化為3（無一2）=（%—2）+4,解得％=4,符合

???原方程的解為無=0或x=4.

解題回顧：本解法中2為x-2的零點，它把數軸上的點所對應的數分成了X<2和%>2兩部分，所以分工<2

和x22兩種情況討論.

問題：結合上面閱讀材料，解下列方程：

⑴解方程：|x-3|+8=3|x-3|

⑵解方程：|2-x|-3|x+l|=x-9

【答案】（1）%=—1或%=7

（2）x=-14或x=1

【分析】（1）類比解法一即可求解；

（2）類比解法二，分工&-1,-l<x<2,%>2三種情況進行討論，脫去絕對值，解方程，舍去不合題

意的方程的解，問題得解.

【詳解】（1）解:移項得|%—3|—3枚一3|=-8,

合并得一2氏一3|=-8,

兩邊同時除以一2得|%—3|=4,

所以無一3=±4,

所以％=或%=7；

（2）解：當工工一1時，原方程可化為2+3（X+1）=%-9,解得％=-14,符合工工一1；

當一1V%W2時,原方程可化為2-x-3（%+1）=x-9,解得x=符合一1VxW2；

當%>2時，原方程可化為一2+3（x+1）=%-9,解得％=[,不符合3>2.

所以原方程的解為％=-14或%=

【點睛】本題考查了絕對值方程、一元一次方程的解法，理解題意，能根據題意脫去絕對值是解題關鍵，

注意第(2)問要根據題意分三類進行討論.

【題型8同解方程】

【方法總結】已知兩個含有待定字母的方程的解相同，可將其中一個方程的解用待定字母表示，代入另一個方

程，求出待定字母的值，進而求出方程的解;也可以先用待定字母表示出兩個方程的解，由兩個方程的解相同求

出待定字母的值，從而得到原方程的解.

【例8】(23-24七年級?湖南長沙期末)在一元一次方程中，如果兩個方程的解相同，則稱這兩個方程為同

解方程.

(1)若方程3%=6與關于x的方程mx=1是同解方程，求m的值；

⑵若關于X的兩個方程3x=Q+2與31一卷)=1是同解方程，求。的值；

⑶若關于x的兩個方程4x=2(2mn+x)與3%-4=2x4-2n是同解方程，求此時符合要求的正整數rn,n

的值.

【答案】(1)|

(2)1

(3)m=3,71=1或血=2,n=2

【分析】(1)先解方程3%=6得到x=2,再根據同解方程的定義得到方程mx=1的解為％=2,則2m=1,

解方程即可；

(2)分別求出方程3X=Q+2與3(%-與)=1的解，再根據這兩個方程是同解方程得到關于a的方程，解

方程即可得到答案；

(3)分別求出方程4x=2(2nm+x)與3%-4=2%+2n的解，再根據這兩個方程是同解方程得到m=l+

系再根據陽，〃都是正整數，進行求解即可.

【詳解】(1)解：03%=6,

團x=2,

回方程3x=6與關于x的方程mx=1是同解方程，

團方程mx=1的解為3=2,

團2m=1,

0m=-；

（2）解：解方程3%=a+2得：％=等，

*5

解方程31一半）=1得：工=等；

團關于x的兩個方程3x=Q+2與？（x-早）=1是同解方程，

喈=等

解得Q=l；

（3）解：解方程4%=2（2mn+%）得:x=2mn,

解方程3%—4=2%+2n得：%=4+2n；

團關于x的兩個方程4%=2（2mn+%）與3%—4=2%+2九是同解方程，

02?nn=4+2n,

0m=—=1+

nn

勖小〃都是正整數，

能是正整數，

n

回當n=1時，m=3；當n=2時，m=2.

【點睛】本題主要考杳了同解方程問題，熟知解一元一次方程的方法和同解方程的定義是解題的關犍.

【變式8-1］（23-24七年級?浙江杭州?階段練習）已知關于x的方程2m-3=無一1的解與方程?=1+3的

38

解相同，則m的值.

【答案】5

【分析】先求出第一個方程的解，再把x=2代入第二個方程得出6+2m=12+4,再求解即可得到答案.

【詳解】解：解方程?=1+9

3o

得：x=8,

把x=8代入方程2m-3=x-l,

得：27n-3=8-1,

解得：771=5,

故答案為：5.

【點睛】本題考查了同解方程和解一元一次方程，能得出關于m的一元一次方程2m-3=8-1是解此題的

關鍵.

【變式8-2]（23-24七年級?黑龍江哈爾濱?期末）若方程?/捻1二裂與關于x的方程21一y1時6.v解

6二233

相同，求機的值.

【答案】〃?=13.2

【分析】先求出第一個方程的解，把求出的x的值代入第二個方程，求出所得方程的解即可.

【詳解】解嗜+等=1一竽得：x=0.6,

63N

將1=0.6代入2%—Zx~m=|Tn—6x,

處dc1.2-m2

得：1.2---------=-m-3o?6r,

33

解得：〃?=13.2.

即陽的值為13.2.

【點睛】本題考查了解一元一次方程和同解方程，解題關鍵是得出關于m的方程.

【變式8-3]（23-24七年級?河南新鄉?階段練習）已知關于％的方程（|0一4）/—（a-4）x+2b+3=。是一

元一次方程.

（1）求Q的值；

⑵若已知方程與方程3工-6=4-2%的解互為相反數，求b的值；

⑶若已知方程與關于x的方程4-7x=-9x+2b的解相同，求b的值.

【答案】（1）-4

⑵葭

⑶至

'’10

【分析】（1）根據一元一次方程的定義進行計算即可；

（2）先求出方程3%-6=4-2x的解為x=2,然后把％=-2代入原方程中進行計算即可；

（3）求出兩個方程的解，根據同解方程的定義列出關「力的方程即可.

【詳解】（1）解：由題意得：

|a|-4=0且a—4H0,

???a—±4且a豐4,

-4

???Q的值為一4：

(2)解：3%一6=4-2%,

5%=10,

x=2,

?.?己知方程與方程3%-6=4-2%的解互為相反數，

二把x=-2,a=-4代入(|a|-4>2—(a-4)x+2b+3=0中可得：

-(-4-4)x(-2)+2b+3=0,

―16+26+3=0

b二個,

??.b的值為：：；

(3)解：把a=-4代入(|a|-4)x2-(a-4)x+2b+3=0中可得：

8%+2b+3=0,

-2b-3

AX=-------,

8

4-7x=-9x+2b,

2b-4

???X=—，

?.?已知方程與關于％的方程4-7%=-9x+2b的解相同，

-2b-3_2b-4

'8=2

???—2b—3=8b—16?

解得：10b=13

的值為：.

【點睛】本題考查了同解方程，一元一次方程的定義，絕對值，熟練掌握一元一次方程的定義，是解題的

關鍵.

【題型9方程的“錯解"“遮擋"問題】

【例9】(23-24七年級?湖北恩施?階段練習)王斌在解方程“無一?)=1時，墨水把其中一個數字污

染成了他翻閱答案知道該方程的解為％=5,則推算確定污染的數字"△〃應是.

【答案】5

【分析】本題考查方程的解，根據方程的解滿足方程代入求解即可得到答案；

【詳解】解：團方程的解為x=5,

l/L5-1、Y5-△

m叱(5-丁)=1--?

解得：4=5,

故答案為：5.

【變式9-1](23-24七年級?合肥期末)小虎在解關于x的一元一次方程￡m=x時，由于粗心大意，移項時

忘記了改變符號，變形為＞x=-m.求得方程的解為x=l,則原方程的解為()

A.x=-lB.x=lC.x=2D.x=3

【答案】D

【詳解】將x=l代入”x=-m,得

3

m=-,

2

將m=B代入-m=x,得：+卻，

解得x=3.

故選D.

【變式9-2](23-24七年級?河南鄭州?階段練習)馬虎同學解方程2-等+等=0時，由于粗心大意，在

去分母時，方程左邊的2沒有乘6,由此求得的解為％=3,試求。的值，并正確求出方程的解.

【答案】a=—：；x=6

【分析】本題主要考查解方程，熟悉相關的解題步驟是解題的關鍵，先根據錯誤的做法：“方程左邊的2沒

有乘6”而得到x=3,代入錯誤方程，求出〃的值，再把。的值弋入原方程,求出正確的解.

【詳解】解：去分母時，方程左邊的2沒有乘6,

此時變形為2—2(2%+1)+3(x+a)=0；

將x=3代入，得2-(2X3+1)+3(3+Q)=0；

解得：a=-;;

則原方程應為：2-竽+學=0；

去分母得：12-2(2%+1)+3(-=0；

去括號得：12-4x-2-4+3x=0,

解得：％=6.

【變式9-3］（23-24七年級?全國?課后作業）馬小哈在解一元一次方程，％-3=2%+9〃時，一不小心將墨

水波在作業本上了，其中未知數x前的系數看不清了，同桌正確答案的最后一步是“所以原方程的解為x=

-2"，馬小哈由此就知道了被墨水遮住的數，請你幫馬小哈算一算，被墨水遮住的數是.

【答案】-4

【分析】由于知道原方程的解為％=-2,所以可以將乃二-2代入方程中，求出系數即可解決.

【詳解】解：設墨水遮住的系數為a

把x=-2代入QX-3=2x+9

得-2a—3=-4+9

解得a=-4.

故答案為4.

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的解的問題，熟練將解代入方程以及準確運算是解決本題的關鍵.

【考點3實際問題與一元一次方程】

列一元一次方程解應用題的一般步驟：

審：就是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它們之間的等量關系。

設：就是指設元，也就就是設出未知數。

列：就就是列方程，這就是關鍵步驟，一般先找出能夠表達應用題全部含義的一個相等含義，然后列代數式

表示這個相等關系中的各個量，就的到含有未知數的等式，即方程。

解：就就是解方程，求出未知數的值。

驗：就是指檢驗方程的解就是否保證實際問題有意義，符合題意。

答：寫出答案。

【題型10配套、調配、工程問題】

【例10】（23-24七年級山東聊城?期末）某工廠需要生產一批太空漫步器（如圖），每套設備由一個架子

和西套腳踏板組裝而成；工廠現共有45名工人，每人每天平均生產60個支架或96套腳踏板.

⑴應如何分配工人才能使每天的生產的架子和腳踏板恰好配套？每天生產多少套太空漫步器？

⑵若每套太空慢步器進價為200元，售價為280元，后又打折銷售，所得利潤率為12%,則每套太空慢步

器是按原售價的幾折銷售的？

【答案】（1）20人生產支架，25人生產腳踏板，每天生產1200套太空漫步器

（2）八折

【分析】本題主要考查了一元一次方程的實際應用：

（1）設分配x人生產架子，則分配（45-幻人生產腳踏板，根據每人每天平均生產60個支架或96套腳踏

板且每套設備由一個架子和兩套腳踏板組裝而成列出方程求解即可；

（2）設每套太空慢步器是按原售價的陽折俏售的，根據利潤=標價X折扣-進價列出方程求解即可.

【詳解】（1）解：設分配x人生產架子，則分配（45-%）人生產腳踏板，

由題意得，2x60x—96（45—x）?

解得x=20,

045-x=25,60x=1200,

答：分配20人生產支架，25人生產腳踏板，每天生產1200套太空漫步器；

（2）解：設每套太空慢步器是按原售價的6折銷售的，

由題意得，280x^-200=200x12%,

解得771=8,

答：每套太空慢步器是按原售價的八折俏售的.

【變式10-1]（23