線段的垂直平分線與角平分線（專項復習）

線段的垂直平分線與角平分線專題復習

知識點復習：

1、線段垂直平分線的性質

(1)垂直平分線性質定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點

的距離相等.

定理的數學表示：如圖1,???CD±AB,旦AD二BD

工AC=BC.

定理的作用：證明兩條線段相等

(2)線段關于它的垂直平分線對稱.

2、線段垂直平分線的判定定理：

到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

定埋的數學表示：如圖2,???AC=BC

???點C在線段AB的垂直平分線m上.

圖2

定理的作用：證明一個點在某線段的垂直平分線上.

A

3、關于線段垂直平分線性質定理的推論

(1)關于三角形三邊垂直平分線的性質：

三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距

離相等.

性質的作用：證明三角形內的線段相等.

(2)三角形三邊垂直平分線的交點位置與三角形形狀的關系：

若三角形是銳角三角形，則它三邊垂直平分線的交點在三角形內部；

若三逸形是直角三角形,則它三邊垂直平分線的交點是其斜?邊的中點:

若三角形是鈍角三角形，則它三邊垂直平分線的交點在三角形外部.反之，也

成立。

4、角平分線的性質定理:

角平分線的性質定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

定理的數學表示：如圖4,

???0E是NA0B的平分線，F是0E上一點,且CF10A于點C,

DF_L0B于點D,,?.CF=DF.

定理的作用:①證明兩條線段相等;②用于幾何作圖問題:

角是一個軸對稱圖形，它的對稱軸是角平分線所在的直線.

5、角平分線性質定理的逆定理：

角平分線的判定定理：在角的內部到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線

上.

定理的數學表示：如圖5,

???點P在NAOB的內部，且PC_LOA于C,PD_LOB于D,且PC=PD,

???點P在NAOB的平分線上.

定理的作用：用于證明兩個角相等或證明一條射線是一個角的電

平分線

6、關于三角形三條角平分線的定理：

（1）關于三角形三條角平分線交點的定理：

三角形三條角平分線相交于一點，并且這一點到三邊的距離相

等.

定理的數學表示：如圖6,如果AP、BQ、CR分別是aABC的內角NBAC、ZABC.

NACB的平分線，那么：

①AP、BQ、CR相交于一點1；

②若ID、IE、IF分別垂直于BC、CA、AB于點D、E、F,則DI=EI=FI.

定理的作用：①用于證明三角形內的線段相等；②用于實際中的幾何作圖問題.

（2）三角形三條角平分線的交點位置與三角形形狀的關系：

三角形三個內角角平分線的交點一定在三角形的內部.這個交點叫做三角形的內心（即

內切口的圓心）.

7、關于線段的垂直平分線和角平分線的作圖：

（1）會作已知線段的垂直平分線；（2）會作已知角的角平分線；

（3）會作與線段垂直平分線和角平分線有關的簡單綜合問題的圖形.

精品習題：

1.在aABC中，ZC=90°,BD是NABC的平分線.已知，AC=32,且AD：DC=5：3,則點D到

AB的距離為______.

2.如圖，在4ABD中，AD=4,AB=3,AC平分NBAD,則8c:SMCD=（）

A.3:4B.4:3C.16:19D.不能確定

DB

3.如圖，AABC的三邊AB、BC、CA的長分別是20、30、40、其中三條角平分線將AABD分

為三個三角形，則S.。：SMC。：S》O等于

4.如圖所示，NBAC=105。，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC.則/PAQ的度數為

5.AD//BC,ND=90',AP平分/DAB,PB平分NABC,點P恰好在CD上，則PD與PC的關

系是（）

A.PD>PCB.PD<PCC.PD;PC

6.如圖，有A、B、C三個居民小區的位置成三角形，現決定在三個小區之間修一個超市,

使超市到三個小區的距離相等，則超市應建在（

A.在AC、BC兩邊高線的交點處

B.在AC、BC兩邊中線的交點處

C.在AC、BC兩邊垂直平分線的交點處

D.在NA、NB的角平分線的交點處

7.如圖,CI）是RtAABC斜邊AB上的高,將△BCD沿CI）折疊，B點恰好落在AB的中點E處,

則NA等于（）

A.25°B.30°C.45°1）.60°

c

8.AC=AD,BC=BD,則有（）

A.AB垂直平分。。B.8垂直平分AB

C.AB與CO互相垂直平分D.CO平分NAC8

9.如圖，OP平分NAOS,fA±OA,PD^OB,垂足分別為A,B.下列結論中不一定成立

的是（）

A.PA=PBB.PO平分N4PBC.OA=OBD.AB垂直平分。尸

10.隨著人們生活水平的不斷提高，汽車逐步進入到千家萬戶，小紅的爸爸想在本鎮的三條

相互交叉的公路（如圖所示），建一個加油站，要求它到三條公路的距離相等，這樣可供選

擇的地址有（）處，

A、1B、2C、3D、4

11.在RlZXABC中，NA=90。，AB=3,AC=4,NABC,NAC8的平分線交于P點，PELBC

于￡點，求PE的長.

上

12.如圖，ZkBDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延長線與AC交

于點E,請你判斷線段AC與BH有什么關系？并說明理由.

13.如圖，ZC=90°,AC=BC,AO是N84C的角平分線.求證：AC+CD=AB.

14.如圖，人/）為△ABC的角平分線，人。的中垂線交AB于點E、交的延長線于點F,

AC于所交于點O.

（I）求證：N3=NB；

（2）連接OQ,求證：N8+NOQ8=180。.

15.已知：ZDAB=\20°,AC平分ND48,N8+NZ）=180°.

（1）如圖1,當N8=N。時，求證：AB+AD=AC：

（2）如圖2,當NBrN。時，猜想（I）中的結論是否發生改變？說明理由.

圖2

16.小明做了一個如圖所示的"風箏”骨架，其中48=4。，CB=CD.

（1）小芳同學觀察了這個“風箏”骨架后，他認為ACLB。垂足為點E,并且9外石。，你

同意小德的判斷嗎？為什么？

(2)設AC=。，BD=b,請用含〃，〃的式子表示四邊形A8c。的面積.

17.如圖，AB〃CD,AE、DE分別平分NBAD和NADE,求證：AD=AB+CD。

18.如圖，A