人教版九年級數學上冊 因式分解法（能力提升）

2523因式分解法

能力提升題

知識點一需先整理化為一般形式再因式分解解方程

I.(25-26八年級下?安徽合肥?期口)解方程：(x-4)(x+l)=6.

【答案】玉=5,￡=一2.

【分析】先將原方程整理為一元二次方程的一般形式，再利用因式分解即可求解.

【詳解】解：X2-3X-4=6

X2-3X-10=0

(x-5)(x+2)=0

x-5=0或x+2=0,

=5,x2=-2.

2.(2026?黑龍江齊齊哈爾?二模)解方程：(x-l)(x+4)=4x+8.

【答案】％=4,x2=-3

【分析】因式分解法解一元二次方程.

【詳解】解：(*-l)(x+4)=4x+8,

x2+3x-4=4x+8，

X2-X-12=0,

(x-4)(x+3)=0,

x-4=0或x+3=0,

&=4,x,=-3.

3.(25-26八年級下?上海?期中)解方程：2X(X-2)=X2-3

【答案】％=L占=3

【詳解】解：V2X(X-2)=X2-3,

22

???2x-4x=x-3f

?'-x2-4x+3=0,

.?.（j-l）（x-3）=0,

ul=O或x-3=0,

解得X1=1，%=3.

4.（25-26八年級下?安徽合肥?期口）用適當方法解下列方程

(l)[21)(x+3)=4；

⑵2()，-=3-7)，

_7

【答案】（1）3=1，X2

~~2

-3-VI7-3+VI7

(2)y.=

L必二一J

【分析】（1）先把方程整理成?般式，再利用因式分解法解答即可求解;

（2）先把方程整理成一般式，再利用公式法解答即可求解;

本題考杳了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵.

【詳解】（1）解：方程整理成一般形式，得2/+54-7=0,

.-.(x-l)(2x+7)=0,

???X-1=0或2x+7=0,

17

'?玉=1,x,=——；

■2

（2）解：去括號得2），2—4），+2=3-7,，

方程整理成一般形式，得2V+3），-1=0,

22

vA=/7-4?c=3-4x2x(-1)=17>0,

-3±V17-3±V17

"=

2x24

-3-V17-3+717

即V）=-7—,

知識點二換元法解一元二次方程

1.（25-26九年級上?江蘇揚州?月考）請閱讀下列材料:

解方程(/-1)--5(/-1)+4=0.

解法如下:

將視為一個整體，然后設=則卜2_[丫=),2,

原方程可化為)3—5y+4=0,解得y=l,%=4.

(1)當y=1時，V—1=1,解得x=±>/2；

(2)當y=4時，X2-1=4,解得x=土6.

綜合(1)(2),可得原方程的解為玉=>/5,X2=F/^,X3=石4.

請你參考明明同學的思路，解方程(工一1)4一5(工一1)2-6=0.

【答案】x]=\+\[b,&=1-庭

【分析】設(I-1)2=y，則原方程化為一元二次方程：r-5,v-6=0,先解出y的值，再進一步解出X的

值.

【詳解】解：設(x—1)2=)，，則原方程可化為：y2-5y-6=o.

解得：》=6,y2=-l,

(1)當y=6時，(x-1)2=6,解得內=1+#，4=1-娓,

(2)當y=-l時，(x-l)2=-l,此方程無實數根，

綜合(1)(2),可得原方程的解是：玉=1，X,=1--76.

2.(2026.江蘇南通.模擬預測)已知〃、人滿足(/-⑹(/-〃+4)+4=0,則代數式的道為()

A.-2B.4C.-2或4D.2

【答案】A

【分析】設/—〃=一將等式(/一〃)(/一從+4)+4=0變形為x5+4)+4=0,解方程即可.

【詳解】設

由(/一從乂6/一〃、4)+4=0,得X(X+4)+4=0,

化簡得f+4X+4=0,

解得％=x2=—2,

即/一"=一2.

3.(25-26九年級上?湖北孝感?期口)已知(>+〃2)2+3(川+叫一]o=o,則加2+〃2=.

【答案】2

【分析】本題主要考查了換元法解一元二次方程，掌握運用換元法解一元二次方程是解題關鍵.

根據換元法可得一元二次方程，然后運用因式分解法解一元二次方程即可解答.

【詳解】解：設

???"+/J+3(>+〃2)-10=()

則7+310=0,

.-.(/-2)(/+5)=0,

則7+5=0或/一2=0,

.?"=2或，=一5<0(舍去)；

Ytr+n~=2?

故答案為：2.

4.(24-25八年級上?上海?月考)解方程：(4X-I)2-10(4X-1)-24=0

【答案】為=；,-^2=~~7?

【分析】令得到關于/的方程，利用配方法求得4=12,/2=-2,進而求出x的值即可.

【詳解】解：令，=4x—l,代入方程得/_10”24=0,

.「-10/-24=0,

/.“10”24,

.\r-10r+25=24+25,

.?.(-5)2=49,

.\/-5=±7?

解得：4=12,t2=-2,

當41一1=12時，工=與，

4

當44-1=-2時，x~~~?

4

13\

二?原方程的解為玉吟，x2=--.

知識點三已知方程的根，因式分解求參數

1.(2026?山東濟南?二模)若關于x的一元二次方程f+工一〃?=。的一個根是工=1,則另一個根是()

A.x=2B.x=-2C.x=3D.x=-3

【答案】B

【分析】先將已知根代入方程求出〃?的值，再解一元二次方程得到另一個根.

【詳解】解：?.“=1是一元二次方程/+x7〃=0的根，

?,.|2+l-/n=O,

解得〃?=2,

???原方程為X2+X-2=O,

解得X]=1,工2=-2,

二方程的另一個根為x=-2.

2.（25-26八年級下?山東威海?期口）已知關于工的一元二次方程+文+>+加一6=0的一個根為

0,則〃?的值為.

【答案】-3

【分析】將》=0代入原方程得到關于小的方程，結合一元二次方程的定義，即二次項系數不為0,篩選得

到符合條件的小的值.

【詳解】解：把x=0代入（〃L2*+x+〃+,〃-6=0得加+加一6=0,

因式分解得（〃葉3）（〃?-2）=0,

解得〃％=-3,“4=2,

,?,原方程是關于x的一元二次方程，

2Ho,

即〃?w2,

因此〃?=—3.

3.（25-26八年級下?福建福州?期口）已知關于％的方程F-加:+州-1=0.

（1）求證：不論/〃取何值，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）若方程有一根為4,求機的值.

【答案】（1）見解析

（2）m=3或〃?=5

【分析】（1）證明△=（-力〃）2-4（/-1）>0即可；

（2）把x=4代入原方程得到關于〃?的方程，解方程即可得到答案.

【詳解】⑴證明：由題意得，A=（-2m）2-4（m2-l）

=4m'一4"『+4

=4>0,

???不論〃?取何值，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）解：???方程有一根為4,

二把％=4代入x2-2//1￥+m2-1=0得4°-+“/一1=0,

解得〃?=3或〃?=5.

4.（25-26八年級下?安徽安慶?期口）已知關于尤的方程f-（2心1）1+二+1=0.

（1）若x=-2是該方程的一個解，求左的值；

⑵若該方程有實數根，求攵的取值范圍.

【答案】（1）占=-1&=一3

3

4

【分析】（1）將”=一2代入f-（2女-1）工+公+1=0,然后解方程即可得到4=7,七=一3：

（2）根據根的判別式△之0,可求得出的取值范圍.

【詳解】（I）解：二x=-2是關于上的方程/一（2"3+二+1=0的一個解，

.-.（-2）2-（2A:-1）X（-2）+A2+I=0,

整理得公+軟+3=0，

解得仁=-1&=-3：

（2）解：???關于x的方程幺一（24-1）工+公+1=0有實數根，

,-.[-（2A:-l）]2-4xlx（jl2+l）=-4A-3^0,

解得女”，

4

即時，關于”的方程f—（22-1）工+公+1=0有實數根.

知識點四解分式方程（化為一元二次方程）

2r

I.（25-26八年級下?河南周口?月考）分式方程一一二一二的正數解為（）

x-1x+2

A.x=-4B.A'=4C.x=—2D.x=2

【答案】B

方程兩邊同乘(x-l)(x+2)得:2(x+2)=x(x-l),

整理得：X2-3X-4=0.

因式分解得：(-1)=0.

解得x=4或x=T,

檢驗：當x=4時，"-1)(4+2)。0,

當了=-1時，(xT)(%+2)工0,

???原方程的正數解為或工=4.

2.(2026九年級下.北京?專題練習)分式方程一、+1=「工的解為

x-1x--l

【答案】x--2

【分析】先將分式方程化為整式方程，解整式方程后檢驗，排除增根即可得到原方程的解.

]2

【詳解】解：一?+1==\,

x-\x-\

方程兩邊同乘公分母(x—l)(x+l)，得X+1+(V-1)=2,

整理得_?+工一2=0,

囚式分解得(x十2)(工一1)=0,

解得＞=-2或x=l,

檢驗：當x=l時，(x-l)(x+l)=0,故x=l是增根，舍去；

當x=—2時，(x-l)(x+l)w0,滿足方程要求；

因此原分式方程的解為x=-2.

x2-13

3.(2026?上海徐匯?二模)分式方程「1=一;^一右的解是___________.

x+2xx(x+2)

【答案】x=2

【分析】先將分式方程化為整式方程求解，最后檢驗所得根是否使原分式方程分母不為零.

【詳解】解:

x2+2xx(x+2)

X2-13

對分母因式分解得1—八二一^不，

x(x+2)x(x+2)

方程兩邊同乘最簡公分母x(x+2),得丁-1=3

整理得爐=4

解得X]=2,42=-2

檢驗：當x=-2時，x(x+2)=0,原分式方程分母為零，

因此x=-2是增根，舍去；

當工=2時，x(x+2)=2x4=8#0,滿足原分式方程分母不為零的要求.

因此原分式方程的解為＞=2.

4.(2026?上海普陀?二模)解方程：,10=^-.

x+2x--x-6x-3

【答案】%=7

x102

【詳解】解?：原方程可化為二FE布

方程兩邊同乘最簡公分母(》一3)(*+2),得X(X-3)-10=2(X+2)

展開整理得工2一5/-14=0

因式分解得(X—7)(X+2)=0

解得％=7,毛=-2

檢驗：當x=-2時，*-3)(x+2)=0,原分式方程分母為0,無意義，因此％=-2是增根，舍去

當工=7時，(X-3)(X+2)H0

因此原方程的解為x=7

知識點五因式分解法解一元二次方程實際應用題

1.(25-26九年級上?吉林白城?月考)一個小球以5m/s的速度開始向前滾動，并且均勻減速，4s后小球速

度為lin/s.

(1)小球的滾動速度平均每秒減少m.

(2)小球從開始到停止滾動時，共滾動了多少m?(直接寫出答案)

(3)小球滾動8m用了多少秒？(提示：勻變速直線運動中，每個時間段內的平均速度萬(初速度與末速度

的算術平均數)與路程時間，的關系為S=歷.)

【答案】(1)1

(2)共滾動了12.5m

(3)小球滾動8m用了2秒

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，重點在于求出平均每秒小球減少的速度，而平均每秒小球的運

動減少的速度等于速度變化+小球運動速度變化的時間，掌握此關系式是關鍵.

(1)從滾動到小球速度為lm/s平均每秒速度減少值為：速度變化?小球運動速度變化的時間；

(2)利用開始的速度與停止時的速度差除以時間等于速度平均每秒減小的量，即可求出小球從開始到停

止滾動的時間，再利用s=歷求得小球從開始到停止滾動的距離；

(3設小球滾動到8m時的時間為心，根據s=譏得到方程，解方程即得到行駛時間.

【詳解】(1)解：與l=

4

即小球的滾動速度平均每秒減少1m,

故答案為：I;

(2)解：(5-0)-l=5(s),

=12.5(m)；

2

答：小球從開始到停止滾動時，共滾動了12.5m；

(3)解：設小球滾動到8m時的時間為

由題意得：一七——-x=8,

整理得：X2-10X+16=0,

解得：玉=2,七=8(舍去)，

答：小球滾動8m用了2秒.

2.(2026?重慶?模擬預測)跳繩是我市中考體育考試的必考項目之一.該項目練習成本低，且運動安全性

較高.

(1)一副跳繩由兩個手柄和一根繩子組成.某工廠生產該型號跳繩，一名工人每天可生產600個手柄或120()

根繩子.現安排10名工人進行生產，應如何分配工人，才能使每天生產的手柄與繩子恰好配套？

(2)小王和小林兩名同學進行跳繩訓練，小王計劃一次跳600個，小林計劃一次跳900個.已知小林平均每

分鐘跳繩個數比小王少20個，兩人同時開始跳繩，過程中小王因鞋帶散開系鞋帶耽誤了15秒，最終小王

比小林提前1分45秒完成訓練.求小林平均每分鐘跳繩多少個。

【答案】(1)安排8名工人生產手柄，2名工人生產繩子才能恰好配套.

⑵小林平均每分鐘跳繩180個.

【分析】（1）設安排生產手柄有X名工人，則繩子的工人有。0-力名，再分別表示手柄，繩子的生產數

量，結合一副跳繩由兩個手柄和一根繩子組成，再建立方程求解即可；

（2）設小林平均每分鐘跳繩〃?個，則小王平均每分鐘跳繩（，〃+2（））個，則利用時間關系建立分式方程求解

即可.

【詳解】（1）解：設安排生產手柄有x名工人，則繩子的工人有（10-x）名，

由題可知：1x600x=1200（10-x）,

解得：x=8,

—）-8=2（名），

答：安排生產手柄有8名工人，生產繩子工人有2名；

（2）解：設小林平均每分鐘跳繩，〃個，則小王平均每分鐘跳繩（加+20）個，則

60015900——7

，〃+2060m4

解得：〃?=180或〃?=-50（不合題意，舍去），

經校驗：加二180是原方程的根，且符合題意；

答：小林平均每分鐘跳繩180個.

3.（25-26九年級下?重慶開州?期口）某廣告公司承包了一項產品推廣工作，派遣了甲組和乙蛆共同參與，

已知乙組的工作效率是甲組的力，甲組先單獨做了5天，之后甲組和乙組又合作了20天，剛好如期完成了

整項工作.

⑴求甲組單獨完成整項工作需要多少天？

（2）推廣工作結束后，該公司負責人為提高業績，立即發售代表該產品的特色套裝紀念品，每套紀念品進價

20元，定價為40元，發售前進行市場調查，售價40元時，每天可賣800套，而售價每漲3元，日銷售量

就減少60套，若想每天獲利1（X）00元，在售價不低于原售價的基礎上，那么該紀念品的售價應為多少元？

【答案】（1）甲組單獨完成整項工作需要41天

⑵該紀念品的售價為70元

【分析】（1）根據工作總量=工作時間x工作效率，設甲組單獨完成整項工作需要x天，則甲組的工作效

率是上，乙組的工作效率是占，艱據工程的完成情況列方程解答即可.

x5x

（2）根據利潤=（售價-進價）x銷售量，設該紀念品的售價為y元，根據漲價后的銷售情況列方程解答

即可.

【詳解】（1）解：設甲組單獨完成整項工作需要X天，則甲組的工作效率是,，乙組的工作效率是占，

x5x

5（\4、

由題意可列方程：一+20-+丁=1,

xyx5x）

解得：x=41,

經檢驗，x=41是原方程的解，且符合題意，

答：甲組單獨完成整項工作需要41天；

（2）解：設該紀念品的售價為y元，

由題意可列方程：（y-2。）800-y（y-40）l=10000,

整理得：（尸30）（），-70）=0,

解得：>'.=30,%=70,

y>40,

y=70.

答：該紀念品的售價為70元.

4.（25-26九年級上.重慶黔江?期天）某快遞公司分揀中心有兩臺自動分揀機（型號甲、型號乙），專門處

理小件快遞的分揀工作，機器效率穩定且符合行業實際標準：甲分揀機每小時能分揀400件快遞，乙分揀

機每小時能分揀500件快遞.

⑴電商大促期間，快件量激增，兩臺分揀機輪流工作共用了11小時，要確保分揀的快遞總數不少于5000

件才能避免快件積壓，保障配送時效，則乙分揀機至少需要工作多少小時？

（2）日常運營中，原計劃兩臺分揀機每天均工作8小時.為提升分揀效率，中心對機器進行了系統升級和算

法優化：實際工作中，甲分揀機每小時比原計劃多分揀100。件（a>0）,且每天比原計劃少工作2〃小

時；乙分揀機每小時比原計劃多分揀100件，每天比原計劃少工作。小時.調整后，兩臺機器一天恰好分

揀快遞6000件，求。的值.

【答案】（1）乙分揀機至少工作6小時

（2）。的值為2

【分析】本題考查一元一次不等式和一元二次方程的實際應用，掌握一元二次方程的實際應用是解題的關

鍵.

（1）設乙分揀機工作x小時，則甲分揀機工作（U-x）小時，根據題意，列出不等式

400（1l-x）+500x>5000,求解即可；

（2）根據題意，列出方程（400+l00a）（8—2a）+600（8—〃）=6000,求解即可.

【詳解】（1）解：設乙分揀機工作“小時，則甲分揀機工作（11-“小時，

根據題意列不等式，400（1l-x）+500x>5000

解得xNG

答：乙分揀機至少工作6小時；

（2）根據題意，甲分揀機實際效率為（400+1000件/小時，實際工作時間為（8-勿）小時：乙分揀機實際效

率為600件/小時，實際工作時間為（8-。）小時，

根據題意列方程，（400+100。）（8-2〃）+600（8-a）=60（X）,

解得a=2,a=-5（不符合題意，故舍去），

答：。的值為2.

知識點一含參數復雜一元二次方程因式分解綜合求解

I.（25-26八年級下?江蘇蘇州?期口）關于工的一元二次方程/+〃氏+2（〃?-2）=0.

⑴求證：方程總有實數根；

⑵若該方程有兩個負實數根，求陽的取值范圍.

【答案】（1）見解析：

（2）附的取值范圍是">2.

【分析】（1）根據△=〃72-4x1x2（2）=（，〃一4『2。即可求證；

（2）先解方程解得玉=-2,x,=2-/?,然后由該方程有兩個負實數根，則有2-6<0,解得例>2,從

而求解.

【詳解】（1）證明：△=〃Z2-4X1X2（〃L2）

=m1-8/W+16

=（.'w-4）'>0,

???方程總有實數根;

(2)解：x2+〃優+2(〃？-2)二0

x2+〃zx+2機-4=0

x2-4+rnx+2ni=0

(x+2)(x-2)+/〃(x+2)=0

(x+2)(x+/〃-2)=0,

解得：百=-2,x2=2-m,

???該方程有兩個負實數根，%=-2<0,

.-.X=2-/??<0,解得：m>2,

??.〃?的取值范圍是加>2.

2.(25-26八年級下.浙江杭州?期口)已知關于工的一元二次方程(A+1)/+(Z+3)X+2=0.

(1)判斷該一元二次方程根的情況；

(2)若方程有一個根為-2,求女的值及方程的另一個根；

(3)若方程的一個根是另一個根的2倍，求攵的值.

【答案】(1)當k=l時，原方程有兩個相等的實數根；當女01且kw-1時，原方程有兩個不相等的實數根

(2),t=0,方程的另一個根為-1

(3)k=0或攵=3

【分析】(1)根據一元二次方程的定義可得％的取值范圍，再計算△可判斷方程根的情況；

(2)把％=-2代入原方程求解攵，再解一元二次方程可得答案；

(3)先解含參數的一元二次方程，再分兩種情況討論即可.

【詳解】(1)解：???關于x的一元二次方程(％+l)f+("3)x+2=O,

??.k+」w0,

:.k*—l,

而A=(&+3)2-4X2(A+I)

=/C-2k+\

=(fc-l)2>0,

???當〃=1時，原方程有兩個相等的實數根，當人工1且kw-1時，原方程有兩個不相等的實數根.

(2)解；?.?方程有一個根為-2,

.?.4(&+1)-2僅+3)+2=0,

解得：％=0,

???方程為：f+3x+2=0,

.-.(x+2)(x+l)=0,

解得：內=-2,x2=-\,

二方程的另一個根為-1.

⑶解：?.?(攵+1)/+(&+3)%+2=0,

[伏+l)x+2](x+l)=0,

.-.(Z:+l)x+2=0,x+1=0,

2

解得：x=----?x=-\,

[K+l2

???方程的一個根是另一個根的2倍，

???當-丁匚=2x(-1)時，解得：k=0,經檢驗符合題意；

當2、二=-1時，解得：k=3,經檢驗符合題意；

綜上：2=0或左=3.

3.(25-26八年級下?安徽蚌埠?期口)己知：關于x的方程，渭十(〃一2)x-2=0(〃w0).

(1)求證：方程總有兩個實數根；

(2)如果〃為正整數，且方程的兩個根均為整數，求〃的值.

【答案】(1)見解析；(2)〃=1或〃=2

【分析】(1)利用根的判別式進行證明即可；

(2)將原方程因式分解可得：(秋-2)(x+l)=0,解得x2=-l,方程兩個根均為整數，〃為正整

數，即可得到答案.

【詳解】(1)證明：?.?”()，

???該方程為關于x的一元二次方程，

△二(〃-2y-4x〃x(-2)=〃。-4〃+4+8〃=〃，+4〃+4=(〃+2)‘，

???("+2)2R,即△之0,

無論〃取不為0的任意實數，方程總有兩個實數根；

（2）解：將原方程因式分解可得：（心-2）（x+l）=0,解得兩個根分別為玉=：,x2=-l,

T方程兩個根均為整數，〃為正整數，

，工必須為整數，

n

二.“=1或〃=2.

4.（25-26八年級下?浙江杭州?期口）已知關于工的方程幺一4丘+4公一1=（）.

⑴求證：無論k取何值，該方程總有兩個不相等的實數根.

（2）若該方程的兩個實數根七，Q，且滿足2%="2（%〈股），求日的值.

【答案】（1）見解析

3

⑵

【分析】（1）求出判別式的符號，即可得證；

（2）因式分解法解方程得出內=2攵-1,々=2火+1,結合已知條件，列出關于〃的一元一次方程，解方程,

即可求解.

【詳解】（1）證明：vx2-4A^+4fc2-1=0,

...△=（-44—4（4攵2-1）=165-165+4=4>0,

.??無論〃取何值，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）解：/一46+4公一1=0

A（X-2A:-1）（X-2A：4-1）=0

再<x2

XI=2k-\,x2=2A+1

2xi=x2

.?.2（21）=22+1

解得舊

知識點二結合幾何圖形的方程綜合題

1.（24-25八年級下?浙江溫州?期口）已知關于工的方程￡—（2A+l）x+4k—2=0

⑴求證：無論A取何值，此方程總有實數根.

（2）若等腰VA8C的一邊長。為4,另兩邊Ac的長恰好是這個方程的兩個根，求這個等腰三角形的周長.

【答案】（1）見解析

⑵1。

【分析】（1）先計算判別式的值得到4=（2攵-3）220,根據判別式的意義即可得到結論：

（2）分類討論：當。=c時，方程有兩個相等的實數根，解得人;，然后解方程得到〃=c=2；當

〃=。=4或c=〃=4時，方程幺-（2%+1卜+4憶-2=0有一個根/=4,可解得A的值，則代入方程可解答.

【詳解】（I）證明：△=[—（2k+l）r—4xlx（4A—2）

=4〃+4%+1-162+8

=4^-122+9

=（2"3）2

???無論1取何值,（2無-3『20

??.△=（2攵-3『20

???無論攵取何值，此方程總有實數根；

（2）解：由（1）得△=（2左一3）’，

①當b=6?時，即方程有兩個相等的實數根，

.?.△=（22-3）2=0,

解得料，

.??把&='!代入f-（2Z+l）x+4A-2=0,

/3A3

得/-2x-+lx+4x--2=0,

I2J2

整理得f-4x+4=0

.*.（X-2）2=0

x-2

???2+2=4,

???不能構成三角形，舍去

②當占=。=4或c=a=4時，即方程(2%+l)x+4k—2=0有一個根x=4,

.?.16-(2k+l)x4+4"2=0

解得：k=?

方程化為x2-6工+8=(工一2)(工一4)=0,

x=

解得\2,x2=4,

即三邊為4,4,2,能構成三角形,

則周長=4+4+2=10,

這個等腰三角形的周長是10.

2.(25-26八年級下?浙江?期中)已知關于x的一元二次方程(k+l)x+2Z—2=0.

⑴求證：無論A取任何實數值，方程總有兩個實數根；

⑵若等腰VABC的周長為7,且兩邊長m〃恰好是這個方程的兩個根，求大的值.

【答案】(1)見解析

(2)k=3.5或4或3

【分析】(1)根據一元二次方程根判別式證明即可；

(2)根據題意求出司=2,x2=k-lt再分三種情況解答即可，.??第1種情況：當％-1是腰，2是底邊時;

第2種情況：當2是腰，攵-1是底邊時：第3種情況：當火-1、2是腰時.

【詳解】(1)解：△=[—(%+1)了一4x(2左一2)=&2+2%+1—8%+8

=k2-6k+9

=(t-3)2>0,

該方程總有兩個實數根.

⑵解：--(&+l)x+2&-2=0,

.?.[x-(/c-l)](x-2)=0,

.?.工-(4-1)=0或4-2=0,

解得：％=2,x2=k-\,

即a=2,b=k-\,

???第1種情況；當k1是腰，2是底邊時，2+k—T+k—l=7,

:.k=3.5?

:.k-\=2.5,

V48c的三邊長為：2.5、2.5、2,能組成三角形；

第2種情況：當2是腰，01是底邊時，2+2+&-1=7,

：.k=4,

A-1=3,

V4?C的三邊長為：2、2、3,能組成三角形；

第3種情況：當攵—1、2是腰時，攵一1=2,

:.k=3,

VA3C的三邊長為：2、2、3,能組成三角形，也滿足周長為7；

綜上所述：1=3.5或4或3.

3.（25-26八年級下?浙江嘉興?期口）己如VA。。的一條邊〃。的長為5,另兩邊A3、AC的氏是關于x的

一元二次方程x2-（2左+3）X+公+3八2=0的兩個實數根.

（1）求證：無論k為何值，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）當々為何值時，VA3c為直角三角形.

【答案】（1）

見解析

⑵

欠的值為2或11

【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式，計算得到判別式恒大于0,即可得證：

（2）先解一元二次方程得到另兩邊的長度，再分BC為斜邊、為直角邊兩種情況，結合勾股定理列方

程求解，再根據三角形三邊關系可得符合條件的解即可.

【詳解】（1）證明：原方程為f-（2&+3）X+/+34+2=0,

.?.△=［-（2%+3）了-4（&2+32+2）=4%2+12左+9-4&2一|22-8=1,

vl>0,

???無論女為何值，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）解：對原方程因式分解得｝-伏+1）］卜-（左+2）］=0,

解得再一％+1，x2-k+2t

即另兩邊長分別為攵+1和攵+2,

根據三角形三邊關系可得1+1>0,k+2>0,(Z+l)+(Z+2)>5,

解得Q-l,k>-2,k>\,

:.k>T,

分兩種情況討論：

當8C為斜邊時，由勾股定理得(A+l)，(A+2)2=52,

整理得&2+3比-10=0,

解得2=2或4=-5(不合題意，舍去)；

當BC為直角邊時，k+2>k+\,

「?長為左+2的邊為斜邊，

由勾股定理得(4+1)2+52=(2+2)2,

整理得2&=22,解得&=11,

綜上，％的值為2或11.

4.(25-26八年級卜.?山東德州?期口)閱讀材料，解決問題：探究平面內兩點間的距離：設《(2)1)，

EK，）”

如圖I>當1，△縱坐上小相同時，66二|玉一司，當公，△橫坐木小相同時，《號=卜1一%|

得兩點間距離公式為［6=『+(%-X)2

請直接利用兩點間距離公式，解決下列問題：

⑴平面直角坐標系中有兩點4(5,7),8(2,3),則線段A8長為

⑵已知一個三角形各頂點坐標為,4(-1,4),秋-3,1),C(