第二章 相交線與平行線 同步測試卷-2025-2026學年北師大版七年級數學下冊

第二章相交線與平行線

1兩條直線的位置關系

第1課時對頂角、余角和補角

宴出題

知識點1相交線與帝亍線

1.在同一平面內，兩條直線的位置關系可能是（）

A相交B.平行

C.平行或相交D.平行且相交

知識點2對頂角

2.下列圖形中，/I和N2是7寸頂角的是（）

4.如圖，直線AB,CD相交十點0.若/1=80。/2=30。,則NAOE的度數為（）

A.30°B.50°C.60°D.80°

5.如圖.直線AB,CD相交于點O.已知NBOC=75o,ON將NAOD分成兩個角，且NAON:NNOD=2:3,求NAON的

度數.

A

c

QN

D

8

知識點3余角和補角

6.如圖直線AB,CD相交于點O,NAOD=14()。廁NAOC的度數是()

A.400

B.50°

C.60°

D.70°

7.若NA=55。,則NA余角的度數為補角的度數為.

8.若NA+NB=18()O,NB+NC=180OJI!!JNANC,理由是

9.已知一個角的補角是這個角余角的4倍，則這個角的度數為一.

10如圖,NAOB=120°,OF平分/AOB,N2=2ZI.

⑴N1與N2互余嗎?i式說明理由.

(2)/2與NAOB互補嗎？試說明理由.

易錯點未給出圖形，沒有分類討論而致錯

11兩條直線相交所成的四個角中，有兩個角分別是(2L10)和(110r)二則h

B中檔題

12如圖，三條直線a,b,c相交于一點則Nl+N2+N3=()

A.36O。

B.1800

b

2

C.120°

D.90°

13如圖，將一副三角板按不同的位置擺放，則使/a與互余的擺放方式是()

15如圖，要測量兩堵墻所形成的/AOB的度數，但人不能進入圍墻，該如何測量呢?請你寫出兩種不同的測

量方法，并說明幾何道理.

16如圖1,NAOC和NBOD都是直角.

(1話NDOC=32。,則NAOB的度數為—。若NDOC越來越小廁NAOB如何變化?

(2戲出圖1中相等的角，并說明理由.

(3底圖2中利用能夠畫直角的工具畫一個與NFOE相等的角.

D

圖2

綜合題

17觀察如圖所示的各角，尋找對頂角(不含平角).

圖1

⑴圖1中有一對對頂角，圖2中有二寸對頂角，圖3中有一對對頂角.

(2)若有n條直線相交于一點，則共有一對對頂角(用含n的代數式表示).

(3)若有2025條直線相交于一點，則共有_____對對頂角.

第2課時垂直

A基礎題

知識點1垂直的定義

1.如圖直線AB與CD相交于點0.

（l）SZA0C=，則AB1CD.

（2港AB_LCD4!JZAOC的度數B.

2.如圖,A0_LC0,且NBOC=30。,則/AOB的度數是（）

A.45°B.60°C.55°D.50°

3.如圖，直線AB和CD相交于點0,0E_L0C.若/AOC=58。,則NEOR的度數為（）

A.29。

B.32。

C.45°

D.58°

4.如圖,BO_LA0于點OQB平分/COD,NAOC=70。.求/DOA的度數.

A

知識點2畫垂線

5.過直線1外一點P畫1的垂線CD,下列各圖中，利用三角板操作正確的是（）

6.如圖,P是NAOB的邊0B上的一點，用無刻度的直尺畫圖.

（1試點P畫0A的垂線，垂足為H.

（2試點P畫0B的垂線，交0A于點C.

知識點3垂線的性質和點到直線的距離

7.如圖,A是直線I外一點，點B,C,D在直線I上，連接AB,AC,AD.若ACJJ,則點A到直線I的距離是（）

A.線段AB的長B.線段AC的長

D.線段BD的長

8.如圖，要將水渠1中的水引到點P處，在什么地方開挖，才能使溝最短，理由是（）

A.點A處，兩點之間，線段最短

B.點B處，垂線段最短

C.點D處，垂線段最短

D.點C處，兩點確定一條直線

9.如圖,OM_LNP,ON_LNP,所以直愛ON與0M重合，理由是

1()如圖，在三角形ABC中,AC_LBC,CDJ_AB,則點A到直線BC的距離是線段—的長度.

11在直線AB上任取一點0,過點O作射線OC,OD,使OC_LOD.當NAOC=45。時,NBOD的度數是.

B中檔題

12如圖點O在直線AB上,OC_LOD于點O.若NB()D=3NBOC、則NAOD的度數為()

A.112.50

B.1150

C.117.50

D.I25。

13.如圖，這是光的反射示意圖，CO是入射光線,OD是反射光線，0E是法線,EO_LAB,NEOD是反射角,NC

OE=NEOD.若NAOC=2NE0D,則入射角NCOE的度數為)

A.30。C.45。D.6O0

第13題圖

14如圖，在三角形ABC中,NACB=90o,AC=3,BC=4,AB=5,P為直線AB上一動點，連接PC,則線段PC的最小值

是()

A.3B.2.5C.2.4D.2

15如圖，直線AB,CD相交于點0,0E平分NAOD,OF_LAB.

(1)若NC0F=5()。,求NCOE的度數.

(2)若NBOD:NEOD=1:2,求NCOF的度數.

綜合題

16如圖，O為直線AB上一點，0C為一射線，OE平分NAOCQF平分NBOC.

⑴若/BOC=50。試探究OE與OF之間的位置關系.

(2)若N8OC=a((T<a<180),則⑴中OE,OF的位置關系是否仍成立?請說明理由.

2探索直線平行的條件

第1課時利用同位角判定兩直線平行及平行公理

A基礎題

知識點1認識同位角

1.如圖，N1的同位角是()

A.Z2

C.Z4

第2題圖

A.Z1和N2B.N1和N3

C./I和N4D.N2和N3

知識點2同位角相等，兩直線平行

3如圖，直線a,b被直線c所截.當N1—N2時,a〃b（填＜或

4.過直線外一點作已知直線的平行線的方法如圖所示，其依據是

5.如圖，若Nl=/2,則—//—;若/2=/3,則—//—.

第5題圖第6題圖

6.根據要求完成卜面的填空:

如圖、直線AB,CD被EF所截，已知/1=/2試說明:AB〃CD.

解根據得N2=N3.

VZ1=Z2,

AZ1=Z_.

；?AB//().

7.如圖點B在DC上.BE平分/ABD,NABE=NC.試說明:BE〃AC.

知識點3平行公理

8.如圖，已知OM〃a,ON〃a,所以O,M,N三點共線，理由是______________

?■,?-------

0MN

-----------------a

9.如圖，P,Q分別是直線EF外兩點.

(1過點P畫直線AB//EF,過點Q畫直線CD//EF.

(2)AB與CD有怎樣的位置關系.為什么？

Q

■

P

.

E-----------------------F

io在平面內，過一點作已知直線的平行線，可作平行線()

A.0條B.1條

C.0條或1條D.無數條

B中檔題

11風箏是中國古代勞動人民發明于舂秋時期的產物，其材質在不斷改進之后，坊間升始用紙做風箏，稱為

''紙鶯;如圖所示的紙骨架中，與N1構成同位角的是()

B.Z3D.Z5

12如圖，已知/1=90。，為保證兩條鐵軌平行，添加下列條件，其中正確的是（）

A.Z2=90°B.Z3=90°

C.Z4=90°D.Z5=90°

第12題圖第13題圖

13如圖，將木條a,b與木條c釘在一起，/1=85。,/2=45。.要使木條a與b平行廁木條a按箭頭方向旋轉的

度數至少

14看圖填空，并在括號內注明說理依據.

如圖，已知AC_LAE,BD_LBF,/l=35o,/2=35。,則AC與BD平行嗎？AE與BF平行嗎?

AZ1=Z2.

:.〃().

又???AC_LAE(已知)，

:.ZEAC=90°().

:.ZEAB=ZEAC+Z1=°.

同理可得,ZFBG=ZFBD+Z2=_°.

/.ZEAB=ZFBG().

???一〃一(同位角相等，兩直線平行).

15如圖，直線EF分別與直線AB,CD相交于點P,Q,PG平分NAPQ,QH平分NCQF,并且N1=/2,說出圖中哪

些直線平行，并說明理由.

E

綜合題

16探索與發現：

(1應同一平面內，若直線。4。2處，。3,則直線心與輸的位置關系是一,請說明理由.

(2芯同一平面內，若直線(71_La2〃2_La3，a3_La%a4_La5,則直線a與as的位置關系是_________.

(3)在同一平面內，現在有2025條直線21初商,...聲2025,且有用_L牝,。2，。3招3_1_24抱4_1_25,...,依次招^,則直線ai與a2

出的位置關系是___________

第2課時利用內錯角或同旁內角判定兩直線平行

A基礎題

知識點1認識內錯角、同旁內角

1.如圖，與NI是內錯角的是()

A.Z2B.Z3C.Z4D.Z5

第1題圖第2題圖

2.如圖，下列各角是/I的同旁內角的是（）

A.Z4B.Z2

C.Z3D.以上都不是

知識點2內錯角相等，兩直線平行

3如圖，小明利用兩塊相同的三角板，分別在三角板的邊緣畫直線AB和CD,并由此判定AB〃CD,這是根

據兩直線平行”.

第3題圖第4題圖

4.如圖，若N1=N2,則—〃一;若/3=/4,則—//—.

5.如圖.已知CD1DA,DA_LAB,N1=N2.試說明：DF〃AE.請完成下列填空，并在括號內把依據補充完整.

解???一,i

:.ZCDA=90°,ZDAB=90°().

工/1+/3=90。,/2+Z4=90°.

又???N1=N2,

:.DF〃AE().

知識點3同旁內角互補，兩直線平行

6.如圖，若/1=100。,/4=80。,則—〃理由是

若N3=70”,則當N2=時,可推出AB/7CD.

第6題圖第7題圖

7.如圖，已知四邊形ABCD,要判定人13〃?口,需添加的一條件是

8.如圖，/B=50°,CG平分ZDCF,/DCG=65。.試說明:AB//EF.

知識點4用尺規作已知直線的平行線

9.如圖所示，過點P畫直線a的平行線b的作法依據是()

A.平行公理

B同位角相等，兩直線平行

C.同旁內角互補，兩直線平行

D.內錯角相等，兩直線平行

10如圖，有一塊三角形紙板ABC,D是AB上一點，現要求過點D剪出一塊小的三角形紙板ADE,使NAD

E=ZABC.

⑴用尺規作出NADE(要求：不寫作法，保留作圖痕跡).

⑵判斷BC與DE的位置關系，為什么？

c

1I如圖,下列條件:①/1=N4;②N2=N3;③NB=ND；④NB=NDCE;⑤ND+NDCB780。.其中能判定AB/7DC

的是()

A.①②③

B.②④

C.①③⑤

D.①②④

中檔題

12數學課上，老師用雙手形象地表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩根大拇指代表被截直線，食指代表截

A.同旁內角、同位角、內錯角

B.同位角、內錯角、對頂角

C.對頂角、同位角、同旁內角

D.同位角、內錯角、同旁內角

13如圖，下列說法錯誤的是

A若a〃b,b〃孰則a〃c

B若N1=N2,則a〃c

C若N3=N2廁b〃c

D.若N3+N5=180。,則a〃c

14隨著我國科學技術的不斷發展，科學展望變為現實.圖1是我國自主研發的某型號戰斗機模型，全動型后掠

翼垂尾是這款戰斗機的亮點之一.圖2是垂尾模型的示意圖，現測量垂尾模型的外圍數據如下：①NC=60。；②ND

=135。;③/ABC=120。.垂尾模型要求的位置標準之一是AB//CD,如選擇數據可判斷模型位置是否達標(填

序號).

圖1圖2

15如圖，已知/DAC,以B為頂點，射線BC為一邊，利用尺規作/EBC,使得NEBC=NA.

⑴用尺規作出NEBC(不寫作法，保留作圖痕跡).

(2)EB與AD一定平行嗎?簡要說明理由.

ABC

綜合題

16如圖，臺球運動中母球P擊中桌邊的點A,經桌邊反彈后擊中相鄰的另一桌邊的點B,再次反彈后經過點

C(提示ZPAD=ZBAE,ZABE=ZCBF).

⑴若NPAD=32。,求/PAB的度數

⑵已知NBAE+NABE=90。,母球P經過的路線BC與PA一定平行嗎?請說明理由.

3平行線的性質

第1課時平行線的性質

基軸題

知識點匚兩直線平行，同位角相等

1.如圖，直線a〃b,Nl=40*ljN2=()

A.30。

B.400

C.50°

D.60°

2.如圖丹〃b,Nl=60。廁N2的度數為(

A.900B.1000

第2題圖

3如圖，一束平行光線照射平面鏡后反射,N1=N2,N3=N4.若入射光線與平面鏡的夾角Z1=50。，則反射光線

與平面院的夾角N4的度數為

A.400B.5O°C.60°D.70°

4.如圖，已知a,b,c,d四條直線閏〃b,c〃d,N1=110。,求N2的度數

5.如圖，乙地在甲地的北偏東5()方向上，則N1的度數為()

A.60B.5()C.40°D.3()

6將三角板ABC按如圖所示的位置擺放，頂點A落在直線1.±,頂點B落在直線L上.若h1=25。,則N2

的度數是（）

A.45°B,35°C.30°D.25°

7.如圖,AD是ZEAC的平分線,AD//BC若ZBAC=100。,求NC的度數.

BC

知識點3兩直線平行，同旁內角互補

8.如圖，一條公路的兩側鋪設了AB,CD兩條平行管道，并有縱向管道AC連通.若/1=120。劉N2的度數是

A.50°B.60°C.70°D.80°

(fd

VDAE

第8題圖第9題圖

9.如圖,ABNCD/B工4E,NC4E=42°廁/ACD=_

10如圖，已知AB//CD,AD〃BCJIJZB與/D相等嗎?請說明理由.

DC

B

11已知N1與N2是同旁內角,N1=6O。,則N2的度數是()

A.60°B.120°

C.60c或120°D.不能確定

中檔題

12如圖,AB〃DC,BC//DE,ZB=145。,則ZD的度數為

A.25°

B.35。

C.45°

D.55°

13河南"小豫米''應邀到哈爾濱觀賞冰雕，其中一個“小豫米''從某個角度發現一座冰雕（圖1）中隱藏著數學問

題，建立模型如圖2所示，直線AB〃CD.點G在直線AB上點E在直線CD上,EF平分NGEC,交AB于點F.若NEF

G=62。,則NEGF的度數為

圖1圖2

A.56°B.58°C.60°D.62°

14如圖，將一張長方形（長方形的對邊互相平行）紙片ABCD沿EF折疊,使頂點C,D分別落在點CD處,EC交

AF于點G.若/CEF=76。,則NAFP的度數為一.

15中華文化博大精深，漢字便是其中一塊瑰寶.漢字中存在很多的“平行美”，如漢字“互”將漢字”互,'轉化為幾

何圖形如圖所示，已知AB〃CD〃MH〃FN,EF〃GH.若/BEM=1()0。,求NNGD的度數.

16如圖所示的格線彼此平行.小明在格線中作已知角，探究角的兩邊與格線形成的銳角所滿足的數量關系.他先

作出NAOB=60。.

(1XD如圖I,點O在一條格線上，當Nl=2()。時,/2=—.

②如圖2,點O在兩條格線之間，用等式表示N1與/2之間的數量關系，并說明理由.

(2在圖3中，小明作射線OC使得NCOB=45。記OA與圖中一條格線形成的銳角為a,OC與圖中另一條格線形

成的銳角為優請直接用等式表示a與P之間的數量關系.

第2課時平行線的性質與判定的綜合

基礎題

知識點1綜合運用平行線的性質與判定進行計算或說理

1.如圖,AB與CD相交于點0.若/A=NB=30o,NC=50。則/D=()

A.20°B.30°C.40°D.50°

第1題圖第2題圖

2如.圖，已知直線a_Lc,b_Lc.如果/1=70。,那么/2的度數是()

A.70°B.1OO0C.11O0D.12O0

3如.圖，已知Nl=N2=N3=50。,則N4的度數是()

A.I200B.125°C.I300D.1350

4.如圖，下列判斷中正確的是

A.若NA+NADC=180。,則AD〃BC

B.若/1=N2,則AD〃BC

C若AD〃BC,貝！J/ABC+NC=180。

D.若AD〃BC,貝［JN3=N4

5.如圖,AB〃CD,NABC=NCDE.若/CBD=70。，試求NBDE的度數請補充求解過程，并在括號內填上相應的

理由.

解VAB//CD,

B

D

.\ZABC=ZBCD.

VZABC=ZCDE,

???Z—=Z—.

/.BC//DE().

:.NCBD+Z=180°().

又丁ZCBD=70°,

ZBDE=.

6.如圖,AB〃CD,/B=ND,直線EF分別與AD,BC的延長線交于點E,F.試說明:NDEF=/F.

知識點2利用平行線的性質或判定解決實際問題

7.如圖，街道AB與CD平行，拐角/ABC=137。,則拐角/BCD=

D.137。

第7題圖第8題圖

8.如圖，這是某次考古發掘出的一塊四邊形殘缺玉片，工作人員從玉片上已經量得NA=82。.已知NB+/C=18

0。,則此玉片殘缺角ZD的度數為(1

9.光線在不同介質中的傳播速度不同，從一種介質射向另一種介質時會發生折射.如圖，水面AB與水杯下沿

CD平行，光線EF從水中射向空氣時發生折射，光線變成FH,點G在射線EF上.已知NHFB=2(T,/FED=45。,求N

GFH的度數.

中檔題

10如圖，一棵樹生長在30。的山坡AE上，樹干BC垂直于水平線AD,則NABC的度數為（）

A.I2O0B.125。C.13O0D.135。

11古代房梁建筑中多采用'、四梁八柱”的設計，其中蘊含著數學知識，將房梁中的一些圖形抽象出幾何模型如

圖所示在三角形ABC中，點D,E,F分別在邊AB,AC,BC上,DF〃AC,/C=NEDF,則下歹J結論錯誤的是（）

A.DE〃BCB.ZADE=ZB

C.ZBFD=ZAEDD.ZB+ZCED=180°

12將一副三角板按如圖所示的方式放置，則下列結論:①Z1=Z3;②若Z2=30。,則AC//DE;③Z2+ZCAD=I8

0。；④若N4=NC,則ABJ_ED.其中正確的有（填序號）.

13如圖，已知BC〃DE,A,C,E三點在同一條直線上,ND+NBCF=180。.

(1)CF與BD平行嗎?請說明理由.

⑵若CF平分NACB,ND=140o或/E的度數

k

AFB

綜合題

14老師在課上提出了一個問題：“如圖1,已知AB#CD,EF±AB于點0,FG交CD于點P.當/1=30。時，求NE

FG的度數”

E

/J4B

-----B-O3

C尸7^Dc"―

GG

圖1圖2

石!E

A~0\—B

，0H--

F

cC17Q、￡>

GG

圖3圖4

甲、乙、丙三位同學分別用如圖2、圖3、圖4所示的不同的方法添加輔助線解決問題.

(1汴卜全甲同學的分析思路.

輔助線:過點F作MN〃CD.

分析思路:

①欲求NEFG的度數，由圖可知,只需轉化為求—與—的度數之和;

②由輔助線作圖可知,N2=NI;

③由AB〃CD,MN〃CD可以推出_______由此可推出N3=/4；

④由EF1AB可得24=90。,則可得/3的度數，從而可求NEFG的度數.

(2請根據乙同學所作的輔助線，補全求解過程.

解過點P作，交AB于點N..??—=NEFG(兩直線平行，同位角相等).

VEF1AB,.\ZBOF=90°.

/.ZBNP=ZBOF=90°().

VAB/7CD,

???ZNPD+NBNP=180°().

AZNPD=90°.

JZEFG=ZNPG=ZNPD+Z1=

(3請根據丙同學所作的輔助線，求NEFG的度數.

小專題4平行線中常見的拐點模型

模型展示

【解題方法】過拐點作其中一條直線的平行線，有幾個拐點就作幾條平行線，然后利用平行線的性質求解.

1.單拐點模型

2.多拐點模型

【例1】如圖.已知AB〃CD,試判斷NB/BED,ND之間的數量關系，并說明理由.

“平行線間”為呼行線的外部”

【變式】已知AB〃CD,E為AB,CD外部任意一點.

(I)如圖1,探究NBED與NB/D之間的數量關系，并說明理由.

091

(2)如圖2,探究NCDE與NB,NBED之間的數量關系，并說明理由.

AB

圖2

針對訓練

1如圖直線AB〃CD,AE_LCE于點E.若NEAB=12()。,則NECD的度數是()

2如圖，直線m〃n，將一塊含3()唯的直角三角板按如圖所示的方式放置.若/1=40。廁N2的度數為()

A.70°B,60°C.50°D.40°

3.如圖.如果AB〃DE,那么NBCD=()

A.Z2-Z1

B.ZHZ2

C.180+Z2-Z1

D.180、+Z1-Z2

4.一種路燈的示意圖如圖所示，其底部支架AB與吊線FG平行，燈桿CD與底部支架AB所成的銳角a=l5。,

頂部支架EF與燈桿CD所成的銳角「=45。.則EF與FG所成銳角的度數為()

A.600R.550C..5O0D45。

第4題圖第5題圖

5.如圖，這是我們生活中經常接觸的小刀，刀柄是一個直角梯形(挖去一個半圓)，刀片上下是平行的，轉動刀

片時會形成Nl,Z2,則Nl+N2=—.

類型2多拐點模型

【例2】⑴如圖1.若AB〃CD,貝!NE+NG—NB+NF+ND（填u>”"v"或“=”）.

(2)如圖2,若AB〃CD,則NEi,NE“.,/En與NB,/D,NR,NF2,..,NF*之間有什么數量關系?請直接寫出結論.

B

CD

圖1圖2

針對訓練

6.如圖,AB//EF,BC1CD,則Na,Ny之間的數量關系是

A.ZP=Za+Zy

B.Za4-Zp+Zy=180°

C.Za+Zp-Zy=90°

D.Zp+Zy-Za=90°

如圖1,已知NB+/E+/D=360。,試探究直線AB與CD有怎樣的位置關系，并說明理由.

小明給出下面正確的解法：

直線AB與CD的位置關系是AB〃CD.

理由如下：

過點E作EF〃AB（如圖2所示），

.??NB+/BEF=18（）。（依據1）.

■:NB+NBED+ND=360。（已知），

:.ZB+ZBEF+ZFED+ZD=360°

.,.ZFED+ZD=180°.

???EF〃CD（依據2）.

VEF//AB,

???AB〃CD（依據3）.

交流反思：

⑴上述解答過程中的，依據1”，依據22依據3”分別指H么？

依據1：.

依據2:.

依據3:______________

類比探究：

（2）如圖3,當/B,NE,NF,ND滿足條件時，有AB〃CD.

拓展延伸:

⑶如圖4.當NB,NE,NF,ND滿足條件時，有AB〃CD.

回顧與思考（二）相交線與平行線

考點針對練

考點1對頂角、余角、補角

1.已知N1與N2為對頂角,Nl=35。廁/2=_.

2.若NA與/B互余/B與NC互補廁NC=NA=.

考點2與垂直有關的概念及性質

3.如圖，直線AB是起跳線，腳印是小明跳落沙坑時留下的痕跡.已知PA=2.7米,MC=2.6米，則小明跳遠的成

績可能是（）

A.2.7米B2.65米

C26米D.2.5米

第3題圖第4題圖

4.如圖，直線AB,CD相交于點0。￡_1人3,（^_1?口.若/8￡=30。廁/13（^的度數為（）

A.I25°B.115°C.1300D.150。

5.如圖.SS角三角形ABC中,NC=90>BC=8cm,AC=6cm,AB=10cm.

（1）點B到AC的距離是,點A到BC的距離是

⑵畫出表示點C到AB的距離的線段，并求這個距離.

B

考點3.同位角、內錯角、同旁內角

6.如圖，下列結論錯誤的是（）

A.Z1與N2是同旁內角

B./1與N6是內錯角

C./2與/5是內錯角

D23與25是同位角

考點4平行公理

7.如圖，若直線a〃c,N1=/2廁直線b,c的位置關系是—