14.1 全等三角形及其性質知識點梳理講義（暑假預習）-2026-2027學年人教版八年級數學上冊

14.1全等三角形及其性質知識點梳理講義（暑假預習）2026-2027學年人教版數學八年級上冊

暑期自主預習專用·適用對象：八年級學生·預計學習時間：60分鐘一、本節預習導航【與已學知識的聯系】第十三章我們研究了三角形的邊、角、內角和與外角，認識了一個三角形自身的性質。本節開始研究兩個三角形之間的關系：當它們能夠完全重合時，就稱為全等三角形。小學階段我們通過剪、拼、疊的方式感受過“形狀相同、大小相等”，初中要把這種直觀感受提升為精確的數學語言：對應頂點、對應邊、對應角，以及規范的符號表示。全等是幾何證明的第一把鑰匙，后面證明線段相等、角相等，幾乎都要先找一對全等三角形。【本節核心內容】①全等形與全等三角形的定義；②對應頂點、對應邊、對應角三個“對應”概念；③全等符號≌的讀法與規范書寫；④全等三角形的性質（對應邊相等、對應角相等）及其推論；⑤平移、翻折、旋轉三種全等變換；⑥尋找對應元素的常用方法；⑦利用全等性質求線段長度、角的度數與周長。【所需圖形類型】全等三角形對應頂點映射圖1幅（原三角形與像三角形，虛線箭頭指明對應關系）；本節知識結構樹1幅；“由全等到結論”的五步操作流程圖1幅；三角形基本要素標注圖1幅。【術語銜接提示】“全等”不是“相等”。相等一般用于數量（線段長、角度），全等用于圖形。兩個三角形全等寫作△ABC≌△DEF，讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”；而AB=DE才是長度相等。符號≌由表示形狀相同的∽與表示大小相等的=上下組合而成，本身就是“形狀相同且大小相等”的縮寫。【數學思想滲透】對應思想（頂點對應決定邊、角的對應，是全等一切結論的源頭）、運動變換思想（用平移、翻折、旋轉把一個圖形搬到另一個圖形上）、轉化思想（把求線段長、求角度轉化為尋找并利用全等三角形）、符號意識（用規范的全等式承載全部對應信息，做到“寫對全等式，讀出六個相等”）。二、各小節知識清單（一）全等形與全等三角形的概念??第一步：預習目標?能說出全等形、全等三角形的定義，并抓住“完全重合”這一本質。?會在兩個全等三角形中準確指出對應頂點、對應邊、對應角。?會用符號≌規范書寫全等式，做到對應頂點字母位置一致。?能判斷哪些圖形是全等形，理解“形狀相同、大小相等”缺一不可。?能由一個規范的全等式，直接讀出三組對應邊與三組對應角。??第二步：知識清單??知識點1：全等形的定義。能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。“完全重合”包含兩層含義：形狀完全相同，大小也完全相等。判斷兩個圖形是否全等，可以想象把其中一個剪下來放到另一個上面，若邊界處處貼合、沒有多出或缺少的部分，它們就是全等形。注意：位置不同不影響全等，一個圖形經過移動、翻轉、旋轉后與另一個圖形重合，兩者依然全等。??知識點2：全等三角形的定義與對應元素。能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。重合時互相重合的頂點叫做對應頂點，互相重合的邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角。一對全等三角形共有3組對應頂點、3組對應邊、3組對應角，合起來是6組相等關系，這正是全等三角形能“一次給出六個結論”的原因。??知識點3：全等的符號表示與書寫規范。全等用符號≌表示，讀作“全等于”。若△ABC與△DEF全等，且A與D、B與E、C與F是對應頂點，則記作△ABC≌△DEF。書寫時必須把對應頂點的字母寫在對應的位置上，這是一條硬性規范：只要全等式寫對，就可以直接“按位置讀”出AB=DE、BC=EF、CA=FD以及∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F。??知識點4：全等形與全等三角形的關系。全等三角形是全等形中最重要的一類。生活中同一模具壓出的兩個零件、同一版印刷的兩枚郵票、正方形瓷磚的每一塊，都可以看作全等形。研究三角形的全等之所以特別重要，是因為任何多邊形都可以分割成若干個三角形，掌握了三角形的全等，就掌握了研究復雜圖形的基本工具。??方法點撥讀全等式要養成“按位置配對”的習慣：把△ABC≌△DEF的兩串字母上下對齊，第1位配第1位、第2位配第2位，相鄰兩位組成的邊就是對應邊。這樣既不會寫錯，也不會讀漏。圖1△ABC與△A′B′C′全等：虛線箭頭指明對應頂點A→A′、B→B′、C→C′，由此確定三組對應邊與三組對應角。?第三步：特別提醒?“全等”與“相等”不能混用：圖形之間說全等，數量之間說相等，寫成“AB≌DE”或“△ABC=△DEF”都是錯誤的。?書寫全等式時對應頂點必須對位，寫成△ABC≌△EDF會導致后面讀出的全部對應關系跟著出錯。?面積相等的兩個三角形不一定全等（形狀可以完全不同），但全等的兩個三角形面積一定相等，這兩句話不可顛倒。??第四步：易錯點剖析?錯例：已知△ABC≌△DEF，寫出AB=DF。錯因：對應位置讀錯。全等式中AB位于第1、2位，對應的應是DE而不是DF。?規避：把兩串字母上下對齊再讀，AB?DE、BC?EF、CA?FD，逐一核對后再落筆。?錯例：看到兩個三角形面積都是12，就斷定它們全等。錯因：面積只是一個數量，不能決定形狀；底6高4與底8高3的兩個三角形面積都是12，卻完全不同形。?規避：全等必須“形狀相同且大小相等”，只有面積相等遠遠不夠。??第五步：典型例題【例題1】（基礎·★☆☆）已知△ABC≌△DEF，∠A=60°，∠B=80°，AB=5，求∠F的度數與DE的長。【解】由三角形內角和得∠C=180°?60°?80°=40°。因為C與F是對應頂點，所以∠F=∠C=40°；又AB與DE是對應邊，所以DE=AB=5。【答案】∠F=40°，DE=5。旁批：先按位置確定對應關系，再搬運數據。【例題2】（基礎·★☆☆）已知△ABC≌△DEF，AB=5，BC=7，CA=6，求△DEF的周長。【解】全等三角形的對應邊相等，所以DE=AB=5，EF=BC=7，FD=CA=6，故△DEF的周長=5+7+6=18。【答案】18。旁批：全等三角形周長必然相等，可直接搬用原三角形的三邊和。??第六步：隨堂小測1.能夠______的兩個圖形叫做全等形。2.全等用符號______表示，讀作______。3.若△ABC≌△MNP，則∠B的對應角是______，邊CA的對應邊是______。4.兩個全等三角形的周長______（填“相等”或“不一定相等”）。5.面積相等的兩個三角形______（填“一定”或“不一定”）全等。（二）全等三角形的性質??第一步：預習目標?準確記住性質：全等三角形的對應邊相等、對應角相等。?會用幾何語言書寫由全等得到的相等關系。?理解并會用性質的推論：周長相等、面積相等、對應線段相等。?會用全等性質求未知的線段長度與角的度數。??第二步：知識清單??知識點5：全等三角形的基本性質。全等三角形的對應邊相等，對應角相等。幾何語言寫法：因為△ABC≌△DEF，所以AB=DE，BC=EF，CA=FD，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。這條性質是全等三角形一切應用的出發點，凡是要證明兩條線段相等或兩個角相等，都可以先設法找到一對包含它們的全等三角形。??知識點6：性質的直接推論。由對應邊相等可得兩個全等三角形的周長相等；由全等（能夠完全重合）可得兩個全等三角形的面積相等。進一步，全等三角形中對應邊上的中線相等、對應邊上的高相等、對應角的平分線也相等。這些推論在解題中經常直接使用，可以省去重新證明的步驟。??知識點7：性質使用的方向性。性質與判定的方向恰好相反：判定是“由條件推出全等”，性質是“由全等推出結論”。做題時先看清題目給的是什么、要的是什么。若題目已經告訴你兩個三角形全等，那就屬于性質應用題，直接把六組相等關系寫出來選用即可；若題目要你證明相等，則往往要先判定全等。??知識點8：全等與數量關系的轉化。全等的價值在于“搬運”：把一個三角形中已知的邊長、角度，搬運到另一個三角形中去。遇到求角的問題，可結合三角形內角和180°與外角性質；遇到求線段長度的問題，可結合線段的和差關系。把“對應相等”與“和差計算”結合，是本章最常見的解題套路。??方法點撥寫性質時堅持“先寫全等式，再按位置搬結論”。建議在草稿上把兩個三角形的頂點字母豎著對齊排兩行，然后畫豎線連接，邊和角的對應關系一目了然，做題速度會明顯提升。圖2由全等到結論的五步操作流程：確認全等→找對應頂點→規范書寫→讀出對應關系→求值或證明。?第三步：特別提醒?對應角相等指的是“對應位置”的角相等，不是“看起來差不多大”的角相等，務必依據全等式判斷。?全等三角形的對應邊所對的角是對應角，對應角所對的邊是對應邊，這兩句互逆的話在找對應元素時非常好用。?由全等得出結論時要寫清依據“全等三角形的對應邊（角）相等”，只寫結論不寫依據在證明題中要扣分。??第四步：易錯點剖析?錯例：已知△ABC≌△DEF，直接寫“△ABC與△DEF的面積不一定相等”。錯因：混淆了“面積相等推不出全等”與“全等推得出面積相等”這兩個不同方向的命題。?規避：全等一定面積相等（因為能完全重合），反過來才不成立，方向不能顛倒。?錯例：△ABC≌△DEF中，看到AB最長就說DF也最長。錯因：沒有按位置配對，AB的對應邊是DE，最長的應是DE。?規避：永遠以全等式的字母位置為準判斷對應邊，不要憑圖形目測。??第五步：典型例題【例題3】（中檔·★★☆）如圖，點D在BC上，△ABD≌△ACD。若∠BAD=35°，∠B=70°，BD=4，求∠CAD、∠BAC的度數以及CD的長。【解】由△ABD≌△ACD知∠BAD與∠CAD是對應角，所以∠CAD=∠BAD=35°，從而∠BAC=∠BAD+∠CAD=35°+35°=70°；又BD與CD是對應邊，所以CD=BD=4。【答案】∠CAD=35°，∠BAC=70°，CD=4。旁批：AD是公共邊，一定是對應邊。【例題4】（中檔·★★☆）已知△ABC≌△DEF，△ABC的周長為24，AB=9，EF=7，求CA的長。【解】因為BC與EF是對應邊，所以BC=EF=7。又△ABC的周長為24，故CA=24?AB?BC=24?9?7=8。【答案】CA=8。旁批：先把EF的信息“搬”回△ABC，再用周長做減法。??第六步：隨堂小測1.全等三角形的對應邊______，對應角______。2.若△ABC≌△DEF，∠C=55°，則∠F=______。3.全等三角形的周長______，面積______。4.若△ABC≌△DEF，AB=6，則DE=______。5.全等三角形對應邊上的高______（填“相等”或“不一定相等”）。（三）全等變換與尋找對應元素的方法??第一步：預習目標?知道平移、翻折、旋轉都是全等變換，變換前后的圖形全等。?能根據圖形的位置關系判斷屬于哪種全等變換。?掌握尋找對應元素的六條常用經驗：公共邊、公共角、對頂角、最長邊、最大角、對應角的對邊。?能在圖形疊合、共邊、共角等復雜圖形中準確指認對應元素。??第二步：知識清單??知識點9：三種全等變換。把一個圖形沿某一方向平行移動，叫做平移；沿某條直線翻折180°，叫做翻折（軸對稱）；繞某一點旋轉一定角度，叫做旋轉。這三種變換都只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小，所以變換前后的兩個圖形一定全等。識別變換類型有助于快速找到對應頂點：平移看方向，翻折看對稱軸，旋轉看旋轉中心。??知識點10：尋找對應元素的常用經驗。①公共邊一定是對應邊；②公共角一定是對應角；③對頂角一定是對應角；④最長邊對最長邊、最短邊對最短邊；⑤最大角對最大角、最小角對最小角；⑥對應角所對的邊是對應邊，對應邊所對的角是對應角。這六條經驗可以在沒有給出全等式時，幫助我們快速判斷誰與誰對應。??知識點11：常見的全等圖形位置模型。初中階段全等三角形常以三種位置出現：平移型（兩個三角形沿一條直線錯開，有一組對應邊在同一直線上）、翻折型（兩個三角形關于一條直線對稱，有公共邊或公共角）、旋轉型（兩個三角形繞公共頂點旋轉而成，常出現對頂角）。熟悉這三種模型，看到圖形就能迅速鎖定對應頂點。??知識點12：全等變換的應用價值。全等變換是我們“動手搬圖形”的數學表達。在后續學習中，證明線段相等常常通過把一段線段“平移”或“翻折”到另一處，使兩條線段落入一對全等三角形中。理解變換的本質，能讓抽象的證明變得可以想象、可以操作。??方法點撥拿到圖形先做三件事：一是把兩個三角形用不同顏色描一遍，二是圈出公共邊、公共角、對頂角，三是按“大邊對大邊”核對一遍。三步做完，對應關系基本就確定了。圖3三角形的基本要素標注：頂點A、B、C，邊a=BC、b=CA、c=AB，內角∠A。對應邊與對應角的指認都以這些要素為基礎。?第三步：特別提醒?平移、翻折、旋轉只改變位置，不改變形狀和大小；但“放大”“縮小”不是全等變換，得到的圖形只是相似而非全等。?旋轉型圖形中的對頂角容易被忽略，它往往是題目暗含的一組對應角相等條件。?公共邊、公共角是題目“免費贈送”的條件，寫證明時不要漏寫，也不要錯當成需要證明的結論。??第四步：易錯點剖析?錯例：在共邊的兩個三角形△ABD與△ACD中，把AB與AD當作對應邊。錯因：AD是兩個三角形的公共邊，必然自己對應自己，AB的對應邊應是AC。?規避：先鎖定公共邊與公共角，再確定其余對應元素，順序反了就容易錯。?錯例：認為圖形放大一倍后與原圖全等。錯因：放大改變了大小，只有形狀相同，屬于相似而不是全等。?規避：牢記全等要求“形狀相同且大小相等”，只有平移、翻折、旋轉才保持全等。??第五步：典型例題【例題5】（中檔·★★☆）如圖，AC與BD相交于點O，且△AOB≌△COD。若∠AOB=110°，OA=3，OD=5，求∠COD的度數以及OC、OB的長。【解】∠AOB與∠COD是對頂角，也是對應角，所以∠COD=∠AOB=110°。由對應邊相等得OA與OC對應，故OC=OA=3；OB與OD對應，故OB=OD=5。【答案】∠COD=110°，OC=3，OB=5。旁批：旋轉型圖形中，對頂角是關鍵突破口。【例題6】（中檔·★★☆）已知△ABC≌△ADE，∠BAC=∠DAE，且∠BAD=40°，求∠CAE的度數。【解】由∠BAC=∠DAE，兩邊同時減去公共角∠DAC，得∠BAD=∠CAE。因為∠BAD=40°，所以∠CAE=40°。【答案】∠CAE=40°。旁批：旋轉型中“等角減公共角仍相等”是常用技巧。??第六步：隨堂小測1.平移、翻折、旋轉前后的兩個圖形一定______。2.兩個三角形中的公共邊一定是______邊。3.旋轉型全等圖形中，常出現的一組相等角是______角。4.把一個圖形放大2倍后所得圖形與原圖形______（填“全等”或“不全等”）。5.全等三角形中最長邊的對應邊一定是______邊。（四）全等性質的綜合應用??第一步：預習目標?會把全等性質與三角形內角和、外角性質結合求角。?會把全等性質與線段的和差關系結合求線段長度。?能用全等性質解釋生活中的測量與制造問題。?初步體會“要證相等，先找全等”的證明思路。??第二步：知識清單??知識點13：與內角和、外角性質聯用。已知兩個三角形全等并給出部分角度時，常常要先用三角形內角和180°求出第三個角，再按對應關系搬運；若圖中出現外角，則用“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”來溝通角與角之間的聯系。這類題目的關鍵是先在一個三角形內部把角算清楚，再一次性搬到另一個三角形。??知識點14：與線段和差關系聯用。當兩個全等三角形有一部分重疊或共線時，常見的結構是“AB=DE，兩邊同時減去（或加上）公共線段”。例如若B、E、C、F依次在同一直線上，且BE=CF，則兩邊同時加上EC得BC=EF。這種“等式兩邊同加同減”的轉化，是把已知條件變成可用條件的重要一步。??知識點15：全等在現實中的應用。工廠用同一副模具生產的零件互相全等，保證了零件可以互換；建筑中預制的構件全等，使拼裝嚴絲合縫；測量中無法直接到達的距離，可以通過構造一對全等三角形，用可測的一段代替不可測的一段。全等三角形的實用價值，正在于它把“不可測”變成“可測”。??知識點16：證明思路的啟蒙。本節雖然還沒有學習判定方法，但已經可以建立一個重要意識：幾何中要證明兩條線段相等或兩個角相等，最常用的路徑就是把它們放進一對全等三角形里，成為一組對應元素。帶著這個意識進入14.2，就能明白為什么要花那么大力氣去研究SSS、SAS、ASA、AAS、HL這些判定方法。??方法點撥綜合題的通用步驟：標（在圖上標出所有已知量）—找（找出全等的兩個三角形與對應關系）—搬（把已知量搬到待求的位置）—算（用內角和、外角或線段和差完成計算）。四步走完，絕大多數本節題目都能解決。圖414.1全等三角形知識結構：概念、表示、性質三條主線，底部匯總三種全等變換。?第三步：特別提醒?求角時不要漏掉三角形內角和這一隱含條件，很多題目的第三個角需要自己算出來。?線段和差轉化時要先看清點的位置順序，B、E、C、F的排列順序不同，加減關系也不同。?解題時若圖形復雜，務必把兩個全等三角形分別單獨重畫一遍，避免在重疊圖形中看串了對應關系。??第四步：易錯點剖析?錯例：已知△ABC≌△DEF且∠A=50°、∠E=60°，就直接寫∠C=70°而不作說明。錯因：∠E屬于△DEF，需要先轉化為∠B=∠E=60°，才能在△ABC中用內角和求∠C。?規避：跨三角形的數據必須先按對應關系搬運，再在同一個三角形內計算。?錯例：在B、E、C、F共線的圖中，由BC=EF直接寫BE=CF而不說明理由。錯因：結論正確但缺少依據：應寫“兩邊同時減去公共線段EC”。?規避：線段和差的每一步都要寫出“同加同減”的依據，保證推理完整。??第五步：典型例題【例題7】（提升·★★★）如圖，B、E、C、F四點依次在同一條直線上，△ABC≌△DEF。若BE=2，EC=5，求CF的長與BF的長。【解】由△ABC≌△DEF得BC=EF。因為BC=BE+EC=2+5=7，所以EF=7，又EF=EC+CF，故CF=7?5=2。于是BF=BE+EC+CF=2+5+2=9。【答案】CF=2，BF=9。旁批：BE=CF是這類“錯位共線”圖形的固定結論。【例題8】（提升·★★★）已知△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠F=70°，且AB=8，求∠B的度數與DE的長。【解】由對應關系知∠C=∠F=70°，在△ABC中由內角和得∠B=180°?∠A?∠C=180°?50°?70°=60°。又AB與DE是對應邊，所以DE=AB=8。【答案】∠B=60°，DE=8。旁批：先搬角再算角，順序不能亂。??第六步：隨堂小測1.若△ABC≌△DEF，∠A=40°，∠B=65°，則∠F=______。2.若△ABC≌△DEF，B、E、C、F共線且BE=3，則CF=______。3.全等三角形的對應角平分線______（填“相等”或“不相等”）。4.要證明兩條線段相等，常用的辦法是把它們放進一對______三角形中。三、本節思維導圖（中心：14.1全等三角形及其性質）┌─全等形：能夠完全重合的兩個圖形（形狀相同+大小相等）├─全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形├─對應元素：對應頂點/對應邊/對應角（共6組相等關系）├─表示：△ABC≌△DEF，對應頂點字母寫在對應位置├─性質：對應邊相等、對應角相等→周長相等、面積相等、對應線段相等├─全等變換：平移、翻折、旋轉（位置變、形狀大小不變）└─找對應：公共邊、公共角、對頂角、大邊對大邊、大角對大角四、本節核心概念速查卡??全等形：能夠完全重合的兩個圖形。??全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形。??符號：≌，讀作“全等于”；△ABC≌△DEF。??對應頂點：重合的頂點；決定全等式的字母順序。??對應邊：重合的邊；對應角所對的邊。??對應角：重合的角；對應邊所對的角。??核心性質：對應邊相等，對應角相等（一次得6個結論）。??性質推論：周長相等、面積相等、對應中線/高/角平分線相等。??全等變換：平移、翻折、旋轉，形狀大小都不改變。??找對應口訣：公共邊角自對應，對頂角是對應角，大邊對大邊。記憶口訣：全等就是能重合，對應頂點寫對位；六組相等一起來，邊角搬運莫認錯；平移翻折加旋轉，形狀大小都不變。五、本節易錯點匯總1.【符號誤用】把“全等”寫成“相等”，或寫出AB≌DE這類圖形符號與數量混用的式子。2.【對位錯誤】書寫全等式時對應頂點不對位，導致后面讀出的對應邊、對應角全部錯位。3.【方向顛倒】把“全等?面積相等”倒過來說成“面積相等?全等”。4.【漏用隱含條件】忘記公共邊、公共角、對頂角這些圖形自帶的對應關系。5.【跨三角形直接計算】不先按對應關系搬運數據，就在兩個三角形之間混著用內角和。6.【混淆全等與相似】把放大或縮小后的圖形也當作全等。六、本節分層自測卷（共10題）A層·基礎鞏固（5題）1.能夠______的兩個圖形叫做全等形，全等用符號______表示。2.若△ABC≌△DEF，則∠B的對應角是______，AB的對應邊是______。3.全等三角形的對應邊______，對應角______。4.若△ABC≌△DEF，△ABC的周長為20，則△DEF的周長為______。5.平移、翻折、旋轉前后的兩個圖形一定______。B層·能力提升（3題）6.已知△ABC≌△DEF，∠A=45°，∠B=75°，則∠F=______。7.已知△ABC≌△DEF，AB=7，BC=9，△DEF的周長為24，則CA=______。8.點D在BC上，△ABD≌△ACD，若BD=6，∠BAD=28°，則CD=______，∠BAC=______。C層·拓展挑戰（2題）9.如圖，B、E、C、F依次共線，△ABC≌△DEF，BE=4，EC=6，求CF與BF的長。10.說理：為什么“兩個三角形面積相等”不能推出“這兩個三角形全等”？請舉出一個具體的反例。七、參考答案與解析【隨堂小測（一）】1.完全重合；2.≌，全等于；3.∠N，PM；4.相等；5.不一定。【隨堂小測（二）】1.相等，相等；2.55°；3.相等，相等；4.6；5.相等。【隨堂小測（三）】1.全等；2.對應；3.對頂；4.不全等；5.最長。【隨堂小測（四）】1.75°（∠C=180°?40°?65°=75°，∠F=∠C）；2.3；3.相等；4.全等。【分層自測卷A層】1.完全重合，≌；2.∠E，DE；3.相等，相等；4.20；5.全等。【分層自測卷B層】6.60°（∠C=180°?45°?