2.2 一元二次方程的解法（能力提升）（解析版）

.2一元二次方程的解法題型一配方法的應用1．將代數式x2-10x+5配方后，發現它的最小值為（A．-20 B．-10 C．-5 D．0【答案】A【詳解】解：∵x2又∵對任意實數x都有x-52∴當x-52=0時，代數式取得最小值，最小值為2．數學課上，老師在黑板上書寫了M,N兩個整式；M=-2a2+4a(1)比較M,N的大?。?2)若P+2N=M-5，證明：P不可能小于0．【答案】(1)M>N；(2)見解析【詳解】（1）解：N=-2a∴M-N=-2=-2=4>0，∴M>N；（2）證明：∵P+2N=M-5，∴P=M-5-2N=-2=-2=2=2=2=2a-1∵a-12∴2a-1即P≥1，∴P不可能小于0．3．閱讀下列材料：材料一“a2≥0”∵(x+2)2≥0，解決下列問題：(1)填空：x2-6x+10=(x)(2)已知x2-2xy+2y(3)比較代數式x2-1與【答案】(1)-3；1；(2)-2；(3)x2【詳解】（1）解：x2（2）解：xxx-y∵x-y∴x-y=0，y+1=0∴x=y=-1∴x+y=-1+-1（3）解：x2x====∵x-1∴x-12∴x∴x24．配方法是數學中重要的一種思想方法．常被用到代數式的變形中，還能解決一些與非負數有關的問題或求代數式最大值．最小值等，例如：求代數式2x解：2=2∵2x-12≥0，∴2x-12+3≥3根據材料中的方法，解答下列問題：(1)若a2-6a+9+b+1(2)求代數式x2(3)用配方法說明：不論x為何值；代數式3x【答案】(1)ab=13；(2)最小值為【詳解】（1）解：a∴a-3∵a-3∴a-3=0,b+1=0∴a=3,b=-1∴ab（2）解：x==∵x-3∴x-3∴x2-6x+12的最小值為（3）解：3=3=3=3x+1∵3x+1∴3x+1∴3∴不論x為何值；代數式3x題型二根據一元二次方程的根求參數的值1．若關于x的一元二次方程x2+2x-k=0有實數根，則k的取值范圍是（A．k≥1 B．k<-1 C．k≤-1 D．k≥-1【答案】D【詳解】解：∵關于x的一元二次方程x2∴Δ解得k≥-1．2．如果關于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有兩個不相等的實數根，那么kA．k＞13 B．k<13 C．k≥【答案】D【詳解】解：∵方程kx2-2x+3=0∴k≠0∵方程有兩個不相等的實數根，∴根的判別式Δ=-2解得k<綜上，k的取值范圍是k<13且3．若關于x的一元二次方程a+1x2+a+1【答案】-3【詳解】解：∵關于x的一元二次方程a+1x∴a+1≠0且Δ=(a+1由a+1≠0得a≠-1，化簡Δ=0得：(a+1)2+2(a+1)=0，解得∴a=-3．4．如果關于x的一元二次方程x2-2x+k2=0【答案】3【詳解】解：∵關于x的一元二次方程x2∴Δ=化簡得4-2k<0，解得k>2，∴k的最小整數值為3．題型三換元法解一元二次方程1．已知a、b滿足（a2﹣b2）（a2﹣b2+4）+4＝0，則代數式a2﹣b2的值為（）A．﹣2 B．4 C．﹣2或4 D．2【答案】A【解答】解：設x＝a2﹣b2，方程化為x2+4x+4＝0，∴（x+2）2＝0，解得：x＝﹣2，∴a2﹣b2＝﹣2，故選：A．2．若關于x的一元二次方程a（x+m）2+n＝0的兩根分別為x1＝﹣2，x2＝1，則關于x的一元二次方程a（x+m﹣2025）2+n＝0（a≠0）的兩根分別為（）A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝2023，x2＝2026 C．x1＝﹣2023，x2＝2026 D．x1＝﹣2027，x2＝﹣2022【答案】B【解答】解：令y＝x﹣2025，由a（x+m﹣2025）2+n＝0可得a（y+m）2+n＝0，∵a（x+m）2+n＝0的兩根分別為x1＝﹣2，x2＝1，∴a（y+m）2+n＝0的兩根分別為y1＝﹣2，y2＝1，∴﹣2＝x﹣2025或1＝x﹣2025，解得x1＝2023，x2＝2026；故選：B．3．一元二次方程a（x+h）2+k＝0的兩根分別為﹣3，1，則方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的兩根分別為（）A．x1＝﹣6，x2＝﹣2 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝﹣9，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝2【答案】D【解答】解：由題知，將一元二次方程a（x+h）2+k＝0中的“x”用“2x﹣3”替換，可得方程a（2x+h﹣3）2+k＝0．因為一元二次方程a（x+h）2+k＝0的兩根分別為﹣3，1，所以2x﹣3＝﹣3或1，解得x＝0或2，即方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的兩根分別為x1＝0，x2＝2．故選：D．4．若是一個直角三角形兩條直角邊的長a，b，滿足（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，則這個直角三角形的斜邊長為．【答案】3【解答】解：∵a，b是一個直角三角形兩條直角邊的長設斜邊為c，∴（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，根據勾股定理得：c2（c2+1）﹣12＝0即（c2﹣3）（c2+4）＝0，∵c2+4≠0，∴c2﹣3＝0，解得c=3或c=-則直角三角形的斜邊長為3．故答案為：31．已知關于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0（1）當k＝1時，請判斷此方程根的情況．（2）求證：無論k取何實數值，方程總有實數根．（3）若等腰△ABC的一邊長為a＝6，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求此三角形的周長．【答案】（1）方程有兩個相等的實數根；（2）見解析；（3）三角形的周長為16或22．【解答】（1）解：∵Δ＝[﹣（3k+1）]2﹣4×1×（2k2+2k）＝（k﹣1）2，當k＝1時，Δ＝0，則方程有兩個相等的實數根；（2）證明：Δ＝[﹣（3k+1）]2﹣4×1×（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2，∵（k﹣1）2≥0，∴Δ≥0，所以無論k取什么實數值，方程總有實數根；（3）解：原方程因式分解得：（x﹣2k）（x﹣k﹣1）＝0，解得：x1＝2k，x2＝k+1，∵b，c恰好是這個方程的兩個實數根，設b＝2k，c＝k+1，當a、b為腰，則a＝b＝6，而a+b＞c，a﹣b＜c，所以三角形的周長為：6+6+4＝16；當b、c為腰，則k+1＝2k，解得k＝1，∴b＝c＝2，這種情況不成立；當a、c為腰k+1＝6則k＝5，∴b＝10，∴三角形的周長為：6+6+10＝22．綜上，三角形的周長為16或22．2．在實數范圍內定義一種新運算“△”，其規則為a△b＝a2﹣b2，根據這個規則，解決下列問題．（1）求4△3的值．（2）當（x+2）△5＝0時，求x的值．（3）已知一個直角三角形的兩邊長是方程3△（x﹣8）＝0的兩個根，求第三邊的長．【答案】（1）7；（2）x＝﹣7或x＝3；（3）146或46．【解答】解：（1）4△3＝42﹣32＝7；（2）（x+2）△5＝0，即（x+2）2﹣52＝0，解得x＝﹣7或x＝3；（3）3△（x﹣8）＝0即32﹣（x﹣8）2＝0，解得x＝5或x＝11，即直角三角形的兩邊長分別為5和11，當11為直角邊長時，第三邊的長=5當11為斜邊邊長時，第三邊的長=1綜上所述，第三邊的長=146或463．已知方程ax2+2bx+c＝0，其中實數a，b，c滿足a＞b＞c，且a+b+c＝0．（1）試求ca（2）求證：方程ax2+2bx+c＝0有兩個不相等的實根，且均小于2．【答案】見試題解答內容【解答】（1）解：a＞b＞c，a+b+c＝0，b＝﹣（a+c），a＞﹣（a+c）＞c，﹣2＜c（2）證明：Δ＝（2b）2﹣4ac＝4b2﹣4ac＝4（a+c）2﹣4ac＝4（a2+c2+ac）＝4[（a+12c）2+34且a≠c≠0，∴Δ＞0，∴有兩個不相等的實根，解方程ax2+2bx+c＝0得x=-b±令x1＞x2，x1=-b+b2∵﹣2＜c∴x1＝1+ca∴方程ax2+2bx+c＝0有兩個不相等的實根，且均小于2．4．先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：例題：求代數式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4．∵（y+2）2≥0，∴（y+2）2+4≥4．∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代數式m2+m+4的最小值．（2）求代數式4﹣x2+2x的最大值．（3）某居民小區要在一塊一邊靠墻（墻長15m）的空地上建一個矩形花園ABCD，花園一邊靠墻，另三邊用總長為20m的柵欄圍成．如圖，設AB＝x（m），請問：當x取何值時，花園的面積最大？最大面積是多少？【答案】（1）154；（2）5；（3）最大面積是50m【解答】解：（1）m2+m+4＝（m+12）2因為（m+12）2所以（m+12）2則m2+m+4的最小值是15（2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，因為﹣（x﹣1）2≤0，所以﹣（x﹣1）2+5