山東省煙臺市2026年中考數(shù)學真題附同步解析

山東省煙臺市2026年中考數(shù)學真題一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1．-的相反數(shù)是（）A．- B． C．-2 D．2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“-”號，求解即可。【解答】的相反數(shù)是：-(-)=．故選B．

【點評】本題要求熟練掌握相反數(shù)的意義，一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“-”號：一個正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，一個負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0．不要把相反數(shù)的意義與倒數(shù)的意義混淆。2．一筆畫圖形是指用一根連續(xù)不間斷的線條，在不重復路徑的情況下完成整個圖形繪制的特殊貫通圖.下列一筆畫圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A、沿對應直線折疊后，直線兩側(cè)部分可完全重合，屬于軸對稱圖形；繞圖形中心旋轉(zhuǎn)180°后無法與原圖形重合，不屬于中心對稱圖形，不符合題意；B、繞中心旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形完全重合，屬于中心對稱圖形；不存在能使折疊后兩側(cè)重合的對稱軸，不屬于軸對稱圖形，不符合題意；C、沿對稱軸折疊后兩側(cè)部分重合，屬于軸對稱圖形；旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形不重合，不屬于中心對稱圖形，不符合題意；D、既存在對稱軸使折疊后兩側(cè)完全重合，繞中心旋轉(zhuǎn)180°后也能與原圖形完全重合，同時滿足兩類圖形的定義，符合題意。故答案為：D【分析】本題考查軸對稱圖形與中心對稱圖形的判定，解題時分別依據(jù)兩類圖形的判定規(guī)則，對每個選項進行雙向驗證，先判斷是否滿足軸對稱的折疊重合要求，再判斷是否滿足中心對稱的旋轉(zhuǎn)180°重合要求，最終篩選出同時符合條件的選項，熟練掌握兩類圖形的判定標準是解題的核心。3．2026年1月，百度發(fā)布并上線原生全模態(tài)大模型文心5.0正式版，該模型參數(shù)達24千億，實現(xiàn)原生的全模態(tài)統(tǒng)一理解與生成，多項權(quán)威評測穩(wěn)居全球第一梯隊.24千億用科學記數(shù)法表示為（）A．24×1011 B．2.4×1011 C．2.4×1012 D．0.24×1012【答案】C【解析】【解答】解：，，將其化為科學記數(shù)法的標準形式（滿足），可得故答案為：C【分析】本題考查科學記數(shù)法的表示方法，解題時先將“千億”單位轉(zhuǎn)化為以10為底的冪的形式，再根據(jù)科學記數(shù)法的規(guī)范要求調(diào)整系數(shù)，使其滿足1到10的取值范圍，同時對應調(diào)整指數(shù)得到最終結(jié)果，掌握科學記數(shù)法的格式要求與大數(shù)單位換算規(guī)律是解題的重點。4．如圖是一個雙耳罐器具，它的左視圖是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：該雙耳罐的兩個把手分布在罐身左右兩側(cè)，從左側(cè)觀察時，雙耳沿左右方向投影重疊，會在視圖頂部中間呈現(xiàn)兩條平行豎線，罐身整體保持容器的側(cè)面輪廓，與選項A的特征一致；選項B呈現(xiàn)兩側(cè)帶耳的形態(tài)，對應主視圖；選項C包含同心圓與橫向輪廓線，對應俯視圖；選項D未體現(xiàn)雙耳結(jié)構(gòu)，不符合實際觀察結(jié)果。

故答案為：A

【分析】本題考查幾何體三視圖的判斷，解題時先明確左視圖的觀察方向，再結(jié)合雙耳罐的結(jié)構(gòu)特征，分析從左側(cè)觀察時雙耳、罐身的投影形態(tài)，同時區(qū)分主視圖、俯視圖的不同投影特點，逐一排除錯誤選項，準確理解三視圖的觀察角度與投影規(guī)律是解題的關(guān)鍵。5．下列運算結(jié)果為m5的算式是（）A．m3·m2 B．m5÷m C．（m2）3 D．m3+m2【答案】A【解析】【解答】解：A、，符合要求；B、，不符合要求；

C、，不符合要求；D、與所含字母的指數(shù)不同，不屬于同類項，無法合并計算，不符合要求故答案為：A【分析】本題考查冪的四則運算法則，解題時分別依據(jù)同底數(shù)冪乘除、冪的乘方的運算規(guī)則計算各選項，同時注意同類項才能合并的原則，逐一驗證結(jié)果是否符合要求，熟練掌握各類冪運算的指數(shù)變化規(guī)律，是避免運算錯誤的核心。6．如圖，某行李箱的齒輪密碼是三位數(shù)，每一位數(shù)都是0-9中的一個數(shù)字，開箱時發(fā)現(xiàn)忘記密碼的最后一位，則一次成功打開該行李箱的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：密碼最后一位的可選數(shù)字為0到9，共10種等可能的結(jié)果，其中正確的密碼僅有1種結(jié)果。根據(jù)概率公式，一次打開的概率故答案為：D【分析】本題考查概率公式，解題時先確定最后一位數(shù)字的所有可能情況總數(shù)，再明確正確結(jié)果的數(shù)量，代入概率公式即可求解，準確判斷所有等可能結(jié)果的數(shù)量是解題的基礎(chǔ)，注意0到9共包含10個數(shù)字，避免漏數(shù)或多數(shù)。7．如圖，在折紙活動中，將一組對邊互相平行的紙帶進行了兩次折疊，折痕分別為AB，CD.若AB∥CE，∠CAB=36°，則∠CDB的度數(shù)為（）A．14° B．16° C．18° D．20°【答案】C【解析】【解答】解：延長至點，，（兩直線平行，同位角相等）。由折疊的對稱性可知，平分，。又紙帶對邊互相平行，，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。故答案為：C【分析】本題考查平行線的性質(zhì)與折疊的性質(zhì)，解題時先通過作輔助線構(gòu)造同位角，利用平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，最后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可求解。8．若整數(shù)m使關(guān)于x的一元一次不等式組有且只有3個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程的解為非負數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)m的和為（）A．0 B．-1 C．-2 D．-3【答案】B【解析】【解答】解：先求解一元一次不等式組：解不等式，得；解不等式，得。不等式組的解集為。不等式組有且只有3個整數(shù)解，即整數(shù)解為，，解得。再求解分式方程：方程兩邊同乘最簡公分母，得，整理得。分式方程的解為非負數(shù)，且分母（避免增根），，解得且。綜合兩個條件，的取值范圍為且。為整數(shù)，符合條件的為，所有整數(shù)的和為。故答案為：B【分析】本題綜合考查一元一次不等式組的整數(shù)解問題與分式方程的解的限制條件，解題時先分別求解不等式組和分式方程，根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)確定不等式組中參數(shù)的范圍，再根據(jù)分式方程解為非負數(shù)且分母不為零的限制進一步縮小參數(shù)范圍，最后篩選出范圍內(nèi)的整數(shù)并求和，解題過程中需特別注意分式方程的增根情況，避免遺漏分母不為零的限制條件。9．如圖，直線與x軸，y軸交于A，B兩點，與反比例函數(shù)的圖象交于C，D兩點，CE⊥x軸，垂足為E，連接DE.若OA=2OE，則△CDE的面積是（）A．8 B．12 C．16 D．24【答案】B【解析】【解答】解：將代入，，解得，，。，，即。軸，點的橫坐標與點相同，為2。將代入一次函數(shù)解析式，得，。將代入，得，反比例函數(shù)解析式為。聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式：，解得或，。利用割補法計算的面積，將其拆分為與的面積和，，。故答案為：B【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用，解題時先通過一次函數(shù)求出點A坐標，結(jié)合線段長度關(guān)系得到點E坐標，進而求出點C坐標并確定反比例函數(shù)解析式，再聯(lián)立兩個函數(shù)解析式求出交點D的坐標，最后利用割補法將三角形拆分為兩個同底的三角形，結(jié)合坐標計算面積，掌握函數(shù)交點的求解方法與割補法求面積的技巧是解題的關(guān)鍵。10．如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象與x軸交于點A（1，0），與y軸的交點C位于（0，-2）和（0，-3）之間，頂點為P，對稱軸為直線x=2.下列說法：①abc＜0；②4a+b=0；③-1＜a＜-；④設(shè)拋物線與x軸的另一交點為B，當∠CPB=90°時，.其中正確的是（）A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④【答案】A【解析】【解答】解：①由拋物線開口向下，得；對稱軸為，則；拋物線與y軸交點在y軸負半軸，得；，故①錯誤。②對稱軸為，整理得，即，故②正確。③將代入解析式，得，將代入，得，即。點C在與之間，，即，解得，故③正確。④由拋物線對稱性，對稱軸為，，則另一交點。由得；將代入解析式，得，即頂點。由勾股定理分別表示三條線段的平方：，，。，由勾股定理逆定理得，代入得，整理得，解得。，，故④正確。綜上，②③④正確。故答案為：A【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合，解題時先根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸位置、與y軸交點位置判斷系數(shù)符號，驗證結(jié)論①；再利用對稱軸公式變形驗證結(jié)論②；接著結(jié)合函數(shù)過點A的條件，用a表示c，結(jié)合c的范圍解不等式驗證結(jié)論③；最后利用拋物線對稱性得到點B坐標，結(jié)合勾股定理與直角條件列方程求解a的值，驗證結(jié)論④，熟練掌握二次函數(shù)系數(shù)與圖像的對應關(guān)系，以及勾股定理在坐標系中的應用是解題的核心。二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11．若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是.【答案】【解析】【解答】解：位于分母位置，，解得。故答案為：【分析】本題考查二次根式與分式有意義的條件，解題時需注意，當二次根式位于分母位置時，被開方數(shù)不僅要非負，還不能為零，因此需列嚴格大于零的不等式求解，準確區(qū)分二次根式在分子和分母時的不同限制是避免出錯的關(guān)鍵。12．計算的結(jié)果為.【答案】-3【解析】【解答】解：零指數(shù)冪：非零數(shù)的0次冪為1，故；負整數(shù)指數(shù)冪：；算術(shù)平方根：。將各項結(jié)果相加：。故答案為：【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，涉及零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪與算術(shù)平方根三個知識點，解題時分別根據(jù)對應運算法則計算每一項的值，再按照有理數(shù)加減法則求和，準確掌握負整數(shù)指數(shù)冪的運算規(guī)則，避免符號計算錯誤是解題的重點。13．路上一群馬車行，車車坐人都相等.五人同車三車空，四人同車九步行.問車有多少輛，共有多少人？設(shè)有x輛車、y個人，根據(jù)題意，可列關(guān)于x、y的方程組為.【答案】【解析】【解答】解：“五人同車三車空”，即實際載人的車有輛，每輛坐5人，總?cè)藬?shù)可表示為；“四人同車九步行”，即每車坐4人，剩余9人未乘車，總?cè)藬?shù)可表示為。聯(lián)立可得方程組：故答案為：【分析】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解題時分別分析兩種乘車場景下總?cè)藬?shù)的表達形式，以總?cè)藬?shù)為等量關(guān)系列出兩個方程，聯(lián)立得到方程組，準確理解“三車空”“九步行”的實際含義，正確表示總?cè)藬?shù)是解題的核心。14．如圖，正五邊形ABCDE的邊長為10，連接AC，以AB為直徑作⊙O，與AC交于點F，與CB的延長線交于點G，則陰影部分扇形GOF的面積為.【答案】【解析】【解答】解：連接，五邊形是正五邊形，，內(nèi)角和為，每個內(nèi)角。在中，，。是的直徑，（直徑所對的圓周角為直角）。在中，。根據(jù)圓周角定理，同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，圓心角。的半徑，代入扇形面積公式得：。故答案為：【分析】本題綜合考查正多邊形的性質(zhì)、圓周角定理與扇形面積計算，解題時連接，先利用正五邊形的內(nèi)角公式得到，再結(jié)合直徑所對圓周角為直角的性質(zhì)結(jié)合題意得到，通過圓周角定理得到，最后代入扇形面積公式即可求解。15．如圖，以原點O為頂點作邊長為2的菱形點在x軸上，且將點A3向右平移2個單位得到點A4，以A4為頂點作與菱形全等的菱形.，點A7在x軸上；再將點向右平移2個單位得到點A8，以A8為頂點作與菱形，全等的菱形A8A9A10A11，點.在x軸上；…；按照以上規(guī)律作圖，則點A126的坐標為.【答案】（125，-）【解析】【解答】解：過點作軸于點H，在菱形中，，，，，即，依次推導可得，。由平移與作圖規(guī)律可知，每8個點為一個循環(huán)周期，每個周期整體向右平移8個單位長度。，的位置與第一個周期內(nèi)的位置規(guī)律一致。同理求得第一個周期內(nèi)，觀察規(guī)律可得，第個周期的對應點橫坐標為，縱坐標保持不變。當時，橫坐標為，縱坐標為，即。故答案為：【分析】本題考查圖形規(guī)律探究與菱形的性質(zhì)，解題時先根據(jù)菱形的邊長和角度結(jié)合題意解直角三角形求出，依次推導可得，，進而即可得到每8個點為一個循環(huán)、每個循環(huán)向右平移8個單位的規(guī)律，再通過帶余除法確定在循環(huán)中的位置，結(jié)合坐標變化規(guī)律求出最終坐標即可。16．如圖1，點P從矩形ABCD的頂點A出發(fā)，沿A→B→C→D的方向運動至點D停止，連接AP，Q為AP的中點，連接BQ.設(shè)點P的運動路程為x，線段BQ的長為y，圖2表示點P從A運動到C的過程中y與x的函數(shù)關(guān)系.當點P運動到CD中點時，BQ的長度為.【答案】???????【解析】【解答】解：由函數(shù)圖象可知，當點P與點B重合時，取得最小值3，此時Q為AB中點，，即。當點P運動到點C時，，此時Q為AC中點，在矩形中，由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，得，即。在中，由勾股定理得：，矩形中，。當P為CD中點時，延長BQ交CD的延長線于點E，

，，，又為AP中點，，（AAS），，。是CD中點，，。在中，，。故答案為：【分析】本題考查動點問題的函數(shù)圖象與矩形的性質(zhì)，解題時先從函數(shù)圖象的特殊點入手，根據(jù)題意得到當點P與點B重合時，取得最小值3，此時Q為AB中點，，即，當點P運動到點C時，，進而結(jié)合題意根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到，即，從而根據(jù)勾股定理即可得到BC的長，再根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合題意得到，；當P為CD中點時，延長BQ交CD的延長線于點E，根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)結(jié)合題意證明（AAS）得到，，再結(jié)合勾股定理求出BE，從而即可求解。三、計算題：本大題共3小題，共22分。17．先化簡、再求值：，其中|x|=1.【答案】解：，∵，∴，當時，原式無意義；當時，原式【解析】【分析】本題考查分式的混合運算與分式有意義的條件，先將分式除法轉(zhuǎn)化為乘法運算，對各分式的分子、分母進行因式分解，通過約分化簡第一項，再與1通分計算，完成整個式子的化簡；根據(jù)絕對值的性質(zhì)得到x的兩個可能取值，結(jié)合分式分母不為零的限制，排除使原式無意義的取值，將剩余的x值代入化簡后的式子計算最終結(jié)果。18．為慶祝長征勝利90周年，文旅公司推出多款長征主題的文創(chuàng)產(chǎn)品.已知某款文創(chuàng)產(chǎn)品的成本價是每件20元，日銷售量y（件）與每件售價x（元）的函數(shù)關(guān)系如圖所示.（1）求y與x的函數(shù)表達式；（2）文旅公司在銷售這款文創(chuàng)產(chǎn)品時，若每天盈利525元，且盡可能的讓利于顧客，求該款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的售價為多少元.【答案】（1）解：設(shè)與的函數(shù)表達式為，將點和點的代入得：，解得：，與的函數(shù)表達式為；解：根據(jù)題意得，整理得：，解得：，，盡可能的讓利于顧客，，即該款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的售價為35元．【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)與一元二次方程的實際應用。

（1）設(shè)一次函數(shù)的一般式，將圖像上兩個已知點的坐標代入，通過解二元一次方程組求出系數(shù)，即可得到函數(shù)表達式；

（2）根據(jù)“總利潤=單件利潤×銷售量”的等量關(guān)系，用含x的式子表示單件利潤與銷售量，列一元二次方程求解，再結(jié)合“讓利于顧客”的要求選擇較小的售價作為最終結(jié)果。19．【綜合與實踐】活動主題測算矩形廣告牌的面積測量工具皮尺、無人機、計時器、計算器等活動過程測量過程如圖，矩形廣告牌ABCD的邊CD為11米，BC與水平地面垂直.支柱EF長6.4米，且垂直于地面.無人機從N點起飛，以3米/秒的速度豎直向上飛行8秒到達M點，此時測得C點的俯角為67.4°，D點的俯角為36.9°（圖中各點均在同一平面內(nèi)）.模型建構(gòu)參考數(shù)據(jù)sin67.4°≈0.92，cos67.4°≈0.38，tan67.4°≈2.40，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75.問題解決求矩形廣告牌ABCD的面積（結(jié)果精確到1平方米）.【答案】解：如圖，過點分別作的垂線，垂足分別為，則四邊形，是矩形，依題意，，，，，∴設(shè)，則∴解得：∴∴∴的面積答：矩形廣告牌的面積約為平方米【解析】【分析】本題考查解直角三角形的實際應用，解題時過點分別作的垂線，垂足分別為，則四邊形，是矩形，進而根據(jù)題意得到，，，，，則，設(shè)，則，進而即可求出MH，再根據(jù)矩形的面積結(jié)合題意即可求解。四、解答題：本題共5小題，共50分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。20．AI技術(shù)已廣泛應用于社會各領(lǐng)域，某學校新建了一個智慧AI自習教室，引進了“數(shù)字人模型”和“AI助教模型”兩種模型供學生使用.使用一段時間后，對這兩種模型的使用滿意度進行了問卷調(diào)查（每份問卷涉及兩種模型，評分均為0～10的整數(shù)，單位：分），并隨機抽取了20份調(diào)查問卷，對數(shù)據(jù)進行整理、分析，得到如圖圖表：類別平均數(shù)/分中位數(shù)/分眾數(shù)/分數(shù)字人模型ab7AI助教模型88c請根據(jù)上述信息解答下列問題：（1）填空：a=，b=，c=，m=；（2）運營商準備對“AI助教模型”進行優(yōu)化升級，已知所抽取的20份調(diào)查問卷中，有2名男生和1名女生對該模型的評分為6分，現(xiàn)從這3人中隨機抽取2人進行座談，請利用樹狀圖或表格求出恰好抽到2名男生的概率.【答案】（1）7.2；7；8；30（2）解：共有六種等可能性的結(jié)果，其中恰好抽到兩名男生的情況由種，∴(抽到2名男生)．【解析】【解答】（1）解：，∴；一共個數(shù)據(jù)從小到大排列，第和個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)，由柱狀圖知第和個數(shù)據(jù)都是，∴中位數(shù)為，即；由扇形統(tǒng)計圖可知“助教模型”中分出現(xiàn)次數(shù)最多，∴；∵扇形統(tǒng)計圖中分占百分比為：，∴，即；【分析】本題考查統(tǒng)計量的計算與古典概型的概率求解。

（1）計算平均數(shù)a時，根據(jù)條形統(tǒng)計圖中各分數(shù)的對應人數(shù)，用加權(quán)平均數(shù)公式計算；求中位數(shù)b時，將20個數(shù)據(jù)從小到大排序，取第10和第11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)；求眾數(shù)c時，根據(jù)扇形統(tǒng)計圖判斷出現(xiàn)次數(shù)最多的分數(shù)；求m時，先計算8分對應的圓心角占比，再用1減去其他各分數(shù)的占比得到結(jié)果；

（2）先通過列表或畫樹狀圖列出所有等可能的抽取結(jié)果，再統(tǒng)計恰好抽到2名男生的結(jié)果數(shù)，代入概率公式計算對應概率。21．如圖，矩形ABCD中，AC是對角線，請解決下列問題：（1）將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)后，點B的對應點為點E，點C的對應點為點F，且點E在線段AC上，請用尺規(guī)作出旋轉(zhuǎn)后的圖形（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，若AB=2，BC=4，EF與AD交于點G，求FG的長.【答案】（1）圖形如圖所示：（2）解：∵在矩形中，∴，由（1）知，∴，∵∴，∴，∴，∴，∴．【解析】【分析】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)作圖與相似三角形的判定及性質(zhì)。

（1）作圖時以A為圓心、AB長為半徑畫弧，與AC的交點即為點E，再以A為圓心、AC長為半徑畫弧，結(jié)合旋轉(zhuǎn)角相等的特點確定點F的位置，連接EF即可得到旋轉(zhuǎn)后的三角形；

（2）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到對應邊、對應角相等，結(jié)合矩形的內(nèi)角特征證明與相似，利用相似三角形對應邊成比例求出EG的長度，再由EF與BC相等，通過線段差求出FG的長。22．如圖，△ABC中，∠C=90°，O是邊AB上一點，以O(shè)B為半徑作⊙O，分別與BC，AB交于D，E兩點，與AC相切于點F，連接EF、BF.（1）求證：；（2）試用等式表示線段BE，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）證明：如圖，連接，∵是的切線，∴∵，∴∴又∵∴∴∴；（2），證明：如圖，連接，過點作于點，∴由（1）可得又∵∴∴，∵∴，∴∴∴，即【解析】【分析】本題考查圓的切線性質(zhì)、弧與圓心角的關(guān)系以及全等三角形的判定與性質(zhì)。

（1）先連接OF，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OF與AC垂直，結(jié)合∠C為直角推出OF與BC平行，得到內(nèi)錯角相等；再結(jié)合半徑相等推出角相等，等量代換得到兩個圓心角相等，進而證明對應的弧相等；

（2）先過點F作AB的垂線，結(jié)合角平分線的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)證明得到，再由等弧對等弦得到，證明得到CD與EG相等，最后通過線段和差推導得出三條線段的數(shù)量關(guān)系。23．（1）【嘗試發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC∽△ADE，.當點D，E分別在邊AB和AC上時，的值是.（2）【變式探究】如圖2，將（1）中的△ADE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，其它條件不變，連接CE，BD，AC與BD交于點O，CE與BD的延長線交于點F.①求的值；②寫出∠BAC和∠BFC的數(shù)量關(guān)系并證明.（3）【聯(lián)系拓廣】如圖3，矩形ABCD中，AB=3，BC=6，點E在邊BC上且BE=2，連接AE.F是直線BC上的動點，作△AFG∽△ABE，連接CG，EG.①當點F在線段CB的延長線上，且EG=EA時，求EF的長；②當CG的長度最小時，直接寫出此時BF的長.【答案】（1）（2）解：①∵，∴，，∴，，∴，∴，∴；②∠BAC=∠BFC，證明如下：連接AF，由①得△BAD∽△CAE，∴∠ABD=∠ACE，即∠ABF=∠ACF，∴點A、B、C、F四點共圓，∴∠BAC=∠BFC（3）解：①∵四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，，，∵點在線段的延長線上，∴，∴點、、、四點共圓，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，由勾股定理得，∴，∴（負值不符合題意，舍去），∴，∴，∴；②【解析】【解答】解：（1）∵，∴，∴，，∵點，分別在邊和上，∴，，∴；（3）②∵主動點在直線上，∴從動點必須在某一直線上，∵當點在點時，點在點的位置，∴點在直線上運動，當時，的長度最小，為，此時點在處，由①得，∴，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，由勾股定理得，∴，解得（負值不符合題意舍去），∴，，作于，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴綜上所述，當?shù)拈L度最小時，此時的長為．【分析】本題綜合考查相似三角形的判定與性質(zhì)、圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、四點共圓的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及動點軌跡下的線段最值問題，屬于幾何探究類綜合題。

（1）利用相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)，由可直接得到，即、，再結(jié)合線段和差關(guān)系、，將與的表達式代入比值中，提取公因式后約分即可得到的結(jié)果，過程中僅需運用相似三角形的基本比例性質(zhì)與線段的和差運算。（2）①旋轉(zhuǎn)后圖形的相似性保持不變，先由推出且，在等式兩邊同時加上，可推導出，結(jié)合兩邊對應成比例且夾角相等的判定定理，可證明，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例，直接得到。②由①中可得對應角，即，根據(jù)同側(cè)共底邊的兩個三角形頂角相等則四點共圓的判定規(guī)則，可推出A、B、C、F四點共圓，再依據(jù)同弧所對的圓周角相等的性質(zhì)，即可得到與相等的數(shù)量關(guān)系。（3）①先結(jié)合矩形的直角性質(zhì)，在中由勾股定理求出的長度；再由得到對應角相等，結(jié)合點的位置推出與相等，滿足四點共圓的判定條件，得到A、F、G、E四點共圓，利用圓內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)推出；結(jié)合可判斷為等腰直角三角形，由勾股定理求出的長度；再由相似三角形對應角相等得到的正切值與一致，設(shè)出與的長度，結(jié)合勾股定理求出的長，最后在中用勾股定理算出，加上的長度即可得到的長。②本題屬于主動點-從動點的軌跡最值問題，由主動點在直線上運動，結(jié)合相似關(guān)系可判斷從動點的運動軌跡為一條定直線，根據(jù)垂線段最短的原理，當垂直于該定直線時，的長度最小；再通過角度的正切關(guān)系推導對應邊的比例，結(jié)合勾股定理、等面積法求出相關(guān)線段的長度，最后利用相似三角形的對應邊比例關(guān)系，計算出此時的長度。24．如圖，直線y=-x-6與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線經(jīng)過A，C兩