第九章 不等式與不等式組（13類題型突破）【人教】七下數學專題復習

第九章不等式與不等式組（13題型突破）【題型一根據題意列不等式】例題：（2024上·浙江寧波·八年級統考期末）用不等式表示減去大于：．【變式訓練】1．（2023上·浙江溫州·八年級校聯考期中）根據數量關系“x的2倍與y的差大于3”，列不等式：．2．（2023下·河南周口·七年級統考期末）某日我市最高氣溫是27℃，最低氣溫是22℃，則當天氣溫℃的變化范圍是．【題型二不等式的解集】例題：（2023下·湖南衡陽·七年級校考期中）下列說法中，正確的是（

）A．不等式的解集是 B．是不等式的一個解C．不等式的整數解有無數個 D．不等式的正整數解有4個【變式訓練】1．（2023下·全國·八年級假期作業）下列的值中，是不等式的解的是（

）A．4 B．2 C．0 D．2．（2022·全國·七年級專題練習）下列說法錯誤的是（）A．是不等式的解 B．是不等式的解C．的解集是 D．的解集就是、、【題型三不等式的基本性質】例題：（2024上·浙江寧波·八年級寧波市第十五中學校考期末）若，則下列不等式不一定成立的是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2024上·江蘇蘇州·七年級統考期末）已知，則下列各式中一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2024上·浙江杭州·八年級統考期末）已知，則下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．【題型四一元一次不等式的辨別】例題：（2023下·上海寶山·六年級統考期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；中是一元一次不等式的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．0個【變式訓練】1．（2023下·福建福州·七年級統考期末）下列不等式中，屬于一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．2．（2023下·全國·七年級專題練習）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（

）個．A．3 B．4 C．5 D．6【題型五求一元一次不等式的解集并在數軸上表示不等式的解集】例題：（2024上·廣西來賓·八年級統考階段練習）解不等式：，并把解集在數軸上表示出來．【變式訓練】1．（2023下·全國·八年級假期作業）解不等式，并把它的解集表示在數軸上．2．（2024下·全國·七年級假期作業）解下列不等式，并把解集在數軸上表示出來：(1)；(2)．【題型六求一元一次不等式的整數解】例題：（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級統考期末）不等式的正整數解是．【變式訓練】1．（2023上·浙江寧波·八年級校考階段練習）關于x的不等式的正整數解是．2．（2023下·遼寧盤錦·七年級校考期末）不等式的所有正整數解的和為．【題型七用一元一次不等式的解決實際問題】例題：（2023下·陜西咸陽·八年級咸陽市實驗中學校考階段練習）某景區為了吸引游客，現打算在一空地種植A，B兩種品種的牡丹，A、B兩種牡丹每棵的價格分別是55元和72元，若購買兩種牡丹共90棵，且總價格不超過5460元，求最少要購買A種牡丹多少棵？【變式訓練】1．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級校考階段練習）某商店購進甲、乙兩種品牌的文具，若購進甲種文具20件，乙種文具30件，共需要400元；若購進甲種文具10件，乙種文具5件，共需要100元．(1)求該商店購進甲、乙兩種品牌的文具每件各需要多少元？(2)若該商店準備購進甲、乙兩種品牌的文具共100件，且總預算費用不超過800元，那么該商店最多可購進乙種品牌的文具多少件？2．（2024上·浙江衢州·八年級統考期末）2024年，人工智能技術將迎來新的突破，智能駕駛、智能家居、智能醫療等領域的創新將改變人們的生活方式，并帶來巨大的便利，某連鎖酒店計劃向機器人公司購買A型號和B型號送餐機器人共臺，其中B型號機器人不少于A型號機器人的倍．(1)該連鎖酒店最多購買幾臺A型號機器人？(2)機器人公司報價A型號機器人7萬元/臺，B型號機器人9萬元/臺，要使總費用不超過萬元，則有哪幾種購買方案？【題型八一元一次不等式組的定義】例題：（2023下·七年級課時練習）下列選項中，是一元一次不等式組的是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022下·七年級單元測試）下列各式中是一元一次不等式組的是（）A． B． C． D．2．（2023上·浙江·八年級專題練習）下列不等式組：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式組的個數（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【題型九求一元一次不等式組的解集】例題：（2024上·浙江·八年級統考期末）解一元一次不等式組．【變式訓練】1．（2024上·湖南湘潭·八年級統考期末）解不等式組將解集在數軸上表示出來，并寫出它的所有整數解．2．（2023上·湖南岳陽·八年級統考期末）解不等式組，并將解集在數軸上表示出來．【題型十求一元一次不等式組的整數解】例題：（2024上·湖南永州·八年級統考期末）解不等式組，并求其整數解．【變式訓練】1．（2023上·湖南婁底·八年級統考期末）解不等式組，并把所有的整數解寫出來．2．（2023下·甘肅天水·七年級校考期末）解不等式組：．（注：必須通過畫數軸求解集）并寫出該不等式組的最小整數解．【題型十一解一元一次不等式組中錯解復原問題】例題：（2023·寧夏·統考中考真題）解不等式組下面是某同學的部分解答過程，請認真閱讀并完成任務：解：由①得：

第1步

第2步

第3步

第4步任務一：該同學的解答過程第_______步出現了錯誤，錯誤原因是_______，不等式①的正確解集是_______；任務二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集．【變式訓練】1．（2023下·河南南陽·七年級統考期末）下面是小東同學解不等式組的過程，請認真閱讀，完成相應的任務．解：由不等式①，得．…………第一步解得．………第二步由不等式②，得．……第三步移項，得．

………第四步解得．………第五步所以，原不等式組解集是．…………第六步(1)小東的解答過程中，第______；步開始出現錯誤，他錯誤的原因是_____________；(2)第三步的依據是_____________________；任務二：(3)直接寫出這個不等式組的解集：______．【題型十二列一元一次不等式組】例題：（2023下·福建三明·八年級統考期中）一本書共98頁，張力讀了一周（7天）還沒讀完，而李永不到一周就已讀完．李永平均每天比張力多讀3頁．若設張力平均每天讀x頁，則由題意列出不等式組為（）A． B．C． D．【變式訓練】1．（2022上·浙江寧波·八年級統考期中）將一箱蘋果分給若干個小朋友，若每位小朋友分5個蘋果，則還剩個蘋果；若每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友所分蘋果不到8個，若小朋友的人數為x，則下列正確的是（）A． B．C． D．2．（2023·全國·七年級假期作業）一本書共98頁，張力讀了一周(7天)還沒讀完，而李永不到一周就已讀完．李永平均每天比張力多讀3頁．若設張力平均每天讀x頁，則由題意列出不等式組為()A． B． C． D．【題型十三用一元一次不等組的解決實際問題】例題：（2024上·浙江寧波·八年級校聯考期末）隨著夢天實驗艙的順利發射，我國空間站完成了在軌組裝，為了慶祝這令人激動的時刻，某校開展了關于空間站的科學知識問答競賽．為了獎勵在競賽中表現優異的學生，學校準備一次性購買A，B兩種航天器模型作為獎品．已知購買1個A模型和1個B模型共需159元；購買3個A模型和2個B模型共需374元．(1)求A模型和B模型的單價．(2)根據學校的實際情況，需一次性購買A模型和B模型共20個，但要求購買A模型的數量多于12個，且不超過B模型的3倍．請你給出一種費用最少的方案，并求出該方案所需的費用．【變式訓練】1．（2024上·浙江·八年級統考期末）學校準備安裝校園人臉識別系統，計劃購買人臉識別通道閘機和門禁機．已知通道閘機的單價是門禁機單價的3倍，購買2臺通道閘機和4臺門禁機共需7500元．(1)求通道閘機和門禁機的單價．(2)已知該校園內至少需要安裝10臺通道閘機，若購買通道閘機和門禁機共40臺，且費用不超過48000元，請列出所有購買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少資金多少元？2．（22·23七年級下·內蒙古通遼·期末）在疫情期間，重慶某醫藥公司往武漢運送醫藥物資，若用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸；用輛型車輛和輛型車輛裝滿物資一次可以運送噸根據以上信息，解答下列問題：(1)通過列方程組求出：輛型車輛和輛型車輛都裝滿物資一次分別運多少噸？(2)該醫藥公司準備將一批醫藥物資一次性運輸至武漢，于是從租車公司租用了和兩種型號車輛共輛，其中型車輛每輛要付費元，型車輛每輛要付費元，若付費總金額不超過元，且物資不少于噸，請問怎么安排車輛總費用最少？3．（23·24八年級上·浙江紹興·階段練習）某網上商城“雙11”促銷政策如下：購物標價優惠不滿500打八折滿500打六折小周已經挑選了標價400元的商品，需要付錢320元，若小周再挑選價格為100元的商品為自己湊單到500元，最后只要付錢300元．(1)媽媽也挑選了價格為a元為整數）的商品，小周發現，自己挑選的400元商品和媽媽的商品一起購買支付，付的價格不足500元，求a的最大值．(2)小周發現有時候湊單能使價格更便宜，若小周還是自己為自己挑選的400元商品付錢，她想通過湊單獲得實惠，但希望最后付錢不超過320元，那么她可以再挑選的湊單商品的價格取值范圍是多少？

第九章不等式與不等式組（13題型突破）【題型一根據題意列不等式】例題：（2024上·浙江寧波·八年級統考期末）用不等式表示減去大于：．【答案】【分析】本題主要考查不等式，根據不等式的定義（用“>”或“<”表示不等關系的式子叫做不等式）即可求得答案．【詳解】用不等式表示減去大于為：．故答案為：．【變式訓練】1．（2023上·浙江溫州·八年級校聯考期中）根據數量關系“x的2倍與y的差大于3”，列不等式：．【答案】【分析】本題考查了列不等式題，關鍵是理解“大于”用數學符號表示應為“>”．表示出x的2倍與y的差，表示為，后用“>"與3連接即可．【詳解】解∶“x的2倍與y的差大于3”可表示為．故答案為∶．2．（2023下·河南周口·七年級統考期末）某日我市最高氣溫是27℃，最低氣溫是22℃，則當天氣溫℃的變化范圍是．【答案】【分析】根據題意，將其轉化為數學式子表示即可得到答案．【詳解】解：由題意得當天氣溫℃的變化范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查用不等式表示實際問題，讀懂題意是解決問題的關鍵．【題型二不等式的解集】例題：（2023下·湖南衡陽·七年級校考期中）下列說法中，正確的是（

）A．不等式的解集是 B．是不等式的一個解C．不等式的整數解有無數個 D．不等式的正整數解有4個【答案】C【分析】先求出不等式的解集，再依次判斷解的情況．【詳解】解：A、該不等式的解集為，故錯誤，不符合題意；B、∵，故錯誤，不符合題意；C、正確，符合題意；D、因為該不等式的解集為，所以無正整數解，故錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了不等式的性質和不等式的解集的理解，解題關鍵是根據解集正確判斷解的情況．【變式訓練】1．（2023下·全國·八年級假期作業）下列的值中，是不等式的解的是（

）A．4 B．2 C．0 D．【答案】A【解析】略2．（2022·全國·七年級專題練習）下列說法錯誤的是（）A．是不等式的解 B．是不等式的解C．的解集是 D．的解集就是、、【答案】D【分析】根據不等式的性質即可求解．【詳解】解：A選項，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正確；B選項，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正確；C選項，的解集是，解不等式得，故正確；D選項，的解集就是、、，不是不等式的解，故錯誤．故選：D．【點睛】本題主要考查不等式的性質解一元一次不等式，掌握不等式的性質是解題的關鍵．【題型三不等式的基本性質】例題：（2024上·浙江寧波·八年級寧波市第十五中學校考期末）若，則下列不等式不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了不等式的性質，不等式兩邊加或減同一個數或式子，不等號的方向不變；不等式兩邊乘或除同一個正數，不等號的方向不變；不等式兩邊乘或除同一個負數，不等號的方向改變，由此逐項判斷即可求解，掌握不等式的性質是解題的關鍵．【詳解】解：、∵，∴，故該選項成立，不合題意；、∵，∴，故該選項成立，不合題意；、∵，∴，∴，故該選項成立，不合題意；、∵，當時，；當時，不等式兩邊除以無意義；當時，；故該選項不一定成立，符合題意；故選：．【變式訓練】1．（2024上·江蘇蘇州·七年級統考期末）已知，則下列各式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了不等式的性質，根據不等式的性質逐個判斷即可．【詳解】A．不等式兩邊同時減，可得，選項一定不成立，不符合題意；B．當時，可得，選項不一定成立，不符合題意；C．不等式兩邊同時除以2再減去1，可得，選項一定不成立，不符合題意；D．不等式兩邊同時乘，可得，選項一定成立，符合題意；故選：D．2．（2024上·浙江杭州·八年級統考期末）已知，則下列各式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題考查了不等式性質的應用能力，關鍵是能準確理解并運用該知識進行辨別．運用不等式的性質進行逐一辨別、求解．【詳解】解：∵，∴故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤∴選項C符合題意．故選：C．【題型四一元一次不等式的辨別】例題：（2023下·上海寶山·六年級統考期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；中是一元一次不等式的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．0個【答案】A【分析】根據一元一次不等式的定義，未知數的次數是1，對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：（1），是一元一次不等式；（2），含有兩個未知數，不是一元一次不等式；（3），是一元一次不等式；（4），未知數的最高次數為2，不是一元一次不等式；一元一次不等式共2個，故選：A．【點睛】本題考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定義：含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫做一元一次不等式是解題關鍵．【變式訓練】1．（2023下·福建福州·七年級統考期末）下列不等式中，屬于一元一次不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據一元一次不等式的三個特點：不等式的兩邊都是整式；只含個未知數；未知數的最高次數為次，進行求解即可．【詳解】解：不含未知數，錯誤；B.符合一元一次不等式的定義，正確；C.分母含未知數，錯誤；D.含有兩個未知數，錯誤．故選：B．【點睛】本題考查一元一次不等式的定義，熟記一元一次不等式的三個特點是關鍵．2．（2023下·全國·七年級專題練習）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（

）個．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】類似于一元一次方程，含有一個未知數，未知數的次數是1，未知數的系數不為0，左右兩邊為整式的不等式，叫做一元一次不等式．根據一元一次不等式的定義分析判斷即可．【詳解】解：①，屬于不等式，但不是一元一次不等式，不合題意；②，屬于一元一次不等式，符合題意；③，屬于一元一次不等式，符合題意；④，屬于一元二次不等式，不合題意；⑤屬于方程，不合題意；⑥，屬于一元一次不等式，符合題意．綜上所述，一元一次不等式有3個．故本題選：A．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的判別，熟練掌握一元一次不等式的定義是解題關鍵．【題型五求一元一次不等式的解集并在數軸上表示不等式的解集】例題：（2024上·廣西來賓·八年級統考階段練習）解不等式：，并把解集在數軸上表示出來．【答案】，數軸見解析【分析】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，解題的關鍵是嚴格遵循解不等式的基本步驟是關鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數不等號方向要改變．首先去分母，移項、合并同類項，系數化為1，即可求得原不等式的解集，再將解集表示在數軸上即可．【詳解】解：去分母得：，去括號得：移項合并得：，解得：；在數軸上表示：．【變式訓練】1．（2023下·全國·八年級假期作業）解不等式，并把它的解集表示在數軸上．【答案】，數軸見解析【詳解】解：去分母，得，去括號，得，移項，得，合并同類項，得，兩邊都除以，得．該不等式的解集在數軸上的表示如圖所示．2．（2024下·全國·七年級假期作業）解下列不等式，并把解集在數軸上表示出來：(1)；(2)．【答案】(1)．(2)．【詳解】（1）去括號，得．移項、合并同類項，得．系數化為1，得．這個不等式的解集在數軸上的表示如圖所示．（2）去分母，得．移項、合并同類項，得．系數化為1，得．這個不等式的解集在數軸上的表示如圖所示．【題型六求一元一次不等式的整數解】例題：（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級統考期末）不等式的正整數解是．【答案】1，2【分析】根據不等式的基本性質及解不等式的步驟求出不等式的解集，再求出不等式的正整數解即可．【詳解】解：，，，，，又∵不等式的解為正整數，∴不等式的正整數解為：1，2故答案為：1，2【點睛】本題考查解一元一次不等式及不等式的特殊解，能正確求出不等式的解集是解決本題的關鍵．【變式訓練】1．（2023上·浙江寧波·八年級校考階段練習）關于x的不等式的正整數解是．【答案】1【分析】先解出不等式，然后求滿足條件的正整數解即可．【詳解】解：，，，，，不等式的正整數解是1．故答案為：1．【點睛】本題考查了解一元一次不等式及其正整數解，熟練掌握一元一次不等式的解法是解題關鍵．2．（2023下·遼寧盤錦·七年級校考期末）不等式的所有正整數解的和為．【答案】3【分析】根據解不等式的步驟，先移項、合并同類項、系數化成1即可求解．【詳解】解：移項，得，合并同類項，得，系數化成1得．則正整數解是1和2，有正整數解的和為．故答案為：3．【點睛】本題考查了一元一次不等式的解法，解不等式的依據是不等式的基本性質，需注意，在不等式兩邊都除以一個負數時，應只改變不等號的方向．【題型七用一元一次不等式的解決實際問題】例題：（2023下·陜西咸陽·八年級咸陽市實驗中學校考階段練習）某景區為了吸引游客，現打算在一空地種植A，B兩種品種的牡丹，A、B兩種牡丹每棵的價格分別是55元和72元，若購買兩種牡丹共90棵，且總價格不超過5460元，求最少要購買A種牡丹多少棵？【答案】最少要購買A種牡丹60棵【分析】本題主要考查了一元一次不等式的應用．設購買A種牡丹x棵，則購買B種牡丹棵，根據題意，列出不等式，即可求解．【詳解】解：設購買A種牡丹x棵，則購買B種牡丹棵，由題意得，，解得：，最少要購買A種牡丹60棵．【變式訓練】1．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級校考階段練習）某商店購進甲、乙兩種品牌的文具，若購進甲種文具20件，乙種文具30件，共需要400元；若購進甲種文具10件，乙種文具5件，共需要100元．(1)求該商店購進甲、乙兩種品牌的文具每件各需要多少元？(2)若該商店準備購進甲、乙兩種品牌的文具共100件，且總預算費用不超過800元，那么該商店最多可購進乙種品牌的文具多少件？【答案】(1)該商店購進甲種品牌的文具每件需要5元，乙兩種品牌的文具每件需要10元；(2)該商店最多可購進乙種品牌的文具60件．【分析】（1）根據題意列出二元一次方程，求解即可；（2）設該商店可購進乙種品牌的文具件，列出一元一次不等式，求出解即可；本題主要考查二元一次方程，一元一次不等式，準確列出式子是解題的關鍵．【詳解】（1）解：設該商店購進甲種品牌的文具每件需要元，乙兩種品牌的文具每件需要元，根據題意，得，解得，答：該商店購進甲種品牌的文具每件需要5元，乙兩種品牌的文具每件需要10元．（2）設該商店可購進乙種品牌的文具件，則購買件甲種品牌的文具，根據題意，得：，解得，答：該商店最多可購進乙種品牌的文具60件．2．（2024上·浙江衢州·八年級統考期末）2024年，人工智能技術將迎來新的突破，智能駕駛、智能家居、智能醫療等領域的創新將改變人們的生活方式，并帶來巨大的便利，某連鎖酒店計劃向機器人公司購買A型號和B型號送餐機器人共臺，其中B型號機器人不少于A型號機器人的倍．(1)該連鎖酒店最多購買幾臺A型號機器人？(2)機器人公司報價A型號機器人7萬元/臺，B型號機器人9萬元/臺，要使總費用不超過萬元，則有哪幾種購買方案？【答案】(1)最多購買臺A型號機器人；(2)有兩種方案：A型號臺、B型號臺或A型號臺、B型號臺．【分析】本題考查一元一次不等式的應用，能根據題中不等關系列出不等式是解題的關鍵，（1）設該垃圾處理廠購買臺型號機器人，根據“B型號機器人不少于A型號機器人的倍”列出不等式求解即可；（2）根據“總費用不超過萬元”列出不等式，結合（1）中不等式的解和為整數，即可得出共有兩種方案．【詳解】（1）解：設購買臺型號機器人，則購買臺型號機器人，則，∴，答：最多購買臺型號機器人．（2）解：設購買臺型號機器人，則購買臺型號機器人，則，∴，，又是整數，∴或，當A型號為臺時、B型號為臺；當A型號為臺時、B型號為臺，答：共有2種方案，A型號臺、B型號臺；A型號臺、B型號臺．【題型八一元一次不等式組的定義】例題：（2023下·七年級課時練習）下列選項中，是一元一次不等式組的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】略【變式訓練】1．（2022下·七年級單元測試）下列各式中是一元一次不等式組的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據一元一次不等式組的定義進行判斷．【詳解】解：A、第二個不等式不是整式不等式，故本選項不合題意；B、該不等式組中有2個未知數，故本選項不合題意；C、該不等式組中的第二個不等式中不含有未知數，故本選項不合題意；D、該不等式組符合一元一次不等式組的定義，故本選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的定義．幾個含有同一個未知數的一元一次不等式組合在一起，就組成了一個一元一次不等式組．2．（2023上·浙江·八年級專題練習）下列不等式組：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式組的個數（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】根據一元一次不等式組的定義判斷即可．【詳解】解：①是一元一次不等式組；②是一元一次不等式組；③含有兩個未知數，不是一元一次不等式組；④是一元一次不等式組；⑤，未知數是2次，不是一元一次不等式組，其中是一元一次不等式組的有3個，故選：B．【點睛】本題考查一元一次不等式組的定義，根據共含有一個未知數，未知數的次數是1來判斷．【題型九求一元一次不等式組的解集】例題：（2024上·浙江·八年級統考期末）解一元一次不等式組．【答案】【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，熟知解一元一次不等式組的方法和步驟是解題的關鍵．分別求出兩個不等式的解集，然后根據“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則可得該不等式組的解集．【詳解】解：，解不等式①，可得，解不等式②，可得所以，該不等式組的解集為．【變式訓練】1．（2024上·湖南湘潭·八年級統考期末）解不等式組將解集在數軸上表示出來，并寫出它的所有整數解．【答案】不等式組的解集：，解集在數軸上表示見解析，整數解有：，，0，1，2，3【分析】本題考查解不等式組，用數軸表示出不等式組的解集，求不等式組的整理數解．先分別求出不等式組中每一個不等式解集，再確定出不等式組的解集，然后用數軸表示出不等式組的解集，并寫不等式組的整數解即可．【詳解】解：解不等式①，得：，解不等式②，得：，原不等式組的解集：，解集數軸表示：整數解有：，，0，1，2，3．2．（2023上·湖南岳陽·八年級統考期末）解不等式組，并將解集在數軸上表示出來．【答案】不等式組的解集為，數軸表示見解析．【分析】本題主要考查了求不等式組的解集、不等式組的解集在數軸上的表示方法．先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式的解集表示在數軸上．【詳解】解：解不等式得，解不等式得，所以不等式組的解集為，將解集在數軸上表示，如圖，．【題型十求一元一次不等式組的整數解】例題：（2024上·湖南永州·八年級統考期末）解不等式組，并求其整數解．【答案】，整數解為【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，求不等式組的整數解，先求出每個不等式的解集，再根據“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集，再求出不等式組的整數解即可．【詳解】解：解不等式①得，解不等式②得，∴不等式組的解集是，∴不等式組的整數解為．【變式訓練】1．（2023上·湖南婁底·八年級統考期末）解不等式組，并把所有的整數解寫出來．【答案】原不等式組的解集為，不等式組的所有整數解為、0、1【分析】此題主要考查不等式組的解法，根據不等式的性質，分別解出不等式，再求出其公共解集，再寫出整數解即可．【詳解】解：，解①得：，解②得：，把它們的解集在數軸上表示如下：∴原不等式組的解集為，∴不等式組的所有整數解為、0、1.2．（2023下·甘肅天水·七年級校考期末）解不等式組：．（注：必須通過畫數軸求解集）并寫出該不等式組的最小整數解．【答案】原不等式組的解集是：；該不等式組的最小整數解是：【分析】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握確定解集的規律：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小找不到是解答本題的關鍵．根據解一元一次不等式組的方法，分別解不等式，得到，，在數軸上將，表示出來，由此得到答案．【詳解】解：根據題意得：，解①得：，解②得：，

原不等式組的解集是：．該不等式組的最小整數解是：．【題型十一解一元一次不等式組中錯解復原問題】例題：（2023·寧夏·統考中考真題）解不等式組下面是某同學的部分解答過程，請認真閱讀并完成任務：解：由①得：

第1步

第2步

第3步

第4步任務一：該同學的解答過程第_______步出現了錯誤，錯誤原因是_______，不等式①的正確解集是_______；任務二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集．【答案】任務一：4，不等號的方向沒有發生改變，；任務二：，【分析】任務一：系數化1時，系數小于0，不等號的方向要發生改變，即可得出結論；任務二：移項，合并同類項，系數化1，求出不等式②的解集，進而得出不等式組的解集即可．【詳解】解：任務一：∵，∴；∴該同學的解答過程第4步出現了錯誤，錯誤原因是不等號的方向沒有發生改變，不等式①的正確解集是；故答案為：4，不等號的方向沒有發生改變，；任務二：，，，；又，∴不等式組的解集為：．【點睛】本題考查解一元一次不等式，求不等式組的解集．解題的關鍵是正確的求出每一個不等式的解集，注意系數化1時，系數是負數，不等號的方向要發生改變．【變式訓練】1．（2023下·河南南陽·七年級統考期末）下面是小東同學解不等式組的過程，請認真閱讀，完成相應的任務．解：由不等式①，得．…………第一步解得．………第二步由不等式②，得．……第三步移項，得．

………第四步解得．………第五步所以，原不等式組解集是．…………第六步(1)小東的解答過程中，第______；步開始出現錯誤，他錯誤的原因是_____________；(2)第三步的依據是_____________________；任務二：(3)直接寫出這個不等式組的解集：______．【答案】(1)五；不等式的兩邊都除以同一個負數，不等號的方向沒改變(2)不等式兩邊同時乘以個正數，不等式不改變方向(3)【分析】（1）根據等式的性質逐步分析即可；（2）第三步變形的依據是不等式的基本性質2；（3）通過解一元一次不等式得到這個不等式組正確的解集．【詳解】（1）小東的解答過程中，第五步開始出現了錯誤，產生錯誤的原因是不等式的兩邊都除以同一個負數，不等號的方向沒改變；故答案為：五；不等式的兩邊都除以同一個負數，不等號的方向沒改變；（2）第三步變形的依據是不等式兩邊同時乘以個正數，不等式不改變方向；故答案為：不等式兩邊同時乘以個正數，不等式不改變方向；（3）由不等式①，得，解得．由不等式②，得，移項，得，解得．，所以，原不等式組解集是．故答案為：．【點睛】本題考查了解一元一次不等式，步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數為1；依據：不等式的基本性質．【題型十二列一元一次不等式組】例題：（2023下·福建三明·八年級統考期中）一本書共98頁，張力讀了一周（7天）還沒讀完，而李永不到一周就已讀完．李永平均每天比張力多讀3頁．若設張力平均每天讀x頁，則由題意列出不等式組為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由“張力讀了一周（7天）還沒讀完，而李永不到一周就已讀完”可建立不等式組．【詳解】解：設張力平均每天讀x頁，則李永平均每天讀頁由“張力讀了一周（7天）還沒讀完”可得：由“李永不到一周就已讀完”可得：故：故選：A．【點睛】本題考查列一元一次不等式組．正確理解題意是解題關鍵．【變式訓練】1．（2022上·浙江寧波·八年級統考期中）將一箱蘋果分給若干個小朋友，若每位小朋友分5個蘋果，則還剩個蘋果；若每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友所分蘋果不到8個，若小朋友的人數為x，則下列正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由“每位小朋友分5個蘋果，則還剩個蘋果，且小朋友的人數為”，可得出這箱蘋果共個，結合“若每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友所分蘋果不到8個”，即可列出關于的一元一次不等式組，此題得解．【詳解】解：每位小朋友分5個蘋果，則還剩個蘋果，且小朋友的人數為，這箱蘋果共個，每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友所分蘋果不到8個，，故選：C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式組，根據各數量關系，正確列出一元一次不等式組是解題關鍵．2．（2023·全國·七年級假期作業）一本書共98頁，張力讀了一周(7天)還沒讀完，而李永不到一周就已讀完．李永平均每天比張力多讀3頁．若設張力平均每天讀x頁，則由題意列出不等式組為()A． B． C． D．【答案】A【分析】張力平均每天讀x頁，則李永每天讀頁，根據張力讀了一周(7天)還沒讀完可得不等式，根據李永不到一周就已讀完可得不等式，再聯立兩個不等式即可．【詳解】解：設張力平均每天讀x頁，由題意得：，故選：A．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應用，解答此題的關鍵是找到關鍵性的描述語言，列出不等式組．在求解時不要忽略x為整數這一關鍵性條件．【題型十三用一元一次不等組的解決實際問題】例題：（2024上·浙江寧波·八年級校聯考期末）隨著夢天實驗艙的順利發射，我國空間站完成了在軌組裝，為了慶祝這令人激動的時刻，某校開展了關于空間站的科學知識問答競賽．為了獎勵在競賽中表現優異的學生，學校準備一次性購買A，B兩種航天器模型作為獎品．已知購買1個A模型和1個B模型共需159元；購買3個A模型和2個B模型共需374元．(1)求A模型和B模型的單價．(2)根據學校的實際情況，需一次性購買A模型和B模型共20個，但要求購買A模型的數量多于12個，且不超過B模型的3倍．請你給出一種費用最少的方案，并求出該方案所需的費用．【答案】(1)56元，103元；(2)購買A模型15個，B模型5個，費用最少，該方案所需的費用為元．【分析】（1）設1個A模型的價格為x元，1個B模型的價格為y元，根據“購買1個A模型和1個B模型共需159元；購買3個A模型和2個B模型共需374元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設購買A模型m個，則購買B模型（20-m）個，根據“購買A模型的數量多于12個，且不超過B模型的3倍”，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結合m為整數，即可得出各購買方案，利用總價=單價×數量可求出各方案所需費用，比較后即可得出結論．本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．【詳解】（1）解：設1個A模型的價格為x元，1個B模型的價格為y元，依題意得：，解得：．答：1個A模型的價格為56元，1個B模型的價格為103元．（2）設購買A模型m個，則購買B模型個，依題意得：，解得：．又∵m為整數，∴m可以為，∴共有3種購買方案，方案1：購買A模型13個，B模型7個，所需費用為（元）；方案2：購買A模型14個，B模型6個，所需費用為（元）；方案3：購買A模型15個，B模型5個，所需費用為（元）．∵，∴方案3購買A模型15個，B模型5個費用最少，最少費用為元．【變式訓練】1．（2024上·浙江·八年級統考期末）學校準備安裝校園人臉識別系統，計劃購買人臉識別通道閘機和門禁機．已知通道閘機的單價是門禁機單價的3倍，購買2臺通道閘機和4臺門禁機共需7500元．(1)求通道閘機和門禁機的單價．(2)已知該校園內至少需要安裝10臺通道閘機，若購買通道閘機和門禁機共40臺，且費用不超過48000元，請列出所有購買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少資金多少元？【答案】(1)通道閘機的單價為2250元，門禁機的單價為750元(2)方案1：購買道閘機10臺，購買門禁機30臺；方案2：購買道閘機11臺，購買門禁機29臺；方案3：購買道閘機12臺，購買門禁機28臺．其中方案1所需資金最少，為45000元【分析】（1）設門禁機的單價為元，則通道閘機的單價為元，根據題意列方程并求解，即可獲得答案；（2）設購買道閘機臺，則購買門禁機臺，根據題意列出關于的一元一次不等式組并求解，結合實際確定的值，即可列出可能方案，并分別計算每一種方案的費用，比較即可獲得答案．【詳解】（1）解：設門禁機的單價為元，則通道閘機的單價為元，根據題意，可得，解得元，則元．