連續域-離散化設計

連續域—離散化設計1設計原理和步驟將數字控制器部分看成是一個整體，其輸入和輸出都是模擬量，因而可等效為連續傳遞函數De(s)A/D輸出與輸入關系：系統低通且采樣頻率較高D/A的頻率特性：等效連續傳遞函數計算機實現算法D(z)的計算表示：設計時常近似為：連續域—離散化設計采樣頻率遠大于系統閉環頻帶，ZOH工作在低頻段一階近似式、二階近似式※考慮ZOH，設計等效傳遞函數——修正S平面設計；※

T較小時，不考慮ZOH（不進行修正S平面設計）；連續域-離散化設計的步驟如下

第1步：根據系統的性能（如頻帶寬度等），選擇采樣頻率。根據需要設計抗混疊前置濾波器。第2步：考慮ZOH的相位滯后（S平面修正設計），根據系統的性能指標和連續域設計方法，設計數字控制算法等效傳遞函數Ddc(s)。第3步：選擇合適的離散化方法，將Ddc(s)離散化，獲得脈沖傳遞函數D(z)，使兩者性

能盡量等效。第4步：檢驗計算機控制系統閉環性能。若滿足指標要求，進行下一步；否則，重新進行設計。改進設計的途徑有：選擇更合適的離散化方法。提高采樣頻率。修正連續域設計，如增加穩定裕度指標等。第5步：將D(z)變為數字算法，在計算機上編程實現。2各種離散化方法最常用的表征控制器特性的主要指標：零極點個數；系統的頻帶；穩態增益；相位及幅值裕度；階躍響應或脈沖響應形狀；頻率響應特性。等效離散D(z)D(s)數值積分法一階向后差法一階向前差法雙線性變換法及修正雙線性變換法零極點匹配法保持器等價法z變換法(脈沖響應不變法)離散化方法各種離散化方法對于控制器D(s)

D(z)工程易實現性關心D(z)對D(s)的保真度：穩定性；穩態增益；頻率特性；時域響應；串聯性；1.一階向后差分法(1)離散化公式實質：將連續域中的微分用一階向后差分替換做z變換，得s與z之間的變換關系比較向后差分(矩形積分)法1.一階向后差分法(2)主要特性①

s平面與z平面映射關系當

=0（s平面虛軸），s平面虛軸映射到z平面為該小圓的圓周。當>0（s右半平面），映射到z平面為上述小圓的外部。當<0（s左半平面），映射到z平面為上述小圓的內部。②若D(s)穩定，則D(z)一定穩定③變換前后，穩態增益不變。④離散后控制器的時間響應與頻率響應，與連續控制器相比有相當大的畸變。向后差分法的映射關系(3)應用

這種變換映射關系畸變嚴重，變換精度較低。工程應用用得較少。2.一階向前差分法(1)離散化公式實質：將連續域中的微分用一階向前差分替換做z變換，得s與z之間的變換關系比較

向前差分矩形積分法2.一階向前差分法(2)主要特性①

s平面與z平面映射關系②若D(s)穩定，則D(z)不一定穩定[改進方法是適當減少采樣周期T]。(3)應用這種變換的映射關系畸變嚴重，不能保證D(z)一定穩定，或者如要保證穩定，要求采樣周期較小，所以應用較少。平移放大關系3.雙線性變換法（突斯汀-Tustin變換法）

(1)離散化公式實質：將梯形面積近似代替積分進行z變換，得s與z之間的變換關系比較

梯形積分法（u(k-1)——前(k-1)個梯形面積之和）物理意義：用梯形面積近似積分值思路：Z變換查表法麻煩，無串聯。考慮一種簡單代數置換法s=f(z)；1/s與1/(z-1)應有所對應。

由積分環節特例推廣。突斯汀(Tustin)變換由Z變換定義將改寫為形式：

然后將分子和分母同時展成泰勒級數，取前兩項，得：計算出得雙線性變換公式：3.雙線性變換法(2)主要特性①

s平面與z平面映射關系當

=0（s平面虛軸)映射為z平面的單位圓周。當>0（s右半平面），映射到z平面單位圓外

。當<0（s左半平面），映射到z平面單位圓內

。②若D(s)穩定，則D(z)一定穩定s域角頻率z域角頻率為

D

3.雙線性變換法(2)主要特性③頻率畸變：雙線性變換的一對一映射，保證了離散頻率特性不產生頻率混疊現象，但產生了頻率畸變。

當采樣頻率較高足夠小

非線性壓縮。低頻段接近。圖中①圖中②圖中③圖中④S：Z：S：Z：S：Z：S：Z：例：突斯汀變換得到圖中S表示圖中Z表示※低頻段相近，高頻段相差大；※3.雙線性變換法(2)主要特性④變換前后，穩態增益不變。⑤雙線性變換后D(z)的階次不變，且分子、分母具有相同的階次。并有下式成立：

(3)應用①這種方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好的特性，工程上應用較為普遍。②主要缺點：高頻特性失真嚴重，主要用于低通環節的離散化，不宜用于高通環節的離散化。4.修正雙線性變換(1)離散化方法解決“雙線性變換產生頻率軸非線性畸變”問題的方法。

1是設計者選定的特征角頻率依據連續域與雙線性變換后頻率的非線性關系，首先修正原連續域傳遞函數，然后再進行雙線性變換的結果。(2)主要特性該方法本質上仍為雙線性變換法，因此具有雙線性變換法的各種特性。但由于采用了頻率預修正，故可以保證在

1處連續頻率特性與離散后頻率特性相等，即滿足(3)應用由于該方法的上述特性，所以主要用于原連續控制器在某些特征頻率處要求離散后頻率特性保持不變的場合。頻率修正對要求高的系統，預先進行頻率修正，保證某特征頻率離散后不變※選擇對系統影響最大的特征頻率（轉折頻率、自然頻率等），要求在此頻率處，離散前后輻值相等；※計算修正頻率大小（存在頻率上的畸變）。若要求離散后的數字頻率在則S域頻率應預先修正到；※修正D(s)為；并對其作突斯汀變換※按照穩態增益相等原則，確定D(z)增益。（上一步改變）（此步可能產生穩態增益誤差）※直接預修正突斯汀變換例：預修正突斯汀變換舉例①選擇作為特征頻率要求在自然頻率處輻值響應相同②計算修正頻率③修正原連續函數④對作突斯汀變換⑤穩態增益匹配

突斯汀變換特點※

S平面與Z平面單位圓的映射關系。D(s)穩定，則D(z)也穩定；※穩態增益維持不變；（修正的變換引起變化）※一對一映射。無頻率混疊現象，但頻率軸產生了畸變；采樣周期愈高，近似線性段愈寬。※串聯性：串聯環節可以分別變換后相乘。※

D(z)階次不變，且分子、分母同階。5.零極點匹配法

(1)離散化方法特點：零、極點分別按匹配若分子階次m小于分母階次n，離散變換時，在D(z)分子上加(z+1)n-m因子確定D(z)的增益k1的方法：按右式來匹配若D(s)分子有s因子，可依高頻段增益相等原則確定增益,即也可選擇某關鍵頻率處的幅頻相等，即5.零極點匹配法

(2)主要特性①零極點匹配法要求對D(s)分解為極零點形式，且需要進行穩態增益匹配，因此工程上應用不夠方便。②

由于該變換是基于z變換進行的，所以可以保證D(s)穩定，D(z)一定穩定。③當D(s)分子階次比分母低時，在D(z)分子上匹配有(z+1)因子，可獲得雙線性變換的效果，即可防止頻率混疊。6.其他離散方法(1)z變換法（脈沖響應不變法）可保證連續與離散環節脈沖響應相同；穩定性維持。但z變換比較麻煩，且多個環節串聯時無法單獨變換；產生頻率混疊；穩態增益變化。應用少。※采樣后仍是，只要，則脈沖響應在采樣時刻相等。6.其他離散方法(2)帶保持器的z變換①帶零階保持器z變換法（階躍響應不變法）

②一階保持器z變換法（斜坡響應不變法）注意，這里的零階保持器是假想的，并沒有物理的零階保持器。這種方法可以保證連續與離散環節階躍響應相同，穩定性和穩定增益不變。但要進行z變換，同樣具有z變換法的一系列缺點，所以應用亦較少。由于和零階保持器z變換法類似的原因，這種方法應用得較少。問題：“T影響系統穩定性”與此處的“D(s)穩定D(z)也穩定”矛盾？①；假設②（左半平面映射到單位圓內）●分析原系統（圖示系統）設計如圖隨動系統。對象（典型二階振蕩系統）阻尼比自然頻率要求品質指標：①穩態速度誤差系數；②調節時間（內），峰值時間，超調量調節時間；峰值時間超調量；速度誤差系數3連續域—離散化設計舉例3連續域—離散化設計舉例●選擇采樣周期